韩国又松大学-韩国又松大学
自主招生试题特点：
试题难度高于高考，有的达到竞赛 难度，试题灵活，毫无
规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续
性的知识点：
如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。
应试策略：
1
、
注重基础：
一般说来，
自主招生中，
基础题目分数比例大约占< /p>
60-70%
2
、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围
3
、对考 生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。
方程的根的问题
：
2
f
(
x
)
?
ax< /p>
?
bx
?
c
(
a
?
0)
，且
f
(
x
)
?
x
没有实数根
．那么
f
(
f
(
x
))
?
x
是
1.
已知函数
否有实数根？并证明你的结论．
（
08
交大）
2.
设
f
(
x
)
?
(1
?
a
)
x
?
x
?
(3
a
?
2)
x
?
4
a
，试证明对任意实数
a
：
（
1
）方程
f
(
x
)
?
0
总有相同实根；
（
2
）存在
x
0
，恒有
f
(
x
0
)
?
0
．
（
07
交大）
3.
（
06
交大 ）设
k
?
9,
解方程
x< /p>
?
2
kx
?
k
x
?
9
k
?
27
?
0
4.
（
05
复旦）在实数范围内求方程：
4
10
?
x
?
4
7
?< /p>
x
?
3
的实数根．
5.
（
05
交大）
x<
/p>
3
?
ax
2
?
bx
?
c
?
0
的三根分别为
a
,
b
,
c
，并且
a
,
b
,
c
是不全为零的有理数，
求
a
,< /p>
b
,
c
的值．
3
2
2
4
3
2
6.
解方程：
．求方程
x
?
x
?
2
x
?
凸函数问题
?
2
x
?
2
3
x
（
n
重根）的解．
(09
交大
)
1.
(2009
复旦
)
如果一个函数
f(x)
在其定义区间内对任意
x
，
y< /p>
都满足
f
(
x<
/p>
?
y
f
(
x
)
?
f
(
y
)
，则
称这个函数时下凸函数，下列函数
)
?
2
2
（
1
）
（
3
）
（
4
）
f
(
x
)
?
x
（
2
）
f
(
x
)
?
x
3
f
(
x
)
?
log
2
x
（
x
?
0
）
?
x
,
x
?
0 ,
f
(
x
)< /p>
?
?
?
2
x
,
x
?
0,
中是下凸函
数的有
-------------------
。
A
．
(1)(2)
B. (2)(3)
C.(3)(4)
D.(1)(4)
?
）
，且
x
1
≠
x
2
，下列不等式
中成立的是：
2
x
?
x
2
x
?
x
2
1
1
(1)
（
tanx
1
+tanx
2
）
>tan
1
;
(2)
（
tanx
< p>1
+tanx
2
）
1
;
2
2
2
x
?
x
2
x
?
x
2
1
1
(3)
（
sinx
1
+sinx
2
）
>sin
1
;
(4)
（
sinx
1
+sinx
2
）
2
1
2
2
2
2.
（
06
复旦）设
x
1
,x
2
∈（
0
，
A
．
(1),(3)
B
．
(1),(4)
C
．
(2),(3)
D
．
(2),(4)
?
3.
（
09
，清华）
x
?
0,
y
?
0,
x
?
y
?
1,
n< /p>
?
N
,
证明：
x<
/p>
2
n
?
y
2
n
?
2
2
?
1
1
柯西不等式
设
a
1
，
a
2
，
?
，
a
n
及
b
1
，
b
2
，
?
，
b
n
为
任意实数，则
(
a
1
b
1
?
a
2
b
2
?
?
?
a
n
b
n
)
2
2
2
2
2
?
(
a
1
2
?
a
2
?
?
?
a
n
)(
b
1
2
?
b
2
?
?
?
b
n
)
，当且仅 当
a
a
1
a<
/p>
2
?
?
?
?
n
b
1
b
2
b
n
(
规定
a
i
?
0
时，
b
i
?
0
)
时等号成立。
2
2
?
的最小值是
______________
．
x
y
2.
