爱牙小报全国III卷理科数学2016-2019年高考分析及2020年高考预测

2021年1月5日发(作者：郎子云)

声明：本文档表格式分类设计分析是作者原创（2016年首次上传，此后每年更
新修改 增删），敬请下载学习，未经作者许可，请勿转载，转载必究！

新课标全国
III
卷理科数学2016-2019年高考分析
及2020年高考预测
全国卷类型 使用地区
甲卷（新课标
II
卷） 甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆
乙卷（新课标
I
卷） 福建、河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、山东
丙卷（新课标
III
卷） 云南、广西、贵州、四川、西藏
部分使用全国卷
自主命题
海南新课标
II
卷（语数英），单独命题（政史地物化生）
北京、天津、上海、江苏、浙江
话说天下大势，合久必分，分久必合，中国高考也是如此．2 000年，教育部决定实施分省命
题．十多年后，由分到合．
2019年，除了保留北京、 天津、上海、江苏、浙江实行全科自主命题外，大陆其他省区全部
使用全国卷．
研究发现，新 课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知
识点、考查方法、考查角度 、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国
卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研 究近4年全国高考理科数学
III
卷(丙卷)和高考数学考试说
明，精心分类汇总了全 国卷近4年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共17类）列于
表格之中，按年份排序．高考 题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们
及时解答对照答案，所有解答题的答案 直接列在题目之后，方便查看．
本文档是第三次修订，为了适应不同基础的考生使用，特别新增了选择题和填空题的解法，
1

解法大都体现“小题小做”．
为了帮助同学们研究解答题的压轴题 ，在文档末，附有函数导数和解析几何这两个重要模
块的经典题的解题研究．

一、集合与简易逻辑小题：
1．集合小题：4年4考，每年1题，都是交并补子运算为主，多 与不等式交汇，新定义运算也
有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集 合题进行大幅变动的
决心不大．
年份 题目 答案
A
2
2019年
1.
已知集合
A?
?
?1,0,1 ,2
?
，
B?
?
x|x?1
?
，则
AB?
（

）

A.
{?1,0,1}
B.
?
0,1
?
C.
{?1,1}
D.
?
0,1,2
?

解析：
x
2
?1, ?
?1?x?1
，
∴
B?
?
x?1?x?1
?，则
A?B?
?
?1,0,1
?
，故选
A
．< br>
2018年
1．已知集合
A?
?
x|x?1≥0
?
，
B?
?
0，1，2
?
，则
AB?

A．
?
0
?
B．
?
1
?
C．
?
1，2
?

C
1，2
?
D．
?
0，

解析：AB?｛，12｝，选C

2017年
1．已知集合
A?{ (x,y)x
2
?y
2
?1}
，
B?{(x,y)y?x}
，则
AB
中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0

B
2016年
（1）设集合
S?x(x?2)(x?3)?0,T?x|x?0
，则ST=
????
(A) [2，3] (B)（-
?
，2]
(C) [3,+
?
） (D)（0，2]
2

D
[3,+
?
）
[3,+
?
）

2．简易逻辑小题：4年0考． 这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三
角函数、立体几何交汇，热点就是“充 要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称，思想：
逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一 类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真
假判断，比较复杂．下面举一个全国1卷的例子．
年份 题目 答案
C 2015年
（3）设命题P：
?
n
?
N，
n
2
>
2
n
，则
?
P为
全国2
理
（A）
?
n
?
N,
n
2
>
2
n
（B）
?
n
?
N,
n
2
≤
2
n

（C）
?
n
?
N,
n
2
≤
2
n
（D）
?
n
?
N,
n
2
=
2
n

二、复数小题：4年4考，每年1题，以四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．一般
涉及 考查概念：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等．

年份
2019年
2.
若
z(1?i)?2i
，则
z?
（

）

A.
?1?i
B.
?1?i
C.
1?i
D.
1?i

题目 答案
D < br>解析：
z?
2i2i(1?i)
??1?i
．故选
D
．

1?i(1?i)(1?i)
2018年
2．
?
1?i
??
2?i
?
?

A．
?3?i
B．
?3?i
C．
3?i
D．
3?i

D
3

解析：(1?i) (2?i)?2?i+2i?i
2
?3?i,选D

2017年
2 ．设复数
z
满足
(1?i)z?2i
，则
|z|?

C
C．
2
D．2 A．
1

2
B．
2

2
解析：
z?
2i
2i2
,?z???2

1?i1?i
2

2016年
（2）若
z?1?2i
，则
4i
?

zz?1
C
(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i
解析：
4i4i
??i
，故选C．
zz?1
(1?2i)(1?2i)?1

三、平面向量小题：4年4考，每 年1题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运
算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大（ 与全国其它省份比较）．我认为这样有利于考查向量的
基本运算，符合考试说明．
年份
2019年
题目
13.
已知
a,b
为单位向量，且< br>a?b?0
，若
c?2a?5b
，则
cos?a,c??
__ ___.
解析：因为
c?2a?5b
，
a?b?0
，所以
a?c?2a
2
?5a?b
?2
，
答案
2
3

|c|
2
?4|a|
2
?45a? b?5|b|
2
?9
，所以
|c|?3
，所以
cos?a, c??

a?c22
??

a?c
1?33
4

2018年
13．已知向量
a=
?
1, 2
?
，
b=
?
2,?2
?
，
c=
?
1,λ
?
．若
c∥
?
2a+b
?
，则< br>?
?
________．
1

2
解析：2a?b? (4,2),4
?
?2?
?
?
1

2

2017年
12．在矩形
ABCD
中，
AB?1,AD?2
，动点
P
在以点
C
为圆心且与
BD
相
切的圆上． 若
AP?
?
AB?
?
AD
，则
?
?
?
的最大值为
A．3 B．
22
C．
5
D．2
A
12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆
上．若
AP
=
?

AB
+
?AD
，则
?
+
?
的最大值为
A．3

B．2
2
C．
5

D．2
解析：如图，建立平面直角坐标系

设
A
?
0,1
?
,B
?
0,0
?
,D
?
2,1
?,P
?
x,y
?

5

2016年
uuv
13
uuuv
31
)
,
BC?(,),
则
?
ABC= （3）已知向量
BA?(,
22
22
(A)30 (B) 45 (C) 60 (D)120
0000
A
1331
???
BA?BC3
2222
cos?ABC???
解析： 由题意，得，所以
1?12
|BA||BC|
?ABC?30?
，故选A．< br>
四、三角函数小题：
4年10考．题目难度较小，主要考察公式熟练运用，平移，由 图像性质、化简求值、解三
角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．考三角小题时，一般是一个 考查三角恒等变形或
三角函数的图象性质，另一个考查解三角形．
年份 题目 答案
?
2019年
12.
D
设函数
f(x)?sin(?
x?)(
?
?0)
，已知
f(x)
在
[0, 2
?
]
有且仅有
5
个零
5
点，下述四个结论：
①
f(x)
在
(0,2
?
)
有且仅有
3
个极大值点；

②
f(x)
在
(0,2
?)
有且仅有
2
个极小值点；

6

< br>③
f(x)
在
(0,
?
10
)
单调递增；< br>
1229
,)
.
510
④
?
的取值范围 是
[
其中所有正确结论的编号是（）

A.
①④
B.
②③
C.
①②③
D.
①③④

解析：
?
??
f(x)?sin?
wx?
?
(w?0)
，在
[0,2
?
]有且仅有
5
个零
5
??
点．
?0?x?2?
，
1??1229
?wx??2?w?
，
?w?
，④正确．如图
555510
x
1
,x
2
,x
3
为极大值点为< br>3
个，①正确；极小值点为
2
个或
3
个．
?
②不正确．
??w
?
?
?29
?wx???
，当
w?
当
0?x?
时，时，
5f105
1010
w
? ?
29
?
20
?
49
??
?????
．
1
?
③正确，故选
D
．

2018年
4 ．若
sin
?
?
1
，则
cos2
?
?
3
B
7
C．
?

9
8
9

8
A．
9
B．
7

9
D．
?
7
解析：cos2
?
?1?2sin
2
?
?,选B

9
2018年
9．
△ABC
的内角
A，B，
C
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
△ABC
的面积为
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?

4
A．
π

2
B．
π

3
C．
π

4
D．
π
6

7

1a
2
?b
2
?c
2
a
2
?b
2
?c
2
解析：S=absinC?, cosC?,
242ab

12abcosC
?
?absinC?? tanC?1?,选C
244
2018年
π
??
14．函数
f
?
x
?
?cos
?
3x?
?
在
?
0，π
?
的零点个数为________．
6
??
3
解析：x?[0,
?
]?3x?

?
?[, 3
?
?]，
666
??
3x?
?
6
??
2

?k
?
,k?0,1,2,?零点个数3，可以结合图象
2017年
6．设函数
f(x)?cos(x?
?
)
，则下列结论错误的是（）
3
A．
f(x)
的一个周期为
?2
?
B．
y?f(x)
的图像关于直线
x?
D
8
?
对称
3
C．
f(x?
?
)
的一个零点为
x?
?
6
D．
f(x)
在
(
?
2
,
?
)
单调递减

解析：当
x?< br>?
?
?
5
?
4
?
??
?
?
,
,
?
?
时，
x??
??
，函数在该区间内不单调.
3
?
63
?
?
2
?
选D.
2016年
（5）若
tan
?
?
3
2
，则
cos
?
?2sin2
?
?

4
A
(A)
644816
(B) (C) 1 (D)
252525
解析：由
tan
?
?
3
3434
，得
sin
?
?,cos
?
?
或
sin
?
??,cos
?
??
，
4
5555
161264
?4??

252525
所以
cos
?
?2sin2
?
?
2
8

2016年
（8）在
△ABC
中，
B=
π
，BC边上的高等于
1
BC
,则
cosA=

43
C
（A）
3101010310
（B） （C）
-
（D）
-

10
101010
解析 ：设
BC
边上的高线为
AD
，则
BC?3AD
，
所以
AC?AD
2
?DC
2
?5AD
，
AB?2A D
．
由余弦定理，
AB
2
?AC
2
?BC2
2AD
2
?5AD
2
?9AD
2
10
知
cosA?
，故选C．
???
2AB?AC10
2?2AD?5 AD

学*科*网Z*X*X*K]
[来源:
2016年
（14） 函数
y?sinx?3cosx
的图像可由函数
y?sinx?3cosx
的 图像至
少向右平移________个单位长度得到．
2
?

3< br>解析：
y?sinx?3cosx?2sin(x?)
，
y?sinx?3co sx?2sin(x?)
＝
2sin[(x?
?
3
?
3???
)?]
，所以函数
y?sinx?3cosx
的图像可由函数33
??
个单位长度得到．
3
y?sinx?3cosx
的图像至少向右平移

五、立体几何小题:

4年6考（不包括三视图，已删去），球体是基本的几何体，是 发展空间想象能力的很好载体，是新课标的
热点，主要计算体积和表面积．“点线面”在小题中频繁考查 ，但是难度不大．

年份 题目 答案
2019年
8.
如图， 点
N
为正方形
ABCD
的中心，
△ECD
为正三角形，平面
ECD?
平面
ABCD
，
B
M
是线段
ED
的中点，则（

）

A.
BM?EN
，且直线
BM
，
EN
是相交直线

B.
BM?EN
，且直线
BM
，
EN
是相交直线< br>
9

C.
BM?EN
，且直线
B M
，
EN
是异面直线

D.
BM?EN
，且直线< br>BM
，
EN
是异面直线



解析：如图所示，

作
EO?CD
于
O
，连接ON
，过
M
作
MF?OD
于
F
．
连
BF
，平面
CDE?
平面
ABCD
．
EO?CD,EO?
平面
CDE
，
?EO?
平面
ABCD< br>，
MF?
平面
ABCE
，
??MFB
与
? EON
均为直角三角形．设正方形边长为
2
，易知
EO?3,0N?1EN? 2
，
MF?
35
,BF?,?BM?7
．
?BM?EN< br>，故选
B
．
22

2019年
16.
学 生到工厂劳动实践，利用
3D
打印技术制作模型，如图，该模型为长方体118
．8< br>
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1< br>挖去四棱锥
O?EFGH
后所得的几何
体，其中
O
为长方体的 中心，
E,F,G,H
分别为所在棱的中
点，
AB?BC?6cm
，
AA
1
?4cm
.
3D
打印所用的材料密度
为0.9gcm
，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质
3
10

量为
__________
g
.
解析：由题意得，

S
EFGH
?4?6?4??2?3?12cm
，
四棱锥
O?EFG
的高
3cm
，

∴
V< br>O?EFGH
?
1
2
2
1
?12?3?12cm2
．
3
2
又长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的体积为
V
2
?4?6?6 ?144cm
，
2
所以该模型体积为
V?V
2
?V
1
?144?12?132cm
，其质量为
0.9?132?118.8g
．

2018年
10．设
A，B，
B
C，D
是 同一个半径为4的球的球面上四点，
△ABC
为等边三角形且其面
积为
93< br>，则三棱锥
D?ABC
体积的最大值为
A．
123
B．
183
C．
243
D．
543

解析：设?ABC的边长为a,则
3
2
a=93?a?6,
4
?AB C的外心O
1
，则O
1
A=23，?O
1
O=2，

当D在O
1
O的延长线上时，D-ABC体积最大，
1
最大值为 ?93?（4+2）=183，选B
3
2017年
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱
B
的体积为
A．
π
B．
3π

4
C．
π

2
D．
π

4
解析：画出圆柱的轴截面
AC?1,AB?
3
1
，所以
r?BC?
，那么圆柱的体积是
2
2
2
?
3
?
3
2
V?
?
rh?
?
?
?
? 1?
?
，故选B.
?
?
2
?
4
??
11

2017年
16．
a,b
为空间中两条互相垂直的直线，等 腰直角三角形
ABC
的直角边
AC
所在直线与
②③

a,b
都垂直，斜边
AB
以直线
AC
为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线
AB
与
a
成
60
角时，
AB与
b
成
30
角；
②当直线
AB
与
a
成
60
角时，
AB
与
b
成
60
角 ；
③直线
AB
与
a
所成角的最小值为
45
；
④直线
AB
与
a
所成角的最大值为
60
．
其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）

正确的说法为②③.

