2014年山东高考文科数学及参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学
第Ｉ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
(1) 已知
a,b?R,i
是虚数单位. 若
a?i
＝
2?bi
， 则
(a?bi)
2
?

(A)
3?4i
(B)
3?4i
(C)
4?3i
(D)
4?3i

(2) 设集合
A?{x|x
2
?2x?0} ,B?{x|1?x?4}
，则
A
(A)
(0,2]
(B)
(1,2)
(C)
[1,2)

B?

(D)
(1,4)

(3) 函数
f(x)?
1
的定义域为
log
2
x?1
(B)
(0,2]
(C)
(2,??)
(D)
[2,??)
(A)
(0,2)

3
(4) 用反证法证明命题：“设
a,b
为实数，则方程
x?ax?b?0
至少有一个 实根”时，要做
的假设是


3
(A) 方程
x?ax?b?0
没有实根
3
(B) 方程
x?ax?b?0
至多有一个实根
33
(C) 方程
x?ax?b?0
至多有两个实根 (D) 方程
x?ax?b?0
恰好有两个实根
(5) 已知实数
x,y
满足
a?a(0?a?1)
，则下列关系式恒成立的是


(A)
x?y

33
xy




(B)
sinx?siny

(D) (C)
ln(x
2
?1)?ln(y
2
?1)

11
?

22
x?1y?1
(6) 已知函数
y? log
a
(x?c)(a,c为常数，其中a?0,a?1)
的图象如右图，则下列结 论成
立的是


(A)
a?0,c?1
(B)
a?1,0?c?1

1
y
x
(C)
0?a?1,c?1
(D)
0?a?1,0?c?1

0

(7) 已知向量
a?(1,3),b?(3,m)
. 若向量
a,b
的夹角为
(A)
23
(B)
?
，则实数
m?

6
3
(C) 0 (D)
?3

(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验， 所有志愿者的舒张压数据（单
位：kPa）的分组区间为
[12,13),[13,14),[ 14,15),[15,16),[16,17]
，将其按从左到右的顺序
分别编号为第一组， 第二组，??，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
已知第一组与第二组共有20人， 第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
( )
频率组距
0.36
0.24
0.16
0.08
12


(9) 对于函数
f(x)
，若存在常数
a?0
，使得< br>x
取定义域内的每一个值，都有
13
14
151617
舒张压 kPa

(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18
f(x)?f(2a?x)
，则称
f (x)
为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )


(A)
f(x)?x






(B)
f(x)?x

(D)
f(x)?cos(x?1)

3
(C)
f(x)?tanx

(10) 已知
x,y
满足约束条件
?
?
x?y?1?0,
当目标函数
z?ax? by(a?0,b?0)
在该约
?
2x?y?3?0,
22
束条件下 取到最小值
25
时，
a?b
的最小值为( )




(A) 5 (B) 4 (C)
5
(D) 2

第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

(11) 执行右面的程序框图，若输入的
x
的值为1，则输出的
n
的值为 .
(12) 函数
y?
开始
输入x
n?0
3
sin2x?cos
2
x
的最小正周期为 .
2
(13) 一个六棱锥的体积为
23
，其底面是边长为2的正六边形， 侧棱长
都相等，则该六棱锥的侧面积为 。
(14) 圆心在直线
x?2 y?0
上的圆
C
与
y
轴的正半轴相切，圆
C
截x
轴所
得弦的长为
23
，则圆
C
的标准方程为 。
3
x?4x?3?0
是
x?x?1
n?n?1
否
输入x
结束
x
2
y
2
(15) 已知双曲线< br>2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦距为
2c
，右顶 点为A，抛
ab
物线
x
2
?2py(p?0)
的焦点为F， 若双曲线截抛物线的准线所得线段长为
2c
，且
|FA|?c
，
则双 曲线的渐近线方程为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

(16)（本小题满分12分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽 样检测，从各地区进口此种商
品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样
品进行检测.
地区
数量
A
50
B
150
C
100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽 取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同
地区的概率.

