北京首都医科大学口腔医院-北京首都医科大学口腔医院
南京理工大学
2004
年硕士研究生入学考试
试题 （量子力学）
1
一、质量为
m
的 粒子处于定态波函数
?
?
e
ikr
,
计算其几率密度和几率
流密度。（
15
分）
r
二、粒子在一维势场
V
（
x
）中运动，证明属于不
同能级的束缚态波函数
彼此正交。（
15
分）
三、设
?
q
,
p
?
?
i
?
,
f
< p>(q
)
是
q
的可微函数，试证 明：
q
,
p
2
f
(
q
)
?
2
i
?
pf
.(
15
分< /p>
)
?
?
-i
?
?
的本征值和本征函数。
（
15
分）
四、求角动量的
z
分量
I
Z
?
?
?
?
?
i
?
< br>。（
五、试证明在动量表象
中算符的表示为
x
15
分）
?
p
?
1
?
?
0
?
?
?
?
?
?
,
S
?
< br>?
?
?
i
?
?
。（
?
?
?
六、设
?
?
?
，
?
?
。证明
S
15
分）
x
y
?
0
?
?
1
?
2
2
?
?
?
?
?
E
1<
/p>
0
?
a
b
?
0
0
?
?<
/p>
七、在能量表象中
H
?
?
,
且
E
?
E
，
a
,
b
为实数。用微扰公式求
能量至二 级修正值。（
15
分）
1
2
0
?
b
?
< br>E
?
a
2
?
?
?
2
0
?
?
?
?
?
?
?
0
2
0
< br>?
，其中
?
《
1
。写出（
八、体系哈密顿算符的
矩阵表示为
H
1
）微扰哈密顿的矩阵表
示；
?
?
0
2
?
?
?
（
2
）能量至一级修正。
?
?
?
表象中，求（
?
,
S
?
的本
征值和本征态；（
九、在
S
1
）
S
2
）如果粒子处于
S
?
的本征态， 求在此态中
S
的值为
Z
x
y
x
y
2
2
的几
率为多少？
1
?
?
的可能值是多少？
?
?
L
< br>?
?
S
2
?
1
（
S
Z
）
Y
10
(
?
,
?
)
?
?
-
1
（
S
Z
）
Y
11
(
?
,
?
)
?
下，力学量
J
Z
Z
Z
?
?
2
2
?
3
?
1
1
1
?
及力
十一、已经体系处于状
态
?
?
-
?
1
?
?
2
?
?
3
中，
?
1
、
?
2
和
?
3
为态空间中得基矢，体
系哈密顿量算符
H
2
2
2
?
< br>1
0
0
?
?
1
0
0
?
?
?
?
?
?
的矩阵表示分别为：
H
?
?
?
< br>?
0
0
1
?
其中
?
，
?
是正的实数。
?
?
?
?
?
0
2
0
?
，
A
学量
A
0
0
?
0
0< /p>
2
?
?
0
1
0
?
?
?
?
< p>?
求（
1
）对处于
?
态的体系进行能量测量
可测得哪些值？各个值
出现的概率是多少
?
十、求在状态
?
?<
/p>
(
2
)
体系能量的平均值为多
少？（
3
）在
?
态上力学量<
/p>
A
的平均值为多少？
?
?
< br>
南京理工大学
20 05
年硕士研究生入学考试试题
1
、设
?
q
,
p
?
?
i
?
，
f
(
q
)
是
q
的可微函数，试证明：
p
,
f
(
q
)
p
2
?
2
、证明厄米算符的本征
值是实数。
?
?
,
x
?
0
,
?
3
、一粒子在一维势场
U
（
x
）
?
?
0
,
0
?
x
?
a
,
中运动，求粒子的能级
和对应的波函数。
?
?
,
x
?
a
?
4
、证明在
l
的本征态下，
l
?
?
0
。
Z
x
?
?
?
2
fp
。
i
5
、设体系处于
?
?
C
1
Y
11
?
C
2
Y
20
状态（已归一化），求
：
（
1
< p>）l
z
的可测值及平均值；（
2
）
l
2
的可测值及相应的概
率
。
1
3
6
、氢 原子处于状态
?
（
r
,
?
,
?
）
?
?
210
?
?
21
?
1
,
求氢原子能量、角动量
平方及角动
2
2
< br>量
Z
分量的可能值、这些可
能值出现的几率和这些
力学量的平均值。
7
、用测不准关系估算氦
原子的 基态能量。
?
X
?
?
Y
?
?
Z
?
i
8
、证明
?
