江西井冈山大学-江西井冈山大学
2017
自主招生必刷真题
200
道
数学篇
爱尖子自主招生研究中心
内部资料
前言
自
年
22
所高校首批启动自主选拔录取改革试点以来， 截至
2017
年，试
点高校达到
90
所（其中
77
所高校面向全国招生，
13
所高校在本省内招生）
，通
过教育部“阳光高考”平台累计公示自主选
拔录取资格考生以逾
25
万人，实际
录取超过
万人。目前，自主招生已经成为一个稳定的招生渠道，受到越来越
多优秀考生的青睐，对于促进科学选拔人才起到了积极作用。
爱尖子
作为学科竞赛和自主招生培训的专业品牌，在国际数学奥赛金牌和物
理奥赛金牌选手的领
衔下，长期致力于竞赛和自主招生培训的研发工作。
2016
年，爱尖子
学员在竞赛上取得了惊人的成绩，北京地区
53
名学员获得高中数学
联赛一等奖（共
62
人）
，数学
IMO
国家队
6
名成员均曾参与爱尖子培训，
1
人进
入物理
IPhO
国家队，
1< /p>
人进入
APhO
国家队。
2015
年，
爱尖子成立自主招生研究中心，
经过对近年来清华北 大自主招生及博雅
领军计划真题的分析与整理，甄选数学和物理学科核心考点下的经典真
题，按照
专题分类后，编写了这份《
2017
自主招生必 刷真题
200
道》
。帮助今年备战以清
华
北大等国内顶级高校为目标的同学节省备考时间，精准高效的突破笔试。为保
证同学们在
使用本题集时获得更好的体验，爱尖子特为本题集搭配详细解析，希
望同学们经过
200
题的“洗刷”后，能在自主招生笔试上取得长足的进步。
目录
（一）代数式变形
....................... .................................................. .................................................. .................. 4
（二）复数、平面向量
.................................................. .................................................. ................................. 9
（三）函数与方程
....................... .................................................. .................................................. ................ 12
（四）三角函数
.... .................................................. .................................................. ....................................... 21
（五）概率
.......................... .................................................. .................................................. ......................... 25
（六）平面几何与立体几何
................... .................................................. .................................................. .... 26
（七）解析几何
................ .................................................. .................................................. ........................... 36
（八）数列
.......................... .................................................. .................................................. ......................... 41
（九）数论
.......................... .................................................. .................................................. ......................... 45
（十）排列、组合与二项式定理
................. .................................................. ................................................ 48
（一）
代
数式变形
< /p>
001
（
2016
年清华大学领军计划）< /p>
?
a
2
?
b
2
a
,
< p>b,
c
?
R
,
?
?
c
2
?<
/p>
1
那么
?
a
?
b
?
c
?
1
A.
a
2
ma
x
?
3
B.
(
abc
)
max
?
0
C.
a
?
< p>?
1
4
min
3<
/p>
D.
(
abc
)
max
?
?
27
002
（
2016
年清华大学领军计划）
x
,
y
,
z
均为非负
实数，
满足
(
x
?
1
3
27
2
)
2
?
(
y
?
1)
2
?
(
z
?
2
)
2
?
4
，
则
x
?
y
?
z
最小值为
______ ____________.
003
（
2016
年清华大学领军计划）
实数
(
x
2
?
y
2<
/p>
)
3
?
4
x
2
y
2
，则
x
2
?
y
2
的最大值为
_____________.
004
（
2015
年北京大学博雅计划）
已知
x
2
?
y
2
?
6
x< /p>
?
4
y
?
5
?
0
，则
x
2
< br>?
y
2
的最小值是
___ _____
．
005
（
2016
年清华大学领军计划）
已知
< br>x
,
y
,
z
满足<
/p>
x
?
y
?
z
，且
?
?
x
?
y
?
z
?
1
?
1
，则（
）
?
x
2
?
y
2
< br>?
z
2
A
．
(
xyz
)
max
?
0
B.
(
xyz
)
4
min
?
?
27
< br>
C.
Z<
/p>
1
min
?
?
< p>3
006
（
20 16
年清华大学领军计划）
____________
_____
的最大值为
?
2
?
0
(
x
?
?
)
2
n< /p>
?
1
(1
?
sin
2
n
x
)
dx
< p>?
___________.
007
（< /p>
2016
年北京大学自主招生）
1
1
1
1
，则
(
x
?
2016)(
y
?
20 16)(
z
?
2016)
?
______
?
?
