课外体育活动计划-我和你一样
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2012高考数学信息卷二
一、填空题
1. 已知
sin
?
?
14
1
?
cos2
?
的值为
?
.
?cos
?
，且
?
?(0,)
，则
?
2
22
sin(
?
?)
4
2.
函数
f(x)
的定义域为R.
f(?1)?2
，对任意的
x?R，
f'(x)?2
，则
的解集为
(?1,??)
.
f(x)?2x?4
提示：设
h(x)?f(x)?2x
，
h'(x)?f'
(x)?2?0
,故
h(x)
在R上为增函数.
又
h(?1)?f
(?1)?2?4
，由
f(x)?2x?4
，即
h(x)?h(?1)
，得
x??1
.
3. 设点
P
是
?ABC
内一
点（不包括边界），且
????????????
AP?mAB?nAC,m,n?R
，则
m
2
?(n?2)
2
的取值范围
是
(1,5)
.
A
P
????????????????
提示：
AP?
?
AQ?
?
[
?
AB?(1?
?
)AC]
B
Q
C
?
m?
??
,
(
?
?(0,1),
?
?(0,1))
,
?
n?
?
(1?
?
)
?
y
E
点
(m,n
)
在直线系
x?y?
?
上，点
(0,2)
到直线系 O
x
x?y?
?
(x?0,y?0)
上点的距离取值范围是(1,5)
.
4. 已知数列{1,2,2,3,3,3,4,4
,4,4,5，…}的首项是1，随后两项都是2，接下来3项
都是3，再接下来4项都是4，…，以此
类推，若
a
n?1
?20,a
n
?21
，则
n= 211 .
提示：∵
n?1?1?2?3???20?
20?(1?20)
?210
，
?n?211
.
2
x
2
y
2
5. 已知点
P
是双曲线2
?
2
?1(a?0,b?0)
右支上一点，
F
1、
ab
F
2
分别是双曲线的左、右焦点.
I
为
?PF
1
F
2
内心，若
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1
S
?IPF
1
?S
?IP
F
2
?S
?IF
1
F
2
，则双曲线的离心率为
2 .
2
1c
提示：
PF
1
?PF
2
?.2c?c
,
?2a?c,?e??2
.
2a
6. 如图，在
?ABC
中，
?BAC?90?,AB?6,D
在斜边
BC
上，
????????
CD?2DB
,则
AB?AD
的值为
24 .
C
D
A
B
7. 各项都为正数的数列?
a
n
?
，其前
n
项的和为
S
n，且
S
n
?(S
n?1
?a
1
)
2<
br>(n?2)
，
a
n?1
a
n
4n
2
?6n
?
若
b
n
?
，且数列
?
b
n
?
的前
n
项的和为
T
n
，则
T
n
=.
a
n
a
n?1
2n?1
提示：
S
n
?S
n?1
?S
1
，
S
n
?n
S
1
,S
n
?n
2
a
1
,
2n?12n?122
,
??2??
2n?12n?12n?12n?1<
br>222222
T
n
?(2??)?(2??)?
?
?(2??
)
13352n?12n?1
a
n
?S
n
?S<
br>n?1
?(2n?1)a
1
，
b
n
?
24n
2
?6n
?2n?2??
.
2n?12n?1
二、解答题
1. 如图，以
?x
为始边作角
?
与
?
（0?
?
?
?
?
?
)
，它们的终边分别
与单位圆相
34
交于点P、Q,已知点P的坐标为
(?,).
55
sin2
?
?cos2
?
?1
(1)求的值；
1?tan
?
(2)若
OP?OQ?0,
求
sin(
?
?
?
)
的值.
34
解：(1)由三角函数
的定义得
cos
?
??,sin
?
?,
552sin
?
cos
?
?2cos
2
?
2cos
?
(sin
?
?cos
?
)
则原式=
?
sin
?
sin
?
?cos
?
1?
cos
?
cos
?
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318
?2cos
2
?
?2?(?)
2
?.
5
25
?
?
?OP?OQ?0,?OP?OQ?
?
?
?
?，
(2)
?
?
?
?
?
，
2
2
?sin
?
?sin(
?
?
?
2
)??
cos
?
?
3
?
4
，
cos
?
?
cos(
?
?)?sin
?
?.
525
?sin
(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
44337
??(?)??.
555525
?A
1
B
1
C
1
中，侧棱与底面垂直，
?ABC?90
?
，2.如图①三棱柱
ABC
AB?BC?BB
1
，
M,
N分别是
AB,A
1
C
的中点.
(1)
求证：
MN平面BCC
1
B
1
;
(2)
求
证：
MN?平面A
1
B
1
C
.