12

2016年
(10) 在封 闭的直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
内有一个体积 为
V
的球，若
AB?BC
，
AB?6
，
B
BC?8
，
AA
1
?3
，则
V
的最大值是
（A） 4π （B）

9
?
32
?
（C）6π （D）
2
3
解析：要使球的体积
V
最 大，必须球的半径
R
最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底
面都相切时，球的半径取 得最大值
选B．
4
3
43
3
9
3
，此时 球的体积为
?
R?
?
()?
?
，故
3322
2
六、推理证明小题：4年0考，但是全国2卷考了，但也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的逻辑推理题，但这是个信号．2003年全国高考曾经出过一道把直角三角形的勾股定理
类比到四面体的小题，这个题已经是教材的一个例题；上海市是最喜欢考类比推理的，上海市2000
年 的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已进入教材习题．这类题目不会考察“理
论概念”问 题，估计是交汇其他题目命题，难度应该不大．适当出一道“类比推理”的小题是值
得期待的．
年份 题目 答案
A 2019年全
（5）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
国2文
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由
高到低的次序为（ ）
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
解法一：（直接法）由题意，可把三人的预测简写如下：
甲：甲＞乙．乙：丙＞乙且丙＞甲．丙：丙＞乙．∵只有一个人预测正确，
13

∴分析三人的预测，可知：乙、丙的预测不正确．
如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意．
如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙＞乙，乙＞甲，
∵乙预测不正确，而丙＞乙正确，∴只有丙＞甲不正确，
∴甲＞丙，这与丙＞乙，乙＞甲矛盾．
不符合题意．∴只有甲预测正确，乙、丙预测不正确，
甲＞乙，乙＞丙．故选A．
解法二（验证法）排除验证法，假设A正确，“甲的成绩比乙高” 正确，
“丙的成绩比乙和甲的都高”错误，“丙的成绩比乙高”错误，故选A

2017年全
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们
D
国2
四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的
成绩，给丁看甲的成绩．看后甲 对大家说：我还是不知道我的成绩．根据
以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人 良
好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结
果，故选D． 2016年全
（13）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走1和3

国2
一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不 是2”，乙看
了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的
数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是
解析

：由题意得：丙不拿（
2
，
3
），

14

若丙（
1
，
2
），则乙（
2，
3
），甲（
1
，
3
）满足，

若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，故甲（1，3）．

七、概率小题：
4年2考,难度较小.下表列上了全国2的部分考题。
年份 题目 答案
《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典
C 2019年
3.
《西游记》
小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查 了
100
名学生，其
中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有
90
位，阅读过《红楼梦》的学生共有
80
位，
阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的 学生共有
60
位，则该校阅读过《西游记》的学
生人数与该校学生总数比值的估计值为 （

）

A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
解析：由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为
90 -80+60=70
，则其与该校学生人数之
100=0.7
．故选
C
．

比为
70÷
2018年
8．某群体中的每位成员使用移动支 付的概率都为
p
，各成员的支付方式相互独立，设
X
P
?
X ?4
?
?P
?
X?6
?
，
DX?2.4
， 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则
p?

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
B
解析：X
64
B(10,p),DX=1 0p(1?p)=2.4,p=0.4或0.6
4622
46
P(X=4)=C
10
(1?p)
6
p
4
?C
10
(1?p)4
p
6
?P(X?6)
(1?p)p?(1?p)p?(1?p)?p? p?0.5
?p?0.6,选B


2017年
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的
D
全国2
安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
15

222解析：
C
3
C
4
A
2
?36
,故选D．
2016年
（10）从区间
全国2
，…，
C
随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，
，其中两数的平方和小于1的数对共有m个， 则用随机模拟的方
法得到的圆周率 的近似值为
（A） （B） （C） （D）
???，n
?
在如图所示方格中，而平方和小于
1
的点均在

解析：由题意得：
?
x
i
，y
i
?
?i?1，2，
π
如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知
4
?m
，∴
1n
π
?
4m
，故选
C
．
n
一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的
2014年
5. 某地区空气质量监测资料表明，
概率是0.6，已知某天的空气质量为优良， 则随后一天的空气质量为优良的概率是
全国2
A
（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
解析：设某 天空气质量优良，则随后一个空气质量
也优良的概率为p,则据题有0.6?0.75?p,解得p?0 .8,故选A.

2013年
15．从
n
个正整数1,2，…，n
中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概
8
1
全国2
率为，则
n
＝__________.
14
解析：从1,2，…， n中任取两个不同的数共有
C
n
种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2
种，所以
2
21
241
?
，即，解得n＝8
??
2
n?n?1?
C
n
14
n?n?1?14
2

16

八、统计小题：
4年 2考．其实统计考个小题比较好的，各地高考及模拟高考小题居多．因为这个考点内容
实在太多：频率分 布表、直方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、
回归分析、独立性检验、二 项分布、正态分布等．
年
份
题目
答案
201
3．某 城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至
A
7年
2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
解析：由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；本题选择A选项.
201
（ 4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低
D
6年
气温的雷达图。
图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月 的平均最低气温约为5C。下面
叙述不正确的是
00
17

(A) 各月的平均最低气温都在0C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温
差大
(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于20C的月份有5个

0
0

九、数列小题：
全国3理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不 再考小题，不
考解答题时，就考两个小题，交错考法不一定分奇数年或偶数年．
年份 题目 答案
2019年
5.
C

已知各项均为正数的等比数列
{a
n
}
的前
4
项和为
15
，且
a5
?3a
3
?4a
1
，则
a
3
?（）
A.16 B.8 C.4 D.2
?
a
1
?a
1
q?a
1
q
2
?a
1
q
3
?15,
解析：设正数的等比数列
{a
n
}< br>的公比为
q
，则
?
4
，
2
?
a< br>1
q?3a
1
q?4a
1
?
a
1
? 1,
2
解得
?
，
?a
3
?a
1
q ?4
，故选
C
．

?
q?2
18

2019年
S
10
n
?
_______.

14.
记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前项和，若
a
1
?0
，
a
2
?3a
1
，则
S< br>5
S
10
?
S
5
4
解析：因
a< br>2
?3a
1
，所以
a
1
?d?3a
1
，即
2a
1
?d
，所以
10?9
d
100a1
2
??4
．

5?4
25a
1
5a
1
?d
2
2017年
9．等差数列
{a
n
}
的首项为1，公差不为0．若
a2
,a
3
,a
6
成等比数列，则
{a
n
}
前6项的和
A
10a
1
?
为
A．-24 B．-3 C．3 D．8

2017年
13．设等比数列
{a
n
}
满足
a
1
?a
2
??1,a
1
?a
3
??3
，则
a
4
?
______ __．
-8
?
?
a
1
?1
?
a
1
?
1?q
?
??1
3
解析：
?
，解得：
?
，则
a
4
?a
1
q??8

2
?
q??2
?
?
a
1
?
1?q
?
??3

2016年
（12）定义“规范01数列”{a
n
}如下：{a
n
}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对
C 任意
k?2m
，
a
1
,a
2
,
数列” 共有
（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个
,a
k
中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01
解析：由题意，得 必有
a
1
?0
，
a
8
?1
，则具体的排法 列表如下：
19

十、圆锥曲线小题：
4年9考。太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆< br>锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一,一般一个容易的，一个较难的．
年份
2019年
题目
x
2
y
2
10.
双曲 线
C：??1
的右焦点为
F
，点
P
在
C
的 一条渐近线上，
O
为坐标
42
原点
.
若
PO?PF
，则
△PFO
的面积为（

）

答案
A
A.
3232
B. C.
22
D.
32

42
6
，又< br>P
2
解析：由
a?2,b?2,c?a
2
?b
2?6,
在
C
PO?PF,?x
P
?
的一条渐近线上，不 妨设为在
y?
b
x
上，
a
?S
△PFO
?
11332
，故选
A
．

OF?y
P
??6??
2224
20

2019年
x
2
y
2
15.
设< br>F
1
,F
2
为椭圆
C:??1
的两个焦点，
M
为
C
上一点且在第一象限，
3620
若
△MF
1
F
2
为等腰三角形，则
M
的坐标为
___________ ___.
22222
?
3,15
?

解析：由已知可得
a?36,b?36,?c?a?b?16,?c?4
，
?MF
1
?F
1
F
2
?2c?8
．∴
MF
2
?4
．
设点
M
的坐标为
?
x
0
,y
0
??
x
0
?0,y
0
?0
?
，则
S
△MF
1
F
2
?
又
S
△MF
1
F
2
?
2
x
0
??36
1
?F
1
F
2
?y
0
?4y0
，
2
1
?4?8
2
?2
2
?41 5,?4y
0
?415
，解得
y
0
?15
， 2
2
?
15
?
20
，
M
的坐标为3,15
?1
，解得
x
0
?3
（
x
0
??3
舍去）
??
A
2
2018年
6．直线< br>x?y?2?0
分别与
x
轴，
y
轴交于
A
，
B
两点，点
P
在圆
?
x?2
?
?y
2
?2
上，则
△ABP
面积的取值范围是
A．
?
2，6
?

8
?
B．
?
4，
?
32
?
32
?
C．
?
?< br>2，
?
D．
?
22，
?

解析：圆心(2 ,0)到直线x?y?2?0的距离为d?
4
=22，
2
半径r=2，?P到 AB的距离的取值范围是[2,32],又AB=22

11
?面积范围[?22?2,?22?32],即[2,6],选A
22
2018年
x
2
y
2
b?0
）的左 、右焦点，
O
是坐标11．设
F
1
，F
2
是双曲线
C：
2
?
2
?1
（
a?0，
ab
原点．过
F
2
作
C
的一条渐近线的垂线，垂足为
P
．若
PF
1
?6OP
，则
C
的离心率为
C
A．
5
B．2 C．
3
D．
2

最快的解法是：记忆
F
2
到一条渐近线的距离等于
b
，而< br>OF
2
?c
，设
21

|OP|?1
，
PF
1
?6
，
延 长PO到M，使得O为PM的中点，则
PF
1
MF
2
为平行四边形，
记住：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和，则
2
2
?(2c )
2
?2[(6)
2
?b
2
]
，
又由勾股定理
c?b?OP?1
，
222
可解得
c?3, b?2,?a?1?e?
c
?3,选C

a
2018年
1 6．
1
?
和抛物线
C：y
2
?4x
，已知点
M
?
?1，
过
C
的焦点且斜率为
k
的直线与C
交
于
A
，
B
两点．若
∠AMB?90?，则
k?
________．
2
解析：设x?my?1,联立y2
?4x得y
2
?4my?4?0,
y
1
y
2
??4,y
1
?y
2
?4m,代入(x
1
?1)( x
2
?1)?(y
1
?1)(y
2
?1)
2
y
1
2
y
2
?(?1)(?1)?(y
1
?1) (y
2
?1)?0得
44
1
4m
2
?4m?1?0 ,m?,?k?2
2

2017年 B
x
2
y
2
5
5．已知双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b? 0)
的一条渐近线方程为
y?x
，且
ab
2
x
2< br>y
2
与椭圆
??1
有公共焦点．则
C
的方程为（）
123
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
??1
B．
??1
C．
??1
D．
??1

810455443
b3
?,c?3
，又
a
2
?b
2
?c
2
，解得
a
2
?4,b
2
?5
，
a2
解析：
x
?
y
2
??1
. 则
C
的方程为
45
22

x
2
y
2
2017年
10．已知椭圆C:
2
?
2
?1
（
a?b?0
）的左、右顶点 分别为
A
1
,A
2
，且以线段
A
1
A2
ab
为直径的圆与直线
bx?ay?2ab?0
相切，则
C< br>的离心率为（）
A
A．
6

3
B．
3

3
2
C．
2

3
D．
1

3
解析：以线段
A
1
A
2
为直径的圆是
x?y?a
，直线
bx?ay?2ab?0
与圆相切，
所以圆心到直线的距离
d?
22
2ab
a
2
?b
2
?a
，整理为
a
2
?3b
2
，即
c6< br>c
2
2
，故选A.
a?3
?
a?c
??2a?3c
，即
2
?
，
e??
a3
a3
22222
2016年
x
2< br>y
2
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：
2
?
2
?1(a?b?0)
的左焦点，A，B
ab
分别为C的左，右顶点.P为C上一点， 且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交
于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则 C的离心率为
（A）
A
1
3

（B）

1
2

（C）

2
3

（D）

3

4

2016年
（16） 已知直线
l
：
mx?y?3m?3?0
与圆
x
2
? y
2
?12
交于
A,B
两点，过
4
A,B
分别做
l
的垂线与
x
轴交于
C,D
两点，若





，则
|CD|?
_____________.
解析：因为
|AB|?23
，且圆的半径为
23
，所以圆心
(0,0)
到直线
23

2
mx?y?3m?3?0
的距离为
R?(
|AB|
2
|3m?3|
)?3
，则由
?3
，
2
2
m?1
解得
m??
33
x?23
，所以直线l
的倾，代入直线
l
的方程，得
y?
33
斜角为
30?
，由平面几何知识知在梯形
ABDC
中，
|CD|?
|AB |
?4
．
cos30?

