-
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案
1
．用切比 雪夫不等式估计下列各题的概率．
(1)
废品率为
0
.
03
，
1000
个产品中废品多于
20
个且少于
40
个的概率；
(2)
200
个新生儿中，
男孩多于
80
个而少于
120
个的概率
< p>(假设男孩和女孩的概
率均为
0
5
)
．
解：
(1)
设
X
为
1000
个产品中废品的个数，则
X
～
B
(
0
.
03
,
1 000
)
，有
E
(
X
)
?
30
，
D
(
X
)
?
29
.
1
，
由切比雪夫不等式，得
P
(
20
?
X
?
40
)
?
P
(
20
?
30
?
X
?
30
?
40
?
30
)
?
P
(
?
10
?
X
?
30
?
10
)
?
P
(
X
?
30
?
10
)
?
1
?
29
.
1
?
0
.
709
．
2
10
(2)
设
X
为
200
个新生儿中男孩的个数，则
X
～
B
(
0
.
5
,
200
)
，有
E
(
X
)
?
100
，
D
(
X
)
< p>?50
，
由切比雪夫不等式，得
P
(
80
?
X
?
120
)
?
P
(
80< /p>
?
100
?
X
?
10 0
?
120
?
100
)
< p>?
P
(
?
20
?
X
?
100
?
20
)< /p>
?
P
(
X
?
100
?
20
)
?
1
?
50
7
?
．
20
2
8
2
．一颗骰子连续掷
4
次，点数总和记为
X
，估计
P
(
1 0
?
X
?
18
)
< br>．
解：设
X
i
< br>为该骰子掷第
i
次出现的点数，则
1
，
i
?
1
,
2
,
?
,
6
，
k
?
1
,
2
,
?
,
6
．
6
1
7
E
(
X
i
)
?
(
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
)
?
，
6
2
1
91
E
(
X
i
2
)
?
(
1
2
?
2
2
?
3
2
?
4
2
?
5
2
?
6
2
)
?
，
6<
/p>
6
35
D
(
X
i
)
?
< br>E
(
X
i
2
)
?
[
E
(
X
i
)]<
/p>
2
?
，
i
?
1
,
2
,
3
< p>,4
．
12
P
(
X
i
?
k
)
?
因为
X
?
< p>X
1
?
X
2
?
X
3
?
X< /p>
4
，且
X
1
，
X
2
，
X
3
，
X
4
相互独立，
故有
由切比雪
夫不等式，得
1
E
(
X
)
?
14
，
D
X
)
?
35
．
3
P
(
10
?
X
?
18
)
?
P
(
10
?
14
?
X
?
14
?
18
?
1 4
)
?
P
(
?
< p>4?
X
?
14
?
4
)
?
P
(
X
?
14
?
4
)
35
?
1
?
3
2
?
0
.
2 71
．
4
3
．袋装茶叶 用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为
100g
，标准差为
< p>10g
，一大盒内装
200
袋，求一盒茶叶净重大于
20
.
5
kg
的 概率．
解：设
X
i
为一袋袋装茶叶的净重，
X
为一盒茶叶的净重，由题可知<
/p>
X
?
?
X
i
，
E
(
X< /p>
i
)
?
100
，
D
(
X
i
)
?
100
，
i
?
1
,
2
,
?
< p>,200
．
i
?<
/p>
1
200
因为
X
1
，
X
2
，…，
X
200
相
互独立，则
E
(
X
)
?
E
(
?
X
i
)
?<
/p>
20000
，
D
(
X
)
?
D
(
?
X
i
)
?
20000
．
i
?
< p>1
i
?
1
200
200
P
(
?<
/p>
X
i
?
2050
0
)
?
P
(
i
?
1
200
X
?
E
(
X
)
20500
?
E
(
X
)
?
)
D
(
X<
/p>
)
D
(
X
)
?
P
(
X
?
20000
20500
?
20000
?
)<
/p>
200
?
10
200
?
10
X
?
20000
5
?
)
200
?
10
2
2
X
?
20000
近似地服从
N
(
0
,
1
)
，于是
200
?
10
?
P
(
由独立同分布的中心极限定理，
P
(
X
?
20000
5
?
)
?
1
?
?
(
3
.
5
)
?
0
.
0002
．
200
?
10
2
2
4
．有一批建 筑用木桩，其
80%
的长度不小于
3m
．现从这批 木桩中随机取出
100
根，试问其中至少有
30
根短于
3m
的概率是多少？
解：设
X
为
100
根木桩中短于
3m< /p>
的根数，则由题可知
X
～
B
(
100
,
0
.
2
)
，有
E
(
X
)
?
20
，
D<
/p>
(
X
)
?
16
，
由棣莫弗—拉普拉斯定理，得
2
P
(
X
?
30
)
?< /p>
1
?
P
(
X
?
30
)
?
1
?
?
(
X
?
E
(
X
)
3 0
?
20
)
?
1
?
?
(
)
4
D
(
X
)
?
1
?
?
(
2
.
5
)
?
0
.
0062
．
5
．某种电器元件的寿命服从均值为
100h
的指数分布．现随机选取
16
只，设它
们的寿命是相互独立的．求这
1 6
只元件寿命总和大于
1920h
的概率．
解：
设
X
i
为第
i
只电器元件的寿命，
由题可知
X
i
～
E
(
0
.
01
)
，
< br>i
?
1
,
2
,
?
,
16
，
且
X
1
，
X
2<
/p>
，…，
X
16
相
互独立，则
E
(
X
i
)
?
100
，
D<
/p>
(
X
i
)
?
10000
．
记
X
?
?
X
i
，则
E
(
X
)
?
E
(
?
X
i
)
?
1600
D
(
X
)
?
D
(
?
X
i
)
?
160000
．
i
?
1
i
?
1
i
?
1
16
16
16
P
(
X
?
1920
)
?
P
(
?
P
(
X
?
E
(
X
)
1920
?
E
(
X
)
?
)
D
(
X
)
D
(
X
)
X
?
1600
1920
?
1600
X
?
1600
?
)
?
P
(
?
0
.
8
)
，
400
400
< p>400
X
?
1600
由独立
同分布的中心极限定理，
近似地服从
N
(
0
,
1
)
，于是
400
X
?
1600
P
(
?
0
.
8
)
?
1
?
?
(
0
.
8
)
?
0
.
2119
．
400
6
．在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入
(
即可 以认为
计算误差在区间
[
?
5< /p>
?
10
?
5
,
5
?
10
?
5
]
上服从均匀分布
)
，现有
12 00
个数相加，求
产生的误差综合的绝对值小于
0
.
03
的概率．
解：设
X
i
为每个数值的误差，则
< br>X
i
～
U
(
?
5
?
1
0
?
5
,
5
?
10
?
5
)
，有
10
?
8
，
i
?
1
,
2
,
?
,
1200
．
E
(
X
i
)
?
0
，
D
(
X
i
)
?
12
从而
E
(
X
)
?
E
(
?
X
i<
/p>
)
?
0
，
D
(
X
)
?
D
(
?
X
i
)
?
10
< br>?
6
．
i
?
1
i
?
1
1200
1200
由独立同分布的中心极限定理，
X
近似地服从
N
(<
/p>
0
,
10
?
6
)
，于是
P
(
X
?
0
.
03
)
?
P
(
X
?<
/p>
E
(
X
)
0
.
03
?
E
(
X
)
?
)
D
(
X
< br>)
D
(
X
)
3
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：同济大学概率论与数理统计 复习试卷
下一篇：概率论与数理统计同济大学第1章