?
x
y
z
2016
已知
x
?
y
?
z
?
201 6,
008
（
2016
年北京大学博雅计 划）
已知
?
ABC
< p>的三边长分别为
a
,
b
,< /p>
c
，有以下
4
个命题
: < /p>
①
以
a
,
b
,
c
为边长的三角形一定存在；
②
以
a
,
b
,
c
为边长的三角形一定存在；
③
以
2
2
2
a<
/p>
?
b
b
?
c
a
?
c
,
,
为边长的三角
形一定存在；
2
2
2
< br>④
以
|
a
?
b
|
?
1
,|
b
?
c
|
?
1
,|
c
?
a
|
?
1
为边长
的三角形一定存在；
其中正确命题的个数为（
）
.
A.2
B.3
C.3
D.
前三个答案都不对
009
（
2016
年北京大学博雅计划）
三个不同的实数
x
,
y
,
z
满足
x
?
3
x
?
y
?
3
y
?< /p>
z
?
3
z
，则
x
?
y
?
z
等
于（
）
.
A.-1
B.0
C.1
D.
前三个答案都不对
3
2
3
2
3
2
010
（
2016
年北京大学博雅计划）
< br>已知
a
?
b
?
c< /p>
?
1
，则
4
a
?
1
?
4
b
?
1
?
4
c
?
1
的最大值与最小值乘积属于区间（
）
.
A.
[10,11)
B.
[11,12)
C.
[12,13)
D.
前三个答案都不对
011
(2015
年北京大学自主招生
)
设实数
x
，
y
满足
x
2
?<
/p>
y
2
?
1
，则
x
2
?
2
xy
?
y
2
的最大值为<
/p>
(A)3
(B)
3
(C)2
(D)
2
012
(2015
年北京大学自主招生
)
设集合
A
?
?
x
,
xy
,lg
?
xy
?
?
与集合
B
?
?
0,
x
,
y
?
相等，则
x
?
y
的值是
(A)2
(B)
?
2
(C)1
(D)
以上均不对
013
(2015
年北京大学自主招生
)
已知
x
?
1
，
y
?
1
，且
?
x
?
1
??
y
?
1
?
?<
/p>
2
，则
x
?
2
y
具有
(A)
最大值
4
(B)
最小值
4
(C)
最大值
7
(D)
最小值
7
014
（
2015
年北京大学自主招生）
设关于
x
的不等式
1
?
k
2
x
?< /p>
k
4
?
4
的解集为
A
，则对任意的实数
k
，一定成立的是
(A)
2<
/p>
?
A
,0
?
A
(B)
2
?
A
,0
?
A
(C)
2
?
A
,0
?
A
(D)
2
?
A
,0
?
A
?
?
015
（
2 015
年北京大学自主招生）
设
a
,
b
,
c
为两两不等
的有理数，
N
?
?
a<
/p>
?
b
?
?
?
b
?
c
?
?
?
c
?
a
?
，则
N
一定是
(A)
整数
(B)
有理数
(C)
无理数
(D)
前述三种关系均有可能
?
2
?
2
?
2
01
6
（
2015
年北京大学自主招生）
< p>
已知实数
a
,
b
,
c
满足
a
?
b
< p>?c
?
0
，
ab
?
bc
?
ac
?
0
，
abc
?
0
，则对
a
,
b
,
c
来说，下面成立的是
(A)
全是正数
(B)
至多有两个正数
(C)
至多有一个正数
(D)
全是负数
017
(2015
年北京大学博雅计划
)
(
ab
?
cd
)
2
已知
a
、
b
、
c
、
d
?
[2,4]
，则
< br>2
的最大值与最小值之和是
_________
．
2
2
2
(
a
?
d
)(
b
?
c
)
018
(2015
年北京大 学博雅计划
)
已知
x
2
?
px
?
q
?
2
，
?
x
?
[1,5]
，则不超过
p
2
?
q
2
的最大整数是
．
019
(2015
年北京大学博雅计划
)
b
2
?
c
2
?
a
2
a
2
?
b
2
?
c
2
c
2
?
a
2
?
b
2
设
x
?
，
y
?
，
z
?
，且
x
?
y
?
z
?
1
，则
2
bc
2
ab
< br>2
ca
x
2015
?
y
2015
?
z
< p>2015
的值是
________
．
020
（
2014
年北大全国 优秀中学生体验营）
3
3
3
< p>2n
?
1
?
b
2
n
?
1
?
2
n
?
1
的值。
设
a
、
b
、
c
满足
a
?
b
?
c
?
a
?
b
?
c
?