十一、函数小题：
4年10考，可见其重要性！主要考查基本初等函数图象和性质，包括：定义域、最值、单
调性、奇偶性 、周期性、对称性、平移、导数、切线、定积分（理科）、零点等，分段函数是重要
载体！函数已经不是 值得学生“恐惧”的了吧？
年份
2019
年
题目
6.
已知曲线
y?ae
x
?xlnx
在
(1 ,ae)
处的切线方程为
y?2x?b
，则（

）

答案
D
A.
a?e,b??1
B.
a?e,b?1
C.
a?e
?1
,b?1
D.
a?e
?1
,b??1

x
解析：
y
?
?ae?lnx?1,
k?y
?
|
x?1
?ae?1?2
，
?a?e
?1
，将
(1,1)
代入
y?2x?b
得
2?b?1,b??1
，故选
D
．

2019
年
2x
3
7.
函数
y?
x在
[?6,6]
的图像大致为（）

?x
2?2
B

2x
3
2(?x)
3
2x
3
解析：设< br>y?f(x)?
x
，则
f(?x)?
?x
??
x??f(x)
，所
2?2
?x
2?2
x
2?2
?x
24

3
2?4
以
f(x)
是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项
C
．又
f(4)?
4
?0,
?4
2?2
2?6
3
排除选项
D
；
f(6)?
6
?7
，排除选项
A
，故选
B
．
?6
2?2
2019
年
（0,??）
11.
设< br>f(x)
是定义域为
R
的偶函数，且在单调递减，则（）

2 2
33
??
??
11
A.
f(log
3
) ?f(2
2
)?f(2
3
)
B.
f(log3
)?f(2
3
)?f(2
2
)

44
2
3
?
?
11
C.
f(2)?f(2)?f(log3
)
D.
f(2
3
)?f(2
2
)?f(log
3
)
44
?
3
2
?
2< br>3
C

解析：
f
?
x
?
是
R
的偶函数，
?f
?
log
3
?
?f
?
log
3
4
?
．
4
?
0
?3
2
?
3
2
?
?
1
?
log
3
4?log
3
3?1,1?2?2,?log
3
4?2< br>递减，
3
?
?
?
?
2
?
?
∴
f
?
log
3
4
?
?f
?
2
3
?
?f
?
2
2
?
，
?f
??
??
?2
?
2
3
，又
f
?
x
?
在
(0
，
+∞)
单调
2
?
? ?
?
?
3
?
1
??
3
2
2?f2 ?flog
??
??
?
3
?
，故选
4
??
??
??
2018
年
C
．

42
7．函数
y??x?x?2
的图像大致为
D
25

解析：根据x?2时，y=-1+1+2?0,可以排除A，B< br>而图象显然中间不会“水平”，排除C，选D

2018
年
12．设
a?log
0.2
0.3
，
b?log
2
0.3< br>，则
A．
a?b?ab?0

C．
a?b?0?ab











B．
ab?a?b?0

D．
ab?0?a?b

B
解析：a?log
0.20.3?0,b?log
2
0.3?0,ab?0,
a?b?log
0. 2
0.3?log
2
0.3?
?
1
log
0.3< br>0.2
?
1
，
log
0.3
2
log0.3
0.2?log
0.3
2log
0.3
0.4
? ?0
log
0.3
0.2log
0.3
2log
0.30.2log
0.3
2
a?b11
???log
0.3
0.2?log
0.3
2?log
0.3
0.4?log
0.30.3?1

abab
又ab?0,?a?b?ab?ab?a?b?0.选B
2018
年
1
?
处的切线的斜率为
?2
，则
a?
______ __． 16．曲线
y?
?
ax?1
?
e
在点
?< br>0，
x
-3
x

解析：y
?
?e (ax?1?a),y
?
|
x?0
?1?a??2,a??3

26

2017
年
11．已知函数
f( x)?x
2
?2x?a(e
x?1
?e
?x?1
)
有唯一零点，则
a?
（）
C
A．
?
1

2
B．
1

3
C．
1

2
D．1


2017
年
?
x?1， x?0，
1
15．设函数
f(x)?
?
x
则满足
f (x)?f(x?)?1
的x的取值范围是
2
?
2，x?0，
1(?,??)
4

_________。

2016
年
（6）已知
a?2
，
b?4
，
c?25
，则
（A）
b?a?c
（B）
a?b?c
（C）
b?c?a
（D）
c?a?b

4
3
3
4
1
3
A
27

（6）已知
a?2
，
b?4
，
c?25
，则
（A）
b?a?c
（B）
a?b?c

（C）
b?c?a

（D）
c?a?b

解析：∵
a?2?4?4?b
，
c?25?5?4?a
，∴
b?a? c
，选A．

4
3
2
3
2
5
1< br>3
2
3
2
3
4
3
2
5
1< br>3
2016
年
（15）已知
f
?
x
?为偶函数，当
x?0
时，
f(x)?ln(?x)?3x
，则曲线
y?f
?
x
?
在点
(1,?3)
处的切线方程是____ _______。
y??2x?1


十二、排列组合二项式定理： 4年3考，在全国各卷中二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率
统计和分布 列中考查．排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难
题无数，只要处理 好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多.

年份
2019年
题目
4.
(1?2x
2
)(1?x)
4
的展开式中
x
3
的系数为（）

A.12 B.16 C.20 D.24

31
3
解析：由题意得x
的系数为
C
4
?2C
4
?4?8?12
，故 选
A
．

答案
A
2018年
2
?< br>4
?
5．
?
x
2
?
?
的展开式中< br>x
的系数为
x
??
5
C
A．10 B．20 C．40 D．80
28

2
rrr10?3r解析：T
r+1
=C
5
(x
2
)
5?r
()
r
?C
5
2x,10?3r?4,r?2,
x

rr22
C
5
2?C
5
2?40,选C
2017年
4．
(x?y)(2x?y)
5
的展开式中
x
3
y
3
的系数为（）
A．-80 B．-40 C．40 D．80

C


十三、三角函数大题和数列大题：
在全国3卷中每年只考一个类型，交错考法不分奇偶数年．不考的那一个一般用两道小题代
替．三角函数 大题侧重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图
象和性质．数列一般考 求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降
低，题目难度小．交错考法不一 定分奇数年或偶数年．
年份
2019年
题目及答案
18.
（
12
分）

△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
，已知
asin
（1
）求
B
；

A?C
=bsinA
.
2
（
2
）若
△ABC
为锐角三角形，且
c?1
， 求
△ABC
面积的取值范围
.
解：（
1
）根据题意
asin
A?CA?C
?bsinA
由正弦定理得
sinAsin?sin BsinA
，因为
22
A?C
?sinB
。
0?A??
，故
sinA?0
，消去
sinA
得
sin
2
29

A?CA?CA?C
?
?
因为故
?B
或者
?B?
?
，而根据题意
A?B?C?
?< br>，
222
A?CA?C
?B?
?
不成立，所以
?B< br>，又因为
A?B?C?
?
，代入得
3B??
，所以故
22
0?
B
，
0?
B?
?
3
.
(2)
因为
VABC
是锐角三角形，又由前问
B?
?
3，
?
6
?A,C?
?
2
，
A?B?C?
?
得到
12
2
??
ac
?
A?C?
?< br>，故
?C?
又应用正弦定理，，由三角形面积公式有
sinAsinC
25
62
3
11
2
a1
2
sinA3
?a c?sinB?c?sinB?c?sinB??
ABC
22c2sinC4
2
?
2
?
sincosC?cossinC
332
?
2?
33
.
又因
33
????(sincotC?cos)?co tC?
4sinC43388
S
sin(
2
?
?C)
3
sinC
?
6
?C?
?
2
,
故
33
?
3
?cot??S
8828
33
,)
< br>82
ABC
3
?
33
3
，故
?cot??< br>?S
8682
8
ABC
?
3
.
2
故
S
ABC
的取值范围是
(
2018年
17．（12分）等比数列
?
a
n
?
中，
a
1< br>?1，a
5
?4a
3
．
（1）求
?
a
n
?
的通项公式；
（2）记
S
n
为
?
a
n
?
的前
n
项和． 若
S
m
?63
，求
m
．
n?1
解：（1 ）设
{a
n
}
的公比为
q
，由题设得
a
n
?q
.
由已知得
q?4q
，解得
q?0
（舍去） ，
q??2
或
q?2
.
42
n?1n?1
故a
n
?(?2)
或
a
n
?2
.
（2 ）若
a
n
?(?2)
n?1
1?(?2)
n
m，则
S
n
?
.由
S
m
?63
得
(?2)??188
，
3
30

此方程没有正整数解.
n?1n
m
若
a
n
?2
，则
S
n
?2?1
.由
S
m
?63
得
2?64
，解得
m?6
.
综上，
m?6
.
2017年
17．（12分）
?AB C
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
sin A?3cosA?0,a?27,b?2

（1）求
c
；
（2）设
D
为
BC
边上一点，且
AD?AC
，求
△ABD< br>的面积．

解：（1）由已知可得
tanA??3
，所以
A ?
2
?

3
2
?
，即
c
2
?2c?24?0
3
在
?ABC
中，由余弦定理得
28?4?c?4ccos
2< br>解得
c??6
（舍去），
c?4

（2）由题设可得
?CAD?
?
2
，所以
?BAD??BAC??CAD?
?
6

1
?
ABADsin
26
?1
故
? ABD
面积与
?ACD
面积的比值为
1
ACAD
2
又
?ABC
的面积为
1
?4?2sin?BAC?23
，所以
?ABD
的面积为
3

2
2016年
（17）（ 12分）
已知数列




的前n项和

，


（I）证明




是等比数列，并求其通项公式
31
?


，其中
?
0

（II）若




，求
?

解：（Ⅰ）由题意得
a
1
?S
1
?1?
?
a
1
，故
?
?1
，
a
1
?
1
，
a
1
?0.
1?
?
由
S
n
?1?
?
a
n
，
S
n?1
?1?
?
a
n?1
得a
n?1
?
?
a
n?1
?
?
a
n
，即
a
n?1
(
?
?1)?
?
an
.由
a
1
?0
，
?
?0
得
a
n
?0
，所以
a
n?1
?
?
.
a
n
?
?1
因此
{a
n
}
是首项为1
?
1
?
n?1
，公比为的等比数列，于是
a
n
?()
．
1?
??
?1
1?
??
?1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
S
n
?1?(
解得
?
??1．

?
5
1
31
?
5
31
得
1?(
，即
(
，
)?
)
n
，由
S
5
?
)?
32
32
?
?132
?
?1
?
?1
?

十四、立体几何大题：
4年4考，每年 1题．第1问多为证明平行垂直问题，第2问多为计算问题，求空间角较
多；特点：证明中一般要用到初 中平面几何的重要定理．平行的传递性考查较多．

年份
2019年
题目及答案
19.
（
12
分）

图
1
是 由矩形
ABED
，
Rt△ABC
和菱形
BFGC
组成的一个 平面图形，其中
AB?1
，
BE?BF?2
，
?FBC?60?.
将其沿
AB,BC
折起使得
BE
与
BF
重合
.
连结
DG
，如图
2.
（
1
）证明：图
2
中的
A,C,G,D
四点共面，且平面
ABC?
平面BCGE
；

（
2
）求图
2
中的二面角
B?CG?A
的大小
.
32

< br>解：
(1)
证：
ADBE
，
BFCG
，又因为
E
和
F
粘在一起
.
?
ADCG
，
A< br>，
C
，
G
，
D
四点共面
.
又
AB?BE,AB?BC
.
?AB?
平面
BCGE，
AB?
平面
ABC
，
?
平面
ABC
?
平面
BCGE
，得证
.
(2)
过
B
作
BH?GC
延长线于
H
，连结
AH
，因为
AB?
平面
BCGE
，所以
AB?GC

而又
BH ?GC
，故
GC?
平面
HAB
，所以
AH?GC
.
又因为
BH?GC
所以
?BHA
是二
面角
B?CG ?A
的平面角，而在
△BHC
中
?BHC?90
，又因为
? FBC?60
故
?BCH?60
，所以
BH?BCsin60?3
.
而在
ABH
中
?ABH?90
,
?BHA?arctan< br>AB1
?arctan?30
，即二面角
BH
3
B?CG?A
的度数为
30
.
2018年
19．（12分）如图，边长为2的 正方形
ABCD
所在的平面与半圆弧
CD
所在平面垂直，
M
是
CD
上异于
C
，
D
的点．
（1）证明：平面
AMD⊥
平面
BMC
；
（2）当三棱锥
M?ABC
体积最大时，求面
MAB
与面
MCD
所成二面角 的正弦值．
33

解：（1）由题设知,平面CMD⊥ 平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC
?
平面ABCD,所以
BC⊥平面 CMD,故BC⊥DM.
因为M为
CD
上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM.
又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM
?
平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
（2）以D为坐标原点 ,
DA
的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz.

当三棱锥M?ABC体积最大时，M为
CD
的中点.
由题设得
D( 0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)
，
AM?(?2,1,1),AB?(0,2,0),DA?(2,0,0)

设
n?(x,y,z)
是平面MAB的法向量,则
?
?
n ?AM?0,
?
?2x?y?z?0,
即
?

?
2y?0.
?
?
?
n?AB?0.
34

可取
n?(1,0,2)
.
DA
是平面MCD的法向量,因此
cosn,DA?
n?DA5
?
，
5
|n||DA|
25
，
5
25
.
5
sinn,DA?
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是
2017年

19．（12分）如图，四面体
ABCD
中，
△ABC
是 正三

角形，
△ACD
是直角三角形．
?ABD??CBD
，
D
AB=BD
．
（1）证明：平面
ACD?
平面
ABC
；
C
E< br>B
（2）过
AC
的平面交
BD
于点
E
，若平 面
AEC
把
A
四面体
ABCD
分成体积相等的两部分．求二 面角
D-AE-C
的余弦值．
解：
（1）由题设可得，
?ABD??CBD
，从而
AD?DC

又
?ACD
是直角三角形，所以
?ADC?90


取
AC
的中点
O
，连结
DO,BO
，
则
DO?AC,DO?AO

又由于
?ABC
是正三角形，故
BO?AC

所以
?DOB
为二面角
D?AC?B
的平面角
D




A
C
E
O

B
35

在
Rt?AOB
中，
B O
2
?AO
2
?AB
2

又
AB?BD
，所以
BO
2
?DO
2
? BO
2
?AO
2
?AB
2
?BD
2
，故< br>?DOB?90

所以平面
ACD?
平面
ABC
< br>（2）由题设及（1）知，
OA,OB,OD
两两垂直，以
O
为坐标原 点，
OA
的方向为
x
轴正方
向，
|OA|
为单位长 ，建立如图所示的空间直角坐标系
O?xyz
，则
A(1,0,0),B(0,3,0),C(?1,0,0),D(0,0,1)

z
由题设知，四面体
ABCE
的体积为四面体

D
ABCD
的体积的
1
，从而
E
到平面
ABC
的2
1
，即
E
为
2
A
x
C
O< br>E
距离为
D
到平面
ABC
的距离的
B
y31
,)
，故
DB
的中点，得
E(0,
22
AD?(?1,0,1),AC?(?2,0,0),AE?(?1,
31
,)
22
?
?
m?AC?0,
n?(x,y,z)
设是平面
DAE
的法向量，则
?
同理可取
m?(0,?1,3)

?
?
m?AE?0
则
cos?n,m??
nm7

?
|n||m|7
7
。

7
所以二面角
D?AE?C
的余弦值为
36

2016年
（19）（ 12分）
如图，四棱锥P-ABCD中， PA⊥地面ABCD，AD
∥
BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上 一点，
AM=2MD，N为PC的中点.
（I）证明MN
∥
平面PAB;
（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.


