2014-2016年全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案

高二数学专题学案
圆锥曲线部分高考试题汇编（椭圆部分）
1、（2016全国Ⅰ卷）（20）（本小题满分12分）
设圆
x?y?2x?15 ?0
的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B
作A C的平行线交AD于点E.
（I）证明
EA?EB
为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C
1
，直线l交C
1
于M,N两点，过 B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求
22
四边形MPNQ面积的取值范围.























1

高二数学专题学案
x
2
y
2
??1
的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程2 、（2015全国Ⅰ卷）（14）一个圆经过椭圆
164
为 。
3、（2014全国Ⅰ卷）
x
2
y
2
3
20 .（本小题满分12分）已知点
A
（0，-2），椭圆
E
：
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，
F
是椭圆
2
ab
的焦点，直线
AF
的斜率为
（Ⅰ）求
E
的方程； < br>（Ⅱ）设过点
A
的直线
l
与
E
相交于
P,Q
两点，当
?OPQ
的面积最大时，求
l
的方程.



















2

23
，
O
为坐标原点.
3

高二数学专题学案
4、（2016山东卷）（21）(本小题满分14分）
x2
y
2
3
2
平面直角坐标系
xOy
中，椭圆C ：
2
?
2
?1
?
a＞b＞0
?
的离心率是，抛物线E：
x?2y
的焦点
2
ab
F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线< br>l
与C交与不同的两点A，B，线段AB的中
点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直 线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线
l
与y轴交于 点G，记
VPFG
的面积为
S
1
，
VPDM
的面积 为
S
2
，求
时点P的坐标.


























S
1
的最大值及取得最大值
S
2
3

高二数学专题学案
x
2
y
2
5、（2015山东卷）（20） (本小题满分13分) 平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
C:
2
?
2
? 1(a?b?0)
ab
的离心率为
3
，左、右焦点分别是
F
1
,F
2
,以
F
1
为圆心，以3为半径的圆与以
F
2
为圆心，以1为半径的
2
圆相交，交点在椭圆C上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
x
2
y
2
（Ⅱ）设椭圆
E:
2
?
2
?1
，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线
y?kx?m
交椭圆E于A,B两
4a4b
点，射线PO交椭圆E于点Q.
（ⅰ）求





























4

|OQ|
的值；（ⅱ）求
?ABQ
面积最大值.
|OP|

高二数学专题学案
圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）
x
2
y
2
1、 （2016全国Ⅰ卷）（5）已知方程
m
2
+n
–
3m
2< br>–n
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的
取值范围是（ ）

（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)
x
2
?y
2?1
上的一点，F
1
、F
2
是C上的两个焦点，2、（2015 全国Ⅰ卷）（5）已知M（x
0
，
y
0
）是双曲线C：
2< br>uuuur
uuuur
若
MF
1
?
MF
2< br>＜0，则y
0
的取值范围是（ ）
（A）（-
3333
，） （B）（-，）
3366
22222323
，） （D）（
?
，）
3333
22
（C）（
?
3、（2014全国Ⅰ卷）4. 已知F
是双曲线
C
：
x?my?3m(m?0)
的一个焦点，则点< br>F
到
C
的一条渐近
线的距离为（ ）
A
.
3

B
.3
C
.
3m

D
.
3m

x
2
y
2
4、（20 16山东卷）（13）已知双曲线E
1
：
2
?
2
?1
（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，
ab
AB，CD的中点为E的两个 焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______ .
x
2
y
2
5、（2015山东卷）(15)平面直角坐标系
xOy
中，双曲线C
1
:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的渐近 线与抛物线
ab
C
2
:x
2
?2py(p?0)
交 于点
O,A,B
，若
?OAB
的垂心为
C
2
的焦点 ，则
C
1
的离心率为 .
x
2
y
2
x
2
y
2
6、（2014山东卷）（10）已知a?b
，椭圆
C
1
的方程为
2
?
2
? 1
，双曲线
C
2
的方程为
2
?
2
?1，
C
1
abab
与
C
2
的离心率之积为
3
，则
C
2
的渐近线方程为（ ）
2
（A）
x?2y?0

（B）
2x?y?0

（C）
x?2y?0

（D）
2x?y?0





5

高二数学专题学案
圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）
1、（2016全国Ⅰ卷）（10）以抛物线C的 顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知
|AB|=
42
， |DE|=
25
，则C的焦点到准线的距离为（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
2、（2015全国Ⅰ卷）（20）（本小题满分12分）
x
2
在直角坐标 系xoy中，曲线C：y=与直线
y?kx?a
(
a
＞0)交与M,N两点，
4
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。





