0
，
n
为任意自然数。求
a
021
（
< p>2014年北大等十一校联考自招）
已知正实数<
/p>
x
1
,
x
2
,...,
x
n
，且
x
1
x
2
...
x
n
?
1
。证明：
?
(
i
?
1
n
2
?
x
i
)
?
< p>(2
?
1)
n
。
022
（
2014
年“华约”试题）
设
n
是正整数，且< /p>
x
?
n
.
证明：< /p>
n
?
n
(1
?
)
e
?
x
。
x
n
n
x
2
023
（
2013
年北大等十一校联考自招）
以
2
和
1-
3
2
为两根的有理系数多项式的次数最小是（
）
。
A.2
B.3
C.5
D.6
024
（
20 13
年北大等十一校联考自招）
若
x
?
2
y
?
5,
y
?
2
x
?
5(
x
?
y
)
，则
x
3
?
2
x
2
y
2
?
y
3
的值为（
）
。
A.-10
B.-12
C.-14
D.
以上都不对
2
2< /p>
025
（
2013
年北大等十一校联考自招 ）
已
知
a
1
,
a
2
,
a
?
3
,
，<
/p>
满
足
a
1
?
a
2
?
.
.< /p>
a
3
?
.
，
且
|
a
1
?
2
a
2
|
?
|
a
2
?
2< /p>
a
3
|
?
|
a
3
?
2
a
< p>4
|
?
...
?
< p>|a
2012
?
2
a
2013
|
?
|
a
2013
?
2
a
1
|
.
求证：
a
1
?
a
2
?
a
3
?
...
?
a
2013
?
0
。
026
（
2012
年清华暑期学校学业水平测试）
设选
满足条件
x
3
?
1
1
2
.
求
的 值。
?
8
5
x
?
x
3
x
3
027
（
2012
年清华暑期学校学 业水平测试）
已知
a
，
b
，
c
是
?
ABC
三条边的边长
.
(1)
证明：存在三 个正实数
x
,
y
,
z
，成立
a
?
x
?
y
,
b
?
y
?
z
，
c=z+x
；
3
a
b
c
?
?
?
?
2
2
b
?
c
c
?
a
a
?
b
(2)
证明：
.
028
（
2012
年复旦千分考）
若
x
?
px
?
q
?
0
的三个解成等比数列，那么公比是多少？
3
029
（
2012
年北大夏令营）
n
个球 队打单循环赛，
第
i
支球队的胜场数为
x
i
，
负场数为
y
i
，
已知
?
< br>x
?
?
y
3
i
i
?
1
i
?
1
n
n
3
i
。
求证：
?
x
?
?
y
4
i
i
?
1
i
?
1
n
n
4
< br>i
。
030
（
2012
年“华约”自招测试）
已知
?
6
?
x
i
?
10(
i
?
1,2,...,10),
数共有（
）
。
?
X
i
?
1
10
i
?
50
.
当
< br>?
X
i
2
取得最大值时，在
x
1
,
2
,...,
x
10
这十个数中等于
-6
的
i<
/p>
?
1
10
A
．
1
个
B. 2
个
C. 3
个
D.4
个
（二）复数、平面向量
031
（
2016
年清华大学领军计划）
对于
复数
z
(
z
?
0),
z
40
和
的实部和虚部均为不小于< /p>
1
的正数，则在复平面中，
z
所对
应的向量
OP
的端
10
z
点
P
运动所形成的图形面积
为
________
。
032
（
2016
年清华大学领军计划）
O
在
?
ABC
内，<
/p>
S
?
AOB
:
?
BOC
:
S
< p>?
AOC
?
4:3:
2,< /p>
AO
?
?
AB
?< /p>
?
AC
则
?
=
_____
，
?
=
___.
033
（
2016
年清华大学领军计划）
2
?
2
< br>?
z
2
3
z
?
cos
?
i
sin
,
求
z
?
2
?
_____________.
3
3
z
?
z
?
2
034
（
2016
< p>年清华大学领军计划）
|
z
2
?
1|
?
|
z
|
，求
|
z
|
的范围和
arg
z
的范围
__________.
035
（
2016< /p>
年北京大学博雅计划）
2015
x
k
x
1
2<
/p>
设
a
,
b
,
c
为实数，
方程
ax
?
bx
?
c
?
0
的两个虚数根
x
1
,
x
2
满足
为实数，
则
?
(
1
)
等于
（
）
a
,
c
?
0
，
x
x
2
k
?