解：（Ⅰ）由已知 得
AM?
2
AD?2
，取
BP
的中点
T
， 连接
AT,TN
，由
N
为
PC
中点知
3
T NBC
，
TN?
1
BC?2
.
2
又
A DBC
，故
TN
平行且等于
AM
，四边形
AMNT
为平行四边形，于是
MNAT
.
因为
AT?
平面
PAB< br>，
MN?
平面
PAB
，所以
MN
平面
PAB
.
（Ⅱ）取
BC
的中点
E
，连结
AE
， 由
AB?AC
得
AE?BC
，从而
AE?AD
，且
AE?AB
2
?BE
2
?AB
2
?(
BC
2
)?5
.
2
以
A
为坐标原点，
AE
的 方向为
x
轴正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系
A?xyz
，由 题意知，
P(0,0,4)
，
M(0,2,0)
，
C(5,2,0 )
，
N(
5
,1,2)
，
2
PM?(0,2,? 4)
，
PN?(
55
,1,?2)
，
AN?(,1,2)< br>.
22
37

?
2x?4z?0
?
?
n?PM?0
?
设
n?(x,y,z)
为平面
PMN
的法向量，则
?
，即
?
5
，可取
x?y?2 z?0
?
?
?
n?PN?0
2
?
n?(0,2,1 )
，
于是
|cos?n,AN?|?
|n?AN|85
.
?
|n||AN|
25

十五、概率统计大题：
4年4考 ，每年1题．特点：实际生活背景在加强，阅读量大．冷点：回归分析，独立性
检验，但2018年就考 了独立性检验这个冷点．
年份
2019
年
题目及答案
17.
（
12
分）

为了解甲、乙两种离子在 小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将
200
只小鼠随机分成
A,B
两组，每组
100
只，其中
A
组小鼠给服甲离子溶液，
B
组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的
溶液体积相同、摩尔浓度相同
.
经过一段时间 后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百
分比，根据试验数据分别得到如下直方图：


“
乙离子残留在体内的百分比不低于
5.5”
，记
C为事件：根据直方图得到
P
的估计值为
0.70.
（C）
（< br>1
）求乙离子残留百分比直方图中
a,b
的值；

（
2
）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
.
解析：
(1)
由题得
a?0.20?0.15?0.70
，解得a?0.35
，
由
0.05?b?0.15?1?P(C)?1?0.70，解得
b?0.10
.
38

(2)
由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为
0.15?2?0.20?3?0.30?4? 0.20?5?0.10?6?0.05?7?4.05
，
乙离子残留百分比的平均值为0.05?3?0.10?4?0.15?5?0.35?6?0.20?7?0.15?8?6

2018
年
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完 成某项生产任务的两种新
的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两 组，每组
20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产 任务所需时间的中位数
m
，并将完成生产任务所需时间超过
m
和不超过
m
的工人数填入下面的列联表：

第一种生产方式
第二种生产方式
超过
m



不超过
m



（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ n
?
ad?bc
?
2
2
附：
K?
?< br>a?b
??
c?d
??
a?c
??
b?d
?
，
P
?
K
2
≥k
?

0.050

0.010

0.001

k


3.841

6.635

10.828

39

解：（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶 图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至
少80分钟，用第二种生 产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分
钟.因此第二种生产方式的效率更高 .
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生
产方式 的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；
用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式
的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的 最
多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎
7上 的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间
分布的区间相同，故 可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产
方式完成生产任务所需的时间更少， 因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知
m?
79?81
?80
.
2
列联表如下：

第一种生产方式
第二种生产方式
超过
m

15
5
不超过
m

5
15
40

40(15?15?5?5)< br>2
?10?6.635
，所以有99%的把握认为两种生产方式（3）由于
K?
20?20?20?20
2
的效率有差异.

2017
年
18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每
天需求量与 当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；
如果最高气温位于区间
[20,25)
，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，
为 了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分
布表：
最高气温
天数
15
?

?
10，
2
20
?

?
20，25
?

?
25，30
?

?
30，35
?

?
35，40
?

?
15，
16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量
X
（单位：瓶）的分布列；
（2）设 六月份一天销售这种酸奶的利润为
Y
（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进
货量（ 单位：瓶）为多少时，
Y
的数学期望达到最大值？
解：
（1）由题意知，
X
所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
P
?
X?200
?
?
2?163625?7?4
?0.2
，
P
?
X?300
?
??0.4
，
P?
X?500
?
??0.4
.
909090
因此
X
的分布列为：
X

P

200
0.2
300
0.4
500
0.4
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 200
?n?
500
当
300?n?500
时，
41

若最高气温不低于25，则
Y?6n?4n?2n
； 若最高气温位于区间[20,25），则
Y?6?300?2(n?300)?4n?1200?2 n
；
若最高气温低于20，则
Y?6?200?2(n?200)?4n?800?2n

因此
EY?2n?0.4?(1200?2n)?0.4?(800?2n)?0.2?640 ?0.4n

当
200?n?300
时，
若最高气温不低于20，则
Y?6n?4n?2n
；
若最高气温低于20，则
Y?6?200?2(n?200)?4n?800?2n

因此
EY?2n?(0.4?0.4)?(800?2n)?0.2?160?1.2n

所以
n?300
时，
Y
的数学期望达到最大值，最大值为520元。
2016
年
（18）（ 12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明
（II） 建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。

解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
42

t ?4
，
?
(t
i
?t)?28
，
2
i?1
7
?
(y
i?1
ii
7
i
?y)
2
?0.55
，
?
(t
i?1
7
i
?t )(y
i
?y)?
?
ty
i?1
7
?t
?
y
i
?40.17?4?9.32?2.89
，
i?1
7
r?
2.89
?0.99
.
0.55? 2?2.646
因为
y
与
t
的相关系数近似为0.99，说明
y
与
t
的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型
拟合
y
与
t
的关系.
7
9.32
?
?
（Ⅱ）由
y??1.331
及（Ⅰ）得
b
7
?
(t
i?1
i
?t)(y
i
?y)
?
i
?
(t
i?1
7
?t)
2
2.89
?0.103
，
28
?
t?
1.331
?
0.103
?
4
?
0.92
.
?
?y?ba
?
?0.92?0.10t
. 所以，
y
关于
t
的回归方程为：
y
?
?0.92? 0.10?9?1.82
. 将2016年对应的
t?9
代入回归方程得：
y
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

十六、解析几何大题：
4年4考，每年1题．特点：全国1、2卷多数用椭圆、圆作为载 体，较少考双曲线和抛物
线．但是对于全国3，近两年则以抛物线为载体。抛物线计算量相对较小，灵活 性较强。
年份
2019年
题目及答案
21.
（
12
分）

1
x
2
已知 曲线
C:y?
，
D
为直线
y??
上的动点，过
D< br>作
C
的两条切线，切点分别为
A,B
.
2
2
（
1
）证明：直线
AB
过定点；

43

（
2
）若以
E(0,)
为 圆心的圆与直线
AB
相切，且切点为线段
AB
的中点，求四边形
AD BE
的面积
.
解：
(1)
证明：设
A
，
B
两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
)
，
( x
2
,y
2
)
，因为
y?
5
2
1
2
x
，所以
y'?x
，
2
则切线
DA< br>为：
y?y
1
?x
1
(x?x
1
)
---------
①，切线
DB
为：
y?y
2
?x
2
(x?x
2
)
--------
②，
1
2< br>?
2
y?x?xx?x
111
?
1
2
?2
代入
y?x
得
?
2
?
y?
1
x
2
?xx?x
2
222
?
2
?
(x< br>2
?x
1
)y?
①
，
①?x
2
?② ?x
1
得
②
11
x
1
x
2
(x< br>1
?x
2
)?0
，因为
x
1
?x
2
?0
故消去得交点的纵坐标
y?x
1
x
2
， 22
11
1
因为
DA
和
DB
的交点
D
为直线
y??
上的动点，所以有
y?x
1
x
2??
，
x
1
x
2
??1
，
2
22
x
1
2
y?
2
y?y
1
x?x1
x
2
?
x?x
1
，整理
?
直线AB
为，点
A
，
B
在曲线
y?
上，则有
2
y
2
?y
1
x
2
?x
1
x< br>2
x
1
2
x
2
?x
1
2
?
22
x
1
2
111
得
y?(x
1
?x
2
)(x?x
1
)???x
1
x
2
? (x
1
?x
2
)x??(x
1
?x
2
)x
，即
2222
11
(x
1
?x
2
)x?( ?y)?0
.
当
x?0
，
y?
时无论
x
1
,
x
2
取何值时，此等式均成立。因此直线
2
2
1
AB
过定点
(0,)
，得证。
2
x?x
2
y
1
?y
2
(2)
设
AB
的中点为
G< br>，由题得
G
点坐标为
(
1
,)
，则
22x?xy?y
2
5
EG?(
12
?0,
1
?)
，又
BA?(x
1
?x
2
,y
1
?y2
)
.
由题意知
EG?BA
，即
222
x?x y?y
2
51
?)(y
1
?y
2
)?0
.
代入
y?x
2
得
EG?BA?0
即
(
12
)(x
1
?x
2
)?(
1
2222
x1
2
?x
2
2
51
2
1
2
2 2
2
(x
1
?x
2
)?(?)?(x
1
? x
2
2
)?0
整理得
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
?6) ?0
.
2422
2222
因
x
1
?x
2
?0
，故
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
?6)?0
.
所以
x
1
?x
2?0
或
x
1
?x
2
?6?0
.
44

1
2
?
y?x
1
?x
1
x?x
1
2
?
?
2
由第一问中
?
?
y?
1
x
2
?xx?x
2
222
?2
?
①
，为这里的
(x,y)
为
D
点坐标,
然而
y?
②
1
,
故
2
11
11
??x
1
2
?x
1
x?x
1
2，所以
x?(x
1
?)
，又因为
x
1
x
2
??1
.
所以
2x
1
22
x?
?xx
1111
(x
1
?)?(x
1
?
12
)? (x
1
?x
2
)
。即
D
坐标为
(
1
(x
1
?x
2
),?
1
)
.
2x
1
2x
1
2
22
那么
BA?(x
1< br>?x
2
,y
1
?y
2
)
,
ED?( (x
1
?x
2
),3)
.
设
?
为
BA
与
ED
的夹角，那么有
22
111
222
S
四边形ADBE
?BA?EDsin
??BA?ED(1?cos
?
)?BA?ED?(BA?ED)
2
222

111
?[(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
]?[(x
1
?x< br>2
)
2
?9]
2
?[(x
1
?x
2
)?(x
1
?x
2
)?3(y
1
?y
2< br>)]
2
242
1
2
4
1
2
(x?x )
1
22
12
代入
y?x
进行化简有
S
四 边形ADBE
?(x
1
?x
2
)?[9?3(x
1
?x
2
)?]

2
216
若
x
1
?x
2
?0
，则
S
四边形ADBE
?
13
(x
1
?x
2
)
2
?9?(x
1
?x2
)
2
?4x
1
x
2
?3
.
22
22222222
若
x
1
?x
2
?6?0< br>，则
(x
1
?x
2
)?x
1
?x
2
?2x
1
x
2
?4
,
(x
1
?x
2
)?x
1
?x
2
?2x
1
x
2
?8

代入有
S
四边形ADBE
134
2
?8?(9??4?)?42
.
2216
所以四边形
ADBE
的面 积为
3
或
42
.

2018年
x
2y
2
?1
交于
A
，
B
两点，线段
AB
的中点20．（12分）已知斜率为
k
的直线
l
与椭圆
C： ?
43
为
M
?
1，m
??
m?0
?
．
1
；
2
（1）证明：
k??
（2）设
F< br>为
C
的右焦点，
P
为
C
上一点,且
FP?F A?FB?0
．证明：
FA
，
FP
，
FB
45

成等差数列，并求该数列的公差．
x
1
2
y
1
2
x
2
2
y
2
2
??1, ??1
. 解：（1）设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
4343
y
1
?y2
?k
得
x
1
?x
2
两式相减，并由
x
1
?x
2
y
1
?y
2
??k?0.
43
x
1
?x
2
y?y
?1,
1 2
?m
，于是
22
3
.①
4m
由题设知
k??
由题设得
0?m?
31
，故
k??
.
2 2
（2）由题意得
F(1,0)
，设
P(x
3
,y
3
)
，则
(x
3
?1,y
3
)?(x
1
?1,y
1
)?(x
2
?1,y
2
)?(0,0)
.
由（1）及题设得
x
3
?3?(x
1
?x2
)?1,y
3
??(y
1
?y
2
)??2m ?0
.
又点P在C上，所以
m?
333
，从而
P(1,? )
，
|FP|?
.
422
于是
x
1
2
x
|FA|?(x
1
?1)?y?(x
1
?1)?3(1? )?2?
1
.
42
22
1
2
46

同理
|FB|?2?
x
2
.
2
1
(x
1
?x
2
)?3
.
2
所以
|FA|?|FB|?4?
故
2|FP|?|FA|?|FB|
，即
|FA|,|FP|,|FB|
成等差数列.
设该数列的公差为d，则
2|d|?||FB|?|FA||?
11
|x
1
?x
2
|?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
.②
22
将
m?
3
代入①得
k??1
.
4
71
2
，代入C的方程，并整理得
7x?14x??0
.
44
所以l的方程为
y??x?
故
x
1
?x
2
?2,x
1
x
2
?
321
1
，代入② 解得
|d|?
.
28
28
321321
或
?
.

2828
所以该数列的公差为
2017年
20．（12分）已知抛物线C:y
2
=2x
，过点（2，0）的直线
l
交
C
于
A
，
B
两点，圆
M
是以
线段
AB为直径的圆．
（1）证明：坐标原点
O
在圆
M
上；
（2）设圆
M
过点
P
（4，
-2
），求直线
l与圆
M
的方程．
解：
（1）设
A(x
1
, y
1
),B(x
2
,y
2
),l:x?my?2

47

?
x?my?2,
2
由
?
2
可得
y?2my?4?0
，则
y
1
y
2
??4

?
y?2x
2
y
1
2
y
2
(y
1
y
2
)
2
又
x
1
?
，故
x
1
x
2
?
,x
2?
?4

22
4
y
1
y
2
? 4
???1
，所以
OA?OB
因此
OA
的斜率与
OB
的斜率之积为
x
1
x
2
4
故坐标原点
O
在圆
M
上
2
（2）由（1）可得
y
1
?y
2
?2m,x
1
?x
2
?m(y
1
? y
2
)?4?2m?4

故圆心
M
的坐标为
(m+ 2,m)
，圆
M
的半径
r?(m
2
+2)
2
?m
2

由于圆
M
过点
P(4,?2)
，因此< br>AP?BP?0
，
故
(x
1
?4)(x
2
?4)?(y
1
?2)(y
2
?2)?0
，
即
x
1
x
2
?4(x
1
?x
2
)?y
1
y
2
?2(y
2
?y
2
)?20?0

由（1）可得
y
1
y
2
??4,x
1
x< br>2
?4

2
所以
2m
2
?m?1?0
，解得
m?1
或
m??
1

2
当
m?1
时，直线
l
的方程为
x?y?1?0
，圆心
M
的坐 标为
(3,1)
，圆
M
的半径为
22
10
，圆M
的方程为
(x?3)?(y?1)?10

当
m??
191
时，直线
l
的方程为
2x?y?4?0
，圆心
M的坐标为
(,?)
，圆
M
的
242
9
2
1
2
85
85
，圆
M
的方程为
(x?)?(y? )?

