2020年北京市东城区高考数学一模试卷(含答案解析)

2021年1月24日发(作者：天才儿子腹黑娘)
2020
年北京市东城区高考数学一模试卷



一、选择题（本大题共
10
小题，共
40.0
分）

0
，
1
，
，那么
1.

已知集合
，
0
，
1
，

D.


A.
B.
C.
2.

函数
的定义域为

，

，则



A.
C.
3.

已知
B.
D.


，

A.
1

4.

若双曲线
B.
0

C.

D.


的一条渐近线与直线
平行，则
b
的值为


C.
D.
2

5.

如图所示，某三棱锥的正
主
视图、俯视图、侧
左
视图均为直角三角形，则该三棱锥的体
积为< br>
A.
1

B.
A.
4

6.

已知
B.
6


C.
8




D.
12

D.

，那么在下列不等式中，不成立的是
A.
B.
C.
7.

在平面直角坐标系中，
动点
M
在单位圆上按逆时针方 向作匀速圆周运动，
每
12
分钟转动一周．
若
点
M
的初始位置坐标为
，则运动到
3
分钟时，动点
M
所处位置的坐标是< br>

A.

B.
C.

D.


8.

已知三角形
ABC
，那么“
” 是“三角形
ABC
为锐角三角形”的
A.
充分而不必要条件

C.
充分必要条件

B.
必要而不充分条件

D.
既不充分也不必要条件

上，且位于第一象限，
M
是线段
PA
的
9.
设
O
为坐标原点，点
，动点
P
在抛物线
中点，则直线< br>OM
的斜率的范围为

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1
页，共
15
页

A.

B.

C.

D.

10.
假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为
被捕食 者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假
设捕食者的数量以
表示，被捕食者的数量以
表示．如图描述的是这两个物种随时间变
化的数量关系，其中 箭头方向为时间增加的方向．下列说法正确的是：


，则

A.
若在
，
时刻满足：
数量是先上升后下降的，那么
的数量一定也是先上 升后下降

B.
如果
C.
被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值

D.
被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值

二、填空题（本大题共
5
小题，共
25.0
分）

11.

已知向量
12.

在
，
，
，
若
与
共线，
则实数
______
．

的展开式中常数项为
______
．

都相切的圆的方程为
______
．

，
，
则
______
，
13.

圆心在
x
轴上，且与直线
：
和
：
14.

是等边三角形，
点
D
在边
AC
的延长线上，
且______
．

15.

设函数
给出下列四个结论：

对
，
，使得
无解；

对
，
，使得
有两解；

当
时，
，使得
有解；

当
时，
，使得
有三解．

其中，所有正确结论的序号是
______
．

三、解答题（本大题共
6
小题，共
85.0
分）

16.

如图，在四棱锥
中，
面
ABCD
，底面< br>ABCD
为平行四边形，
，
．

Ⅰ
求证：
平面
PBC
；

Ⅱ
求二面角
的余弦值的大小．

，
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页









17.

已知函数
，且满足
_______
．

Ⅰ
求函数
的解析式及最小正周期；

Ⅱ
若关于
x< br>的方程
在区间
上有两个不同解，求实数
m
的取值范围．
从
的最大值为
1
，
的图象与直线
的两个相邻交点的距离等于，
图象过点
这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．

的







18.

中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，
预计< br>2020
年北斗全球系统建设将
全面完成．下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗 三代定位模块，分别定位的
50
个点位
的横、
纵坐标误差的值，
其中 “
”表示北斗二代定位模块的误差的值，
“
”表示北斗三代定
位模块的误差的 值．
单位：米

Ⅰ
从北斗二代定位的
50
个点位中随机抽取 一个，求此点横坐标误差的值大于
10
米的概率；

Ⅱ
从图中
A
，
B
，
C
，
D
四个点位中随机选出两个，记< br>X
为其中纵坐标误差的值小于
的点
位的个数，求
X
的分布列和 数学期望；

Ⅲ
试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．
结论不要求证明

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3
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页









19.

已知椭圆
B
，
，
它的上，
下顶点分别为
A
，左，
右焦点分别为
，
，
若四边形
为正方形，且面积为
2
．

Ⅰ
求椭圆
E
的标准方程；

Ⅱ
设存在斜率不为零且平行的两条直线
，
，它们与椭圆
E
分别交于点
C
，
D
，
M
，
N
，且
四边形
CD MN
是菱形，求出该菱形周长的最大值．








20.

已知函数
．

Ⅰ
若
，求曲线
在点
处的切线方程；

Ⅱ
若
有两个极值点，求实数
a
的取值范围；

Ⅲ
若
，求
在区间
上的最小值．






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页



21.

数列
A
：
，
，，
Ⅰ
若数列
A
：
Ⅱ
如果
等差数列；

Ⅲ
如果
为单元素集合，那么数列
，
，
，
吗？如果是 等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例．









，
，对于给定的
，记满足不等式：
的
构成的集合为
．

，写出集合
；

均为相同的 单元素集合，求证：数列
，
，
，
，
，
，
为
还是等差数列
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页

--------
答案与解析
--------

1.
答案：
D

解析：
解：
．

故选：
D
．

可以求出集合
A
，然后进行交集的运算即可．

本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．

2.
答案：
B

解析：
解：函数
令
，得
，

，

，
0
，
1
，
，

解得
，

所以
的定义域为
．

故选：
B
．

根据二次根式被开方数大于或等于
0
，列不等式求出解集即可．

本 题考查了根据二次根式被开方数大于或等于
0
求函数定义域的问题，是基础题．

3.
答案：
A

解析：
解：
，

，

，即
．

故选：
A
．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解
a
值．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．

4.
答案：
D

解析：
解：双曲线
的一条渐近线
与直线
平行，

可得
．

故选：
D
．

利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．

5.
答案：
A

解析：
解：
由三视图知，
几何体是一个三棱锥，
，

根据三棱锥的三视图的面积，
设出三棱锥两两垂直的三条
侧棱分别是
，
，< br>

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6
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页

三棱锥的体积是

故选：
A
．

几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可．

本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题．

6.
答案：
D

解析：
解：
又
，
，
，

，
，

，
．

可得：
ABC
成立，
D
不成立．

故选：
D
．

根据
，利用函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性即可判断出结论．
本题考查了函数的单调性、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于
基 础题．

7.
答案：
C

解析：
解：每
12
分钟转动一周，则运动到
3
分钟时，转过的角为
；

点
M
的初始位置坐标为
坐标是
，运动到
3
分钟时动点
M
所处位置的

故选：
C
．

根据题意画出图形， 结合图形求出
3
分钟转过的角度，由此计算点
M
所处位置的坐标．

本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．

8.
答案：
B

解析：
解：三角形
ABC
，那么“
三角形
ABC
不一定为锐角三角形．

三角形
ABC
为锐角三角形
为锐角．

三角形
ABC
，那么“
条件．

故选：
B
．

三角形
ABC
，
那么“”
，
可得
A
为锐角．
进而判断出结论．

”是 “三角形
ABC
为锐角三角形”的必要不充分
”
，可得
A
为 锐角．此时
本题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理能力与计 算能
力，属于基础题．

9.
答案：
C

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