?
0
1
0
?
?
?
?
2
和
L
?
的共同表象中，算符<
/p>
L
?
的矩阵为
L
?
?
2
?
1
0
1
?
，求它的本征值
9
、设已知在
L
z
x
x
2
?
?
?
0
1
0
?
和本征函数
。
?
a
b
?
10
、设一体系未受微扰作
用时有两个能级：
E
01
和
E
02
，现在受到微扰
H
，
?
?
?
b
a
?
?
作用，
?
?
a
,
b
是实数，求能级至二级
修正 。
11
、求线行谐振子偶级跃
迁选择定则。
2
2
?
和
S
?
的不确定关系：
?
?
?
?
12
、求在自旋态
< br>?
（
s
）中，
S
?
S
?
?
S
?
?
1
z
x
y
x
y
2
13
、质量为
?
的粒子束被球壳势场散
射，
V
（
r
）
?
V
0
?
(
r
?
a
),
< p>在高能近似下，用Born
近似
计算散射振幅和微分
截
面。
南京理工大学
2006
年研究生考试试题
一、填空题。
1
、德布罗意关系为：
< p>2
、写出量子力学五个基
本假设中任意两个：
3
、波函数的标准条件为
：
4
、能量算 符的表达式为
：
动量算符表达式为：
5
、坐标和动量的对易关
系为
?
x
,
p
x
?
?
测不准关系是
?
?
x
?
?
?
?
x
?
?
2
2
6
、对氢原子，不考虑电
子的自旋， 能级的简并
度为：
考虑自旋但不考虑自旋
与轨道角动量的 耦合时
，能级的简并度为：
7
、费米子和玻色子所组
成的全同粒子体系的波
函数分别具有
性。
8
、原子跃迁的选择定则
中角量子数应满足
?
l
?
,
磁量子数应满足
?
m
?
?
?
1
?
x
,
y
,
z
?
?
9
、考虑自旋后，波函数
在自旋空间表示为
?
?
?
?
?
?
x
,< /p>
y
.
z
?
?
?
(
已归一化
)
，则在 态
?
?
2
?
?
G
11
G
12
?
?
下，自旋算符
G
?
?
；对坐标和自旋同时求
平均的
?
G
?
，对自旋的平均可表示
为
G
22
?
?
21
的结果可表示为
。
?
的本征刃
n
组成 完备系，则
n
的封闭性为
10
、算符
Q
?
?
x
，
t
?
?
二、计算题。
?
?
，
x
?
0
,
?
1
、一粒子在一维势场< /p>
U
?
x
?
?
?
0
,
0
< p>?x
?
a
,
中运动，求粒子的 能级
和对应的波函数。
?
?
,< /p>
x
?
a
?
e
2
2
、氢原子处于基态
?
（
r
,
?
,
< br>?
）
?
e
,
求在此 态中：
r
的平均值；势能
-
的平均值；动
3
r
?
a
0
1
?
n
-
?
x
量几率分布函数。附：
?
e
dx
?
0
r
a
0
< br>性和
；
n
在以
x
为 基矢的
x
表象中分量
。
n
！
a
n
?
1
< p>3
、已知氢原子的电子波
函数为
1
3
R
31
?
r
?
Y
11
?
?
,
?
?
?
1
(
s
z
)
?
R
32
（
r
）
Y
20
（
?
，
?
）
?
-
1
< br>（
s
z
）。求在
?
态中测量氢原子
2
2
4
4
能量
E
、
l
2
、
l
z
、
S
2
、
s
z
的可能值和这些力学量
的平均值。
?
?
r
,
?
,
?
,
s
z
?
?
?
0
?
?
0
?
?
?
作用，在
H
?
< br>?
0
?
表象中，
H
?
?
H
?
（
0
）
?
H
?
?
4
、一体系未受微扰时有
三个能级
E
1
0
?
，
E
2
,
3
现受一微扰
H
a
?
?
（
0
< p>）
E
2
b
?
，试用微扰论求能级至
二级修正。
?
（
0
）
b
?
E
3
?
?
，其中
e
，
B
，
< br>?
，
c
为常量。
?
?
eB
S
5
、 一电子的哈密顿算符
为
H
?
c<
/p>
x
?
，
S
?
，
S
?
在<
/p>
S
表象中的矩阵形势；并
写出
S
?
的本征值和本征矢。
（
1
）写出电 子自旋
S
0
x
y
z
，
z
x
?
0<
/p>
?
?
E
1
?
的矩阵表示为
?