4216
4
半径为

2016年
（20）（ 12分）
48

已知抛物线C：
y
2
?2x
的焦点为F，平行于x 轴的两条直线
l
1
,l
2
分别交C于A，B两点，交
C的准 线于P，Q两点.
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
解：由题设< br>F(,0)
.设
l
1
:y?a,l
2
:y?b
，则
ab?0
，且
1
2
a
2
b
2111a?b
A(,0),B(,b),P(?,a),Q(?,b),R(?,)
. < br>222222
记过
A,B
两点的直线为
l
，则
l的方程为
2x?(a?b)y?ab?0
. .....3分
（Ⅰ）由于
F
在线段
AB
上，故
1?ab?0
.
记
AR
的斜率为
k
1
，
FQ
的斜率为k
2
，则
k
1
?
a?ba?b1?ab
?? ???b?k
2
.
1?a
2
a
2
?abaa所以
AR∥FQ
. ......5分
（Ⅱ）设
l
与
x
轴的交点为
D(x
1
,0)
，
则
S< br>?ABF
?
a?b
111
b?aFD?b?ax
1
? ,S
?PQF
?
.
2222
11
a?b
b?ax
1
??
，所以
x
1
?0
（舍去），
x1
?1
.
222
由题设可得
设满足条件的
AB
的中点为
E(x,y)
.
当
AB
与
x
轴不垂直 时，由
k
AB
?k
DE
可得
2y
?(x?1).
a?bx?1
49

而
a?b
? y
，所以
y
2
?x?1(x?1)
.
2
2
当
AB
与
x
轴垂直时，
E
与
D
重合.所 以，所求轨迹方程为
y?x?1
. ....12分

十七、函数与导数大题：
函数与导数大题4年4考，每年1题．第1问一般考查导数的几何意 义或函数的单调性，
第2问考查利用导数讨论函数性质．若是在小题中考查了导数的几何意义，则在大题 中一般不再
考查．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯3次函数，对数函数很受“器重”！指数函数 也较
多出现！两种函数也会同时出现！但是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且仅仅围绕分类整合思想的考查．在考查分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分
参 ）还是不分离（部参），的确是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函
数与方 程的转化也不容忽视，如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，
若能分类整合 ，抢一点分就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以
“看出”的，如增函数 +增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总
之，导数是很重要，但是有些 解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数
形结合有时也是可以较快得到答案的， 虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可
以适当使用．
2016年我在考前曾 经改编了一个导数为
(x?1)(e
x
?a)
的题目，和当年全国1高考题的 导数
(x?1)(e
x
?2a)
完全类似.
值得一提的是2017 年（作为山东文科卷的关门题，还是给下一步的导数命题提供了一个新的
思路，留下了一些回忆，也列在 表中）山东文科的考法，学习了2016全国1的考法，却比全国1
?
卷更上一层
，这 个导数为
f(x)?(x?a)(x?sinx).

以上告诉大家，导数题命题关键 是如何构造一个导数，使这个导数的讨论层次体现选拔性，
达到压轴的目的．
年份
2019年
题目及答案
20.
（
12
分）

已知函数
f(x)?2x?ax?b
.
32
50

（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2
）是否存在
a,b
，使得
f(x)
在区间
[0 ,1]
的最小值为
?1
且最大值为
1
？若存在，求出
a,b
的所有值；若不存在，说明理由
.
32
解：
(1)
对f(x)?2x?ax?b
求导得
f'(x)?6x?2ax?6x(x?)
.< br>所以有
2
a
3
当
a?0
时，
(??,)< br>区间上单调递增，
(,0)
区间上单调递减，
(0,??)
区间上单调 递增；
当
a?0
时，
(??,??)
区间上单调递增；
当
a?0
时，
(??,0)
区间上单调递增，
(0,)
区间 上单调递减，
(,??)
区间上单调递增
.
(2)
若
f( x)
在区间
[0,1]
有最大值
1
和最小值
-1
， 所以
若
a?0
，
(??,)
区间上单调递增，
(,0)< br>区间上单调递减，
(0,??)
区间上单调递增；
此时在区间
[0, 1]
上单调递增，所以
f(0)??1
，
f(1)?1
代入解得b??1
，
a?0
，与
a?0
矛
盾，所以
a? 0
不成立
.
若
a?0
，
(??,??)
区间上单 调递增；在区间
[0,1]
.
所以
f(0)??1
，
f(1 )?1
代入解得

a
3
a
3
a
3
a
3
a
3
a
3
?
a?0
.
?< br>b??1
?
若
0?a?2
，
(??,0)
区间上单调 递增，
(0,)
区间上单调递减，
(,??)
区间上单调递增
. < br>即
f(x)
在区间
(0,)
单调递减，在区间
(,1)
单调递增，所以区间
[0,1]
上最小值为
f()

而
f (0)?b,f(1)?2?a?b?f(0)
，故所以区间
[0,1]
上最大值为< br>f(1)
.
aa
)3)2
?
33
?
2(
a
3
?a(?b??1
即
?
相减得
2?a??2< br>，即
a(a?33)(a?33)?0
，又因为
27
?
?2?a?b?1
a
3
a
3
a
3
a
3< br>a
3
0?a?2
，所以无解
.
若
2?a?3
，
(??,0)
区间上单调递增，
(0,)
区间上单调递减，
(, ??)
区间上单调递增
.
即
f(x)
在区间
(0,)单调递减，在区间
(,1)
单调递增，所以区间
[0,1]
上最小值为< br>f()

a
3
a
3
a
3
a
3
a
3
51

而
f(0)?b,f(1) ?2?a?b?f(0)
，故所以区间
[0,1]
上最大值为
f(0)
.
a
)3
?
?
2(
3
?a(
即?
?
?
b?1
a
)2
3
?b??1
相 减得
a
?2
，解得
x?3
3
2
，又因为
2 ?a?3
，所以无解
.
27
3
若
a?3
，
(??,0)
区间上单调递增，
(0,)
区间上单调递减，
(,??)区间上单调递增
.
所以有
f(x)
区间
[0,1]
上 单调递减，所以区间
[0,1]
上最大值为
f(0)
，最小值为
f( 1)

a
3
a
3
?
b?1
?
a?4
.
即
?
解得
?
?
2?a?b??1
?
b?1
综上得
?
?
a?4
?
a?0
.

或
?
b?1
b??1
?
?
2017
年山东导
数题
（20）（13分）
已知函数
f
?
x
?
?x
2
?2cosx
，
g
?
x?
?e
x
?
cosx?sinx?2x?2
?
，其中< br>e?2.71828
对数的底数.
（Ⅰ）求曲线
y?f
?
x
?
在点
(
?
,f(x))
处的切线方程；
是自然
（Ⅱ）令
h
?
x
?
?g
?
x
?< br>?af
?
x
??
a?R
?
，讨论
h
?
x
?
的单调性并判断有无极值，有极值时求
出极值.
解：（Ⅰ）由题意
f(
?
)?
?
2
?2

又
f
?
?
x
?
?2x?2sinx
，
所以
f
?
?
?
?
?2
?
，
因此 曲线
y?f
?
x
?
在点
?
?,f
?
?
?
?
处的切线方程为
y?
?
?
2
?2
?
?2
?
?
x?
?
?
，即
y?2
?
x?
?
2
?2
.
（Ⅱ）由题意得
h
?
x
?
?e
2
?
cosx?sinx?2x?2
?
?ax
2
?2cosx
，
52

??

因为
h
?
?
x
?
?e
x
?
cosx?sinx?2x?2
?
? e
x
?
?sinx?cosx?2
?
?a
?
2x? 2sinx
?

?2e
x
?
x?sinx
?
?2a
?
x?sinx
?
?2e
x
?a
?
x?sinx
?
，
??
令
m
?
x
?< br>?x?sinx
则
m
?
?
x
?
?1?cos x?0

所以
m
?
x
?
在
R
上单调递增.
所以 当
x?0
时，
m(x)?0
；
当
x?0
时，
m
?
x
?
?0

（1）当
a?0
时，
e
x
?a?0
，
当
x?0
时，
h
?
(x)?0,h(x)
单调递减，
当
x?0
时，
h
?
(x)?0,h(x)
单调递增，
所以 当
x?0
时，
h(x)
取到极小值，极小值是
h(0 )??2a?1
；
（2）当
a?0
时，
h
?
?< br>x
?
?2e
x
?e
lna
??
?
x ?sinx
?

由
h
?
?
x
?
?0
得
x
1
?lna
，
x
2
=0

①当
0?a?1
时，
lna?0
，
当
x?
?
??,lna
?
时，
e
x
?e
lna
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递增；
当
x?
?
lna,0
?
时 ，
e
x
?e
lna
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递减；
当x?
?
0,??
?
时，
e
x
?e
ln a
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递增.
所以 当
x?lna
时
h
?
x
?
取得极大值.
极大值为
h
?
lna
?
??a
?
ln
2< br>a?2lna?sin
?
lna
?
?cos
?
lna
?
?2
?
，
??
??
53

当
x?0
时
h
?
x
?
取到极小值， 极小值是
h
?
0
?
??2a?1
；
②当
a?1
时，
lna?0
，
所以 当
x??
??,??
?
时，
h
?
?
x
??0
，函数
h
?
x
?
在
?
??,??
?
上单调递增，无极值；
③当
a?1
时，
lna?0
，
所以当
x?
?
??,0
?
时，
e
x
?e
lna
?0 ,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x?
单调递增；
当
x?
?
0,lna
?
时，< br>e
x
?e
lna
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递减；
当
x?
?
lna,??
?
时，
e
x
?e
ln a
?0,h
?
?
x
?
?0
，
h
?
x
?
单调递增.
所以当
x?0
时
h
?< br>x
?
取到极大值，极大值是
h
?
0
?
??2a?1
；
当
x?lna
时
h
?
x
?
取得极小值，
极小值是
h
?
lna
?
??a
?
ln2
a?2lna?sin
?
lna
?
?cos
?
lna
?
?2
?

??
??
综上所述：
当
a?0
时，
h
?
x
?
在
?
? ?,0
?
上单调递减，在
?
0,??
?
上单调递增， 函数
h
?
x
?
有极小值，极小值是
h
?
0
?
??2a?1
；
当
0?a?1
时，函数
h
?
x
?
在
?
??,lna
?
和
?
0,lna
?
和
?
0,??
?
上单调递增，在?
lna,0
?
上
单调递减，函数
h
?
x?
有极大值，也有极小值，
2
极大值是
h
?
lna< br>?
??a
?
?
lna?2lna?sin
?
lna< br>?
?cos
?
lna
?
?2
?
?

极小值是
h
?
0
?
??2a?1
；
54

当
a?1
时，函数
h
?
x
?
在
?
??,??
?
上单调递增，无极值；
当
a?1
时，函数
h
?
x
?
在
?
??,0< br>?
和
?
lna,??
?
上单调递增，
在
?
0,lna
?
上单调递减，函数
h
?
x
?
有极大值，也有极小值，
极大值是
h
?
0
?
??2a?1
；
2< br>极小值是
h
?
lna
?
??a
?
?
lna?2lna?sin
?
lna
?
?cos
?
lna< br>?
?2
?
?
.

2018年
2
2 1．（12分）已知函数
f
?
x
?
?
?
2?x?a x
?
ln
?
1?x
?
?2x
．
（1）若
a?0
，证明：当
?1?x?0
时，
f
?
x
?
?0
；当
x?0
时，
f
?
x
?
?0
；
（2）若
x?0
是
f
?
x
?< br>的极大值点，求
a
．
解：（1）当
a?0
时，
f( x)?(2?x)ln(1?x)?2x
，
f
?
(x)?ln(1?x)?< br>x
.
1?x
设函数
g(x)?f
?
(x)?ln( 1?x)?
x
x
，则
g
?
(x)?
.
1 ?x
(1?x)
2
当
?1?x?0
时，
g
?
(x)?0
；当
x?0
时，
g
?
(x)?0
.故 当
x??1
时，
g(x)?g(0)?0
，
且仅当
x?0< br>时，
g(x)?0
，从而
f
?
(x)?0
，且仅当< br>x?0
时，
f
?
(x)?0
.
所以
f(x)
在
(?1,??)
单调递增.
又
f (0)?0
，故当
?1?x?0
时，
f(x)?0
；当
x? 0
时，
f(x)?0
.
（2）（i）若
a?0
，由（1） 知，当
x?0
时，
f(x)?(2?x)ln(1?x)?2x?0?f(0)
，
这与
x?0
是
f(x)
的极大值点矛盾.
55

（ii）若
a?0
，设函数
h(x)?
f (x)2x
?ln(1?x)?
.
2?x?ax
2
2?x?ax< br>2
由于当
|x|?min{1,
1
}
时，
2?x?a x
2
?0
，故
h(x)
与
f(x)
符号相同. < br>|a|
又
h(0)?f(0)?0
，故
x?0
是
f( x)
的极大值点当且仅当
x?0
是
h(x)
的极大值点.
12(2?x?ax
2
)?2x(1?2ax)x
2
(a
2
x
2
?4ax?6a?1)
h
?
(x)???
.
1?x(2?x?ax
2
)
2
(x?1)(ax
2
?x?2 )
2
如果
6a?1?0
，则当
0?x??
6a?1
1
}
时，
h
?
(x)?0
， ，且
|x|?min {1,
4a
|a|
故
x?0
不是
h(x)
的极大值 点.
如果
6a?1?0
，则
ax?4ax?6a?1?0
存在根< br>x
1
?0
，故当
x?(x
1
,0)
， 22
且
|x|?min{1,
1
}
时，
h
?< br>(x)?0
，所以
x?0
不是
h(x)
的极大值点.
|a|
x
3
(x?24)
?
如果
6a?1?0
， 则
h
?
(x)?
22
.则当
x?(?1,0)
时，
h(x)?0
；
(x?1)(x?6x?12)
当
x?(0,1)
时，
h
?
(x)?0
.所以
x?0
是
h( x)
的极大值点，
从而
x?0
是
f(x)
的极大值点
综上，
a??
1
.

6
2017年
21．（12分）已知函数
f(x)?x?1?alnx
．
（1）若
f(x)≥0
，求
a
的值；
56
< /p>

（2）设
m
为整数，且对于任意正整数
n
，，求
111
(1?)(1?
2
)???(1?
n
)?m
222
m
的最小
值．
解：
（1）
f(x)
的定义域为
(0,??)

