大学工程制图答案-大学工程制图答案
第
1
次作业
1
、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申
请工作，每家
企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个
学生只能向其中一家企业申请工作；<
/p>
如果一家企业只有一个学生
申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学
生申请，则每个
学生获得工作的概率为
1/2
。现在假定 每家企业的工资满足：
，则问：
．写出以上博弈的战略式描述 ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡） 、 设 古<
/p> 诺 模 型 中 有 厂 商 。 厂 商 产 量 ， ? q q L ? q
W1/2
a
b
2
n
家
q<
/p>
i
为
i
的
Q<
/p>
1
?
2
?
n
为
市场
总产量。
P
为
市
场出
清
价格
，
且
已
知
。
假设 厂商
i
生产
P
?
P
(
Q
)
?
a
< p>?Q
（当
Q
?
a
时，
否则
P
?
0
）
产量
q
i
的总成本为
C
i
?
C
i
(
q
i
)
?
cq
i
，
也就是说没有固定成本且
各厂的边际成本都相同，
为常数
c
(
c
?
a
)
。
假设各厂同时选择产
量
，
该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否
仍然有效？
3
、
两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函
数为
Q
?
100
?
P
，设厂商
1
和厂商
2
都没有固定成本。若他们
在相互知道对方边际成本的情况下，
同时作出产量决策是分别生
产
20
单位和
30
单位。
问这两个厂商的边际成本各是多少？各自
的利润是多少？
4
、
五户居民都可以
在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭
子的收益
v
是鸭子总数
N
的函数，并取决于
N
是否超过某个临
界值
N
；如果
N
?
N
，
收益
v
?
v
(
N
)
?
50
?
N
；如
果
N
?
N
时，
< br>v
(
N
)
?
0
。再假设每只鸭子的成本为
c
?
2
< p>元。若所有居民
同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？
1 / 22
5
、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应
的静态博弈来
表示。
问：
这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这
三对夫
妻的感情状态究竟如何？
矩阵
1
：
丈夫
活着
死了
妻子
活着
1
，
1
0
，
-1
死了
-1
，
0
0
，
0
矩阵
2
：
丈夫
活着
死了
活着
0
，
0
0
，
1
妻子
死了
1
，
0
0
，
0
矩阵
3
：
丈夫
活着
死了
妻子
活着
-1
，
-1
0
，
1
死了
1
，
0
0
，
0
6
两
个
个
体
一
起
参
加
某
项
工
程< /p>
，
每
个
人
的
努
力
程
度
e
i
?
[0,1]
(
i
?
1,
2)
，
成
本
为
c
(
e
i
)<
/p>
(
i
?
1,
2)
，
该
项
目
的
产
出
为
f
(
e
1<
/p>
,
e
2
)
。个体的努力程度不影响到项目的分配方法，项目的
产出在
2< /p>
个体之间均分。试回答以下问题：
2
c
(
e
)
?
e
1
、
如果
f
(
e
1
,
e
2
)
?
3
e
1
e
2
，
i
i
(
i
?
1,
2)
，
试求此博弈的的
均衡（即两个个体选择的
最优努力程度）
。
2
、
如果
f
(
e
1
,
e
2
)
?
4
e
1
e
< br>2
，
c
(
e
i
)
?
e
i
(
i
?
1,
2)
< br>，试求此博弈的的
均衡。
第
2
次作业
< br>1
、企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档
产品或
高档产品，
每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得
益矩阵所示。如
果企业甲先于企业乙进行产品选择并投入生产，
即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的
选择，
而且这一点双方
都清楚。
（
1
）用扩展型表示这一博弈。
2 / 22
（
2
）这一博弈 的子博弈完美纳什均衡是什么？
企业甲
高档
低档
企业乙
高档
500
，
500
700
，
1000
低档
1000
，
700
600
，
600
?
1
?
2
?
?
（
q
?
b
)
2
?
p
，其中
p<
/p>
是企业
1
的价格，
q
是企业
2
的价
2
、两个寡头企 业进行价格竞争博弈，企业
1
的利润函数是
?
（
p
?
aq
?
c
)
2
?
q
< br>，
企
业
2
的
利
润
函
数
是
格。求：
（
1
）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；
（
2
）企业
1
先决策的子博弈完美纳什均衡；
（
3
）企业
2
先决策的子博弈完美纳什均衡；
（
4
）是否存在参数
a
,
b
,
c
的特定值或范围，使
两个企业都
希望自己先决策？
3
、考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业
1
< p>和企业2
目前情况下的生产成本都是
c
?