0
?
?
?
a
（
2
）求电子的定态薛定谔
方程的解（取
S
z
表象）。
（
）若
t
?
0
时，电子处于< /p>
S
z
?
?
的本征态
?
?
t
?
0
?
?
?
1
（
S
z
），写出
t
时刻的状态
?
（<
/p>
t
）。
2
2
6
、设有均匀电场作用在
电荷为
q
的线性谐振子 上，这个
电场可以看作是微扰，
它与时间的关系
为
?
?
t
?
?
A
e
-
?
?
t
?
2
??
2
?
?
?
-q
?
（
t
）
x
。设在加上电场之前
，其中
A
为常数，
?
?
0
.
微扰哈密顿算符为
H
（即
t
?
-
?
），线性谐振子处于基
态< /p>
?
0
，求电场作用终了时（
即
t
?
?
）线性谐振子被激发到
第一
?
-
?
x
激发态
?
1
的
几率，准确到一级近
似。附：
e
?
dx
?
2
递推公式：
x
?
（
?
?
（
??
）
（
n
?
1
）
2
?
n
?
（
?
n
2
?
n
（
n
< br>x
）
1
x
）
-
1
x
）
?
0
1
?
；
2
?
?
7
、 一束自旋为
1
2
的粒子，相继穿过三个
斯特恩
-
革拉赫实验装置（如图
所示）。
ISGz
< p>可使自旋
?
?
?
< br>S
z
?
?
2
的粒子通过而滤掉
S
z
?<
/p>
-
?
2
的粒子，
S
n
?
n
?
S
。
n
为
xy
平面内与
z
轴成
?
角方向的单位矢量。
而
IIISGz
可使自旋
S
z
?
?
2
的粒子通过而滤掉
S
z
?
-
?
2
的粒子。
?
?
（
1
）求自旋算符
S
n
?
n
?
S
的本征态。
（
2
）求穿过
IIISGn
后 的粒子有多大概率可
以
IIISGz
穿过。
（
3
）如何调整
IIISGn
的方向（即
?
角）使穿过
IIISGz
的粒子数最 多？
南京理工大学
2008
年研究生考试试题
1
、（
1
）当势能
V
（
x
）改变一常量
C
时，即
< p>V(
x
)
?
V
(
x
)
?
C
，粒子的波函数与时间
无关的部分
变化否？粒子的能量本
征值变化否？
（
2
）量子力学有哪些假设
？
?
的不确定度为
?
F
?
2
?
F
?
< br>2
-
F
?
。
2
、利用测不准关系估计
以为线性谐振子的基态
能量。 已知算符
F
3
、求下列算符的对易关
系式 ：
?
P
?
-<
/p>
P
?
L
?
?
？
1
?
L
x
x
x
x
?
?
2
?
P
?<
/p>
?
?
2
?
L
y
x
-
P
x
L
y
?
？
?
P
?
?
?< /p>
3
?
L
z
x
-
P
x
L<
/p>
z
?
？
5
、带有电荷
e
的以为线性谐振子，在
t
?
0
时处于基态，
t
?
0
时处 于方向沿
x
轴正方向的弱电场
4
、证明：
L
?
6
?
，
L
z
?
?
?
的氢原子中的电子，在
?
?
度和
135
度的方向上被发现的概
率最大 。
?
?
?
0<
/p>
e
-
t
?
之中（
?
为大于
0
的常 数），试求该谐振
子在长时间后处于第一
激发态的概率。
?
?
-i
?
?
是厄密算符，波函数
?
（
r
，
?
，
?
< br>）必须满足
6
、证明：为了保证角动
量算符的
z
分量
L
z
?
?
周期性边界条件
?
（
r
，
?
，
?<
/p>
）
?
?
?
r
，
?
，
?<
/p>
?
2
?
?
.
?
1
?
2
2
?
?
7
、在自旋下
?
（
S
）
< p>?，求
?
s
和
?
s
。
1
z
x
y
?
0
?
?
?
2
（
0
）
< br>?
E
b
?
?
表象中，
H
?
?
?
1
?
a
?
a
，
b
为小量，实数），（
< p>8、设在
H
（
1
）用微扰论求 能量的本
征
0
（
0
）
?
b
?
E
2
?
a
?
?
值，准确到二级近似；
（
2
）严格求 解能量的本征
值并与微扰论的计算结
果比较。
9
、设氢原子处于基态，
求电子处于经典力学不
容许区（
E< /p>
-
V
?
T
?
0
）的概率。
?
x
?
