2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷(含答案解析)

2021年1月24日发(作者：飞信主页)
2020
年上海市黄浦区高考数学二模试卷



一、选择题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）

1.

“函数
存在反函数”是“函数
在
R
上为增函数”的
A.
充分而不必要条件

B.
必要而不充分条件

C.
充分必要条件

D.
既不充分也不必要条件

2.

设
，
是复数，则下列命题中的假命题是


A.
若
C.
若
3.

已知
，则
，则


B.
若
D.
若
满足：
，则
，则


是向量
是互相垂直的单位向量，
向量
是



夹角的正切值，则数列
A.
单调递增数列且
C.
单调递增数列且
B.
单调递减数列且
D.
单调递减数列且


4.

如图，
直线
平 面
，垂足为
O
，
正四面体
ABCD
的棱长为
2，
A
，
D
分别是直线
l
和平面
上
的动 点，且
，则下列判断：

点
O
到棱
BC
中点
E
的距离的最大值为
；

正四面体
ABCD
在平面
上的射影面积的最大值为
．

其中正确的说法是

都正确

都错误

B.
正确，
错误

D.
错误，
正确

二、填空题（本大题共
12
小题，共
54.0
分）

2
，
3
，
4
，
，
______
．

5.

若集合
，则
6.

函数
的最小正周期为
______
．

7.
某社区利用分层抽样的方法从
140
户高收入家庭、
280
户中等收入家 庭、
80
户低收入家庭中选
出
100
户调查社会购买力的某项指标， 则中等收入家庭应选
______
户．

8.

若直线：
与
：
互相垂直，则实数
a
的值为
______
．

9.

如果
，
为第三象限角，则
______
．

A.
C.
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页，共
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页

10.

若一圆锥的主视图是边长为
6
的正三角形，则此圆锥的体积 为
______
．

11.

已知双曲线
的一条渐 近线平行于直线
l
：
，该双曲线的一
______
．

个焦点在直线
l
上，则双曲线的方程
______
．

12.

已知函数
的定义域和值域都是
13.

当
x
，
y
满足
，则
时，
恒成立，则实数
a< br>的取值范围是
______
．

14.

某班共有< br>4
个小组，每个小组有
2
人报名参加志愿者活动，现从这
8
人 中随机选出
4
人作为正
式志愿者，则选出的
4
人中至少有
2
人来自同一小组的概率为
______
．

15.

已知
，函数
，若存在不相等的实数
，
，
，使得
，则
a
的取值范围是
______
．

16.

点< br>A
是曲线
B
点，
BC
垂直于直线
上的任意一点，，
，
射线
QA
交曲线
于
，垂足为点
C
，则下列结论：

为定值
；

为定值
5
；

为定值
．

其中正确结论的序号是
______
．


三、解答题（本大题共
5
小题，共
76.0
分）

17.

如图，在三棱椎
中，
平面
ABC
，
D
、
E
、
F
分别是棱
AB
、
BC
、
CP
的中点，
求异面直线
PB
与
DF
所成的角 ；

求点
P
到平面
DEF
的距离．





，
，
．

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18.

设
是函数，
的图象上任意两点，点
满足

若
若
，求证：
，且
为定值；

，求
的取值范围，并比较
与
的大小．








19.

某公园计划在矩形空 地上建造一个扇形花园．如图
所示，矩形
ABCD
的
AB
边与
BC
边的长
分别为
48
米与
40
米，扇形的圆心
O
为
AB
中点，扇形的圆弧端点
E
，
F
分别在AD
与
BC
上，
圆弧的中点
G
在
CD
上．

求扇形花园的面积
精确到
1
平方米
；
若在扇形花园内开辟出一个矩形区域
为花卉展览区，如图
所示，矩形
的四条边与矩 形
ABCD
的对应边平行，点
，
分别在
OE
，
OF
上，点
，
在
扇形的弧上，
某同学猜想，
当矩形
面积 最大时，
两矩形
与
ABCD
的形状恰
好相同
即长与宽之比相 同
，试求花卉展区
面积的最大值，并判断上述猜想是否正
确
请说明理由


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20.

已知点< br>A
，
B
分别是椭圆
C
：
的距离为
于
，且点
A
是圆
r
：
的右顶点与上顶点，坐标原点
O
到直线
AB
的圆心，动直线
l
：
与椭圆交
两点．

求椭圆
C
的方程；

若点
S
在线段
AB< br>上
，且当
取最小值时直线
l
与圆相切，求
r
的值；< br>
，
求
r
的取值范围．

H
两点，
若直线
l
与圆分别交于
G
，
点
G
在线段
P Q
上，
且



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21.

