清华大学法学研究生-清华大学法学研究生
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第
1
次作业
1
、考虑一个工作申请的博 弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企
业只有一个工作岗位。
工 作申请规则如下：
每个学生只能向其中一家企业申请工
作；
如果一家企业只有一个学生申请，
该学生获得工作；
如果一家企业有两个学
生申请，则每个学生获得工作的概率为
1/2
。现在假定每家 企业的工资满足：
，则问：
a ．写出以上博弈的战略式描述 b ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括 混合策略均衡 ） 2 、 设古诺模型中有 <
br>家厂商。
W1/2
n
q
i
为厂商
i
的产量，
Q
?
q
1
?
q
2
?
L
?
q
n
< br>为市
场总产量。
P
为市场出清价
格，且已知
P
?
P
(
Q< /p>
)
?
a
?
Q
（当
Q
?
a
时，
否则
P
?
0
）
。假设厂商
i
生产产量
q
i
的总成本为
C
i<
/p>
?
C
i
(
q
i
)
?
cq
< br>i
，也就
是说没有固定成本且各厂的边际成本都相同，<
/p>
为常数
c
(
c
?
< p>a)
。
假设各厂同时
选择产
量，该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有
效？
3
、两
个
厂
商
生
产
一
种
完< /p>
全
同
质
的
商
品
，
该
商
品
的
市
< p>场需
求
函
数
为
Q
?
100
?
P
，设厂商
1
和厂商
2
都没有固定成本。若他们在相 互知道对方
边际成本的情况下，
同时作出产量决策是分别生产
< p>20单位和
30
单位。
问这两个
厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？
4
、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益
v
是鸭
子总数
N
的函数，并取决于
N
是否超过某个临界值
N
；如果
N
?
N
，收益
v
?
v
(
N
)
?
50
?
N< /p>
；如果
N
?
N
时，
v
(
N
)
?
0
。再假设每只鸭子的
成本为
c
?
2
元。若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈
的纳什均衡是什
么？
5
、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表
示。
问：
这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何 ？
矩阵
1
：
妻子
活着
死了
丈夫
活着
1
，
1
-1
，
0
死了
0
，
-1
0
，
0
矩阵
2
：
妻子
活着
死了
丈夫
活着
0
，
0
1
，
0
死了
0
，
1
0
，
0
..
整理分享
..
WORD
完美格式
矩阵
3
：
丈夫
活着
死了
活着
-1
，
-1
0
，
1
妻子
死了
1
，
0
0
，
0
6
、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度
e
i
?
[0,1]
(
i
?
< p>1,2)
，成本
为
c
(
e
i
)
(< /p>
i
?
1
,2)
，
f
(
e
1<
/p>
,
e
2
)
。
个体的努力程度不影响到
项目的分配方法，项目的产出在
2
个体之间均分。试回答以下问题：
1
、如果
2
f
(
e
1
,
e
2
< br>)
?
3
e
1
e
2
，
c
(
e
i
)
?
e
i
(
i
?
1
, 2)
，试求此博弈的的
Nash
均衡（即两个个
体选择的最优努力程度）
。
2
、如果< /p>
f
(
e
1
,
e
2
)
?
均衡。
4
e
1
e
2
，
c
(
e
i
)
?
e< /p>
i
(
i
?
1
,2)
，试求此博弈的的
第
2
次作业
Nash
1
、< /p>
企业甲和企业乙都是彩电制造商，
都可以选择生产低档产品或高档产品，
< p>每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。
如果企业甲先于企业
乙进行产品选择并投入生产，
即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，
而
且这一点双方都清楚。
（
1
）用扩展型表示这一博弈。
（
2
）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？
企业乙
高档
低档
企业甲
高档
500
，
500
1000
，
700
低档
700
，
1000
600
，
600
2
、
两
个
寡
头
企
业
进
行
价
格
竞< /p>
争
博
弈
，
企
业
1
的
利
润
函
数
< p>是
?
1
?
?
（
p
?
aq
?
c
)
2
?
q
，
（
q
?
b
)
< br>2
?
p
，
企业
< p>2的利润函数是
?