① 若
a?0
，因为
f()??
1
2
1
?aln2?0
， 所以不满足题意；
2
② 若
a?0
，由
f
?
(x )?1?
ax?a
?
知，当
x?(0,a)
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(a,??)
xx
时，
f
?
(x)?0
。所以
f(x)
在
(0,a)
单调递减，在(a,??)
单调递增。故
x?a
是
f(x)
在
(0, ??)
的唯一最小值点。
由于
f(1)?0
，所以当且仅当
a?1
时，
f(x)?0

故
a?1

（2）由（1）知当
x?(1,??)
时，
x?1?lnx?0

令
x?1?
111
(1?)?
，得，从而
2
n< br>2
n
2
n
1111111
ln(1?)?ln(1?
2
)?...?ln(1?
n
)??
2
?...?
n
?1?
n
?1

2222222
故
(1?)(1?
1
2
11
)...(1?)?e

2n
22
11
)(1?)?2
，所以
m
的最小值为3

23
22
而
(1?)(1?
1
2
2016年
（21）（ 12分）
设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a＞0，记 （ ） 的最大值为A.
（Ⅰ）求f
＇
（x）；
57

（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明
′
（ ） ≤2A.
解：（Ⅰ）
f(x)??2asin2x?(a?1)sinx
．
（Ⅱ）当
a?1
时，
'
|f
'
(x)|?|as in2x?(a?1)(cosx?1)|
?a?2(a?1)
?3a?2
?f(0)

因此，
A?3a?2
． ………4分
当
0? a?1
时，将
f(x)
变形为
f(x)?2acosx?(a?1)cosx ?1
．
令
g(t)?2at?(a?1)t?1
，则
A
是
|g(t)|
在
[?1,1]
上的最大值，
g(?1)?a
，
g(1)?3a?2
，
2
2
1?a(a?1)
2
a
2
?6a?1
1?a
)???1??
且当
t?
时 ，
g(t)
取得极小值，极小值为
g(
．
4a8a8a
4 a
令
?1?
1?a11
，
a?
．
?1
， 解得
a??
（舍去）
4a35
（ⅰ）当
0?a?
1
时，
g(t)
在
(?1,1)
内无极值点，
|g(?1)|?a，
|g(1)|?2?3a
，
5
|g(?1)|?|g(1)|
，所以
A?2?3a
．
（ⅱ）当
11?a
?a?1
时，由
g(?1)?g(1)?2(1?a)?0
，知
g(?1)?g(1)?g()
．
54a
1?aa
2
?6a?1
1?a(1?a)(1?7a)
)|?
又
|g(
．
)|?|g(?1)|??0
，所以< br>A?|g(
4a8a
4a8a
1
?
2?3a,0?a?
?
5
?
2
?
a?6a?11
,?a?1
． ………9分 综上，
A?
?
8a5
?
3a?2,a?1
?< br>?
?
58

（Ⅲ）由（Ⅰ）得
|f(x)| ?|?2asin2x?(a?1)sinx|?2a?|a?1|
.
'
当
0?a?
1
'
时，
|f(x)|?1?a?2?4a?2(2?3a)?2A
.
5
当
1a13
?a?1
时，
A????1，所以
|f
'
(x)|?1?a?2A
.
588a4
'
'
当
a?1
时，
|f(x)|?3a?1?6a?4?2A
，所以
|f(x)|?2A
.






参考资料一： 不等式恒成立问题中的参数求法

已知含参数不等式恒成立 求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这
类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法 、特值压缩法、分离
lnx
法、
重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压 轴题最常用到的方法.

一、 直接求导法
1?x
?ax
e?1
恒成立，求
a
的取值范围.
1?x
题目：当
x?(0,1)
时，
f(x)?
分析：注意
e
x
f(x)
型函数不分离最好,这里
f(x)
是有理函数,它的 导数为
[e
x
f(x)
?
]?e
x
fx(?)e
x
f
?
(x)?e
x
[fx(?)f
?x(
，这里
)]
f(x)?f
?
(x)
是有理函数，容 易讨论其性质.
解：
f
?
(x)?(
1?x
?ax
1?x
?ax
21?x
?ax?ax
)
?
e?(e)?
?e?e(?a)

2
1?x1?x(1?x)1?x
59

?e
?ax
2a(1?x
2
)ax
2
?2?a
?ax
2a(1?x)
?ax
?]?e
， < br>[?]?
e[
(1?x)
2
(1?x)
2
(1?x)
2
(1?x)
2
1?x
由
ax
2
?2?a
可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂，
于是可以考虑分离参数
a
，
即
ax
2
?2?a? a(x
2
?1)?2?(x
2
?1)(a?
22
2
)?(x?1)(a?)
，
x
2
?11?x
2
注意到当< br>x?(0,1)
时，
2
所以当
a?2
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
是增函数，所以
f(x)?f(0)?1< br>，
?(2,??)
，
2
1?x
a?2a?2
ax< br>2
?2?a
?ax
0?x?0?x?
e?0
当
a?2
时，
f
?
(x)?
可解得，即当时，
f(x)
是减 函数，
aa
(1?x)
2
所以
f(x)?f(0)?1
，不 合题意.
综上，
a
的取值范围
(??,2]
.
二、二次求导法
题目：当
x?0
时，
f(x)?e?1?x?ax ?0
恒成立，求
a
的取值范围.
x2
分析：
f(x)?ke?ax?bx?c
型函数一般用到二次求导法.
x2
解:
f
?
(x)?e?1?2ax
，
x
x
??
f(x)?e?2
，
a


x
因为
x?0
，所以
e?1
，
当
2a? 1
即
a?
1
时，
f
??
(x)?0
，f
?
(x)
是增函数，所以
f
?
(x)?f
?
(0)?0
，所以
f(x)
是增函数，所以
2
f(x)?f (0)?0
；
60

当
2a?1
即a?
1
时，则当
0?x?ln(2a)
时，
f
??(x)?0
，
f
?
(x)
是减函数，所以
f
?
(x)?f
?
(0)?0
，所以
f(x)
2
是减函 数，所以
f(x)?f(0)?0
.
所以
a
的取值范围
(??,]
.
1
2
三、特值压缩法
题目：当
x??2
时，
f( x)?2ke(x?1)?x?4x?2?0
恒成立，求
k
的取值范围.
分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视.
x2
?
f(?2)?2ke
?2
(?2?1)?(?2)
2
?4?(?2)?2?0
解：由
?
得
02
f(0)?2ke(0? 1)?0?4?0?2?0
?
?
?2ke
?2
?2?0
得< br>1?k?e
2
，
?
?
2k?2?0
f
?< br>(x)?2k[e
x
(x?1)?e
x
]?2x?4?2(x?2)( ke
x
?1)
，
x
当
1?k?e
2
时， 由
f
?
(x)?2(x?2)(ke?1)?0
得
e
x?
11
?[e
?2
,1]?x?ln?[?2,0]
，
kk
当
k?e
2
时，显然当
x??2
时，
f?
(x)?0
，
f(x)
为增函数，从而
f(x)?f(?2) ?0
，
当
1?k?e
2
时，则
ln
1
? (?2,0]
，所以
k
1
k
当
x?(?2,ln)
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
为减函数，
当
x?(ln
1
,??)
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
为增函数，
k
1
ln
111
21
所以
f(x)
的最小值为
f(ln)?2ke
k
(l n?1)?(ln)?4(ln)?2

kkkk
?2(ln
11111?1)?(ln)
2
?4(ln)?2??(ln)
2
?2ln

kkkkk
61

11
??(ln)
2< br>?2ln??(lnk)
2
?2lnk?(2?lnk)(lnk)?0
，
kk
所以求
k
的取值范围是
1?k?e
2
.
四、分离
lnx
法
题目：当
x?0
且
x?1时，
lnx1lnxk
???
恒成立，求
k
的取值范围.
x?1xx?1x
分析：把
lnx
分离出来可以使导数非常简单.
解：

lnxlnxk111?k1?
??(?)?(?)lxn??< br>2
x?1x?1xxx?1x?1xx?
2?k1

xl?n
1x

?
1k?111
2
[?2lnx? ?(x?1)]?[?2lnx?(k?1)(x?)]

x
2
?1xx< br>2
?1x
11
，分离出，由于的符号不确定，所以分类讨论如下）
l nx
22
x?1x?1
1
x
（这一步的目的是提取因式
令设
g(x)??2lnx?(k?1)(x?)
，于是原题等价于
?
g(x)?0,?x?(1,??)

?
?
g(x)?0 ,?x?(0,1)
21
g
?
(x)???(k?1)(1?
2)
，若是通分，分子是一个关于
x
的二次函数，讨论比较复杂，
xx< br>不如再次提取
(1?
1
)
，分离参数
k
，这样会转化 为对号函数，可谓一举两得：
2
x
于是
g
?
(x)??< br>21121
?(k?1)(1?
2
)?(1?
2
)[???( k?1)]

xxxx
1?
1
x
2
??
1 21
?
2
?
?(1?
2
)[??(k?1)]?(1?2
)
?
?(k?1)?
11
?
xx
?
x?x?
?
xx
?

?
62

< br>令
h(x)?
2
1
x?
x
，由对号函数的单调性，< br>h(x)
在
(1,??)
单调递减，
当
x?1
时，
x?
1
?2
，从而
h(x)?(0,1)
，所以当
?(k?1)?1
，
x
即
k?0
时，
g
?
(x)?0
恒成立，从而
g(x)
为增函数，所以
g(x)?g(1)?0
恒成立；
当
k?0
时，
?(k?1)?1
，所以存在x
0
?1
，使得当
x?(1,x
0
)
时，g
?
(x)?0
，从而
g(x)
为减函数，所以
g(x )?g(1)?0
，不合题意.
同理可讨论当
0?x?1
时，
仍 然是
k?0
时，
g
?
(x)?0
恒成立，从而
g( x)
为增函数，所以
g(x)?g(1)?0
恒成立；
当
k?0< br>时，
?(k?1)?1
，所以存在
x
0
?(0,1)
，使得当
x?(x
0
,1)
时，
g
?
(x)?0< br>，从而
g(x)
为减函数，所以
g(x)?g(1)?0
，不合题意.
综上，
k?0

五、重构函数法
题目：
e?(a?1)x ?b?0
恒成立,求
(a?1)b
的最大值.
分析：构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型.
解:令
f(x)?e?(a ?1)x?b
,则
f
?
(x)?e?(a?1)

xxx
（1）当
a?1?0
时,
f
?
(x)?0
,
f(x)
在R上单调递增，当
x???
时，
f(x)???
，不合题意.
（2）当
a?1?0
时，则当
x?ln(a?1)
时 ，
f
?
(x)?0
，
f(x)
是减函数，
当x?ln(a?1)
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)< br>是增函数，
63

所以当
x?ln(a?1)时，
f(x)
min
?f(ln(a?1))?a?1?(a?1)ln(a?1 )?b?0
，
所以
b?a?1?(a?1)ln(a?1)
，所以
(a?1)b?(a?1)?(a?1)ln(a?1)
，其中
a?1?0
，
22
令
g(x)?x?xlnx(x?0)
，则
g
?
(x )?2x?(2xlnx?x)?x(1?2lnx)
，
22
当
0?x?e
时，
g
?
(x)?0
，
g(x)
是增函数， 当
x?e
时，
g
?
(x)?0
，
g(x)是减函数，
e
时，
g(x)
max
?g(e)?e?e?所以当
x?
1e
?
，
22
所以
(a?1)b
的最大值是
e
.
2
六、解不等式法
题目：设函数
f(x)?e
mx
?x
2
?mx
．
（1）证明：
f(x)
在
(??,0)
单调递减，在
(0, ??)
单调递增；
（2）若对于任意
x
1
,x
2
?[?1,1]
，都有
|f(x
1
)?f(x
2
)|?e? 1
，求m的取值范围．
分析：求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式．
解： （1）
f
?
(x)?me
mx
?2x?m
，
f??
(x)?m
2
e
mx
?2
，
mx
因为
f
??
(x)?m
2
e
mx
?2?0
，所以
f
?
(x)?me?2x?m
在
R
上是增函数，注 意到
f
?
(0)?0
，
所以当
x?0
时，
f
?
(x)?f
?
(0)?0
，当
x?0
时，< br>f
?
(x)?f
?
(0)?0
，
所以
f( x)
在
(??,0)
单调递减，在
(0,??)
单调递增.
（2）由（1）可知，
f(x)
在
[?1,1]
上的最小值为
f( 0)?1
，
f(x)
的最大值是
64

f(1)?e
m
?1?m

?m
和
f(?1)?e?1?m
，所以
|f(x
1
)?f(x
2
) |
的最大值为
e
m
?m
或
e
?m
?m
，
所以只要
e
m
?m
?e?1
或
e
?m
?m
?e?1
，
令
g(m)?
e
m
?m
，则
g
?
(m)?
e
m
?1
，
当
m?0
时，
g
?
(m)?0
，
g(m)
是减函数，
当
m?0
时，
g
?
(m)?0
，
g(m)
是增函数，
1
而
g(1)?e?1
，
g(?1)??1< br>，且
g(1)?g(?1)
，所以存在
m
0
??1
， 使得
g(m
0
)?g(1)
，
e
所以由
e
m
?m
?e?1
即
g(m)?g(1)
可得
m
0
?m?1
，其中
m
0
??1
①
而
e
?m
?m
?e?1
即
g(?m)?g(1)< br>，所以
m
0
??m??1
，
即
?1?m??m0
，其中
m
0
??1
，②
由①、②得
?1?m?1
.
七、设而不求法

已知函数
f(x)?e
x
?e
?x
?2x
， （1）设
g
?
x
?
?f(2x)?4bf(x)
，当< br>x?0
时，
g(x)?0
，求
b
的最大值，
（2） 已知
1.4142?2?1.4143
，估计ln2的近似值（精确到0.001）
分析：设而不求那些不容易求出的极值点.
解：（1）
g(x)?e
2x< br>?e
?2x
?4x?4b(e
x
?e
?x
?2x)< br>，
65

g
?
?
x
?< br>?2(e
2x
?e
?2x
?2)?4b(e
x
?e< br>?x
?2)
，
令
e
x
?e
?x
? t
，则
e
2x
?e
?2x
?t
2
?2，
所以
g
?
(x)?2(t
2
?4)?4b(t?2 )?(t?2)(t?2?2b)?(t?2)[t?(2b?2)]
，
注意到
t? e
x
?e
?x
?2e
x
e
?x
?2(x? 0)
，
所以当
2b?2?2
即
b?2
时，
g?
(x)?0
，
g(x)
为增函数，所以
g(x)?g(0)? 0
，
当
b?2
时，存在
x
0
?0
，当< br>x?(0,x
0
)
时，
g
?
(x)?0
，< br>g(x)
为减函数，所以
g(x)?g(0)?0
，不合题意，
所以< br>b
的最大值2.

