打草惊蛇的典故2016福建高考理科数学真题及答案

2016福建高考理科数学真题及答案
注意事项：




1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
A?{x|x?4x?3?0}
，
B?{x|2x?3?0}
，则
AIB?
（1）设集合
3333
(?3,?)(1,)(,3)
(?3,)
2
（B）
2
（C）
2
（D）
2
（A）
【答案】D
（2）设
(1?i)x?1?yi
，其中
x
，
y
是实数，则
x?yi=

（A）1 （B）
2
（C）
3
（D）2
【答案】B
【解析】
试题分析：因为
x(1?i)=1+yi,
所以
x?xi =1+yi,x=1,y?x?1,|x?yi|=|1+i|?
（3）已知等差数列
2,故选B.
{a
n
}
前9项的和为27，
a
10
=8
，则
a
100
=

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
【答案】C
【解析】
?
9a
1?36d?27
,
?
a?9d?8
a??1,d?1,a
100
?a
1
?99d??1?99?98,
试题分析：由已知，
?
1
所以
1
故选C.
（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30 发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发
车站的时刻是随机的，则他等车时 间不超过10分钟的概率是
1123
（A） （B） （C） （D）
3234
【答案】B
【解析】

试题分析：由题 意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，小明到达时间总长度为40，等车不超过
201?
402
，选B. 10分钟，符合题意的是是7:50-8:00，和8:20-8:3 0，故所求概率为
x
2
y
2
（5）已知方程
2
–< br>2
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则
n
的取值范围是
m
+
n
3
m
–
n
（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)
【答案】A
【解析】由题 意知：双曲线的焦点在
x
轴上，所以
m?n?3m?n?4
，解得：
m?1
，因为方程
222
?
n??1
?
1?n?0
x
2
y
2
?
?
??1
n?3
，所以
n
的取值范围是
?
?1,3
?
，故选A．
3?n?0< br>1?n3?n
表示双曲线，所以
?
，解得
?
（6）如图，某几 何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是
28π
，则它的表面积是
3
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π

【答案】A
77428
?
V??
?
R
3
?
833
，解得
R?2
，所【解析】由三视图知：该几何体是8
个球，设球的半径为
R
，则
73
?4
?
?2
2
??
?
?2
2
?17
?
4
以它 的表面积是
8
，故选A．
（7）函数
y
=2
x
–e在[–2,2]的图像大致为

2|
x
|
（A）（B）

（C）

【答案】D
【解析】
（D）
f
?
2
?
?2?2
2
?e
2
?0
，排除A；当
x?
?
0,2
?
1
时，
f
?
x
?
?2x
2
?e
x
，
f
?
?
x
?
?4x ?e
x
，
?
1
?
f
?
??
?2? e
2
?0
f
?
?
0
?
??1?0f
?
?
1
?
?4?e?0
，，
?
2
?，排除B，C．故选D．
（8）若
a?b?10，?c?1
，则
（A）
a
c
?b
c
（B）
ab
c
?ba
c
（C）
alog
b
c?blog
a
c
（D）
log
a
c?log
b
c

【答案】C

（9）执行右面的程序图，如果输入的
x?0，y?1，n?1
，则输出< br>x
，
y
的值满足
（A）
y?2x
（B）
y?3x
（C）
y?4x
（D）
y?5x
【答案】C
【解析】
试题分析：当
x?0,y?1,n?1
时，
x?0?

1? 1
,y?1?1?1
，不满足
x
2
?y
2
?36< br>；
2
2?1113?13
n?2,x?0??,y?2?1?2
，不 满足
x
2
?y
2
?36
；
n?3,x???,y? 2?3?6
，满足
22222
3
x
2
?y
2
?36
；输出
x?,y?6
，则输出的
x,y
的值满足
y ?4x
，故选C.
2
考点：程序框图的应用.
(10)以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A
、
B
两点，交C
的标准线于
D
、
E
两点.已知|
AB
|=< br>42
，|
DE|=
25
，
则
C
的焦点到准线 的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

【答案】B
【解析】
试题分析：如图，设抛物线方程为
y?2px
，
AB,DE
交
x
轴于
C,F
点，则
AC?22
，即
A
点纵坐标
为
22
，则A
点横坐标为
2
44
2222
，即
OC?
，由 勾股定理知
DF?OF?DO?r
，
p
p
p4
AC
2
?OC
2
?AO
2
?r
2
，即
(5)
2
?()
2
?(22)
2
?()
2
，解得
p?4
，即
C
的焦点到准线的距离为4，
2p
故选B.
考点：抛物线的性质.


