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2005至2014年山东省高考文科数列汇总

作者:高考题库网
来源:https://bjmy2z.cn/zuowen
2021-01-08 20:12
tags:2014山东高考

相互关爱的作文-四年级科学试卷

2021年1月8日发(作者:明中)


2005年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学
(1)
?a
n
?
是首顶
a
1
?1
,公差
d?3
的等差数列,如果
a
n
?2005
,则序号
n
等于
(A)667 (B) 668 (C) 669 (D)670
(C)
(21) (本小题满分12分)已知数列
?
an
?
的首项
a
1
?5,

n
项和为< br>S
n
,且

S
n?1
?S
n
?n? 5(n?N
*
)
(I)证明数列
?
a
n
?1
?
是等比数列;
(21) (本小题满分12分)(考查知识点:数列)
解:由 已知
S
n?1
?S
n
?n?5(n?N
*
)

可得
n?2,S
n
?2S
n?1
?n?4
两式 相减得
S
n?1
?S
n
?2
?
S
n?S
n?1
?
?1
,即
a
n?1
?2a
n
?1

从而
a
n?1
?1?2
?
a< br>n
?1
?


n?1
时,
S
2?2S
1
?1?5
,所以
a
2
?a
1
?2a
1
?6


a
1
?5
所以
a
2
?11
,从而
a
2
?1?2
?
a1
?1
?

故总有
a
n?1
?1?2(an
?1)

n?N


a
1
?5,a
1
?1?0
,从而
*
a
n?1
?1
?2< br>,
a
n
?1
即数列
?
a
n
?1< br>?
是以
?
a
1
?1
?
?6
为首项, 2为公比的等比数列;
(II)由(I)知
a
n
?3?2
n
?1

因为
f(x)?a
1
x?a
2
x
2
?
从 而
f
?
(1)?a
1
?2a
2
?
2
=
32?2?2?
?a
n
x
n
所以
f
?
(x)?a
1
?2a
2
x?
?na
n
=< br>?
3?2?1
?
?2
?
3?2
2
?1
?
?
?na
n
x
n?1

?n(3?2
n
?1)

?
?n?2
n
?
-
?
1?2??n
?
=
3
?
n?1
?
?2
n?1
?
n(n?1)
?6
.
2
2006年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学
(14)设
S
n
为等差数列
?
a
n
?
的前n项和,
S
4
=14,
S
10
?S
7
?30
,则< br>S
8
= .
14、54


(22)(本小题满分14分)
已知数列
?
a
n< br>?
中,
a
1
?
1
、点(n、2a
n?1?a
n

在直线
y?x
上,其中
n?1,2,3... .

2
(Ⅰ)令
b
n
?a
n?1
?an
?1,求证数列
?
b
n
?
是等比数列;

(Ⅱ)求数列
?
a
n
?
的通项;

(Ⅲ) 设
S
n
、T
n
分别为数列
?
a
n
??
b
n
?
的前
n
项和,是否

存在实数
?
,使得数列
?
?
S
n
?
?
T< br>n
?
?
为等差数列?若存在,
?
n
?
试求出
?
.若不存在,则说明理由。






22.解:(I)由已知得
a
1
?
1
,2a
n?1
?a
n
?n,

2
3313
a2
?,a
2
?a
1
?1???1??,

44 24

b
n
?a
n?1
?a
n
?1,
b
n?1
?a
n?2
?a
n?1
?1,

a
n?1
?(n?1)a
n
?na
n?1
?an
?1
?
b
n?1
a
n?1
?a
n< br>?1
1
22
?
2
????.

b
n
a
n?2
?a
n?1
?1a
n?1
?a
n
?1a
n?1
?a
n
?12
1
3
?{b< br>n
}
是以
?
为首项,以为公比的等比数列.
2
4< br>31
n?1
31
(II)由(I)知,
b
n
???( )???
n
,

4222
31
?a
n?1
?a
n
?1???
n
,

22
31
?a
2
?a
1
?1???,
< br>22
31
a
3
?a
2
?1???
2
,

22


??????