2
。企业
1
可以引进一项新 技术
使单位成本降低到
c
?
1< /p>
，该项技术需要投资
f
。在企业
1
作出
是否投资的决策（企业
2
可 以观察到）后，两个企业同时选择产
量。
假设市场需求函数为
< p>p
(
q
)
?
14
?
q
，
其中
p
是市场价格，
q
是两个企业的总产量。问上述
投资额
f
处于什么水平时，企业
1
会选择引进新技术？
4
、在市场进入模型中，市场逆需求函数为
p
＝
13
，进入者
和在位者生产的边际成本都为
1
，固定成本为
0
，潜在进入者的
进入成本为
4
。博弈时序为：在位者首先决定产量水平；潜在进
入者在观察到在位
者的产量水平之后决定是否进入；如果不进
入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产
量水平。求解以上
博弈精炼纳什均衡。
5
、
在
三
寡
头
的
市
场
中
，
市
场
的
逆
需
求
函
数
3 / 22
p
?
a
?
Q
,
Q
为三家产量之和
，每家企业的不变边际成本为
c
， 固定成
本为
0
。如果企业
1
首先选择产量，企业
2
和企业
3
观察到企业
1
的产量后同时选择产量，则均衡时的市场价格。
第
3
次作业
1
、两个人合作开发一项产品，能否成功与两 个人的工作态
度有关，设成功概率如下：
努力
偷懒
B
努力
9/16
3/8
偷懒
3/8
1/4
A
再假设成功时每人有
4
单位的利益，失败则双方都没有利
益，
偷懒 本身有
1
单位的利益。
问该博弈无限次重复博弈的均衡
< p>是什么？
?
i
2
、
两
寡
头
古
诺
产
量
竞
争
模
型
中
厂
商
的
利
润
函
数
为
?
q
i
(
t
i
?
q
j
?
q
i
)
，
i
?
1,2
。
若
t
1
?
1
是两个厂商的共同知识，
而
t
2
则是厂商
2
的私人信息，
厂商
1
只知道
t
2
?
3/
4
或
t
2
?
4/5
，
且
t
2
取这两个值的概
率相等。若两个厂商同时选择产量，
请找出
该博弈的纯策略贝叶斯均衡。
3
、两 个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。第
1
个厂商的成本函数为
c
1
?
q
1
，其中
q
1
为厂商
1
的产量。第
2
个厂
< p>商的成本函数为
c
2
?<
/p>
cq
2
，其中
q
2
为厂商
2
的产量，
c
为其常数边
际成本。两个厂商的固定成本都为零。厂商<
/p>
2
的边际成本
c
是厂
商
2
的“私人信息”
，厂商
1
认为
c
在
?
?
4 / 22
1
3
?
,
?
上呈均匀分布。设
市
2
?
2
?<
/p>
场需求函数为
P
?
4
?
q
1
?
q
< br>2
，其中
P
为价格，两个厂商都
以其产量
为纯战略，问纯战略贝叶斯均衡为何？。
4
、两个企业同时决定是否进入一个市场，企业
i
的 进入成
?
i
是服从分布函数
F
(
?
i
)
的随机变量以
本
?
i
?
[
0
,
?
)
是私人信息，
及分布密度
f
(
?
i
)
严格大于零，并且
?
1
和
?
2
两者独立。如果只有
m
一个企业进入，
进入企业
i
的利润函 数为
?
?
?
i
；
如果两个企业
d
都进
入，则企业
i
的利润函数为
?
?
?
i
；如果没有企业进入，
利润为零。假定
?
和
?<
/p>
是共同知识，且
?
>
?
d
>0
，试计算此
d
m
m
博弈的贝叶斯均衡。
5 / 22
博弈论第
1
次作业答案
1
、
a
．写出以上博弈的战略式描述
< p>
学生
B
企业
1
学生
A
企业
1
企业
2
1
1
(
W
1
,
W
2
)
2
2
企业
2
(
W
1
,
W
2
)
(
W
2
,
W
1
)
1
1
(
W
2
,
W
1
)
2
2
b
．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）
存在两个纯战 略纳什均衡：分别为（企业
1
，企业
2
）
，
收益为
(
W
1
,
W
2
)
。
（企业
2
，企业
1
）
，收益为
< p>(
W
2
,
W
1
)
。
存 在一个混合策略均衡：
令学生
A
选择企业
1
的概率为
p
，选择企业
2
的概率为
1
?
p
;
B
选择企业
1
的概率为
< br>q
，
选择企业
2
的概率为
1
?
q
。
当学生
A
以
(
p
,
1
?
p
)
的概率选择时，
学生
B
选择企业
1
的期
望收益应该与选择企业
2
的期望收益相等，即：
1
1
< p>p
.