-
1
2
10
、试证明
?
?
x
?
?
e
（
2
?
3
x
3
-<
/p>
3
?
x
）是一维线性谐振子的
波函数，并求此波函数
对应
3
?
2
2
的能量本征值。
11<
/p>
、试求从左侧入射的粒
子（
E
?
0< /p>
）在下列势阱壁
x
?
0
处的反射系数 。
12
、设有一束极化电子（
电子极化意指电子自旋
有确定的取向），处于
l
?
0
的状态。 在通过
方向确定的不均匀磁场
后分裂为强度不同的两
束， 其中自旋平行于磁
场方向的一束与自旋反
平行磁场方向的一束之
强度比为
1
:
3
。求该入射的极化电子
束自旋方向与外磁场方
向的夹角大
小。
附：
氢原子的能量本征值为
：
E
n
?
-
氢原子的基态波函数为
：
?
1
?
?<
/p>
e
4
2
?
2
n
2
1
，
n
?
1
,
2
，
3
，
...
e
-
r
?
?
?
< p>3
2
?
2
，波尔半径：
?
?
2
< br>?
e
几个球谐函数：
Y
< br>00
?
Y
20
< br>?
1
，
Y
10<
/p>
?
4
?
3
3
cos
?
，
Y
1
?
1
?
?
sin
2
?
e
?
i
?
4
?
8
?
5
15
（
3
cos
2
?
-
1
），
Y
2
?
1
?
?
sin
?
cos
?
e
?
i
?
，
Y
2
?
2
?
sin
2
?
e
?
i
2
?
16
?
8
?
32
?
?
?
-
1
e
2
?
2
一维线性谐振子的基态
波函数：
?
0
?
x
2
?
xe
1
-
?
2
x
2
2
一维线性谐振子的
第一
激发态波函数：
?
1
?
?
2
n
-
< br>?
x
定积分：
x
?
e
dx
?
0
< br>2
2
?
?
，
?
?
??
?
?
2
n
-
1< /p>
?
！！
2
n
?
1
?
?
2
n
?
1
，（
2
< p>n-
1
）！！
?
1
< p>?3
?
5
?
?
（
?
2
n
-
1
）< /p>
南京理工大学
2009
年研究生考试试卷
一、简要回答下列问题
：
1
、量 子力学中角动量是
如何定义的？地球自转
是否与量子力学中的自
旋 概念相对应
?
2
、波恩近似法的基本思
想 是什么？
1
3
、如果有心力场不是库
< p>仑场（即V
（
r
）不与
成比例 ），则角分布函
数将取什么形式？
r
4
、如何理解波函数必须
满足的标准条件？
5
、在什 么情况下力学量
的测量值具有确定值？
两个不对易的力学量是
否一 定不能同时具有
确定的测量值？
?
均与
A
?
，
B
?
B
?
(
反对易式< /p>
)
，已知
a
?
，<
/p>
B
?
?
A
?
?
B
?
A
?
对易，证明：
?
，
b
二、定义
A
?
?<
/p>
，
B
?
?
A
?
B
?
?<
/p>
B
?
A
?
?
C
?
A
?<
/p>
,
B
?
,
C
?
B
?
C<
/p>
?
,
C
?
,
C
?
?
A
< p>?
（
1
）
A
?
?
?
?
?
?< /p>
?
?
?
?
?
?
B
?
?
?<
/p>
A
?
?
?
A
?
,
b
?
,
B
?
,
B
?
?
?
1
?
a
?
?
?
1
?
a<
/p>
?
?
?
A
?
,
b
?
,
b
(
2
)
?
a
2
2
?
?
?
?
?
?
三、计算受到力
F
?
-kx
?
k
0
(
k
?
m
?
2
)
作用的一个粒子的波函
数和能量允许值。
四、已知
氢原子的电子
波函数为
?
nlmm
（
r
，
?
，
?
，
s
z
）
?
?
1
R
31
（
r
）
Y
< p>11
（
?
，
?
）
?
1
< br>（
s
z
）
2
4
3
R
32
（
r
）
Y
20
（
?
，
?
）
?
-
1
< br>（
s
z
）。求在
?
态中测量氢原子能量
E
，
L
< p>2
、
L
z
、
s
2
、
s
z
的可能值和
2
4
这些力学量的平均值。
?
Axe
-
?
x
，
x
?
0
五、一维运动的粒子处
于状态
?
（
x
）
?
?
之中，其中
?
?
0
，
A
为待求的归一化常
0
，
x
?
0
?
数
，求：
、
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