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①
②
证明：(1)如图②,连接
BC
1
,AC
1
,
显然AC
1
过点N.
?
M,N分别是
AB
,
A
1
C
的中点，
?
MNBC
1
又
?MN?平面BCC
1
B
1
,
BC<
br>1
?平面BCC
1
B
1
,
?
MN平面BCC
1
B
1
.
(2)
?
三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，侧棱与底面垂直，
BC?BB
1
,
?
四边形BCC
1
B
1
是正方形
1）MNBC
1
?
BC
1
?B
1
C，由（
?
MN?B
1
C
.
连接A
1
M,CM,由AM?MB,BC?BB
1
?AA
1
.?MBC??MAA1
?90
?
,
??AMA
1
??BMC.
?A
1
M?CM
,又
N是A
1
C
的中点,
?
MN?A
1
C
.
?
B
1
C与A
1
C相交于点C
，
?
MN?平面A
1
B
1
C
.
3．烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。已知落在地面某处的烟尘浓度与该
处到烟囱的距离成反比，
现有两座烟囱相距10㎞，甲烟囱喷出的烟尘浓度是乙
烟囱的2倍，在距甲烟囱1km处的烟尘浓度为2
个单位
m
3
,现要在甲、乙两烟
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囱之间建一所学校，问学校建在何处，烟尘对学校的影响最小？
解：设学校建立在离甲烟囱
xkm
处，则该处甲、乙两烟囱的烟尘浓度分别为 y
甲
＝
2kk
,y
乙
?,(0?x?10),
x10?x
2kk
?,(0?x?10),
x10?x
则
在该处的烟尘浓度
f(x)?y
甲
?y
乙
?
由已知
2?
f(x)?
2k
,?k?1.
所以，
1
2120?x
??
x10?x
10x?x
2
11
1
???
200
?
30?220030?202
?
30?<
br>?
(20?x)?
20?x
?
??
.
当且仅当
20?x?200,
即
x?20?102
时取等号，故学校应建立在离甲烟囱
(20?102)km
处烟尘对学校的影响最小.
x
2
y
2
4．
已知双曲线??1
,
62
(1)求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程.
(2)点
P
在椭圆E上，点
C
(2,1)关于坐标原点的对称点为
D
，直线
CP
和
DP
的斜率都存在且不为0，试问直线
CP
和
DP
的斜率之积是否为定值？若是，求
此定值;若不是，请说明理由.
(3)平行
于CD的直线
l
交椭圆E于M、N两点，求
?CMN
面积的最大值，并
求此时直线
l
的方程.
x
2
y
2
（1）设椭圆
E方程为
2
?
2
?1,a?b?0,则a
2
?6?2?8，
c
2
?6.
解：
ab
x
2
y
2
?椭圆E方程为??1.
82
(2)依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，直线CP和DP
的
斜率K
CP
和K
DP
均存在，设P(x,y),
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y?1y?1y?1y?1y
2
?1
则KCP
?,K
DP
?,?K
CP
?K
DP
???
2
.
x?2x?2x?2x?2x?4
又?点P在椭圆E上，?x?8?4y，K
CP
?K
DP
22
y
2
?
11
?
2
??
.
x?44
1
?直线CP和DP的斜率之积为定值?
.
4
1
(3)
?
直线CD的斜率为，CD平行于直线
l
，
2
1
?
设直线
l
的方程为
y?x?t,
2
1
?
y?x?t
?
?
2
由
?<
br>2
，
2
xy
?
??1
?
2
?8
消去
y
，整理得
x
2
?2tx?2t
2?4?0
，
?x
1,2
?2t?16?4t
2
2?(t?4)
,
2
?MN?
?
x
1
?x2
?
2
?
?
y
1
?y
2
?<
br>2
1
?1?()
2
?x
1
?x
2
2
?5?4?t
2
(?2?t?2)
. 点C到直线MN的距离为
d?
t
1
?1
4
?
2
t
5
,
?S
?CMN
2t
11
2
?MN?d??5?4?t??t?4?t
2
22
5
4
?2.
2
?
t
2
(4?t
2
)?
当且仅当
t
2
?4?
t
2
,即t
2
?2时取等号，
?CMN面积得最大值为2，此时直线l的方程为y?
1
x?2.
2
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5. (1) 已知两个等比数列
?
a
n<
br>?
，
?
b
n
?
，满足
a
1
?a(a?0),b
1
?a
1
?1,b
2
?a
2<
br>?2,
b
3
?a
3
?3
.若数列
?
a
n
?
唯一，求
a
的值；
(2)是否
?
a
n
?
，
?
b
n
?