6

高二数学专题学案
3、（2014全国Ⅰ卷）10. 已知抛物线
C
：
y?8x
的焦点 为
F
，准线为
l
，
P
是
l
上一点，
Q
是直线
PF
与
2
uuuruuur
C
的一个焦 点，若
FP?4FQ
，则
|QF|
=（ ）
75
A
.
B
.
C
.3
D
.2
22
4、（2014山东卷）（21）（本小题满分14分）
已知抛物线
C :y?2px(p?0)
的焦点为
F
，
A
为
C
上异 于原点的任意一点，过点
A
的直线
l
交
C
于另
一点
B
，交
x
轴的正半轴于点
D
，且有
|FA|?|F D|
.当点
A
的横坐标为3时，
?ADF
为正三角形.
（Ⅰ）求
C
的方程；
（Ⅱ）若直线
l
1
l
，且
l
1
和
C
有且只有一个公共点
E
，
（ⅰ）证明直线
AE
过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）
?ABE< br>的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

























7

2

高二数学专题学案
?
2x?y?2?0
?
1、(2013山东卷) （6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：
?
x?2y?1?0
，所表示的区 域上一动
?
3x?y?8?0
?
点，则直线OM斜率的最小值为( )
（A）2 （B）1 （C）
?
11
（D）
?

32
2、(2013山东卷)（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q 的 （ ）
（A）充分而不必条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
x
2
1
2
?y
2
?1
的右焦点的连线交 3、(2013山东卷)（11）抛物线C
1
：y= x(p＞0)的焦点与双曲线C
2
：
3
2p
C
1
于第一象限的点M.若C
1
在点M处的切线平行于C
2
的一条渐近线，则p= （ ）
A.
332343
B. C. D.
16833
4、(2013山东卷)（12）设正实数x ,y,z满足x
2
-3xy+4y
2
-z=0.则当
为 （ ）
（A）0 （B）1 （C）
212
xy
取得最大值时，
??
的最大值
xyz
z
9
（D）3
4
3
5、（2012山东卷3） 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= a
x
在R上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a)
x
在R
上是增函数”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

6、（2012山东卷）（10）已知椭圆C：的离心率为，双曲线x?- y?＝1的渐近线与
椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为（ ）



x
2
y
2
22
7、（ 2011山东卷）（8）已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两条渐近线均和圆
C:x?y?6x?5?0
ab
相切，且双曲线的右焦点为圆C
的圆心，则该双曲线的方程为
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
B.
??1
C.
??1
D.
??1
A.
54453663


8

高二数学专题学案
圆锥曲线部分高考试题汇编（椭圆部分）答案
x
2y
2
??1
（
y?0
）1、【答案】（Ⅰ）（II）
[ 12,83)

43
试题分析：利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。
试题解析：（Ⅰ）因为
|AD|?|AC|
，
EBAC
，故
?EBD??ACD??ADC
，
所以
|EB|?|ED|
，故
| EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|
.
又圆
A
的标准方程为
(x?1)?y?16
，从而
|AD|?4
，所以
|EA|?|EB |?4
.
由题设得
A(?1,0)
，
B(1,0)
，|AB|?2
，由椭圆定义可得点
E
的轨迹方程为：
22
x< br>2
y
2
??1
（
y?0
）.
43

考点：圆锥曲线综合问题
9

高二数学专题学案
2、试题分析：设圆心为（
a
，0），则半径为
4?|a|
，则
(4?|a|)?|a|?2
，解得
a??
为
(x?)?y?
222
3
，故圆的方程
2
3
2
2 2
25
.
4
考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程。
3、



S
1
9
21
4
、【答案】 （Ⅰ）
x?4y?1
;
（Ⅱ）（
i
）见解析；（
ii
）的最大值为，此时点
P
的坐标为
(,)