31
?a
n
?a
n?1
?1???
n?1
,

22
将以上各式相加得:
3111
?a
n
?a
1
?(n?1)??(?
2
?????
n?1
),

2222
11
(1?
n?1
)
31313
2
?a< br>n
?a
1
?n?1??
2
??(n?1)?(1?
n ?1
)?
n
?n?2.
1
22222
1?
2
3
?a
n
?
n
?n?2.

2
(III)解法一:
存在
?
?2
,使数列
{

S
n
?
?
T
n
}
是等差数列.
n
111
S
n
?a
1
?a
2
?????a
n
?3(
1
?
2
?????
n
)?(1? 2?????n)?2n

222
11
(1?
n
)
2
?
n(n?1)
?2n

?3?
2
1
2
1?
2
1n
2
?3n3n
2
?3n
?3( 1?
n
)???
n
??3.

2222
31
?(1?
n
)
2
??
3
(1?
1
)??
3
?
3
.

T
n
?b
1
?b
2
?????b
n
?
4
nn?1
1
2 222
1?
2
S?
?
T
n
S?
?
T
n
}
是等差数列的充要条件是
n
?An?B,(A
B
是常数
)
数列
{
n
nn

Sn
?
?
T
n
?An
2
?Bn,
3n
2
?3n33
?3?
?
(??
n?1
)< br> 又
S
n
?
?
T
n
??
n
?
2222
n
2
?3n
?
1
??3(1?)(1?
n
)

222
?
当且仅当
1?
解法二:
?
2
?0
,即
?
?2
时,数列
{
S
n
?
?
T
n
}
为等差数列.
n
存在
?
?2
,使数列
{
S
n
?
?
T
n
}
是等差数列.
n
由(I)、(II)知,
an
?2b
n
?n?2


?S
n
?2T?
n(n?1)
?2n
2
n(n?1)
?2n?2T
n
?
?
T
nS
n
?
?
T
n
2

?
nn
n?3
?
?2
??T
n

2n
31
?(1?
n
)
2
??
3
(1?< br>1
)??
3
?
3

T
n
?b1
?b
2
?????b
n
?
4
nn?1
1
2222
1?
2
S
n
?
?
T
n
n?3
?
?233
??(??
n?1
)

n2n22
S?
?
T
n
}
是等差数列.
?
当且仅当
?
?2
时,数列
{
n
n
200 7年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学
18.(本小题满分12分)

{a
n
}
是公比大于1的等比数列,
S
n
为数列< br>{a
n
}
的前
n
项和.已知
S
3
? 7
,且
a
1
?3,3a
2
,a
3
?4构成等差数列.
(1)求数列
{a
n
}
的等差数列.
(2)令
b
n
?lna
3n?1
,n?1
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T

,2,,?
a
1
?a
2
?a
3
?7,
?
18.解:(1)由已知得
:
?
(a?3)?(a?4)

13
?3a
2
.
?
?2
解得
a
2
?2

设数列
{a
n
}
的公比为
q
,由
a
2
?2
,可得
a
1< br>?

2
,a
3
?2q

q
S
3
?7
,可知
2
2
?2?2q?7

q

2q?5q?2?0

解得
q
1
?2,q
2
?
1

2
,?q?2
. 由题意得
q?1


?a
1
?1

故数列{a
n
}
的通项为
a
n
?2
n?1

(2)由于
b
n
?lna
3n?1
,n?1

,2,,





由(1)得
a
3n?1
?2
3n

?b
n
?ln2
3n
?3nln2


b
n?1
?b
n
?3ln2
n

?{b
n
}
是等差数列.
?T
n
?b
1
?b
2
?
?
?b
n


n(b
1
?b
n
)
2
n(3ln2?3ln2)

?
2
3n(n?1)
?ln2.
2
3n(n?1)
ln2

2

T
n
?
2008年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学
20.(本小题满分12分)
将数列
?
a
n
?
中 的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a
1

a
2

a
3

a
4

a
5

a
6

a
7

a
8

a
9

a
10
记表中的第一列数
a
1
,a
2
,a
4
,a7

构成的数列为
?
b
n
?