0
2
2
A.
34650
B. 5940
C.495
D.
前三个答案都不对
036
（
2015
年北京大学自主招生）
设
z
1
，
z
2
为两个不相等的复数，
z
1
?
2
，则复数
(A)2
(B)
1
2
z
1
?
z
2
的模是
4
?
z
1
z
2
(C)4
(D)
1
< br>4
037
（
2015
年北京大学自 主招生）
复平面上满足
z
?< /p>
i
?
z
?
1
?
2
的复数
z
组成的曲线是
(A)
抛物线
(B)
椭圆
(C)
双曲线
(D)
双曲线的一支
038
2015
年北京大学博雅计划）
设
?
是复数，
?
表示共轭复数，已知
?
?
?
?
2
3
且
?
?
2
是纯虚数，则
?
的值为
_______
．
< p>
039
（
2014
年“卓越”试题）
?
2
设
e
1
,
e
2
< br>为平面上夹角为
?
(0
?
?
?
)
的两个单位向量，
O
为平面上的一个固定点，
P
为平面上的任意一
点
.
当
OP
?
xe
1
?
ye
2
时，定义
(
x
,
y
)
为点
P
的斜坐标
.
现设
A
,
B
两点的斜坐标分别为
(
x
1
,
y
1
),(
x
2
,
y
2
)
，则
A
,
B
两点之间的距离为
___ ______.
040
（
2013
年复 旦自招）
求
(sin80
?< /p>
i
sin10
)
5
所对应的复数逆时针转
10
的结果
.
041
（
2013
年北大等十一校联考自招）
如果模长为
1
的复数
A
,
B
,
C
满足
A
?
B
?
C
?< /p>
0
，则
AB
?
BC
?
CA
A
?
B
< p>?C
的模长
=(
A.
-
1
2<
/p>
B.1
C.2
D.
无法确定
042
（
2012
年复旦千分考）
设
z
5
?
z
?
1
?
0
，且
< br>|
z
|
?
1
.
求
z
的值
.
043
（
2012
年“华约”自招测试）
向量
a
?
e
,|
e
|
?
1
.
若
?
t
?
R
,|
< p>a?
te
|
?
|
a
?
e
|
，则（
）
。
A
．
a
?
e
B.
a
?
(
a
?
e
)
C.
e
?
(
a
?
e
)
< br>
D.
(
a
?
e
)
?
(
a
?
e
)
044
（
2012
年“华约”自招测试）
若复数
?
-1
?
+1
的实部为
0
，< /p>
Z
是复平面上对应
1
1+
?
的点，则点
Z
(
x
,
y
)
的轨迹是（
< br>A.
一条直线
B.
一条线段
C.
一个圆
D.
一段圆弧
)
。
）
。
045
（
2 011
年“华约”自招测试）
设复数
< br>z
满足
|
z
|
< p>?1
且
|z+
1<
/p>
z
|
?
5
2
，则
|
z
|
?
(
).
A
．
4
5
B.
3
2
1
4
C.
3
D.
2
（三）函数与方程
046
（< /p>
2016
年清华大学领军计划）
对于函数
y
?
x
2
?
1
和
y
?
l n
x
，下列说法正确的是（
）
A.
(1,0)
处有公切线
B.
二者存在平行切线
C.
二者只有一个交点
D.
二者有两个交点
047
2016
年北京大学博雅计划）
直线
y
?
?
x
?
2
与曲线
y
?
?
e
x
?
a
相切，则
a
的值为（
）
A.-3
B.-2
C.-1
D.
前三个答案都不对
048
（
2016
年北京大学博雅计划）
?
1
函数
f
(
x
)
?
?
?
p<
/p>
,
x
?
q
p
,(
p
,
q
)
?
1,
p
,
q
?
< p>N
?
，则满足
x
?
(0,1)
且
f
(
x
)
?
1
?
< br>?
0,
x
?
Q
7
的
x
的个数为（
A.12
B.13
C.14
D.
前三个答案都不对
）
049
（
2016
年北京大学博雅计划）
f
(
x
)
是定义在
R<
/p>
上的函数，且对任意实数
x
均有
2
f
(
x
)
?
f
(
x
2
?
1)
?
1
，则
f
(
?
2)
等于（
）
.
A.0
B.
1
2
C.
1
3
D.
前三个答案都不对
050
（
2015
年北京大学自主招生）
函数
y
?
lg
x
?