(11)平面
a
过正方体< br>ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，
a
平面
CB
1
D
1
，
a?
平面
ABCD
=
m
，
a?
平面
ABA
1
B
1
=
n
，则
m
、
n
所成角的正弦值为
(A)
323
1
(B) (C) (D)
223
3
【答案】A
考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角.

12.已知函数
f(x)?sin(
?
x+
?
) (
?
?0，
?
?
轴，且
f(x)
在
??
2
),x??
?
4
为
f(x)
的零点，< br>x?
?
4
为
y?f(x)
图像的对称
?
?< br>5
?
?
，
?
单调，则
?
的最大值为
1836
??
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
【答案】B
【解析】
试题分析：因为
x??
?
4
为
f(x)
的零点，
x?
?
4
为
f( x)
图像的对称轴，所以
??
T
?(?)??kT
，即
44 4
?
2
?
4k?14k?12
?
?
?
5< br>?
?
，所以
?
?4k?1(k?N*)
，又因为
f( x)
在
?
,
T??
?
单调，所以
44
?< br>?
1836
?
5
???
T2
?
，即
?
?12
，由此
?
的最大值为9.故选B.
????
36181222
?


第II卷
本卷 包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~ 第(24)
题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)设向量
a
=(
m
，1)，
b
=(1， 2)，且|
a
+
b
|=|
a
|+|
b
|， 则
m
= .
【答案】
?2

222

222
|a?b|?|a|?|b|
【解析 】由，得
a?b
，所以
m?1?1?2?0
，解得
m??2
.
(14)
(2x?
【答案】
10

x)
5
的展开式中，
x
3
的系数是 .（用数字填写答案）
（15）设等比数列
【答案】
64

满足< br>a
1
+
a
3
=10，
a
2
+
a
4
=5，则
a
1
a
2
…a
n
的最大值为 。
?
a
1
? 8
?
?
?
a
1
?a
3
?10
?< br>a
1
(1?q)?10
?
1
?
?
q?
2
?
a
2
?a
4
?5
a
1
q( 1?q)?5
?
q
?
2
.所以
?
【解析】设等比数 列的公比为，由得，，解得
?
2
a
1
a
2
L
a
n
?aq
n1?2?
L
?(n?1)
1
17< br>?n
2
?n
1
n(n
2
?1)
?8?()? 2
22
6
aaLa
n
2
，于是当
n?3
或
4
时，
12
取得最大值
2?64
.
n
（ 16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙< br>材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产 一件产品A
的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙 材料90kg，则在不超过
600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元。
【答案】
216000

【解析】设生产产品
A
、产 品
B
分别为
x
、
y
件，利润之和为
z
元， 那么
?
1.5x?0.5y
?
150,
?
x?0.3y< br>?
90,
?
?
?
5x?3y
?
600,?
x
…
0,
?
0.
?
?
y
…
①
目标函数
z?2100x?900y
.
二元一次不等式组①等价于
?
3x?y
?
300,
?10x?3y
?
900,
?
?
?
5x?3y
?
600,
?
x
…
0,
?
0.
?
?
y
…
②

作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.

7z77z
y??x
y??x?y??x?
3
，
3900
，
3900
经过点
M
时，将
z?2100x?900y
变形，得平行直线当直线
z
取得最大值.
?
10x?3y?900
?
5x?3y ?600
，得
M
的坐标
(60,100)
. 解方程组
?< br>所以当
x?60
，
y?100
时，
z
max
?2100?60?900?100?216000
.
故生产产品
A
、产品
B
的利润之和的最大值为
216000
元.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17） （本题满分为12分）
VABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别别 为
a
，
b
，
c
，已知
2cosC(acosB+bcosA)?c.