(17) （本小题满分12分）
?ABC
中，角A，B，C所对的边分别为
a,b,c
. 已知
a?3,cosA?
（Ｉ）求
b
的值；
（II）求
?ABC
的面积.













(18)（本小题满分12分）
6
?
,B?A?
.
32
如图，四棱锥
P?ABCD
中，
AP?平面PCD,ADBC ,
AB?BC?
为线段
AD,PC
的中点。
（Ⅰ）求证：
AP平面BEF

（Ⅱ）求证：
BE?平面PAC
















1
AD
,
E,F
分别
2
P
D< br>C
A
E
B

(19) （本小题满分12分）
在等差数列
{a
n
}
中，已知公差
a
1
?2
，
a
2
是
a
1
与
a
4
的等比中项.
（Ｉ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（II）设
b
n
?a
n(n?1)
，记
T
n
??b
1
?b
2
?b
3
?b
4
?…?(?1)
n< br>b
n
，求
T
n
.
2












(20) （本小题满分13分）
设函数
f(x)=alnx+
x?1
，其中
a
为常数.
x+1< br>（Ｉ）若
a?0
，求曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程；
（II）讨论函数
f(x)
的单调性.

(21)（本小题满分14分）
x
2
y
2
3
在平 面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，直线
y?x
被
ab
2
椭圆
C
截得的线段长为
410
.
5
（Ｉ）求椭圆
C
的方程；
（II）过原点的直线与椭圆
C
交于
A
，
B
两点（
A
，
B
不是 椭圆
C
的顶点）. 点
D
在椭
圆
C
上，且
AD?AB
，直线
BD
与
x
轴、
y
轴分别交于M
，
N
两点.
（i）设直线
BD
，
AM的斜率分别为
k
1
,k
2
，证明存在常数
?
使 得
k
1
?
?
k
2
，并求出
?
的< br>值；
（ii）求
?OMN
面积的最大值.

2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
文科数学参考答案
一、选择题
1—5、ACDAA 6—10、CBCDB

二、填空题

11、3 12、π 13、12 14、
(x?2)
2
?(y?1)
2
?4
15、
y??x


三、解答题
16、（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：

A:B:C?50:150:100?1:3:2

所以各地区抽取商品数为：A:6?
132
?1
，
B:6??3
，
C:6??2< br>；
666
（Ⅱ）设各地区商品分别为：
A,B
1
,B
2
,B
3
,C
1
,C
2

基本时间空 间
?
为：
?
A,B
1
?
,
?
A, B
2
?
,
?
A,B
3
?
,
?A,C
1
?
,
?
A,C
2
?
,
?
B
1
,B
2
?
,
?
B
1,B
3
?

?
B
1
,C
1
?
,
?
B
1
,C
2
?
,
?
B
2
,B
3
?
,
?
B
2
,C1
?
,
?
B
2
,C
2
?
,< br>?
B
3
,C
1
?
,
?
B
3
,C
2
?
,
?
C
1
,C
2
?
，共15个.
样本时间空间为：
?
B
1
,B
2
?
,
?
B
1
,B
3
?
,
?
B
2
,B
3
?
,
?
C
1,C
2
?

所以这两件商品来自同一地区的概率为：
P
?
A
?
?

17、（Ⅰ）由题意知：
sinA?1?cos
2
A?
4
.
15
3
，
3

sinB?sin
?
A?
?
?
?
?
??
6
，
?sinAco s?cosAsin?cosA?
?
2
?
223
aba?sinB< br>??b??32

sinAsinBsinA
由正弦定理得：
（Ⅱ）由余弦定理得：
b
2
?c
2
?a
2
6

co sA???c
2
?43c?9?0?c
1
?3,c
2
?33 ,

2bc3
又因为
B?A?
?
2
为钝角， 所以
b?c
，即
c?3
，

所以
S
ABC
?
132
acsinB?.