3
10
的图像可由函数
y
?
lg
x
的图像经过怎样的变换得
到？
(A)
向左平移
3
个单位，向上平移
1
个单位
(B)
向左平移
3
个单位，向下平移
1
个 单位
(C)
向右平移
3
个单位，向上平移
1
个单位
(D)
向右平移
3
个单位，向下平移
1
个 单位
051
（
2015
年北京大学博雅计划）
满足等式
(1
?
1
x
)
x
?
1
?
(1
?
1
2015
)
2015
的整数
x
的个数是
________
．
052
（< /p>
2014
年北大等十一校联考自招）
已知
函数
f
(
x
)
满
足
f
(
a
?
2< /p>
b
3
)
?
f
(
a
)
?
2
f< /p>
(
b
)
3
,
f
(1)
?
1,
f
(4)
?
7
，则
f
(2 014)
?
(
A.4027
B.4028
C.4029
D.4030
053
（
2014
年北大等十一校联考自招）
设
x
,
y
均为负数，且
x
?
y
?
?
1
，那么
xy
?
1
xy
有（
）
。
A.
最大值
-
17
4
B.
最小值
-
17
4
C.
最大值
17
17
4
D.
最小值
4
)
。
054
（
2014
< p>年北大等十一校联考自招）
2
?
2
x
1
1
?
C
成为区间
(
?
,
)
< p>上的奇函数的常数
C
为（
）
。
1
?
4
x
4
4
使得函数<
/p>
f
(
x
)
?
arctan
A.0
B.
-arctan
2
C.
arctan
2
D.
不存在
055
（
2014
< p>年北大等十一校联考自招）
实系数二次函数
f
(
x
)
和
g
(
x
)
满足
3<
/p>
f
(
x
)
?
g
(
x
)
?
0
与<
/p>
f
(
x
)
?
g
(
x
)
?
0
都只有一对重根。已知
f
(
x
)
?
0
有
两个不相等的实根，证明：<
/p>
g
(
x
)
?
0
无实根。
056
（
2014
年“卓越”试题）
当实数
m
变化时，
不在任何直线
2
mx
?
(1
?
m
)
y
?
4
m
?
4
?
0
上的所有点
(
x
,
y
)
形成的图形的面积为
（
）
.
2
A.
2
B. 4
C.
2
?
D.
4
?
057
（
2014
年“卓越”试题）
1
< br>?
2
x
?
1
,
x
?
?
?
?
x
2
2
已知函
数
f
(
x
)
?
< p>?
若存在实数
a
，
使得
f
(
a
)
?
g
(
b
)
?
0
，
,
g
(
x
)
?
x
2
?
4
x
?
4
.
设
b
为实数，
1
?
ln(
?
1),
x
?
?
< p>?
?
2
则
b
的取值范围为（
）
.
A.
[
?
1,5]
B.
(
??
,
?
1]
[5,
??
)
< /p>
C.
[
?
1,
??
)
D.
(
,
?
5]
058
（
2014
< p>年“卓越”试题）
已知
f
(
x
)
为
R
上的可导函数，且对
?
x
0
?
R
，有
0
?
f
?
(
x
?
x
0
)
?
f
< br>?
(
x
0
)
?
4
x
(
x
?
0)
.
(1)
对
?
x
f
(
x
?
x
0
)
?
f
(
x
0
)
< br>0
?
R
，证明：
f
?
(
x
0
)
?
x
(
x
?
0)
;
(2)
< /p>
若
|
f
(
x
)
|
?
1,
x
?
R
，证明
:
|
f
?
(
x
)
|
?< /p>
4
.
059
（
2 014
年“华约”试题）
对
于
函
数
f
(
x
)
，
记
f
?
1
(
x
)
是
它
的
反
函
数
.
定
义
(
f
g
)
(
x
)
是
关
于
函
数
f
和
g
的
复
合
函
数
，
(
f
g
)(
x
)< /p>
?
f
(
g
(
x
))
。证明：
(1)
(
f
g
)
?
1< /p>
(
x
)
?
(
g
?
1
f
?
)(
x
)
；
(2)
设
F
(
x
)
?
f
(
?
x
),
G
(
x
)
?< /p>
f
?
1
(
?
x
)
，若
F
与
G
互为反函数，则
f
(
x
)
为奇函数。
即
060
（
2013
“卓越”试题）
< /p>
(
理科
)
设
x
?
0
.
1
(1)
证明：
e
x
?
1
?
x
?
x
2
；
2
(2)
若
e
x
?
1
?
x
?
1
2
y
x
e
，证明：
0
?< /p>
y
?
x
.
