苹果电脑大学-苹果电脑大学
6
数
学
通
讯
2003
年第
< br>7
期
向
量
与
有
向
线
段
熊
惠
民
(
华中师范大学数学与统计学学院
,
湖北
武汉
430079
)
中图分类号
:
G
622.
0
文献标识码
:A
文章编号
< p>:
0488
-
7395
(
2003
)
07
-
0006
-
02
作 者在对中学教师进行培训的过程中
,
有几位教师提出这样的问题
:
向量在人教版
高中数学第一册是这样
定义的
“
,
我们把既有
大小又有方向的量叫做向量”
,
该教材同时还
< br>提到
“
向量常用一条有向线段来表示
,
有向线
段的长度表示向量的大小
,
箭头所指的方向
表示向量的方向
.
”
他们的问题是
,
既然向量
是用有向线段来表示
,
为什么还要引入向量
概念呢
?
要搞清楚这个问题
,
实质上是要弄清楚
向量与有向线段间的关系
.
为了彻底弄清楚
,
需要用到
一点代数学的知识
.
我们知道
,
如果
一条线段确定了起点和终点
,
即有方向的话
,
我们就称其是一条有向线段
,
也就是说
,
有向<
/p>
线段包括三个要素
:
起点
、
方向和长度
.
下面
我
们在空间
(
或平面
)
< br>内的所有有向线段的集
合中
,
引
入一个二元关系
R
.
定义
如果有向线段
a
与
b
的方向和
长度相同
,
我们就称
a
与
b
具有关系
R
.
容易证明二元
关系
R
具有反身性
、
对称
性和传递性
,
因此它是一个等价关系
[
1
]
.
代数学的知识告诉我们
,
我们可以根据
任何一个集合上的等价关系来对集合进行划
分
,
即把集合中满足这一关系的所有元素放
在一类
,
这样做不会出现一个元素可归于多
类的情形
,
从而使得集合中的任何一个元素
归于一类且仅归于一
类
.
数学上把这样得到
的每一类称为等
价类
,
所有等价类的集合
,
称
为原集合关于该等价关系的商集
[
1
]
.
特别地
,
我们可以根据关系
R
来对
所有
的有向线段进行分类
,
在每一类里
面
,
任何两
个有向线段具有关系
R
.
通俗一点讲
,<
/p>
关系
R
是我们对所有有向线段进行分类的
标准
,
这
种分类方法是将所有彼此之间
具有相同的方
向和长度的有向线段归为一类
.
< br>这样得到的
每一等价类就是向量
.
从以上的论述
,
我们可以看出
,
向量集实
际上是在有向线段集的基础上构造得到的
< br>.
它是通过对有向线段集进行分类而得到的所
有类别的集
合
.
也可以这样说
,
< br>向量是对有向
线段进行抽象的结果
,
它舍弃了有向线段位
置方面的特性
,
而保留了方向和长度这两个
特性而得到的
,
< br>每一个向量是一类有向线段
的总称
.
数学上常常用一个等价类中所属的任何
一个元素来表示该等价类
,
所选择的那一个
元素通常称为该等价类的一个代表元
.
很显
然
,
尽管对同一个等价类可以有多种表示形
式
,<
/p>
但是对任何一种表示形式来讲
,
其表示的
等价类是唯一确定的
.
也就是说
,
这种表示方
法是不会产生岐义的
.
特别地
,
对于向量也可
以采用同样的表示方法
,
也就是用一个
向量
所属的任何一个有向线段来表示该向量
,
< br>这
同样不会产生岐义
.
向量的这
种表示方法的合理性
,
很重要
的一点还
表现在对向量运算的规定上
.
高中
教材
所定义的向量运算包括这样几种
:
向量
的加法
、
减法
、
数乘及数量积
.
下面仅以向量
的加法为例来说明
,
其他向量运算的讨论是
类似的
.
高中教材中向量的加法是通过三角形法
则来定义的
< br>,
即
“
已知向量
a
,
b
,
在平面内任取
一
点
A
,
作
AB
=
a
,
BC
=<
/p>
b
,
则向量
A
叫做
a
与
b
的和
.
”
很显然< /p>
,
这个定义是用向量的代表
收稿日期
:
2003
-
01
-
15
作者简介
:
熊惠民
(
1971
-
)
,
男
,
湖北汉川人<
/p>
,
华中师范大学数学与统计学院教师
,<
/p>
硕士
.