（2）考虑
g(ln2)?e
2ln2< br>?e
?2ln2
?4ln2?4b(e
ln2
?e
?ln2< br>?2ln2)

?2?
1
?2ln2?4b(2?
2
?ln2)?
3
?22b?(4b?2)ln2
，
222
由（1） 知道，当
b?2
时，
g(ln2)?
3
?22?2?(4?2?2) ln2?0
，
2
所以
ln2?
42?1.5
?
4 ?1.4142?1.5
?0.6928
，
66
那么，下一步如何再取b
的值呢？这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的
x?x
0
这个分界点满足的条件，可以考虑
x?ln2
满足
e
x
?e
?x
?(2b?2)?0
，
考虑到满足等号成立的
b
的值，
e
ln2
?e
?ln2
?(2b?2)?0
，解得
b?< br>32
?1
，
4
则由（1）知，
当
b?
3 2
?1
时，
g(ln2)?
3
?22?(
32
?1 )?[4?(
32
?1)?2]ln2?0
，
244
4
66

所以
ln2?
1 8?2
?
18?1.4143
?0.6934
，
2828
所以
0.6928?ln2?0.6934
，所以
ln2?0.693
.

参考资料二：
“一定二动斜率定值”问题的高等背景与初等解法
以下四个例题，都有类似条件：
A
是圆锥曲线
C
上的定点，
E,F< br>是圆锥曲线
C
上的两个动
点，求证直线
EF
的斜率为定值.我 们把这类问题简称“一定二动斜率定值”问题，笔者经过仔细
分析发现，这类问题的命题者利用了导数法 研究曲线的切线斜率，也就是利用了导数产生的几何
背景，本文利用极限与导数这一高等数学的方法先探 求这个定值，然后利用初等方法给出证明.
x
2
y
2
?1
上的两个动点，例1、如图1，已知
E,F
是椭圆
?
43
3
A(1,)
是椭圆上的定点，如果直线
AE
与
AF
关于直线
x?1
2
对称，证明直线
EF
的斜率为定值，并求出这个定值.
y
A(1,
3
2
)
O
F
E
图1
A
1
(1,-
3
2
)
x
高等背景：当AE
与
AF
的倾斜角都趋近于
90
时，直线
xy
3
?1
EF
的斜率就趋向于过
A
1
(1,?)
的 切线斜率. 在
?
43
2
22
3
2?(?)y
?< br>2?1
2x2yy
?
31
2
中，两边对
x
求 导有，
??0,
把
A
1
(1,?)
代入有：
??0 ,
解得
y
?
?
.因此，
4322
43
1< br>可以确定所求的定值为.
2
初等解法：因为直线
AE
与
AF
关于直线
x?1
对称，所以直线
AE
的斜率与
AF
的斜率互为相反数.
33
设直线
AE
的方程为
y?k(x?1)?
，则直线
AF的方程为
y??k(x?1)?
.
22
x
2
y
2
3
?1
得： 把
y ?k(x?1)?
代入
?
43
2
3
(3?4k
2< br>)x
2
?4k(3?2k)x?4(?k)
2
?12?0
2< br>(1)
，
67

3
4(?k)
2
?12
设
E(x
1
,y
1
),F(x
2< br>,y
2
)
，注意到
x?1
是方程
(1)
的一 个根，由根与系数关系得，
x
1
?
2
，
2
3?4 k
3
4(?k)
2
?12
同理可求
x
2
?
2
，
3?4k
2
33
k(x
1
?1)? ?[?k(x
2
?1)?]
y?y
22
?
k(x
1
?x
2
)?2k
，
?
12
?
x
1
?x
2
x
1
?x
2
x
1
?x
2
k
EF
1
把
x
1
，
x
2
代入上式得
k
EF
?.

2
x
2
y
2
?1
上的两个动点，
A(3,3)
是椭圆上的定点，如果直例 2、如图2，已知
E,F
是椭圆
?
124
线
AE
与
AF
关于直线
y?3
对称，证明直线
EF
的斜率为定值，并 求出这个定值.
高等背景：当
AE
与
AF
的倾斜角一个趋近于180
时，
另一个趋近于
0
时，直线
EF
的斜率就趋向 于过
x
2
y
2
A
1
(?3,3)
的切线斜 率. 在
??1
中，两边对
x
求导
124
?33y
?
xyy
?
??0,
解有，
??0,
把
A
1
(?3,3)
代入有：
62
62
A
1
(-3,3 )
F
O
x
E
y
A(3,3)
图2
1
得
y
?
?
.
3
1
因此，可以确定所求的定值为.
3
初等解法：设直线
AE
的方程为
y?k(x?3)?3
，
x
2
y
2
?1
得：
(1?3k
2
)x
2
?63k(1?k)x?9k
2
?18k?3?0
代入
?
124
(1)
，
68

9k
2
?18k?3
设
E(x
1
,y
1
),F(x< br>2
,y
2
)
，注意到
x?3
是方程
(1)< br>的一个根，所以
x
1
?
，
2
3(1?3k)
9k
2
?18k?3
同理可求
x
2
?
，
2
3(1?3k)
y
k
EF
?
1
y
1< br>?y
2
k(x
1
?x
2
)?23k
，把x
1
，
x
2
代入得
k
EF
?.

?
3
x
1
?x
2
x
1
?x< br>2
F
2
例3、如图3，已知
E,F
是抛物线
y?x< br>上的两个动点，
A(1,1)
是
抛物线上的定点，如果直线
AE
的斜率与
AF
的斜率互为相反数，证明
直线
EF
的斜率为定值，并 求出这个定值.
A
1
(-1,1)
E
O
A(1,1)< br>x
图3
高等背景：当
AE
与
AF
的倾斜角一个趋 近于
0
时，另一个趋近于
180
时，直线
EF
的斜率就趋向于过
A
1
(?1,1)
的切线斜率. 而
y
??2x
，所以
y
?
|
x??1
??2
，
因此，可以确定所求的定值为
?2
.
初等解法：设直线
AE
的方程为
y?k(x?1)?1
，
代入
y?x
2
得：
x
2
?kx?k?1?0(1)
，
设
E(x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
)
，注意到
x?1
是方程
(1)
的一个根，所以
x
1
?k?1
，同理可求
x
2
??k?1
，
2
y
1
?y
2
x
1
2
?x< br>2
???x
1
?x
2
，把
x
1
，< br>x
2
代入上式得
k
EF
??2.

x1
?x
2
x
1
?x
2
所以
k
EF
例4、如图4，已知
E,F
是抛物线
y
2
?x
上的两个动点，
A(1,1)
是抛物线上的定点，如果直线
AE
的斜率与AF
的斜率互为相反数，证明直线
EF
的斜率为定值，并求出这个定值. 高等背景：当
AE
与
AF
的倾斜角都趋近于
90
时，直 线
EF
y
的斜率就趋向于过
A
1
(1,?1)
的切 线斜率. 由
y
2
?x
解得
y??x
，
A(1,1 )
69

O
E
A
1
(1,-1)
图4< br>F
x

而在
A
1
(1,?1)
附近导数
y
?
??
11
，所以
y
?
|
x? 1
??
，因此，可以确定所求的定值为
?
.
22
2x1
初等解法：设直线
AE
的方程为
y?k(x?1)?1
，显然
k?0
，
x?
代入
y
2
?x
得：
y
2
?
y1
??1?0
kk
(1)
，
y?1
?1
，
k
设
E(x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
)
，注意到
y?1
是方程
(1)
的一个根，所以
y
1
?
1
?1?0
k
(1)
，
y?y
2
1
11
y
y
?
同理可求
y
2
???1.
而
k
EF< br>?
1
，把，代入得
k??.

1
2
EF< br>2
y
1
2
?y
2
y
1
?y
2
k2
解题规律总结：
1、注意利用导数法探求定值，作为选择题或者填空题时要利 用导数法，作为解答题时注意
利用导数法进行检验；
2、题目条件的变化：“直线
A E
的斜率与
AF
的斜率互为相反数”，等价于“直线
AE
与
AF
的
倾斜角互补”，或者“直线
AE
与
AF
关于直线x?x
A
对称”，或者“直线
AE
与
AF
关于直线y?y
A
对称”.
3、直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的一个解为 (x
A
,y
A
)
，消元后所得方程有一个根为
x
A
或
y
A
，此时一定要利用根与系数的关系求另一个根.
4、注 意以
?k
替换
k
由
E
点坐标直接求得
F
点 坐标.
5、对于直线与椭圆或者双曲线，
k
EF
?
y
1< br>?y
2
的进一步化简要利用直线方程，对于直线与抛
x
1
?x
2
物线，
k
EF
?
y
1
?y
2< br>的进一步化简利用抛物线方程比利用直线方程更加简单.
x
1
?x
2
把握住以上几点，你也可以轻松地自己改编一些类似的题目，你当然更能准确快速的解答一
下练 习题：
1、已知
E,F
是抛物线
y
2
?4x
上的 两个动点，
A(1,?2)
是抛物线上的定点，直线
AE
与
AF关
70

于直线
x?1
对称，证明直线
EF
的斜率为定值，并求出这个定值. （答案：
1
）
x
2
y
2
?1
2、如图5，已知
E,F,E1
,F
1
是椭圆
?
43
y
A(1,
3
2
)
F
1
O
F
E
1
E
A
1
(1,-
图5
3
2
)
x
3
上 的两个动点，
A(1,)
是椭圆上的定点，如直
2
线
AE
与
AF
关于直线
x?1
对称，且直线
AE
1

与
AF
1
也关于直线
x?1
对称，
求证：
EF∥E
1
F
1
.
（提示：由例
1
知，
EF,E
1
F
1
的斜率相等）.


参考资料三： 圆锥曲线定点问题探究
——有趣的“母子圆锥曲线”

一、母子抛物线及其性质的探求过程：
第一步：一个经典的例题
例1：已知抛物线
C:y
2
?x
，
O
是坐标原点，作射线< br>OA、OB
交抛物线
C
于
两点
A、B
．
求证：直线
AB
过定点．
O
x
B
y
A< br>证明：如图1,显然直线
AB
斜率不是
0
，设直线
AB
的方程为
x?
?
y?m
，联
71

图1

立
y
2
?x
得：
y
2
?
?
y?m?0
，显然
m?0
，
??
?
2
? 4m?0
，
设
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
，则
y
1
?y
2
?
?
，
y
1
y
2
??m
，
又
OA?OB
，∴
OA?OB?0
，
2
?x
2
， 即
x
1
x
2
+y< br>1
y
2
?0
，又
y
1
2
?x
1
，
y
2
∴
(y
1
y
2
)2
?y
1
y
2
?0
，∴
m
2
?m?0
，
解得
m?0
，或
m?1
．
当
m?0
时, 直线
AB
的方程为
x?
?
y
,直线
AB
过定点
(0,0)
,不符合题意．
当
m?1
时,直线
AB
的方程为
x?
?
y?1
，显 然直线
AB
过定点
(1,0)
．
综上, 直线
AB
过定点
(1,0)
．
第二步：经典例题中的直角顶点换个位置
例2：已知抛物线
C:y
2
?x
，
M(1,1)
是
C
上的一个定点，作射线
MA、M B
交抛物线
C
于
A、B
，
MA?MB
．求
证：直线
AB
过定点．
证明：如图2,显然直线
AB
斜率不是0
，设直线
AB
的方程为
x?
?
y?m
，联立
y
2
?x
得：
y
2
?
?
y?m? 0
，显
AM?B
x,y
然
m?0
，
??
?
2
?4m?0
，设
A(x
1
,y
则
y1
?y
2
?
?
，
y
1
y
2< br>??m
，又
M
∴
M
A?MB
，
1
) 、B(
22
)
，
即
(x
1
?1)(x
2< br>?1)+(y
1
?1)(y
2
?1)?0
，
?0
，
y
M(1,1)
A
即
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1?y
1
y< br>2
?(y
1
?y
2
)?1?0
，
2
?x
2
， 又
y
1
2
?x
1< br>，
y
2
O
x
∴
(y
1
y
2
)
2
?(y
1
+y
2
)
2
?3 y
1
y
2
?(y
1
+y
2
)?2?0，
图2
B
72

∴
m
2< br>?3m?
?
2
?
?
?2?0
，解得
m??< br>?
?1
，或
m?
?
?2
．
当
m? ?
?
?1
时,
x?
?
y?
?
?1
,即
(x?1)?
?
(y?1)?0
,即直线
AB
过定点< br>(1,1)
,不符合题意．
当
m?
?
?2
时,x?
?
y?
?
?2
,即
(x?2)?
?
(y?1)?0
,即直线
AB
过定点
(2,?1)
．
综上, 直线
AB
过定点
(2,?1)
．
第三步：例2中
M(1,?1)
再改为其关于
x
轴的对称点
M
1
( 1,?1)

例3：已知抛物线
C:y
2
?x
，
M
1
(1,?1)
是
C
上的一个定点，作射线
M
1< br>A、M
1
B
交抛物线
C
于
A、B
，
M
1
A?M
1
B
．求直线
AB
所过定点．
解：根据抛物线的对称性，不难猜想直线
AB
所过定点与例2中所过定点关于
x轴对称,即为
(2,?1)
．求解过程
略．
第四步： 提出一个问题，并对问题的答案作出猜想
当
M
点在抛物线上运动时，直线
A B
所过的定点
Q
也在运动，那么点
Q
的轨迹是什么呢？如何求出轨迹 方
程呢？
我们首先猜想
Q
的轨迹是抛物线，我们已经得到
Q
1
(1,0)
、
Q
2
(2,?1)
、
Q
3
(2,1)
，于是进一步猜想
Q
的轨迹
2,1)?
代入可 以求得
a?1
，是以
Q
1
(1,0)
为顶点，开口向右的抛 物线，于是我们设轨迹方程为
y
2
?a(x?1)
，把
Q
2
(
于是得到猜想的轨迹方程为
y
2
?x?1
．
第五步：给出第四步中猜想的详细证明
注意:证明中涉及参数非常多，因此变换过程要参照例 2中的思路方法，变换过程中分解因式比较复杂，注
意按照某个字母的降幂排列．
22
例4：设抛物线
C:y?x
上一定点为
M(t,t)
，作射线
MA 、MB
交抛物线
C
于
A、B
，
MA?MB
．求直线
AB
所
过定点
Q
的坐标,并求出
Q
的轨迹方程．
73