已知
2x+3y+4z=10
，求
x
2
+y
2
+z
2
的最小值。
3
．
P
为△
ABC
内一点，它到三边
BC
、
CA
、
AB
的距离分 别为
d
1
,
d
2
,
d
3
，
S
为△
ABC
的面积，
1
．
(03
交大
)
已知
x
,
y
?
R
，
x
+2
y
＝
1
，则
?
a
b
c
(
a
?
b
?
c
)
2
求证：
?
．
（
09
南大）
?
d
1
d
2
d
3
2
S
< p>4.
给定正整数
n
和正常数
a
，
对于满足不等式
a
1
?
a
n
?
1
?
a
的所有等差数列
a
< br>1
,a
2
,a
< br>3
,
…
,
2
n
?
1
2
2
和
式
i
?
n
?
1
< p>?
a
的最大值
=_______.
（
07
复旦）
i
A.
10
a
(
n
?
1
)
;
2
B.
10
a
5
a
n
;
C.< /p>
(
n
?
1
)
;
2
2
< br>D.
2
5
a
n<
/p>
.
2
2
5.
（
07
复旦）
当
a
和
b
取遍所有实数时，
则函数
f
(
a
,
b
)
?
(
a
?
5
?
3
c os
b
)
?
(
a
?
2
sin
b
)
所能达到的
最小值为
_____________.
A.1;
B.2;
C.3;
D.4.
基础题
e
x
1.
求
f
(
x
)
?
的单调区间及极值
.(2007
年清华
)
x
2.
设正三角形
T
1
边长为
a
，
T
n
?
1
是
< br>T
n
的中点三角形，
< br>A
n
为
T
n
除去
T
n
?
1
后剩下三个三角形内切圆面积之和
.
求
lim
n
??
?<
/p>
A
k
?
1
n
k
.(2007
年清华
)
3.
圆内接四边形
ABCD
中，
AB
＝
1
，
BC
＝
2
，
CD
＝
3
，
DA
＝
4
，
求<
/p>
ABCD
的外接圆半径．
(
北大
20 09)
4.
已知一公差为正整数无穷项等差数列，其中有
< p>3项：
13
，
25
，
41
．
求证：
2009
为数列中一项．
（
2009
，北大）
5.
求最小正整数
n
，使得
I
?
(
?
1
2
1
2
3
i
)
n
为纯虚数，
并求出
I
．
(06,
清华
)
6.
已知
a
、
b
为非负数，
M
?
a
?
b
,
a
?
b
?
1
，求
M
的最值．
(06,
清华
)
4
4
7.
已< /p>
知
sin
?
、
si
n
?
、
cos
?
为
等
比
数
列
，< /p>
求
sin
?
、
cos
?
为
等
差
数
列< /p>
，
sin
?
、
cos
2
?
?
1
cos
2
?
的值．
(06,
清华
)
2
8.
比较
log
24
25<
/p>
与
log
25
2
6
的大小并说明理由．
（
04
复旦）
9.
求证：边长为
1
的正五边形对角线长为
5
?
1
（
08
北大）
.
2
10.
四面体
ABCD
中
,AB=CD,AC=BD,AD=BC
。
< p>
（
1
）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形 。
（
2
）设底面为
BC D
，设另外三个面与面
BCD
所形成的二面角为
α
，
β
，
γ
。
求证：
cosα+cosβ+cosγ=1
。
11.
（
09
清华）
（< /p>
1
）
x
?
0,
y
?
0,
x
?
y
?
1,
n
?
N
?
,
证明：
x
2
n
?
y
2
n
?
2
2
n
?
1
1
（
2
）已知
x
，
y
，
z>0
，
a
，
b
，
c
是
x
，
y
，
z
的一个排列。求证：
12.
求所有
3
< p>项的公差为8
的自然数数列，满足各项均为素数。
13.
求所有满足
tan
A
?
tan
B
?
tan
C
?
[tan
A
]
?
[tan
B
]
?
[tan
C
]
的非直角三角形（这里
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数）
a
b
c
?
?
?
3< /p>
。
x
y
z
(2009
年南京大学自主招生试题
)
14.
求由正整数组成的集合
S
，使
S
中的元素之和等于元素之积<
/p>
(06
，清华
)
。
15.
5
?
1
5
?
1
的整数部分为
A
，小数部分为
B
。
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