大学英语教程4课后答案-大学英语教程4课后答案
华中师范大学
二零一四年研究生入学考试试题
院系、招生专业：数学与统计学学院
考试时间：元月
5
日上午
考试科目代码级名称：
717
数学分析
一、计算题（共
4
小题，总计
40
分）
1
?
x
< br>?
ln(1
?
x
)
?
]
1.
求极限
lim[
x
?
0
< p>e
x
1
x
1
n
n
2
i
< p>j
[
?
]
，这里
[
?
]
表示取整
.
??
2.
求极限
n
lim
2
???
n
n
i
?
1
j
?< /p>
1
n
xdy
?
yd x
3.
计算积分
?
L<
/p>
2
，其中
L
为平
面内任意一条不过原点的正向
x
?
2
y< /p>
2
光滑封闭曲线
.
4.
求极限
lim
?
r
?
0
1
r
5
x
?
y
2
?
z
2
?
r
< br>2
2
???
ln(1
?< /p>
x
2
?
y
2
?
z
2
)
1
?
2
2
(
x
?
y
)cos
,(
x
,
y
)
?
(0,0)
?
2
2
x
?
y
二、
20
分）设
f
(
x
,
y
)
?
?
，讨论
?
0,<
/p>
,(
x
,
y
)
?
(0,0)
?
f
x
(
x
,
y
),
f< /p>
y
(
x
,
y
)
在点
(0,
0)
的连续性，偏导数的存在性，可微性及
偏导函数的连续性
.
三、
（
15
分）
设
f
(
x
)
在
< br>[0,1]
上可导，
f
(0)
< p>?0,
f
(1)
?
1
,
a
?
0,
b
?
< p>0
为
常数
.
（<
/p>
1
）证明：存在
?
?
(0,1)
，使得
f
(
?
)
?
a
；
a
?
b
a
b
?
?
a
?
b
.
（
2
）
证明 ：
存在
(0,1)
内两个互异的点
?
1
,
?
< br>2
，
使得
f
'(
?
1
)
f
'(< /p>
?
2
)
3
四、
（
10
分）
证明：
方程
x
?
y
?
1< /p>
?
cos(
xy
)
在
(0,0)
的某个邻域内可以
唯一确定隐函数
y
?
f
(
x
)
，并求
f
'(0)
的值
.
(
n
?
1)
2
n
x
的收敛域及
和函数
S
(
x
)
，并计算
五、
（
15
分）
求幂级数
?
n
?
1
n
?
1
??
(
n
?
1)
2
?
n
3
.
?
n
?
1
n
?
1
??
?
xy
六、
（
15
分）
证明：含参量反常积分
?
0
xe
dx
在<
/p>
[
?
,
??
)
上一致收敛
.
??
y
2
z
3
七
、
（
15
分）
设点
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
是椭球面
x
?
?
< p>?1
上位于第一卦
2
3
2
限的点，
S
是该
椭球面在
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
处的切平面被三个坐标面所截
得的三角形上侧，求
M
(
x
< br>0
,
y
0
,
z
0
)
使曲面积分
??
xdydz
?
2
yd zdx
?
3
zdxdy
S
为最小，并求此最小值
.
八、
（
14
分）
设
D
为
2
有界区域，其边界
L
光滑，函数
u
(
x
,
y
)
和
v
(
x
,
y
)
在
D
?
D
L
上具有一阶连续偏导数，在
D
上具有二阶连续的偏导数
（
1
）
??
D
< br>?
g
?
u
?
v
u
v
?
u
d
xdy
?
?
L
?
n
u
?
?
f< /p>
ds
，其中
为
的外法线方向，
和
L
n
?
n
?
?
n
v
?
?
?
v
?
2
u
?
2
u
?
2
v
?
2
v
?
u
?
2
?
2
,
?
v
?
2
?
2
；
分别是
f
(
x
,
y
)
和
< br>g
(
x
,
y
)
沿
n
的方向导数，
?
?
x
?
y
?< /p>
x
?
y
?
n
?
（
2
）
利用
（
1
）
证明：
若在
D
内，
?
u
?
0
，
即
u
(
x
,
y
)
为
D
< br>上的调和函数，
(
x
0
< br>,
y
0
)
为
D
的内点，
g
(
< p>x,
y
)
?
lnr,r
?
(
x
?
x
0<
/p>
)
2
?
(
y
?
y
0
)
2
，则
1
u
(
x
0
,
y
0
)
?
2
?
?
?
ln
r
?
u
?
u
?
?
?
ln
r
?
?
?
ds
?
L
?
?
?<
/p>
n
?
?
?
n
?