b1
?a
1
?1

S
n
为数列
?
b
n
?
的前
n
项和,且满足
2b
n
?1 (n

2)

2
b
n
S
n
?S
n


(Ⅰ)证明数列
?
?
1
?
?成等差数列,并求数列
?
b
n
?
的通项公式;
?S
n
?
4
时,求上表中第
k(k

3)
行所有项的和.
91
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成 等比数列,且公比为
同一个正数.当
a
81
??
20.(Ⅰ)证明: 由已知,当
n

2
时,
2b
n
?1
, < br>2
b
n
S
n
?S
n

S
n
?b
1
?b
2
?
所以
?b
n

2(S
n
?S
n?1
)
?1

2
(S
n
?S
n?1
)S
n
?S
n
2(S
n
?S
n?1
)
?1

?S
n?1
S
n
111
??

S
n
S
n?1
2
所以

S
1
?b
1
?a
1
?1

所以数列
?
?
1
?
1
是首项为1,公差为的等差数列.
?
2
?
S
n
?
11n?1

? 1?(n?1)?
S
n
22
由上可知

S
n
?
2

n?1
所以当
n

2
时,b
n
?S
n
?S
n?1
?
222
?? ?

n?1nn(n?1)
?
1,    n?1,
?
因 此
b
n
?
?

2
?
?
n(n?1 )
,n

2.
?
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为< br>q
,且
q?0

因为
1?2??12?
12?13
?78

2
所 以表中第1行至第12行共含有数列
?
a
n
?
的前78项,

a
81
在表中第13行第三列,


因此
a
81
?b
13
q??

b
13
??
2
4

91
2

13?14
所以
q?2

记表中第
k(k

3)
行所有项的和为
S
b
k
(1?q
k
)
2(1?2
k
)2

S????(1?2
k
)(k

3)

1?q k(k?1)1?2k(k?1)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学 13.在等差数列
{a
n
}
中,
a
3
?7,a
5
?a
2
?6
,则
a
6
?_______ _____
.
a
1
?2d?7
?
?
a
1
?3
【解析】:设等差数列
{a
n
}
的公差为
d< br>,则由已知得
?
解得
?
,所以
d?2
a?4d?a? d?6
?
1
?
1
a
6
?a
1
?5 d?13
.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案:13.
【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
20.(本小题满分12分)
等比数列{
a
n
}的前n项和为
S
n
, 已知对任意的
n?N
,点
(n,S
n
)
,均在函数< br>?
y?b
x
?r(b?0

b?1,b,r
均为常数 )的图像上.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)求r的值;
(11)当b=2时,记
b
n
?
?
n?1
(n?N
?
)
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n

4a
n
x
解:因为对任意的
n?N
,点
(n,S< br>n
)
,均在函数
y?b?r(b?0

b?1,b,r
均为常数)的图
像上.所以得
S
n
?b?r
,

n?1
时,
a
1
?S
1
?b?r
,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
n


n?2
时,a
n
?S
n
?S
n?1
?b
n
?r? (b
n?1
?r)?b
n
?b
n?1
?(b?1)b
n?1
,
n?1
又因为{
a
n
}为等比数列, 所以
r??1
, 公比为
b
, 所以
a
n
?(b?1)b


(2)当b=2时,a
n
?(b?1)b
n?1
?2
n?1
, b
n
?

T
n
?
n?1n?1n?1

??
n?1n?1
4a
n
4?22
234n?1
? ???

234n?1
2222
1234nn?1
T
n??????