22
18、（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2
?AB?BC,ADBC,
?
四边形ABCE为菱形
?O,F分别为AC,PC中点，?OFAP

?AP平面BEF
又
?OF?平面BEF，
（Ⅱ）
?AP?平面PCD，CD?平面PCD,?AP?CD

?BCED,BC?ED,?BCDE为平行四边形，?BECD
,
?BE?PA

又?ABCE为菱形，?BE?AC

又?PA?AC?A,PA、AC?平面PAC
,
?BE?平面PAC


19、（Ⅰ）由题意知：
?
a
n
?
为等差数列 ，设
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
，
?a
2
为
a
1
与
a
4
的等比中项
2
?a
2
?a
1
?a
4
且< br>a
1
?0
，即
?
a
1
?d
?
2
?a
1
?
a
1
?3d
?
，
?
d?2
解得：
a
1
?2

?a
n
?2?(n?1)?2?2n

（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：a
n
?2n
，
b
n
?a
n(n?1)
?n(n?1)

2
①当n为偶数时：
T
n
??
?
1?2
?
?
?
2?3
?
?
?
3 ?4
?
?
??
?n
?
n?1
?
?2
?
?1?3
?
?4
?
?3?5
?
?
??
?n
?
?
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?
?2?2?4?2?6?2?
??
?n?2

?2?
?
2?4?6?
??
?n
?
?
2?n
?
n
n
2
?2n
2
??2?
22
②当n 为奇数时：

T
n
??
?
1?2
?
?
?
2?3
?
?
?
3?4
?
?
? ?
?n
?
n?1
?
?2
?
?1?3
??4
?
?3?5
?
?
??
?
?
n?1
?
?
?
?
n?2
?
?n
?
?n< br>?
n?1
?
?2?2?4?2?6?2?
??
?
?< br>n?1
?
?2?n
?
n?1
?

?2??
2?4?6?
??
?
?
n?1
?
?
?n
?
n?1
?
?
2?n?1
?
n?1
2
n
2
?n
?
n?1
?
??
?2n?1?2?
22
?
n
2
?2n?1
?，n为奇数
?
?
2
T
n
?
?
2
综上：
?n?2n
,n为偶数
?
?
2
20、(1)
当a?0时< br>f(x)?
x?12
,f
?
(x)?

2
x?1(x?1)
f
?
(1)?
21
?

(1?1)
2
2
又
?y?
f(1)?0?直线过点(1,0 )

11
x?

22
(2)
f
?
(x)?
a2
?(x?0)

x(x?1)
2
2
恒大于0.f(x)在定义域上单调递增.
2
(x?1)
①当a?0时，f
?
(x)?
a2a(x?1)< br>2
?2x
②当a?0时，f
?
(x)??=?0.f(x)在定义域上 单调递增.

22
x(x?1)x(x?1)
1
③当a?0时，?? (2a?2)
2
?4a
2
?8a?4?0,即a??.

2
开口向下，f(x)在定义域上单调递减。

当?
1?(2a?2)?8a?4?a?1?2a?1

?a?0时，??0 .x
1,2
??
22aa
2a?21
??1??0.且x
1
x
2
?1?0

2aa
对称轴方程为x??

?f(x)在(0,
?a?1?2a?1?a?1?2a?1?a?1?2a?1
)单 调递减，(,)单调递增，
aaa
?a?1+2a?1
(，+?)单调递减。
a
11?a?1?2a?1

时，f(x)在定义域上单调递减；??a?0时，f( x)在(0,)单调递减，
22a
综上所述，a?0时，f(x)在定义域上单调递增；a?0 时，f(x)在定义域上单调递增
a??
(
?a?1?2a?1?a?1?2a?1? a?1+2a?1
,)单调递增，(，+?)单调递减。
aaa
3c3c
2< br>3a
2
?b
2
3
21、(1)
e???即
2
=,??a
2
?4b
2

2
2a2a4a4
设直线与椭圆交于
p,q
两点。不妨设
p
点为直线和椭圆在第一象限的交点 。
又弦长为
4102525
，?p(,)
555

44< br>?
5
2
?
5
2
?1
ab
联立解得a
2
?4,b
2
?1
x
2
?椭圆方程为?y
2
?1.
4