W
1
?
(
1
?
p
)
W
1
< p>?p
.
W
2
?
(
1
?
p
).
W
2
2
2
解得：
2
W
1
?
W
2
2
W
2
?
W
1
p
?
,
1
?
p
?
W
1
?
W
2
W
1
?
W
2
同理求出：
1
1
q
.
W
1
?
(
1
?
q
)
W
1
?
q
.
W
2
?
(
1
?
q
).
W
< p>2
2
2
解得：
2
W
1
?
W
2
2
W
2
?
W
1
q
?
1
?
q
?
,
W
1
?
W
2
W
1
?
W
2
6 / 22
所
以< /p>
，
混
合
策
略
纳
什
均
衡
为
：
学
< p>生A
、
B
均
以
(
2
W
1
?
W< /p>
2
2
W
2
?
W
1
,
)
的概率选择企业
1
，企业
2
。
W
1
?
W
2
W
1< /p>
?
W
2
2
、
该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是< /p>
否仍然有效？
各厂商的利润函数为：
u
i
?
P
.
q
i
?
C
i
?<
/p>
(
a
?
Q
).
q
i
?
c
.
q
i
?
(
a
?
Q
?
c
).
q
i
?
(
a
?
c
?< /p>
?
q
k
).
q
i
k
?
1
n
求解：
max
u
i
?
m ax
(
a
?
c
?
< br>?
q
k
).
q< /p>
i
q
i
q
i
k
?
1< /p>
n
对其求导，令导数为
0
，解得反 应函数为：
1
q
i
?
[
a
?
c
?
?
q
1
?
q
2
?
...
< p>?q
i
?
1
?
q
i
?
1
?<
/p>
...
?
q
n
?<
/p>
]
2
*
*
*
(
q
< p>,q
,...,
q
纳什均衡
1
2
n
)
,
必是
n
条反应函数的交点
< br>1
*
*
*
q
?
[
a
?
c
?
(
q
2
?
q
3
?
...
?
q
n
)
2
1
*
*
*
*
q
2
?
[
a
?
c
?
(
q
1
?
q
3
?
...
?
q
n
)
2
*
1
.....
1
*
*< /p>
*
q
?
[
a
?
c
?
(
q
1
?
q
2
?
...< /p>
?
q
i
*
?
1
?
q
i
*
?
1
?
...
< p>?q
n
)
2
*
i
......
1
*
*
*
q
?
[
a
?
c
?
(
q
1
?
q
2
?
...
?
q
n
?
1
)
2
*
< br>n
得到：
a
?
c
< br>q
?
q
?
...
?
q
?
n
?
1
，且为唯一的纳什均衡。
*
1
*
2
*
n
7 / 22
当趋向于无穷大时博弈分析无效。
a
?
c
lim
q
?
l im
?
0
，
此时为完全竞争市场，
此时博弈分析
n
?
?
n
?
?
n
?
1
*
i
无效。
3
、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？
设：边际成本不变，为
c
< br>1
，
c
2
。
计算得市场出清价格为：
P
?
P
(
Q
)
?
100
?
Q
?
100
两个厂商的利润函数为：
?
(
q
1
?
q
< br>2
)
u
1
?
P
.
q
1
?
c
1
.
q
1
?
(
P
?
c
1
).
q
1
?
[
100
?
c< /p>
1
?
(
q
1
?
q
2
)].
q
1
u
2
?
P
.
q
2
?
c
2
.
2
?
(
P
?
c
2
).
q
< br>2
?
[
100
?
c
2
?
(
q
1
?
q
2
)].
q
2
求解：
max
u
1
?
max
[
100
?
c
1
?
(
q
1
?
q
2
)].
q
1
q
1
q
1
max
u
2
?
max
[
100
?
c
2
?
(
q
1
?
q
2
)].
q
2
q
2
q
2
对其求导，令导数为
0
，解得 反应函数为：
1
q
< br>1
?