22
3
2
4
2
5
2< br>n?1
2
n?2
121111n?1
相减,得
T
n< br>?
2
?
3
?
4
?
5
??
n ?1
?
n?2

2222222
11
?(1?)
n ?1
1n?1
1
2
3
n?1
3
2

??
n?2
??
n?1
?
n?2

1422
22
1?
2
31n?13n?3
所以
T
n
??
n
?
n?1
??
n?1

22222
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【命题立意】:本题主要考查 了等比数列的定义,通项公式,以及已知
S
n

a
n
的基本 题型,并运
用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前
n
项 和
T
n
.
2010年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学
(7)设
?
a
n
?
是首项大于零的等比数列,则“
a
1
?a
2
”是“数列
?
a
n
?
是递增数列”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若已知
a
1
< a
2
,则设数列
?
a
n
?
的公比为
q,因为
a
1
2
,所以有
a
1
1
q
,解得
q>1,

a
1
>0
,所以数列
?
a
n
?
是递增数列;反之,若数列
?
a
n
?
是递增数列,则公比
q>1

a
1
>0

所以
a
1
1
q
,即
a
1
2
,所以
a
1
2
是数 列
?
a
n
?
是递增数列的充分必要条件。
【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识,属保分题。
(18)(本小题满分12分)
已知等差数列
?
a
n
?
满足:
a
3
?7

a
5
?a
7
?26
.
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
.
(Ⅰ)求
a
n

S
n
;(Ⅱ )令
b
n
?
1

n?N
?
),求数列?
b
n
?
的前n项和
T
n
.
an
?1
2
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项 法求数列的和,熟
练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
【解析】(Ⅰ)设等差数列< br>?
a
n
?
的公差为d,因为
a
3
?7

a
5
?a
7
?26
,所以有


?
a
1
?2d?7
,解得
a
1
?3,d?2

?
?
2a
1
?10d?26
所以
a
n
?3?(2n?1)=2n+1

S
n
=
3n+
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
a
n
?2n+1
,所以b
n
=
n (n-1)
?2
=
n
2
+2n

2
111
111
1
?(-)
,==
=?
2
2
a
n
?1
(2n+1)?14n(n+1)
4nn+1
所以
T
n
=
1111
?(1-+?+
42231111
n
+-)
=
?(1-)=

nn+14n+ 1
4(n+1)
即数列
?
b
n
?
的前n项和
T
n
=
n

4(n+1)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学
20.(本小题满分12分)
等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
,a
2
,a
3
分别是下表第一、二、三行 中的某一个数,且
a
1
,a
2
,a
3

的 任何两个数不在下表的同一列.

第一行
第二行
第三行
第一列
3
6
9
第二列
2
4
8
第三列
10
14
18
(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(Ⅱ)若数 列
?
b
n
?
满足:
b
n
?a
n< br>?(?1)lna
n
,求数列
?
b
n
?
的前
2n
项和
S
2n
.
【解析】(Ⅰ)由题意知
a< br>1
?2,a
2
?6,a
3
?18
,因为
?< br>a
n
?
是等比数列,所以公比为3,所以数

?
a< br>n
?
的通项公式
a
n
?2?3
n?1
. < br>(Ⅱ)因为
b
n
?a
n
?(?1)lna
n
=
2?3
n?1
?
(?1)ln2?3
n?1
, 所以S
n
?b
1
?b
2
?
=
?b
n
?

=
(a
1
?a
2
??a
n
)?(lna
1
?lna
2
?
?3
n?1
)
=
lna
n
)
2(1?3
n
)
1?3
-
lna
1
a
2
a
n
3
n
?1
-
ln(2
n
?1?3
1
?3
2
?
3?1
-
ln(2?3
n
n
n(n?1)
2
)
,所以
S
2n
=
3?1
-
ln(2?3
2n
2n
2n(2n?1)
2
)
=
9
n
?1
-
2nln2?(2n
2
?n)ln3
.
2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学
(20) (本小题满分12分)


已知等差数列
{a
n
}
的前 5项和为105,且
a
20
?2a
5
.
(Ⅰ)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(Ⅱ)对任意
m?N
*
,将数列
{a
n
}
中不大于
7
2m
的项的个数记为
b
m
.求数列
{b
m
}
的前m项