，使得b
1
?a
1
,b
2
?a
2
,b
3
?a
3
,b
4
?a
4
成公
差不为0的
等差数列？若存在，求
?
a
n
?
，
?
b
n
?
的通项公式；若不存在，说明理由.
解：(1)设
?
a
n
?
的公比为
q
，则
b
1
?1?a,b
2
?2?aq,b
3
?3?aq
2
.
由
b
1
,b
2
,b
3
成等比数列得
(2?aq)
2?(1?a)(3?aq
2
)
，
即
aq
2
?4aq?3a?1?0
.（
?
） 由
a?0
得
??4a
2
?4a?0
，故方程（
?
）有两个不同的实根.
1
再由
?
a
n
?
唯一，知方程必有一根为0，将
q?0
代入方程得
a?
.
3
(2) 假设存在两个等比数列
?
a
n
?
，?
b
n
?
，使得
b
1
?a
1
,b
2
?a
2
,b
3
?a
3
,b
4
?a
4
成公差不
为0的等差数列，设
?
a
n?
的公比为
q
1
，
?
b
n
?
的公比为
q
2
.
则
b
2
?a
2
?b
1
q
2
?a
1
q
1
，
b
3
?a
3
?b
1
q
2
2
?a
1
q
1
2
，
b
4
?
a
4
?b
1
q
2
3
?a
1
q1
3
.
由
b
1
?a
1
,b
2
?a
2
,b
3
?a
3
,b
4
?
a
4
成等差数列得
22
?
?
2(b
1
q
2
?a
1
q
1
)?b
1
?a
1<
br>?(b
1
q
2
?a
1
q
1
),
?
2233
?
?
2(b
1
q
2?a
1
q
1
)?b
1
q
2
?a
1
q
1
?(b
1
q
2
?a
1
q
1
).
22
?
(*)
?
b
1
(q
2
?1)?a
1
(q
1
?1)?0,
即
?
22
?
?
b
1
q
2
(q2
?1)?a
1
q
1
(q
1
?1)?0.(*
*)
(*)
?q
2
-(**)得
a
1
(q
1
?q
2
)(q
1
?1)
2
?0
. 由
a
1
?0
得
q
1
?q
2
或
q
1
?1
.
当
q
1
?q
2
时，由(*) (**)得
b
1
?a
1
或
q
1
?q
2
?1
，
这时
(b
2
?a
2
)?(b
1
?a
1)?0
，与
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公差不为0矛盾.
当
q
1
?1
时，由(*) (**)得
b
1
?0
或
q
2
?1
，这时
(b
2
?a2
)?(b
1
?a
1
)?0
，与公差不
为0矛
盾.
综上所述，不存在两个等比数列
?
a
n
?
，
?
b
n
?
，使得
b
1
?a
1
,b
2
?a
2
,b
3
?a
3
,b
4<
br>?a
4
成
公差不为0的等差数列.
6.
已知函数
f
1
(x)?
mx1
x?m
,f(x)?()
,其
中
m?R且m?0
.
2
2
4x
2
?16
(1)判断函数
f
1
(x)
的单调性；
?f
1
(
x)?f（
(2)若
m??2
，求函数
f(x）
2
x)(x
?
?
?2,2
?
)
的最值；
?
f
1(x),x?2
(3)设函数
g(x)?
?
，当
m?2
时，若对于任意的
x
1
?
?
2,??
?
，总存在<
br>f(x),x?2
?
2
唯一的
x
2
?
???,2
?
，使得
g(x
1
)?g(x
2
)<
br>成立，试求
m
的取值范围.
m(4?x
2
）
,f(x)
在
(?2,2)
上单调递增，在解：（1）
f
?
1
(x)?
22
则当
m?0
时，知函数
1
(2x
?8)
?
??,?2
?
及
(2,??)
上单调递减；当m?0
时，知函数
f
1
(x)
在
(?2,2)
上单调递减，
在
?
??,?2
?
及
(2,??)
上
单调递增.
1
x?m
1
xm
m??2,?2?x?2
f(
x)?()?2?()
. (2)由，可得
2
22
mx1
xm
?f(x）?f
1
(x)?f（x)??2?()
.
2
2
4x
2
?16
由(1)知，当
m??2
，
?2?x?2<
br>，函数
f
1
(x)
在
?
?2,2
?
上是减函数，
1
xm
f(x)?2?()
在
?
?2,2<
br>?
上也是减函数， 而函数
2
2
mm
故当
x??2<
br>时，函数
f(x)
取得最大值
4?2
m
?,即2
m?
2
?
.
1616
m
当
x?2
时,
函数
f(x)
取得最小值
2
m?2
?
.