（
3
）证明：若在
D
内，
?
u
?< /p>
0
，
C
R
是
D
内以
(
x
0
,
y
0
)
为圆心，
R
为半径
的任意圆周，则
u
(
x
0
,
y
0
)<
/p>
?
2
?
R
?
1
L
u
(< /p>
x
,
y
)
ds
.
华
中
师
范
大
学
2008
年研究生入学考试试题（数学分析）
1.(36)
计算题
:
(1)
lim
n
?< /p>
?
1
n
n
n
(
n
?
1
)
< p>?
(
2
n
?
1
)
2
(2)
lim<
/p>
?
t
?
0
1
t
4
2
??
?
x
?
y
2
sin
2
2
x
2<
/p>
?
y
?
z
dxdydz
2
?
z
?
t
(3)
求曲线积分
?
L
封闭简
单曲线
.
2.(15)
设函数
f
(
x
)
xdy
?
ydx
x
2
?
9
y
2
,
其中< /p>
L
为平面内任意一条不经过原点的正向光滑
在
[
0
,
??
)
上具有连续的导函数
,
且
lim
f
(
x
?
f<
/p>
?
(
x
)
存在有限
,
0
?
?
?
1
,
x
?
?
是一个常数
,
证明
:
< p>3.(15)
设
f
(
x
)
)
在
[
0
,
??
)
上一致连续
.< /p>
和
g
(
x
)
在
[
a
,
< p>b]
上连续且在
(
a
,
b
)
内可导
,
试证
:
在
(
a
,
b
)
内存在点
?
,
.
使得
[
f
(
b
)
?
f
(
a
)]
g
?
(
?
)
?
[
g
(
b
)
?
g
(
a
< p>)]f
?
(
?
)
?
4.(20)
证明
:
函数项级数
f
(
x
)
?
函数
f
(
< p>x)
?
n
?
1
ne
?
nx
在
(
0
,
??
)
< br>上收敛
,
但不一致收敛
,
而和
在
(
0
,
? ?
)
上可以任意次求导
.
x
2
5.(20)
证
明
:
方
程
y
?
< p>f(
x
)
?
y
?
s
i
n
(
xy
)
在
原
点
的
某
个
邻
域
内
可
以
唯
一
确
定
隐
函
数
,
并
y
?
(
0
)
计算的值
.
6.(14)
证明
:
若函数
< br>f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上无界
,
则必存在
[
a
,
< p>b]
上的某点
,
使得
f
(
x
)
在该
< br>点的任何邻域内无界
.
7.(12)
设函数
u
在
[
0
,
??
)
上连续可微且
?
(1)
存在
[
0
,
??
)
中的子列
{
x< /p>
}
n
?
1
使得当<
/p>
n
(2)
存在某常数
C<
/p>
8.(18)
设
?
?
R
3
(
u
(
x
)
2
?
u
?
(
x
)
)
dx
?
??
,
试证
:
2
n
?
?
?
时
,
x
n
(
u
(
x
)
< br>2
?
??
且
u<
/p>
(
x
n
)
?
1
2
0
?
0
,
使得
sup
u
(
x
)
?
C
(
?
x
?
[
0
,
??
}
?
?< /p>
?
u
?
(
x
)
)
dx
)
2
0
为有界闭区域
,
< p>且具有光滑边界
?
?
,
0
< p>?T
?
??
.
(1)
设
u
,
v
是
?
上
v
?
u
dxdydz
?
?
??
?
?
u
?
v
dxdydz
?
?
具有连续二阶偏导数的函数
,
试证
:
???
?
??
?
?
v
?
u
?
n
dS
< br>,
其中
?
u
?
?
u
?
x
2
2
?
?
u
< br>?
y
2
2
?
?
u
?
z
2
2
,
?
u
为
u
的梯度
,
?
u
?
?
n
为
u
沿区域的边界的外法向<
/p>
n
?
的方向导
数
;(2)
设
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
在
?
试证
:< /p>
d
?
[
0
,
T
)
上具有连续一阶偏导数
,
???
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
dx dydz
?
???
?
u
(
x
,
y
,
z
,
t
)
dxdydz
,
?
t
?
[
0
,
T< /p>
)
;
(3)
设
u<
/p>
(
x
,
y
,
z
,
t
)
dt
?
?
?
t
在
?
?
[
0
,
T
)
上具有连续二阶偏导数且满足
?
u
?
?
u
?
u
3
若
u
?
t
在
?
?
[
0
,
T
)
上
恒
为
零
记
?
u
2
?
(
?
u
?
x
)
2
?
(
?
u
2
?
y
)
?
(
?
u
?
z
)
2
E
(
t
)
?
?
?
(
1
?
?
u
2
< br>?
1
2
4
u
4
)
d
x
d
在
y
[
0
,
d
T
)
上是减函数
z
.
?
,
试
证