S
m
.
?
5a?10d?105,
【答案】 (I)由已知得:
?
1

a?9d?2(a?4d),
?
1 1
解得
a
1
?7,d?7
,
所以通项公式为
a
n
?7?(n?1)?7?7n
.
(I I)由
a
n
?7n?7
2m
,得
n?7
2m?1< br>,

b
m
?7
2m?1
.
b
k?1
7
2m?1
?
2m?1
?49
, ∵
b
k
7

{b
m
}
是公比为49的等比 数列,
7(1?49
m
)7

S
m
??(49< br>m
?1)
.
1?4948
2013年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷)文科数学
20.(2013山东,文20)(本小题满分12分)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且S
4
=4S
2
,a
2n
=2a
n
+1.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足
b
1
b
2
??
a
1
a
2< br>?
b
n
1
?1?
n
,n∈N
*
,求 {b
n
}的前n项和T
n
.
a
n
2
20 .解:(1)设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,
由S
4
=4S
2
,a
2n
=2a
n
+1得:
?
4a
1
?6d?8a
1
?4d,

?< br>?
a
1
??2n?1?d?2a
1
?2?n?1?d?1,< br>解得a
1
=1,d=2.
因此a
n
=2n-1,n∈N
*
.
b
b
1
b
2
1
???
n
?1?
n
,n∈N*

a
1
a
2
a
n
2
b< br>1
当n=1时,
1
?

a
1
2
b
1
?
1
?
1
当n≥2时,
n
?1?
n
?
?
1?
n?1
?
?
n
.
a
n
2
?
2
?
2
b
1
所以
n
?
n
,n∈N
*
.
a
n
2
(2)由已知
由(1)知a
n
=2n-1,n∈N
*

所以b
n

2n?1
,n∈N
*
.
n< br>2


又T
n

1352n?1
?
2?
3
??
n

2222
1132n?32n?1T
n
?
2
?
3
???
n?1

n
22222
两式相减得
11
?
22
T
n
??
?
2
?
3
?
22
?
22< br>312n?1
??
n?1
?
n?1

222
2n?3
所以T
n

3?
.
n
2
?
2
?
2n?1
?
n?1

n
?
2
?
2
2014年普通高等学校招生全国统一考试(山 东卷)文科数学
(19) (本小题满分12分)
在等差数列
{a
n}
中,已知公差
a
1
?2

a
2
是< br>a
1

a
4
的等比中项.
(I)求数列
{a
n
}
的通项公式;
(II)设
b
n
?a
n(n?1)
,记
T
n
??b
1
?b
2
?b
3
?b
4
?…?(?1)
n< br>b
n
,求
T
n
.
2
19、(Ⅰ)由题意知:
?
a
n
?
为等差数列 ,设
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

?a
2

a
1

a
4
的等比中项
2
?a
2
?a
1
?a
4
且< br>a
1
?0
,即
?
a
1
?d
?
2
?a
1
?
a
1
?3d
?

?
d?2
解得:
a
1
?2

?a
n
?2?(n?1)?2?2n

(Ⅱ)由 (Ⅰ)知:a
n
?2n

b
n
?a
n(n?1)
?n(n?1)

2
①当n为偶数时:
T
n
??
?
1?2
?
?
?
2?3
?
?
?
3 ?4
?
?
??
?n
?
n?1
?
?2
?
?1?3
?
?4
?
?3?5
?
?
??
?n
?
?
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?
?2?2?4?2?6?2?
??
?n?2

?2?
?
2?4?6?
??
?n
?
?
2?n
?
n
n
2
?2n
2
??2?
22
②当n 为奇数时:


T
n
??
?
1?2
?
?
?
2?3
?
?
?
3?4
?
?
? ?
?n
?
n?1
?
?2
?
?1?3
??4
?
?3?5
?
?
??
?
?
n?1
?
?
?
?
n?2
?
?n
?
?n< br>?
n?1
?
?2?2?4?2?6?2?
??
?
?< br>n?1
?
?2?n
?
n?1
?

?2??
2?4?6?
??
?
?
n?1
?
?
?n
?
n?1
?
?
2?n?1
?
n?1
2
n
2
?n
?
n?1
?
??
?2n?1?2?
22
?
n
2
?2n?1
?,n为奇数
?
?
2
T
n
?
?
2
综上:
?
n?2n
,n为偶数
?
?
2

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