16(3)当
m?2
时，由于
x
1
?2
，则
g(x
1
)?f
1
(x
1
)?
mx
1
4
x
1
?16
2
，
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由(1)知，此时函数
g(x
1
)
在
?
2,??
?
上是减函数，
m
（0，f
1
(2)]，即g(x
1
)?（0，]
从而
g(x
1
)?
16
若
m?2
时，由于
x
2
?2
，
111
则
g(x
2
)?f<
br>2
(x
2
)?
()
x
2
?m
=()
m?x
2
=
()
m
?2
x
2，
222
1
（0，f
2
(2))，即g(x
2
)?（0，()
m?2
)
. 易知
g(x
2
)
在
?
??,2
?
上单调递增，从而
g(x
2
)?2
m1
m?2
m1
m?2
?0
成立即可, 要使
g(x
1
)?g(x
2
)
成立，只需
?()
，即
?()
162162
m1
设
h(m)??()
m?2
,
则易知函数
h(m)
在
?
2,??
?
上单调递
增，且
h(4)?0
，
162
故
m?4
，所以
2?m?4
.
三、理科附加题
1.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程、民生工程和产业建设工程
三类，
111
这三类工程所含项目个数分别占总数的
、、，
现在3名工人独立
地从中任意一
236
个项目参与建设.
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率.
(2)记
X
为3人中选
择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求
X
的分布列及数学期望.
解
：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别
为事件A
i
，B
i
，C
i
，i=1，2，3.由题意，知A
1，A
2
，A
3
相互独立，B
1
，B
2
，
B
3
相互独立，C
1
，C
2
，C
3相互独立, A
i
，B
j
，C
k
(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相
111
同)相互独立，且P
(A
i
)=,P(B
j
)= ,P(C
k
)= .
236
(1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P
=3! P
(A
1
B
2
C
3
)= 6P (A
1
) P (B
2
) P
(C
3
)=
6???
1111
?
.
2366
(2) 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为
?
，
1
由已知
?
~B（3，），且X?3?
?
所以
3
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1122
3
1
3
P（X?0）?P(
?
?3)?C
3
()?,P（X?1）?P(
?
?2)?C
3
2
()
2
()?,
327339
41
1
12
20
2
3
P（X?2）?P(
?
?
1)?C
3
()()?,P（X?3）?P(
?
?0)?C
3
()?,
339327
故X的分布列是
X的数学期望是
E（X）?0?
2.已知函数
f(x)?ln(x
?1)?ax?
1?a1
(a?)
.
x?12
1248
?1??2??3??2
.
279927
(1)当曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线与直线
l:y??2x?1
平行时，求a的值；
(2)求函数
f(x)
的单调区间.
解：
f
?
(
x)?
11?a?x(ax?2a?1)
?a??,x??1
,
22
x?1
(x?1)(x?1)
(1)由题意可得
f
?
(1)?1?3a
??2,
解得
a?3
，
4
因为<
br>f(1)?ln2?4,
此时在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y
?(ln2?4)??2(x?1)
，
即
y??2x?ln2?2,
与直线
l:y??2x?1
平行，故所求a的值为3.
(2)令
f
?(x)?0,
得到
x
1
?
由
a?
1
?
2,x
2
?0
，
a
11
可知
?2?0,即x
1
?0
.
2a
11
①
当
a?
时，
x
1
??2?0?x
2
.
2a
?x
2
?0,x?(?1,??)
， 所以
f
?
(x)?
2
2(x?1)
故
f(x)
的单调递减区间为<
br>(?1,??)
.
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11
?a?1
时,
?1??2?0,即-1?x
1
?0?x
2
,
2a
1
所以在区间
(?1,?2)和(0,??)上f
?
(x)?0
，
a
1
在区间
(?2,0)上f
?
(x)?0.
<
br>a
11
故
f(x)
的单调递减区间为
(?1,?2)和(0,
??)
，单调递增区间为
(?2,0)
.
aa
1
③
当
a?1
时，
x
1
??2?-1
，
a
②
当
所以在区间
(?1,0)
上
f
?
(x)?0
；
在区间
(0,??)
上
f
?
(x)?0
；
故
f(x)
的单调递增区间为
(?1,0)
，单调递减区间为
(0
,??)
.
综合讨论可得：
1
时，函数
f(x)
的单调递减区间为
(?1,??)
；
2
11
当
?a?1
时，函数
f(x)
的单调递减区
间为
(?1,?2)和(0,??)
，单调递增区
2a
1
间为
(?2,0)
.
a
当
a?
当
a?1
时，函数<
br>f(x)
的单调递增区间为
(?1,0)
，单调递减区间为
(0,??
)
.
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