S
2
4
24
22
10

高二数学专题学案

m
2
m
2
?m(x?m)< br>，即
y?mx?
所以直线
l
的斜率为
m
，其直线方程 为
y?
.
22

11

高二数学专题学案
m
2
（2）由（1）知直线
l
的方程为
y?mx?
，
2
m
2
m
2
)
， 令
x?0
得
y??
，所以
G(0,?
2
2
m
2
1
2m
3
?m
2
),F(,0),D
(
2
又
P(m,
,)
，
22
4m?12(4m< br>2
?1)
1m(2m
2
?1)
2
11
2所以
S
1
?|GF|m?m(m?1)
，
S
2
?|PM|?|m?x
0
|?
，
2
24
2
8(4 m?1)
S
1
(2t?1)(t?1)11
S
1
2(4m< br>2
?1)(m
2
?1)
2
?????2
， 所以，令 ，则
t?2m?1
?
S
2
t
2
t
2
t
S
2
(2m
2
?1)
2


考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.
c3
x< br>2
y
2
3
222
5、解析：（Ⅰ）由椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为可知
e??
，而< br>a?b?c
则
a2
ab
2
a?2b,c?3b
，左、 右焦点分别是
F
1
(?3b,0),F
2
(3b,0)
,
圆
F
1
：
(x?3b)
2
?y
2
?9,
圆
F
2
：
(x?3b)
2
?y
2< br>?1,
由两圆相交可得
2?23b?4
，即
1?3b?2
，< br>交点
(
4
22
2
?
,?1?())
，在椭圆 C上，则
22
3b?4b
3b3b
1
（舍去）
4
1?(
2
?3b)
2
3b
?1
， 2
b
2
2
42
整理得
4b?5b?1?0
，解 得
b?1,
b?
x
2
?y
2
?1
. 故< br>b?1,a?4,
椭圆C的方程为
4
22
x
2
y2
??1
， （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E的方程为
164
12

高二数学专题学案
设点
P(x
x
20
0
,y
0
)
，满足
4
?y
2
?1
，射线
PO:y?
y
0
0
x
x(xx
0
?0)
，
0
代入
x
2
16
?
y
2
4
?1
可得点
Q(?2x
|OQ|
(?2x
2
0
,?2y
0
)
，于是
|OP|
?0
)
2
?(?2y
0
)
x
22
?2< br>.
0
?y
0
（ⅱ）点
Q(?2x
0
,?2 y
0
)
到直线
AB
距离等于原点O到直线
AB
距离 的3倍：
d?
|?2kx
0
?2y
0
?m|
m|

1?k
2
?3
|
1?k
2
?
?
y ?kx?m
?
x
2
y
2
，得
x
2
?4(kx?m)
2
?16
，整理得
(1?4k
2
)x2
?8kmx?4m
2
?16?0

?
?
16
?
4
?1
??64k
2
m
2
?16(4k
2
?1)(m
2
?4)?16(16k
2
?4?m
2
)?0

|AB|?
1?k
2
1?4k
2
16(16k
2
?4?m
2
)

S?
1
2
|AB|d?
1|m|
22
|m|16k
2
?4?m2
?
2
?3?
1?4k
2
?416k?4?m?61?4k
2

?6?
m
2
?16k
2
?4?m
2
2(4k
2
?1)
?12
，当且仅当
| m|?16k
2
?4?m
2
,m
2
?8k
2
?2
等号成立.
而直线
y?kx?m
与椭圆C：
x
2< br>4
?y
2
?1
有交点P，则
?
?
y?kx ?m
4y?4
有解，即
222
?
x
2
?
2
x?4(kx?m)?4,(1?4k)x
2
?8kmx?4m
2
? 4?0
有解，
其判别式
?
2222
4k
2
?m< br>2
)?0
，即
1?4k
2
?m
2
1
?64km?16(1?4k)(m?1)?16(1?
，
m
2
?8k
2
?2
不成立，等号不成立，
设
t?
|m|
|m|16 k
2
?4?
1?4k
2
?(0,1]
，则
S
m
2
?
?6
1?4k
2
?6(4?t)t
在(0,1]
为增函数，
于是当
1?4k
2
?m
2时
S
?max
?6(4?1)?1?63
，故
?ABQ
面积最大值为12.



