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习题二十一
1.
100
个学生
,
其中
40
个学生学英语
,40
个学生学俄语
,40
个学生学日语
.
若分别
有
21
个学生学习上述三种语言中的任何两种语言
,
有
1 0
个学生所有
3
种语言
.
问不学任 何语
言的学生有多少个
?
解：用
A
1
、
A
2
、
A
3
分别表示学英语、学俄语
、学日语的学生集合，
S
表示总学生集合，
则
题
变
成
求
|
A
1
?
A
2<
/p>
?
A
3
|
，
利
用
逐
步
淘
< p>汰公
式
，
分
别
求
?
|
A
|
?< /p>
40
?
40
?
40
?
120
，
i
< br>?
|
A
?
A
i
j
|
?
|
A
1
?
A
2
|
?
|
A
1
?
A
3
|
?
|
A
2
?
A
3
|
?
21
?
21
?
21
?
63
，
?
A
k
|
?
|
A
1
?
A
2
?
A
3
|
?
10
，所以由逐步淘汰公式
?
|
A
?
A
i
j
|
A
1
?
A
2
?
A
3
|
?
100
?
?
|
A
i
|
?
?
|
A
i
?
A
j
|
?
?
|
A
i
?
A
j
?
A
k
|
?
1 00
?
120
?
63
?
< p>10?
33
2.
有多少个小于
70
且与
70
互质的正整数< /p>
?
解：由于
70=2
×５×７，所以该题 也就变成了，求所有小于７０的并且不能被２，５，
７整除的正整数的个数。设
A
1
、
A
2
、
A
3
< br>分别表示
1
到７０之间能被２、５、
7
整除 的整数
之集合
.
于是
,
问 题变成求
|
A
1
?
A
2
?
A
3
|
.
利用逐步淘汰公式
,
先分别求
:
70
70
70
]
?
[
]
?
[
]
?
35
?
14
?
10
?
59
2
5
7
a
a
其中<
/p>
[
]
表示对
取整
,
下同
:
b
b
?
|
A
i
|
?
[
?
|
A
< br>i
?
A
j
|
?
|
A
1
?
A
2
|
?
|
A
1
?
A
3
|
?
|
A
2
?
A
3
|
?
[
7
?
2
?
5
?
14
其中
[
a
,
b
]
表示
a
与
b
的最小公倍数
.
70
70
70
]
?
[
]
?
[
]
?
[
2
,
5
]
[
5
,
7
]
[
2
,
7
]
?
|
A
i
?
A
j
?
A
k
|
?
|
A
1
?
A
2
?
A
3
|
?
[
< br>代入公式
(21.1)
得
:
70
70
]
?
[
]
< p>?1
[
2
,
5
,
7
]
70
< br>|
A
1
?
A
2
?
A
3
|
?
70
?
?
|<
/p>
A
i
|
?
?
|
A
i
?
j
|
?
?
|
A
i
?
A< /p>
j
?
A
k
|
?
70
?
59
?
14
?
1
?
24
3.
在 由
10
个数字位组成的三进制序列中
,
有多少个至 少出现一个
0,
一个
1
和一个
2< /p>
的序列
?
解：设只出现
0
、
1
、
2
中任意
i
位数的三进制数的个数为
N(i)
个，
i=1,2
。显然，
10
位三进制
2
10
< p>数共有
N
?
3
?
< p>59049
个，而
N
(1)
?
3,
N
(2)
?
C
。故
0
、
1
?
3*1022
?
3066
3
(2
?
2)
10