2
061
（
2013
年清华大学夏令营）
已知函数
f
(
x
)
?
x
ln
x
.
(1)
求函数
f
(
x
)
在
[1,3]
上的最小值；
1
(2)
若存在
x
?
[
,
e
]
(e
为自然对数的底数，且
e=2.7182828…)
，使不等式
2
f
(
x
)
?
?
x
2
?
ax
?
3
成
e<
/p>
立，求实数
a
的取值范围
.
062
（
2013
年复旦自招）
x
2
?
x
s in
x
?
cos
x
有几个
实数解？
063
（
2013
< p>年复旦自招）
设
e
?
4
?
x
,ln
x
?
4
?
x
两个方程的解分别为
< br>x
1
,
x
2
.
求
x
1
< br>?
x
2
.
x
064
（
2012
年“卓越”自招试题）
ax
2
?
1
已知函数
f
(
x
)
?
，其中
a
是非零实数，
b<
/p>
?
0
.
bx
(1)
求
f
(
x
)
的单调区间；
(2)
若
a
?
0,|
x
i
|
?
1
(
i
?
1,2,3)
a
2
a
(
；
3
f
b
，
且
x
1
?
x
2
0
?
,
x
2
?
x
3
0
?
,< /p>
x
3
，
证
明
：
f
(
1
x<
/p>
?
)
f
2
(
?
x
)
(3)
若
f
(
x
)
有极
小值
f
min
，且
f
min
?
f
(1)
?
2
，证明：
|
f
(
x
)
|
n
< br>?
|
f
(
x
n
)
|
?
2
n
?
2(
n
?
N
?
)
.
065
（
2012
年“华约”自招测试）
x
2
x
n
已知
f
n
(
x
)< /p>
?
1
?
x
?
.
求证：当
n
为偶数时，
f
n
(
x
)
?
0
无解；当
n
为奇数时
，
?
...
?
(
n
?
1,
2,
3,...)
2!<
/p>
n
!
f
n
(
x
)
?
0
有唯一解
x
n
且
x
n
?
2
?
x
n
.
066
（
20 11
年北大等十三校联考自招）
求
f
(
x
)
?
|
x
?
1
?
|
2
x< /p>
?
1|
?
...
?
|
2011
x
?
1|
的最小
值。
067
（
2011
年北大夏令营）
是否存在定义域为全体实数的实值函数
f
(
x
)
，
使得
f
(
?
n
?
3
n
?
1)
?
f
(
n
)
?
2
，
n
均成立？
2
2
068(2015
年北京大学自主招生
)
?
x
?
3
?
f
?
x
?
?
f
?
?
f
?
x
?
f
?
x
?
x
?
4
?
?
的所有
< br>x
之和是
x
?
0
设函数
是偶函数，且当
时
是单调 函数，则满足
(A)
?
3
(B)3
(C)
?
8
(D)8
069
（
2 013
年北大暑期体验营）
设
f
?
x
?
?<
/p>
2
x
?
ax
?
7
，已知存在
?
?
(
2
?
?
,
)
，满足
f
(sin
?
)
?
f
(cos
?
)
。求参数
a
的取值范围。
4
2
070
（
2013
年“华约”试题）
设函数
f
(
x
)
?
(1
?
x
)
e
?
1
< p>.
x
（
1
）
证明
:
当
x
?
0
时，
f
(
x
)
?
0
；
（
2
）
令
x
n
e
x
< br>n
?
1
?
e
x
n
?
1,
x
1
?
1
，证明：数列
< br>{
x
n
}
递减且
x
n
?
1
.
n
2
071<
/p>
（
2012
年“卓越”自招试题）
函数
f
(
?
)
?
sin
?
(
?
?
R
)
的值域
为
______________.
2
?
cos
?
072
（
2012< /p>
年清华暑期学校学业水平测试）
1
，过
(
a
,
f
(
a
)),(
b
,
f
(
b
))
两点的直线方程为
y
?
cx
?
d
.
< br>x
1
（
1
）求证：当
a
?
x
?
b
< br>时，
cx
?
d
?
< br>；
x
设
0
?
a
?
b
,
f
(
x
)
?
(2)
证 明：
ln(1
?
n
)
?< /p>
n
1
1
?
1
?
?
...
?
.
2(
n
?
1)
2
n
073
（
2016
年清华大学领军计划）
f
(
x
)
?
(
x
2
?
a
)
e
x
有
最小值，则
x
2
?
2< /p>
x
?
a
?