2
?
?
其中
p
是企业<
/p>
1
的价格，
q
是企业
2
的价格。求：
（
1
）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；
（
2
）企业
1
先决策的子博弈完美纳什均衡；
（
3
）企业
2
先决策的子博弈完美纳什均 衡；
（
4
）是否存在参数
a
,
b
,
c
的
特定值或范围，使两个企业都希望自己先决
策？
3
、考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企 业
1
和企业
2
目前情况下的生
产成本都是
c
?
2
。
企业
1
可以引进一项新技术使单位成本降低到
c
?
1
，
该项
技术
需要投资
f
。在企业
1
作出是否 投资的决策（企业
2
可以观察到）后，两
个企业同时选择
产量。假设市场需求函数为
p
(
q
)
?
14
?
q
，其中
p
是市场
..
整理分享
< p>..
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价格，
q
是两个企业的总产量。问上述投资额
< br>择引进新技术？
f
< br>处于什么水平时，企业
1
会选
4
、 在市场进入模型中，市场逆需求函数为
p
＝
13-Q
，进入者和在位者生产
的边际成本都为
1
，固定成本为
0
，潜在进入者的进入成本为
4
。博弈时序为：< /p>
在位者首先决定产量水平；
潜在进入者在观察到在位者的产量水平之后决定 是否
进入；如果不进入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。求解以上
博弈精炼纳什均衡。
5
、在三寡头的市场中，市场的逆需求函数
p
?
< p>a?
Q
,
Q
为三家产量之和< /p>
，每
家企业的不变边际成本为
c
， 固定成本为
0
。如果企业
1
首先选择产量，企业< /p>
2
和企业
3
观察到企业
1< /p>
的产量后同时选择产量，则均衡时的市场价格。
第
3
次作业
1
、两个人合作开发一项产品，能否成功与两个人的工作态度有关，设成 功
概率如下：
B
努力
偷懒
A
努力
9/16
3/8
偷懒
3/8
1/4
再假设成功时每人有
4
单位的利益，失败则双方都没有利益，偷懒本身有
1
单位的利益。问该博弈无限次重复博弈的均衡是什么？
2
、
两
寡
头
古
诺
产
量
竞
争
模
型
中
厂
商
的
利
润
函
数
为
?
i
?
q
i
(
t
i
?
q
j
?
q
i
)
，
i
?
1,2
。
若
t
1
?
1
是两个厂商的共同知识，
而
t
2
则
是厂商
2
的私人信息，厂商
1
只知道
t
2
?
3/
4
或
t
2
?
4
/
5
，且
t
2
取这两个
值的概率相等。若两个厂商同时选择产量，请找出该博弈的纯
策略贝叶斯均衡。
3
两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。
第
1
个厂商的成本函
数为
c
1<
/p>
?
q
1
，
其中
q
1
为厂商
1
的产量。
第
2
个厂商的成本函数为
c
2
?
cq
2
，
其中
q
2
为厂商
2
的产量，
c
为
其常数边际成本。两个厂商的固定成本都为零。厂商
2
的
..
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..
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?
1
?
边际成本
c
是厂商
2
的“私人信息”
，厂商
1
认为
c
在
?
,
3
?
上呈均匀分布。
设
?
2
2
?<
/p>
市场需求函数为
P
?
4
< p>?q
1
?
q
2
，其中
P
为价格，两个厂商
都以其产量为纯战略，
问纯战略贝叶斯均衡为何？。
< br>4
、
两个企业同时决定是否进入一个市场，
企业
< p>i的进入成本
?
i
私人信息，
?
i
是服从分布函数
F
(
?
i
)
的随机变量以及分布密度
?
[
< p>0,
?
)
是
f
(
?
i
)
严格大于
零，并且
?
1<
/p>
和
?
2
两者独立
。如果只有一个企业进入，进入企业
i
的利润函数为
?<
/p>
m
?
?
i
；如果两个企业都进入，则企业
i
的利润函数为
?
d
?
?
i
；如果没有企
业进入，利润为零。假定
< br>?