13

则上述

高二数学专题学案
圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）答案
1、【答案】A
【解析】由题意知 ：双曲线的焦点在
x
轴上，所以
m?n?3m?n?4
，解得：
m? 1
，因为方程
222
?
n??1
?
1?n?0
x< br>2
y
2
??1
表示双曲线，所以
?
，解得
?
，所以
n
的取值范围是
?
?1,3
?
，故选A．
1?n3?n
?
n?3
?
3?n?0
考点：双曲线的性质
2、

考点：向量数量积；双曲线的标准方程
3、A
4、【答案】2
b
2
b
2
2b
2
试题分 析：易得
A(c,)
，
B(c,?)
，所以
|AB|?
，< br>|BC|?2c
，由
2AB?3BC
，
c
2
?a2
?b
2
aa
a
得离心率
e?2
或
e ??
1
（舍去），所以离心率为2.
2
考点：把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.
x
2
y
2
2pb2pb
2
2pb2pb
2
b
,
2
),B(?,
2
)
5、解析：
C
1
:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的渐近线为
y??x
，则< br>A(
abaaaa
a
2pb
2
p
?
2
b
2
5c
2
a
2
?b
2
9c3
p
a
2
a2
?
，即
2
?,
2
?< br>2
?,e??.

C
2
:x?2py(p?0)
的焦 点
F(0,)
，则
k
AF
?
2pb
a4aa4a2
2
b
a
6、【答案】A
c
2
a
2
?b
2
2
c
2
a
2
?b
2
,e
2
?
2
?,
【解析】
?e
1
?
2
?
aa
2
aa
2
2
a
4
?b< br>4
3
b2
?(e
1
e
2
)??
?? ?

a
4
4
a2
2



14

高二数学专题学案
圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）答案
1、【答案】B【解析】
试题分析 ：如图，设抛物线方程为
y?2px
，圆的半径为r,
AB,DE
交
x
轴于
C,F
点，则
AC?22
，
即
A
点 纵坐标为
22
，则
A
点横坐标为
2
44
2222< br>，即
OC?
，由勾股定理知
DF?OF?DO?r
，
p
p
p4
AC
2
?OC
2
?AO
2
?r< br>2
，即
(5)
2
?()
2
?(22)
2?()
2
，解得
p?4
，即
C
的焦点到准线的距离为< br>2p
4，故选B.考点：抛物线的性质

2、【答案】（Ⅰ）
ax? y?a?0
或
ax?y?a?0
（Ⅱ）存在
试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将
y?kx?a
代 入曲线C的方程整理成关于
x
的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求< br>思想，将直线PM，PN的斜率之和用
a
表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即 可求出
a,b
关系，从而找
出适合条件的P点坐标.
试题解析：（Ⅰ）由题 设可得
M(2a,a)
，
N(?22,a)
，或
M(?22,a)< br>，
N(2a,a)
.
x
2
1
∵
y
?
?x
，故
y?
在
x
=
22a
处的到数值 为
a
，C在
(22a,a)
处的切线方程为
4
2
y?a?a(x?2a)
，即
ax?y?a?0
. < br>x
2
故
y?
在
x
=-
22a
处的到 数值为-
a
，C在
(?22a,a)
处的切线方程为
4
y?a??a(x?2a)
，即
ax?y?a?0
.
故所求切线方程为
ax?y?a?0
或
ax?y?a?0
. ……5分
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，
M(x
1
,y
1
)
，
N(x
2
,y
2< br>)
，直线PM，PN的斜率分别为
k
1
,k
2
.
15

高二数学专题学案
将
y?kx?a
代入C得方程整理得
x?4kx?4a?0
.
∴
x
1
?x
2
?4k,x
1
x
2
??4a
.
∴
k
1
?k
2
?
2y
1
?by
2
?b2kx
1
x
2
?( a?b)(x
1
?x
2
)
k(a?b)
?
==.
x
1
x
2
x
1
x
2
a
当
b??a
时，有
k
1
?k
2
=0，则直线PM的 倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以
P(0,?a)
符合题意. ……12分
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力。
3、B
p
,0)
.
2
p?2t
设，则
FD
的中点为
(,0).
4
4、解：（I）由题意知
F(
?FA?FD
,由抛物线的定义知
3?
解得
t?3?p或t??3
（舍去）
由
pp
?t?
，
22
p?2t
?3,
解得
p?2.

4
2
所以抛物线
C
的方程为
y?4x
.
（II）（i）由（I）知
F(1,0)

设
A(x
0,y
0
)(x
0
y
0
?0),D(x
D
,0)(x
D
?0),

?FA?FD,?x
D
?1?x
0
?1
，
由x
D
?0
得
x
D
?x
0
?2,?D( x
0
?2,0).

所以直线AB的斜率
k
AB
??
y
0
.