（I）求
C
；
（II）若
c?7,VABC
的面积为
33
，求
VABC< br>的周长．
2

【试题解析】

（18）（本题满分为12分）
如图，在已
A
，
B
，C
，
D
，
E
，
F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为正方形，
AF
=2
FD
，
?AFD?90< br>，且二面角
o
D
-
AF
-
E
与二面角
C
-
BE
-
F
都是
60
o
．

（I）证明平面
ABEF
?
EFDC
；（II）求二面角
E
-
BC
-
A
的余弦值．
【试题解析】

（19）（本小题满分12分）
某公司计划 购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购
买这种零 件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购
买 机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，
得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代 替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记
X
表示2台机器
三年内共需更换的易损零 件数，
n
表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求
X
的分布列；
（II）若要求
P(X?n)?0.5
，确定
n
的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
n?19
与
n?20< br>之中选其一，应选用哪个？
【试题解析】

20. （本小题满分12分）
设圆
x?y? 2x?15?0
的圆心为
A
，直线
l
过点
B
（1, 0）且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
，< br>D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点< br>E
.
（I）证明
EA?EB
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
（II）设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交C
1
于
M
,
N
两点，过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P
,
Q
两点，求
四边形
MPNQ
面积的取值范围.
22
【试题解析】

（21）（本小题满分12分）
已知函数
f
?< br>x
?
?
?
x?2
?
e
x
?a
?
x?1
?
2
有两个零点.
(I)求
a
的取值范围；
(II)设
x
1
，x
2
是的两个零点，证明：+
x
2
<2.
【试题解析】

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，△
OAB
是等腰三角形，∠
AOB
=120°.以⊙
O< br>为圆心，
OA
为半径作圆.
(I)证明：直线
AB
与
O
相切；
(II)点
C
,
D
在⊙
O
上，且
A
,
B
,C
,
D
四点共圆，证明：
AB
∥
CD
.

【试题分析】
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 < br>在直线坐标系
xoy
中，曲线
C
1
的参数方程为（
t
为参数，
a
＞0）
。在以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为 极轴的极坐标系中，曲线
C
2
：
ρ
=cos
θ
.
（I）说明
C
1
是哪种曲线，并将
C
1
的方程化为 极坐标方程；
（II）直线
C
3
的极坐标方程为，其中满足tan=2，若 曲线
C
1
与
C
2
的公共点都在
C
3
上，求
a
。

【试题分析】
【试题解析】 < br>?
x?acost
2
?
22
x?y?1?a
??y?1?asint
23.解：（I）由
?
（
t
为参数）得（< br>a?0
）
所以曲线
由
C
1
表示以
2
?
0,1
?
为zxxk圆心，半径为
a
的圆
222
x?y?2y?1?a?0
得：
x
2
?
?
y?1
?
?a
2
22222
?
?x?y
?
?2
?
sin
?
?1?a?0

y?
?< br>sin
?
因为，zxxk，所以
所以
C
1
22
?
?2
?
sin
?
?1?a?0
的极坐标zxxk方程为
2
?
?4
?
cos
?
< br>?
?4cos
?
（II）由得
22222
?
?x?y x?y?4x?0

x?
?
cos
?
因为，，所以
1?a
2
y?2x?
2
C
1
C
2
4x?2 y?1?a?0
2
所以曲线与曲zxxk线的公共弦所在的直线方程为，即
1?a< br>2
?0
?
?
?
0
?
tan
?
?2
y?2x
0
由，其中
0
满足得，所以
2
，因 为
a?0
，所以
a?1
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（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数
f
(
x
)= ∣
x
+1∣-∣2
x
-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y=
f
(
x
)的图像；
（II）求不等式∣
f
(
x
)∣﹥1的解集。

【试题分析】