解:显然直线
AB
斜率不是
0，设直线
AB
的方程为
x?
?
y?m
，
联立
y
2
?x
得：
y
2
?
?
y?m? 0
，显然
m?0
，
??
?
2
?4m?0
，
设
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y2
)
，则
y
1
?y
2
?
?
，
y
1
y
2
??m
，
2
?(y
1
?y
2
)
2
?2(y
1
y
2
)?
?
2
?2m
,
x
1
x
2
?(y< br>1
y
2
)
2
?m
2
, 于是
x1
?x
2
?y
1
2
?y
2
又
MA?MB
，∴
MA?MB?0
，
即
(x
1
?t
2
)(x
2
?t
2
)+(y
1
?t)(y
2
?t)?0
，
即
x
1
x
2
? t
2
(x
1
?x
2
)?t
4
?y
1
y
2
?t(y
1
?y
2
)?t
2
?0
，
即
m
2
?t
2
(
?
2
?2m)?t
4
?m?
?
t?t
2
?0

∴
m
2
?(?2t
2
?1)m?t
2
?< br>2
?t
?
?t
4
?t
2
?0
， < br>∴
m
2
?(?2t
2
?1)m?(
?
?t) (t
2
?
?t
3
?t)?0
，
∴
[m? (
?
t?t
2
)][m?(
?
t?t
2
? 1)]?0
，
解得
m??
?
t?t
2
，或
m?
?
t?t
2
?1
．
当
m??
?< br>t?t
2
时,
x?
?
y?
?
t?t
2
,即
(x?t
2
)?
?
(y?t)?0
,
即直线
AB
过定点
M(t
2
,t)
,不符合题意．
22
当
m?
?
t?t
2
?1
时,
x?
?
y?
?
t?t?1
,即
(x?t?1)?
?
(y?t)?0
,
2
即直线
AB
过定点
Q(t?1,?t)
．
74

?
x?t
2
?1,
设
Q(x,y )
,则
?
消去
t
得
y
2
?x?1
．
?
y??t,
即
Q
的轨迹方程为
y
2
?x?1
．
第六步：母子抛物线性质及其逆命题
1、母子抛物线及其性质: 如图3,在抛物线
C:y
2
?x
上取点
M(t
2
,t)
，作射线
MA、MB
交抛物线
C
于
A、B
，
MA?MB
．则直线
AB
过的定点为
Q(t
2
? 1,?t)
．
Q(t
2
?1,?t)
的轨迹方程为
C
?
:y
2
?x?1
．我们把
C:y
2
?x
与
C
?
:y
2
?x?1
称为一对母
子抛物线．
2、母子抛物线性质的逆命题:
在子抛物线
C
?
:y
2< br>?x?1
上任取
Q(t
2
?1,?t)
,过
Q(t< br>2
?1,?t)
作母抛物线
C:y
2
?x
的弦
AB
,那么在母抛物线
C:y
2
?x
上一定存在异于
A、 B
一点
M(t
2
,t)
,且点
M
满
足MA?MB
,在实际命题中经常叙述为
MA?MB?0
,或者
联系圆的性 质, 叙述为“以弦
AB
为直径的圆过定点”．
我们不难论证母子抛物线的性质的逆命题也是真命
题，限于篇幅，在此从略．
二、母子椭圆
我们用研究母子抛物线类似的方法研究母子椭圆．
1、求特殊点:
x
2
例5、已知椭圆
C:?y
2
?1
，
M (0,1)
是
C
的一个顶点，作射线
MA、MB
交椭圆
C< br>于
A、B
，
MA?MB
．求
2
直线
AB所过定点的坐标．
解：显然直线
AB
有斜率，设直线
AB
的方 程为
y?kx?m
，
75

x
2
?y
2
?1
得：
(2k
2
?1)x
2
? 4kmx?2m
2
?2?0
， 联立
2
当
??0
时 ，设
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
，
4km2m
2
?2
,x
1
x
2
?
2
,
则
x
1
?x
2
??
2
2k?12k?1
又
MA?MB
，∴
MA?MB?0，
即
x
1
x
2
+(y
1
-1)(y
2
-1)?0
，
x
1
x
2
?y
1
y
2
?(y
1
?y
2
)?1?0
， < br>又
y?kx
1
?m
，
y?kx
2
?m
，
∴
(k
2
?1)x
1
x
2
?k(m ?1)(x
1
?x
2
)?m
2
?2m?1?0
，
4km2m
2
?2
,x
1
x
2
?
2
把
x
1
?x
2
??
2
代入上式得： < br>2k?12k?1
2m
2
?24km
(k?1)?
2
?k(m?1)?
2
?m
2
?2m?1?0
，注意到
m?1
显然不合题意，
2k?12k?1
2
2
于是上式化为：
( k?1)?
2(m?1)4km
?k??(m?1)?0
，
22
2 k?12k?1
1
3
整理得
3m?1?0
，∴
m??
．
即直线
AB
的方程为
y?kx?
1
1
，显然 直线
AB
过定点
Q
1
(0,?)
．
3
3
把
M
的坐标改为顶点
(2,0)
，类似可以求得直线
AB< br>过定点
Q
2
(
2
,0)
．
3
把< br>M
的坐标改为顶点
(0,?1)
，类似可以求得直线
AB
过定 点
Q
3
(0,)
．
1
3
把
M
的 坐标改为顶点
(?2,0)
，类似可以求得直线
AB
过定点
Q
4
(?
76

2
,0)
．
3

2、猜想:
22
1
1
x
2,0)
,,
Q
3
(0,)
Q
4
(?,0)可以猜想,当
M
在椭圆
C:?y
2
?1
上运动时,相应
Q
的轨迹为以由
Q
1
(0,?)
,
Q
2< br>(
33
2
3
3
x
2
y
2
9
?1
，即
C
?
:x
2
?9y
2
? 1
．
Q
1
、
Q
2
、
Q
3
、
Q
4
为四个顶点的椭圆，其轨迹方程为
C
?
:?
21
2
99
3、检验:
x
2
一般的证明过程比较复杂 ,我们在此仅仅把
M
改为椭圆
C:?y
2
?1
上的非顶点来 进行检验．
2
2
x
2
)
是椭圆
C
上的一 个定点，作射线
MA
例6、已知椭圆
C:?y
2
?1
， < br>M(1,
、MB
交椭圆
C
于
A、B
，
22
MA?MB
．求直线
AB
所过定点坐标．
解：如图4,显然 直线
AB
有斜率，设直线
AB
的方程为
y?kx?m
， < br>x
2
?y
2
?1
得：
(2k
2
?1 )x
2
?4kmx?2m
2
?2?0
， 联立
2
当
??0
时，设
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
，
y
M(1,
2
2
)
4km2m
2
?2
,x
1
x
2
?
2
,
则
x
1
?x
2
??
2
2 k?12k?1
又
MA?MB
，∴
MA?MB?0
，
B< br>O
x
A
22
)(y
2
-)?0
， 即
(x
1
?1)(x
2
?1)+(y
1
-
22又
y?kx
1
?m
，
y?kx
2
?m
，
图4
2
∴
(k?1)x
1
x
2
?( km?1?
23
k)(x
1
?x
2
)?m
2
?2m??0
，
22
77

1
4km 2m
2
?2
,x
1
x
2
?
2
把< br>x
1
?x
2
??
2
代入上式化简得
k
2
?4km?3m
2
?2m??0
，
2k?12k?1
2
解关于
k
的方程得：
k??m?2
2
，或
k??3m?
．
2
2
?
2
,
?
y?
?
2
即直
?
x?1,
?
?
2
222
x?0,
?
y?
)x?m
即< br>(y?x)?m(x?1)?0
,由此得
?
当
k??m?
时,
y?(?m?
解得,
2
222
?
x?1?0,
?
线
AB
过定点
(1,
2
)
,不符合题意． 2
22
2
)x?m
即
(y?x)?m(3x?1)?0
, 时,
y?(?3m?
22
2
?
2
y??,
?
12
?
6
即直线
(,?)
． 过定点
AB
?
36
?
x?
1
,
?
3
?
当k??3m?
?
2
x?0,
?
y?
由此得
?< br>解得,
2
?
3x?1?0,
?
综上, 直线
AB< br>过定点
Q
5
(,?
1
3
2
)
．
6
把
Q
5
(,?
1
3
212
9 9
)
的坐标代入
C
?
:x
2
?9y
2?1
,左右两边相等,可以知道
Q
5
(,?)
在
C?
:x
2
?9y
2
?1
上．
636
22
4、结论:
x
2
在椭圆
C:?y2
?1
上取定点
M
，作射线
MA、MB
交椭圆
C
于
A、B
，
MA?MB
．则直线
AB
过的定点< br>2
9
2
x
2
x
2
2
2
为< br>Q
．当
M
在
C:?y?1
上运动时，得到相应
Q的轨迹方程为
C
?
:x?9y?1
．我们把
C:?y
2
?1
与
22
2
9
C
?
:x
2?9y
2
?1
称为一对母子椭圆．
2
显然,这个性质的逆命题也是真命题．
三、母子双曲线
78

1、双曲线的情况比较复杂，对于等轴双曲线满足类似条件的直线
AB
是一组平行线，不再过定点：
M(1,0)
是等轴双曲线
C
的一个顶点，例 7、已知等轴双曲线
C:x
2
?y
2
?1
，作射线
MA、MB
交椭圆
C
于
A、B
，
MA?MB
．证明 直线
AB
平行于
x
轴．
证明：如图5,可以计算，当直线
AB
没有斜率时，
?AMB?90?
，当直线
AB
有斜率时，设直线
AB
的方程为
y?kx?m
，
联立
x
2
?y
2
?1
得：
(1?k
2
)x
2
?2k mx?m
2
?1?0
，
2
当
1?k?0
，
??0
时，设
A(x
1
,y
1
)、B(x
2,y
2
)
，
2kmm
2
?1
,x
1
x
2
?
2
,
则
x
1
?x
2
??
2
k?1k?1
又
MA?MB
，∴
MA? MB?0
，
即
(x
1
?1)(x
2
?1)+y< br>1
y
2
?0
，
又
y?kx
1
?m
，
y?kx
2
?m
，
∴
(k
2
?1)x
1
x
2
?(km?1)(x
1
?x
2)?m
2
?1?0
，
2kmm
2
?1
,x< br>1
x
2
?
2
,
代入上式化简得
k
2
?km?0
， 把
x
1
?x
2
??
2
k?1k?1
解关于
k
的方程得：
k?0
，或
k??m
．
当
k?0
时, 直线
AB
的方程为
y?m(m?0)
,直线
AB
平行于
x
轴．
当
k??m
时,直线
AB
的方程为
y??mx?m
，显然直线
AB
过定点
(1,0)
，不合题意．
综上,
AB
平行于
x
轴．
换个异于顶点的点
M
，可以证明相应
AB
也是一组平行线．
79

y
A
B
x
2、非等轴双曲线
例8：已知 双曲线
C:x
2
?
y
?1
，
M(1,0)
是双曲线
C
的一个顶点，作射
2
图5
2
0
M(1, 0)
线
MA、MB
交椭圆
C
于
A、B
，
M A?MB
．试探求直线
AB
是否过定点．
解：如图6, 当直线
A B
没有斜率时，当直线
AB
有斜率时，
?AMB?90?
，
设直线
AB
的方程为
y?k?x
y
y
2
m
联立
x??1
得：，
2
2
B
A
0
M(1, 0)
(2?k
2
x)
2
?k2m?x
2
m?
，
2

?0
x
当
2?k
2
?0
，
??0
时，设
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
，
2kmm
2
?2
,x< br>1
x
2
?
2
,
则
x
1
? x
2
??
2
k?2k?2
又
MA?MB
，∴
MA?MB?0
，
图6
即
(x
1
?1)(x
2
?1)+y
1
y
2
?0
，
又
y?kx< br>1
?m
，
y?kx
2
?m
，
∴
( k
2
?1)x
1
x
2
?(km?1)(x
1
?x
2
)?m
2
?1?0
，
2kmm
2
?2
,x
1
x
2
?
2
,
代入上式化简得
m
2
?2km?3k
2
?0
， 把
x
1
?x
2
??
2
k?2k?2
解关于
k
的方程得：
m??k
，或
m?3k
．
当
m??k
时, 直线
AB
的方程为
y?kx?k
,直线
AB
过定点
(1,0)
,不合题意．当
m?3k
时, 直线
AB
的方程为
y?kx?3k
，显然直线
AB
过定点< br>(?3,0)
．
综上, 直线
AB
过定点
(?3,0)
．
3、有兴趣的同学自己探求母子双曲线：
80

y
2
?1
上取定点
M
，作射线
MA、MB
交椭圆
C
于
A、B
，
MA?MB
．则直线
AB
过的定点为在 双曲线
C:x?
2
y
2
y
2
x
2
y
2
22
Q
．当
M
在双曲线
C:x??1
上运动时，得到相应
Q
的轨迹方程为
C
?
:??1
．我们把
C:x??1
与
22
918
x
2
y
2C
?
:??1
称为一对母子双曲线．
918
2
四、母子圆:
显然,在圆
C:x
2
? y
2
?1
上取定点
M
，作射线
MA、MB
交椭圆< br>C
于
A、B
，
MA?MB
．则直线
AB
过的
圆心
O
．当
M
圆
C:x
2
?y
2
?1
上运动时，得到相应
Q
仍然是圆心
O
．
也就是本文中所谓的子圆已经退化为一个点——圆心．
当然,把
MA?MB
改为
?AMB?120?
,则很容易求得
Q
的轨迹方程为
C
?
:x
2
?y
2
?.

1
4
我们 显然可以把
C:x
2
?y
2
?1
与
C
?< br>:x
2
?y
2
?
1
称为在
?AMB?120 ?
时的一对母子圆．
4
但是,如果我们把研究抛物线、椭圆、双曲线问题中的
MA?MB
改为
?AMB?120?
等非直角，则其情形
怎样呢，这个问题 显然十分复杂，期待着有兴趣的读者去研究、去探索．
规律总结:
在圆锥曲线
C< br>(不包括等轴双曲线和圆)上取定点
M
，作射线
MA、MB
交椭圆C
于
A、B
，
MA?MB
．则
直线
AB
过定点
Q
．当
M
在
C
上运动时，得到相应
Q的轨迹
C
?
仍然是相应种类的圆锥曲线,我们把
C
与
C
?
叫
做一对母子圆锥曲线．
对于母子抛物线, 子抛物线
C
?
由母抛物线
C
平移得到(平移长度恰好等于抛物线的通径),开口大小方向不变;
对于椭圆, 母子椭圆中心相同,离心率相同;
对于双曲线,母子双曲线中心相同,离心率相同,当然渐进线也相同．
本文所探究的问题涉及高考中经常考查的定值与定点问题,其变化的题目是高考的热点．
81

82