若数列
与函数
满足：
的任意 两项均不相等，
且
的定义域为
R
；
数列
的前
n项的和
，对任意的
都成立，则称
与
具有“共生关系”．

若
试写出一个与数列
具有“共生关系”的函数
的解析式；

若
与数列
具有“共生关系”，
求实数对
所构成的集合，
并写出
关
于
a
，
b
，
n
的表达式：

若
，
求证：
“存在每项都是正数的无穷等差数列
，
使得
与< br>具有
共生关系
”的充要条件是“点







在射线
上”．


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--------
答案与解析
--------

1.
答案：
B

解析：
解：“函数
在
R
上为增函数”
“函数
存在反 函数”；

反之取
，则函数
存在反函数，但是
在
R
上为减函数．

故选
B


函数
存在反函数，至少 还有可能函数
在
R
上为减函数，充分条件不成立；而必要
条件显然成立

本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．

2.
答案：
D

解析：
解：对
对
对若
设
，若
，则
和
，
，则
互为共轭复数，所以< br>，若
，所以
，则
为真；

，
，所以
为真；

，

为真；

对
若
，
，则
为真，而
，所以
为假．

故选：
D
．

题目给出的是两个复数及其模的关系，
两个复 数与它们共轭复数的关系，
要判断每一个命题的真假，
只要依据课本基本概念逐一核对即可得到 正确答案．

本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基 本概念，是基本
的概念题．

3.
答案：
D

解 析：
解：分别以
设
，
，
，
为向量
夹角，
，
，

，

，

，
，

，

和
所在的直线为
x
轴，
y
轴建立坐标 系，则
，
，


，

为减函数，

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随着
n
的增大而减小．

．

故选：
D
．

分别以
和
所在的直线为
x< br>轴，
y
轴建立坐标系，则
，
，设
，
进而可求出
，结合函数的单调性即可判断．

本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根 据已知条件把所求问题坐标化．考查转
化思想以及计算能力，是中档题．

4.
答案：
C

解析：
解：
由题意，
直 线
AD
与动点
O
的位置关系
是：点
O
是以
AD
为直径的球面上的点，

到
BC
的距离为四面体上以
A D
为直径的球面
上的点到
DC
的距离，

因此：
最 大距离为
BC
到球心的距离
即
BC
与
AD
的公垂线
如图：
半径，

，

点
O
到棱
B C
中点
E
的距离的最大值为：
；
所以
正确；
当
A
与
O
重合时，正四面体
ABCD
在平面
上 的射影为：对角线长为
2
的正方形，射影面的面积为
2
，所以
不正确 ；

故选：
C
．

直线
AD
与动点
O
的位置关系是：点
O
是以
AD
为直径的球面上的点，因此
O
到
BC
的距离为四面
体上以
AD
为直径的球面上的点到
SC
的距离，故最大距离为
BC
到球心的距离，求解判断
；求出特殊点
A
与
O
重合时，射影面的面积判断
即可．
本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断，考查空间想
象 能力以及计算能力，是中档题．


5.
答案：

解析：
解：由题知集合
，再由交集定义可得
，

故答案为：
．

由题直接求出集合
B
，再利用交集的定义求得结果．

本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题．

6.
答案：


解析：
解：由已知得
所以
故答案为：
．

．

，

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先将函数降幂化简，然后套公式求周期．

本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法．属于基础题．

7.
答案：
56

解析：
解：由题知共有
户家庭 ，设应选中等收入家庭为
x
户，由分层抽样的定
义知
，解得

故答案为：
56
由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．

本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．

8.
答案：


解析：
解：
直线
：
与
：
互相垂直，

，解得
．

故答案为：
．

由直线互相垂直，可得
，解得
a
．

本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

9.
答案：


解析：
解：
，
为第三象限角，

，

则
故答案为：
．

由
的值及
为第三象限角，利用同 角三角函数间的基本关系求出
的值，原式利用诱导公
式化简，将
的值代入计算即可求出 值．

此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公 式是解本
题的关键．


10.
答案：

解析：< br>解：
一圆锥的主视图是边长为
6
的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形
ABC
，边长等于
6
，如图：

圆锥的高
因此，该圆锥的体积

，底面半径
，
．


故答案为：
．

根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大 小，由此结
合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．

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