弈的贝叶斯均衡。
m
和
?
d
是共同知识，且
?
m
>
?
>0
，试计算此博
d
..
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..
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博弈论第
1
次作业答案
1
、
a
．写出以上博弈的战略式描述
学生
B
1
1
企业
1
(
2
< br>W
1
,
2
W
2
)
(
W
1
,
W
2
)
学生
A
1
1
(
W
2
,
W
1
)
< br>
企业
2
(
W
2
,
W
1
)
2
2
b
．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡）
?
存在两个纯战略纳什 均衡：分别为（企业
1
，企业
2
）
，收益
为
(
W
1
,
W
2
)
。
（企业
2
，企业
1
）
，收益为
< br>(
W
2
,
W
1
)
。
?
存在一个混合策略均衡：令学生
A
选择企业
1
的概 率为
p
，
选择企业
2< /p>
的概率为
1
?
p
;
学生
B
选择企业
1
的概率为
q
，选择企业
2
的概率为
1
?
q
。
当学生
A
以
< br>(
p
,
1
?
p
)
的概率选择时，学生
B
选择企业
1< /p>
的期望
收益应该与选择企业
2
的期望收益相 等，即：
企业
1
企业
2
1
1
p
.
W
1
?
< p>(1
?
p
)
W
1
?
p
.
W
2
?< /p>
(
1
?
p
).
W
2
2
2
解得：
< br>2
W
1
?
W
2
2
W
2
?
W
1
p
?
,
1
?
p
?
W
1
?
W
2
W
1
?
W
2
同理求出：
1
1
q
.
W
1
?
(
1
?
q
)
W
1
?
q
.
W
2
?
(
1
?
q
).
W
2
2
2
解得：
q
?
..
整理分享
..
2
W
1
?
W
2
2
W
2
?
W
1
1
?
q
?
,
W
1
?
W
2
W
1
?
W
2
WORD
完美格式
所以，
混合 策略纳什均衡为：
学生
A
、
B
均以
(
2
W
1
?
W
2
2
W
2
?
W
1
,
)
W
1
?
W
2
W
1
?
W
2
的概率选择企业
1
， 企业
2
。
2
、
该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否 仍
然有效？
各厂商的利润函数为：
u
i
?
P
.
q
i
?
C
i
?
a
?
Q
).
q
i
?
c
.
q
< br>i
?
(
a
?
Q
?
c
).
q
i
?
(
a
?
c
?
< p>?
q
k
).
q
i
k
?
1
< br>n
求解：
m
ax
u
i
?
max
(
a
?
c
?
?
q
k
).
q
i
q
i
q
i
k
?
1
n
对其求导，令导数为
0
，解得反应函数为：
1
q
i
?
[
a
?
c
?
?
q
1
?
q< /p>
2
?
...
?
q< /p>
i
?
1
?
q
i
?
1
?
...
?
q
n
?
]<
/p>
2
*
*
*
(
q
,
q< /p>
,...,
q
纳什均衡
1
2
n
)
,
必是
< p>n条反应函数的交点
1
*
*
*
*
q
1
?
[
a
?
c
?
(
q
2
?
q
3
?
...
?
q
n
)
2
1
*
*
*
*
q
2
?
[
a
?
c
?
(
q
1
?
q
3
?
. ..
?
q
n
)
< br>
2
.....
1
*
*
*
q
i
*
?
[
a
?
c
?
(
q
1
?
q
2
?
...< /p>
?
q
i
*
?
1
?
q
i
*
?
1
?
...
< p>?q
n
)
2
......
1
*
*
*
q
?
[
a
?
c
?
(
q
1
?
q
2
?
...
?
q
n
?
1
)
2
*
n
得到：
a
?
c
< br>q
?
q
?
...
?
q
?
n
?
1
，且为唯一的纳什均衡。
*
1
*
2
*
n
< br>
当趋向于无穷大时博弈分析无效。
..
整理分享
..
WORD
完美格式
a
?
c
lim
q
?
l im
?
0
，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无
n
?
?
n
?
?< /p>
n
?
1
*
i
效。
3
、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？
设：边际成本不变，为
c
< br>1
，
c
2
。
计算得市场出清价格为：
P
?