0
的解的个数为
________
074
（
2016
年北京大学博雅计划）
若方程
x
?
3
x
?
1
?
0
的根也是方程
x
?< /p>
ax
?
bx
?
c
?< /p>
0
的根，则
a
?
b
?
2
c
的值为（
）
.
A.-13
B.-9
C.-5
D.
前三个答案都不对
2
4
2
075
（
201 6
年北京大学博雅计划）
?
x
?
y
2
?
z
3
?
方程组
?
x
2
?
y
< br>3
?
z
4
，的实
数解组数为（
）
.
?
x
3
?
y
4
?
z
5
?
A.5
B.6
C.7
D.
前三个答案都不对
076
（
2016
年北京大学博雅计划）
x
3
?
x
3
x
3
?
x
方程
(
)
?
?
3
x
的所有实根的平方和等于（
）
.
3
3
A.0
B.2
C.4
D.
前三个答案都不对
077
（
2015
年北京大学自主招生）
设关于
x
的方程
sin
2
x
?
4
m
s in
x
?
3
?
m
?
0
总有解，则实数
m
的
取值范围是
4
(A)
m
?
?
3
(B)
m
?
4
5
4
3
4
(C)
?
?
m
?
1
或
?
m
?
3
4
5
(D)
以上均不对
0
78
（
2014
年北大全国优秀中学生体验营）
设关于
x
的方程
x
2
?
ax
?
2
a
?
2
?
0
在区间
[0
，
3
]
内有根，求 实数
a
的取值范围。
2
079
（
2014
年北大全国优秀中学生体验营）
设
a
、
< p>b、
c
是实数，方程
x
3
?
ax
2
?
bx
?
c
?
0
< br>有三个正根。证明
2
a
3
?
9c
?
7
ab
，并且等号成立当且仅当
这三个正根相等。
0
80
（
2014
年“卓越”试题）
|
x
|
3
?
2
x
2
+1<0
的解集为（
）
.
A.
(
?
1
?< /p>
5
1
?
5
1
?
5
1
?
5
5
?
< p>11
?
5
2
,
?
1)
(1,
2
)
B.
(
?
2
,
2
)
(
2
,
2
)
C.
(
??
,
?
1
?
< p>5
2
)
(
1
?
5
2
)
D.
(
?
< p>1,
1
?
5
2
)
(
5
?
1< /p>
2
,1)
08
1
（
2012
年北大夏令营）
< br>方程
ax
2
?
(
a
?
4)
x
?
a< /p>
?
1
?
0
有且仅有一个质根
。求
a
的范围。
082
（
2012
年北大等十一校联考自招）
关于
x
的方程
x
?
11
?
6
x
?
2
?
x
?
27
?
10
x
?
2
?
1
的实
根的个数为（
A.
1
B.3
C. 0
D.
无穷多
。
）
（四）三角函数
083
（
2016
年清华大学领军计划）
下列计算正确的是
A
．
tan1
?
tan
61
?
tan121
?
3
tan1
tan
61
tan121
tan1
?
tan
61
?
tan121
?
?
3
tan1
tan
61
tan121
B
．
C
．
tan1
tan
61
+tan1
tan12
1< /p>
+tan
6
1
tan12
1
?
3
D
．
tan1
tan
61
+tan
?
?
084
（
2016
年清华大学领军计划）
sin
4
?
sin
2
?
sin
?
sin
?
3
?
?
?
，求值
cos8
?
< br>cos
4
?
cos
4
?
cos
2
?
cos
2
?
cos
< br>?
cos
?
3
< br>已知
tan
4
?
?
085
（
2016
年清华大学领军计划 ）
下列能构成唯一
?
ABC< /p>
的是（
）
A.
a
?< /p>
1,
b
?
2,
c
?< /p>
Z
B.
A
?
150
,
a
sin
A
?
c
sin
C
?
2
a
sin
C
?
b
sin
B
C.
cos
A
sin
B
cos
C
?
cos(
B
?
C
)cos
B
sin
C
?
0,
C
?
60
D.
a
?
3,
b
?
1
,
A
?
60
086
（
2016
年北京大学博雅计划）
2
?
10
?
...cos
的值为（
）
11
11
11
1
1
A
．
?
B.
?
C.
?
D.
前三个答案都不对
64
16
32
cos
cos
?
087(2015
年北京大学自主招生
)
tan10
tan
20
?< /p>
tan
20
tan60
?
tan60
tan10
的值是
(A)
3tan10
(B)1
(C)2
(D)
2
3
088(2015
年北京大学自主招生
)
设角
?