2
因为直线
l
1
与直线AB平行，
所以设直线
l
1
的方程为
y??
代入
y?4x
，得
y?
2
2
y
0
x?b
，
2
88b
y??0,

y
0
y
0
16

高二数学专题学案
由题意得
??
6432b2
得
??0,b??.

2
y
0
y
0
y
0
44
,x
E?
2
.
y
0
y
0
设
E(x
E
,y
E
)
,则
y
E
??
4
?y
0
y?yy4y
0
2
0
当
y
0
? 4
时，
k?
E
，
??
0
?
22
x
E
?x
0
y
0
?4
4
y
0?
2
4
y
0
2
由
y
0
?4x
，整理得
y?
4y
0
(x?1)
，
2
y
0
?4
直线AE恒过点
F(1,0).
2
当
y
0
?4
时，直线AE的方程为
x?1
， 过点
F(1,0).

所以 直线AE过定点
F(1,0).

（ii）由（i）得直线AE过焦点
F(1,0).

?AE?AF?PF? (x
0
?1)?(
设直线AE的方程为
x?my?1,

11
?1)?x
0
??2.

x
0
x0
因为点
A(x
0
,y
0
)
在直线AE上，< br>?m?
x
0
?1
.

y
0
设
B(x
1
,y
1
)
,直线AB的方程为
y?y
0
??
y
0
(x?x
0
),

2
? y
0
?0,?x??
2
y?2?x
0
，
y
0
2
代入抛物线方程，得：
y?
8
y?8?4x
0
?0.

y
0
?y
0
?y
1
??
884
,y
1
??y
0
?,x
1
??x
0
?4.

y
0
y
0
x
0
所以点B到直线AE的距离为
17

高二数学专题学案
d?
48< br>?x
0
?4?m(y
0
?)?1
x
0
y0
1?m
2
?
4(x
0
?1)
x
0< br>?4(x
0
?
1
x
0
).

则?ABC
的面积
S?
111
?4(x
0
?)(x
0
??2)?16,

2
x
0
当且仅当
1
x
?x
0
，即
x
0
?1
时等号成立.
0
所以
?ABC
的面积的最小值为16.

































x
0
18

高二数学专题学案
1、【解 析】作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最
小。由
?
?
x?2y?1?0
?
x?3
?11
得
?
，即
D( 3,?1)
,此时OM的斜率为
??
，
33
?
3x?y?8 ?0
?
y??1
选C.





2、【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分 而
不必要条件，选A.
3、【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为
y?
3
p
x
。抛物线的焦点为
F(0,)
,双曲线的
3
2
x
0
2
3
1
13
右焦点为
F
2
(2,0)
.
y'?x
，所以在
M(x
0
,)处的切线斜率为，即
x
0
?
，所以
2p
3
p< br>p3
pp
p
?
?0
33p
p
62
， 即
p?
43
，
2
x
0
?p
，即三点
F(0,)
，
F
2
(2,0)
，
M(p,)
共线 ，所以
?
3363
0?2
2
3
p
3
选D< br>
4、【解析】由
x
2
?3xy?4y
2
?z?0< br>，得
z?x
2
?3xy?4y
2
。所以
x4y
xyxy1
1
?
?
2
?
，当且仅当，即
x?2y
时取等号此时
??1
yx
zx?3xy?4y
2
x
?
4y
?3
x4y
2??3
yx
yx
z?2y2
，
(
121
212212
2
xy
?(1?) ?(1?)

??
)
max
?1
.
???
xy2y
xyz2yyxy
y
z
11
?1?
2y2y2
?4()?1
，故选B.
2
5、解析：p：“函数f(x)= a
x
在R上是减函数 ”等价于
0?a?1
；q：“函数g(x)=(2-a)
x
在R上是增函数 ”
等价于
2?a?0
，即
0?a?2,
且a≠1，故p是q成立的充 分不必要条件. 答案选A。



19

3

高二数学专题学案
6、解析：双曲线x?-y?＝1的 渐近线方程为
y??x
，代入可得
3
a
2
b
22
2222
42
e?
ab?4(a?b)
x?
2
,S?4x?16
，则，又由可得，则，
b?5b
a?2b
2
2
a?b
2
x
2
y
2
??1
，答案应选D。 于是
b?5,a?20
。椭圆方程为
205
22
7、解析：圆
C:(x?3)?y?4
，
c?3,
而
22
3b
?2，则
b?2,a
2
?5
，答案应选A。







c
20