P
(
Q
)
?
100
?
Q
?
100
?
(
q
1
?
q
2
)
两个厂商的利润函数为：
u
< br>1
?
P
.
q
1
?
c
1
.
q
1
?
(
P
?
c
1
).
q
1
?
[
100
?
c
1
?
(
q
1
?
q
2
)].<
/p>
q
1
u
2
?
P
.
q
2
?
c
2
.
q
2
?
(
P
< p>?c
2
).
q
2
?
[
100
?
c
2
?
(
q
< br>1
?
q
2
)].
q
2
求解：
max
u
1
?
max
[
100
?
c
1
?
(
q
1
?
q
2
)].
q
1
< br>q
1
q
1
max
u
2
?
max
[
100
?
c
2
< br>?
(
q
1
?
q
2
)].
q
2
q
2
q
2
对其求导，令导数为
0
，解得反应函数 为：
1
q
1
?
R
1
(
q
2
)
?
(
100
?
c
1
?
q
2
)
2
1
q
2
?
R
2
(
q
1
)
?
(
100
?
c
2
?
q
1
< br>)
2
纳什均衡
(
q
1
,<
/p>
q
2
)
,
即（
20,30
）为两条反应函数的交点
*
*
1
20
?
(
100
?
c< /p>
1
?
30
)
2
1
3
0
?
(
100
?
c
2
?
20
)
2
得到：
c
< br>1
?
30
，
c<
/p>
2
?
20
。
..
整理分享
..
WORD
完美格式
此时：
u
< br>1
?
400
，
u
2
?
900
。
4< /p>
、
若所有居民同时决定养鸭的数量，
问该博弈的纳什均衡是什么？< /p>
设居民
< p>i
选择的养鸭数目为
n
i
i
(
i
?
1
,
2
,
3
,
4
,
5
)
，则总数为
N
?
?
n
i
?
1
5
。
假设：
N
?
N
居民的得益函数为：
u
i
?
V
.
n
i
?
c
.
n
i
?
(
V
?
c
) .
n
i
?
(
48
?
?
n
i
).
n
i
i
?
1
5
计算：
max
u
i
?
max
(
48
?
?
n
i
).
n
i
u
i
u
i
i
?
1
5
得到反应函数：
1
n
i
?
R
i
?
24
?
(
n
1
?
n
2
?
n
i
?
1
?
n
i
?
1
...
?
n
5
)
2
*
*
*
< p>**
(
n
,
n
,
n
,
n
,
n
< p>5
、反应函数的交点
1
2
3
4
5
)
是博弈的纳什均衡。
将
(
n
1
,
n
2
,
n
3
,
n
4
,
n
5
)
带入反应函数，得：
*
*
*
*
*
。
1
2
3
4
5
此时：
*
*
*
*
*
< br>n
?
n
?
n
?
n
?
n
?
8
u
i
?
64
。
此时，
N
?
40
然后讨论下
N
?
若
N
?
40
，则
N
?
N
，上述博弈成立。<
/p>
..
整理分享
..
WORD
完美格式
N
?
若
N
?
40
< p>，则
N
?
[
]
5
< br>5
、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情
状
态究竟如何？
矩阵
1
：
妻子
活着
死了
丈夫
活着
1
，
1
-1
，
0
死了
0
，
-1
0
，
0
矩阵
2
：
妻子
活着
死了
丈夫
活着
0
，
0
1
，
0
死了
0
，
1
0
，
0
矩阵
3
：
妻子
活着
死了
丈夫
活着
-1
，
-1
1
，
0
死了
0
，
1
0
，
0
用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：
矩阵
1
：
（活着，活着）
（死了，死了）
可以看出这对夫妻间感情十分深厚。
这对夫妻同 生共死，
一个死
了，则另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那
么活着的将
生不如死。
矩阵
2
：
（活着，活着）
（活着，死了）
（死了，活着）
可以看出这对夫妻间感情一般。
这对夫妻共同活着没有收益，
一
个死了，对于另一个来说反而更
好。
矩阵
3
：
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