R
1
(
q
2
)
?
(
100
?
c
1
?
q
2
)
2
1
q
2
?
R
2
(
q
1
)
?
(
100
?
c
2
?
q
1
)
2
纳什均衡
(
q
1
,
q
2
)
,
即（
20,30
）为两条反应函数的交点
*
*
1
20
?
(
100
?
c
1
?
30
)
< br>
2
1
30
?
(
100
?
c
< p>2
?
20
)
2
得到：
8 / 22
c
1
?
30
，
c
2
?
20
。
此时：
u
1
?
400
，
u
2
?
900
。
4
、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈 的纳什均衡是
什么？
设居民
i
选
择的养鸭数目为
n
i
(
i
?
1
,
2
,
3< /p>
,
4
,
5
)
，则总数为
N
?
?<
/p>
n
i
?
1
5
i
。
假设：
N
?
N
居民的得益函数为：
u
i
?
V
.
n
< br>i
?
c
.
n
i
?
(
V
?
c
).
n
i
?
(
< p>48?
?
n
i
).
n
i
i
?
1
5
计算：
max
u
i
?
max
(
48
?
?
n
i
).
n
i
u
i
u
i
i
?
1
5
得到反应函数：
1
n
i
?
R
< p>i
?
24
?
(
n
1
?
n
2
?
...
n
i
?
1
?
n
i
?
1
...
?
n
5
)
2
*
*
*
*
*
(
n
,
n
,
n
,
n
,
n
5
、
反应函数的交点
1
2
3
4
5
)
是博弈的纳什均衡。
*
*
*
*
*
(
n
,
n
,
n
,
n
,
n
将
1
2
3
4
5
)
带入反应函数，得：
n
?
n
?
n
?
n
?
n
?
8
。
此时：
*
1
*
2
*
3
*
4
*
5
u
i
?
64
。
此时，
N
?
40
9 / 22
然后讨论下
N
若
N
?
40
，则
N
?
N
，上述博弈成立。
N
若
N
?
40
，则
N
?
[
]
5
5
、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？ 这三对夫妻的
感情状态究竟如何？
矩阵
1
：
丈夫
活着
死了
妻子
活着
1
，
1
0
，
-1
死了
-1
，
0
0
，
0
矩阵
2
：
丈夫
活着
死了
妻子
活着
0
，
0
0
，
1
死了
1
，
0
0
，
0
矩阵
3
：
丈夫
活着
死了
妻子
活着
-1
，
-1
0
，
1
死了
1
，
0
0
，
0
用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：
矩阵
1
：
（活着，活着）
（死了，死了）
可以 看出这对夫妻间感情十分深厚。
这对夫妻同生共死，
一
个
死了，则另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那么
活着的将生不如死。
矩阵
2
：
（活着，活着）
（活着，死了）
（死了，活着）
可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收
10
/ 22
益，一个死了，对于另一个来说反而更好。
矩阵
3
：
（活着，死了）
（死了，活着）
可以看出这对夫妻间感情很槽
糕。
这对夫妻共同活着对双方
来说是生不如死。一个死了，对于另一个来
说反而更好。
2
< br>c
(
e
)
?
e
f
(
e
,
e
)
?
3
e
e
6
、
（
1
）如果
i
i
(
i
?
1,
2)
，试求此
1
2
1
2
，
博弈的均衡（即两个个体选择的最优努力程度）
。
（
2
）如果
f
(
e
1
,
e
2
)
?
4
e
1
e
2
，
c
(
e
i
)
?
e
i
(
i
?
1,
2)
，试求此
博弈的均衡。
（
1
）收益为：
1
3
2
u
?
f
(
e
,
e
)
?
c
(
e
)
?
e
e
?
e
1
2
1
1
2
1
<
/p>
1
2
2
1
3
2
u
?
f
(< /p>
e
,
e
)
?
c
(
e
)
?
e
e
< p>?e
1
2
2
1
2
2
2
2
2
得出反应函数为：
3
e
?
R
(
e
)
?< /p>
e
1
1
2
2
4
3
e
?
R
(
e
)
?
e
2
2
1
1< /p>
4
纳什均衡
(
e
1
,
e
2
)
为两
条反应函数的交点，代入得出：
*
1
*
*
e
?
0
,
e
?
0
< br>
*
2
两个人都不会努力的
（
2
）收益为：
11 / 22