,
?
,
?
均大于
0
，且
?
?
?
?
?
?
2
?
，
sin
?
?
sin
?
?
sin
?
?
(A)
=
3
3
?
?
?
，则
sin
?
sin
?
sin
< p>的值一定
2
2
2
2
?
2
(B)
>
?
< br>2
(C)
<
?
2
(D)
前述三种关系均有可能
089
（
2015
年北京大学博雅计划）
?
已知
x
?
[0,
]
，
对任意实数
a
，
函数
y
?
cos
2
x
?
2
a
cos
x< /p>
?
1
的最小值记为
g
(
a
)
，
则当
a
跑遍所有实数时，
g
(
a
)
2
的最大值是（
A.
1
）
B.
2
C.
3
D.
前三个答案都不对
090
（
2014
年北大全国优秀中学生体验营）
< p>
n
k
?
1
nt
t
t
/
sin
)
2
。
证明：若
n<
/p>
?
2
为自然数，
t
为实数且
sin
?
0
，则
?
(1
?
?
2
cos
pt
)
?
(sin
2
2
2
k
?
1< /p>
p
?
1
091
（
2014
< p>年北大等十一校联考自招）
证明：
tan
3
是无理数。
092
（
2014
年“卓越”试题）
设
a
?
R
，函数
< br>f
(
x
)
?
2
sin
2
x
cos
?
< br>?
2
cos
2
x
sin
?
?
2
cos(
?
?
2
x
)
?
cos
?
(
x
?
R
)
.
(1)
若
?
?
[
,
]
，求
f
(
x
< p>)
在区间
[0,
]
上的最大值；
4
2
4
(2)
若
f
(
x
)
?
3
，求
?
与
x
的值
.
?
?
?
093
（
2014
年“华约”试题）
2
?
最小值为
-4
，
求
a
b
的值。
(cos
x
?
sin
x
)sin(
x
?
)
?
2
a
s in
x
?
b
(
a
?
0)
的最大值为
1
，
2
4
已知函数
f
(
x
)
?
094
（
2 013
年“卓越”试题）
(
理
科
)
在
?
ABC
< br>中
，
三
个
内
角
A
,
B
,
C
所
对
的
边
分
别
为
a
,
b
,
c
< br>.
已
知
(
a
?
c
)
(
?
s
i
A
n
?
(1)
求角
C
的大小；
?
s
C
i
?
n
a
?
)
b
.
(2)
求
sin
?
A
sin
?
B
的最大
值
.
095
（
2013
年北大等十一校联考自招）
对于任意的
?
，求
32cos
6
?
?
cos6
?
?
6cos4
?
?
15cos2
?
的值。
096
（
2012
年“卓越”自招试题）
?
x
?
?
，
)
其
中
?
?
0
，
?
?
R
.
若
存
在
常
数
T
(
T
?
0)
，
使
对
任
意
的
< p>x
?
R
，
有
设
函
数
f
(
x
< p>)?
s
i
n(
f
(
x
?
T
)
?
Tf
(
x
)
，则
< br>?
可取到的最小值为
_____________.
< p>097
（
2012
年清华暑期学校学业水平测试）< /p>
记
?
ABC
的三个内角为
A
,
B
,
C
.
试问：是否存在满足条件
cos
?
A
?
cos
?
B
?
cos
?
C
的非等腰三角形？请
给出证明。
098
（
2012
年北大夏令营）
设
f
k
(
x
)
?
?
1
2
m<
/p>
,
n
?
N
。求
且
m
?
n
，使
(sin
x
?
cos
kx
)
k
f
m
(<
/p>
x
)
?
f
n
(
x
)
为恒定常数。
099
（
2012
年北大等十一校联考自招）
（理科）若关于
x
的方程
< br>sin
2
x
sin
4
x
?
sin
x
sin3
x
?
a
在
x
?
[0 ,
?
)
时有唯一的解，求实数
a
的值。
100
（
2011
年“华约”自招测试）
已知
?
ABC
不是直角三角形
.
(1)
证明：
tan
?
A
?
tan
?
B
?
tan
?
C
?
tan
?
A
tan
?
B
tan
?
C
；
(2)
若
3
t an
?
C
?
1
?
< br>tan
?
B
?
tan
?
C
?
A
,
si
n
?
2
B
，
且
< p>si
n
2
tan
?
A
,
si
?
n
C< /p>
2
的
倒
数
成
等
差
数
列
，
求
cos
?
A
?
?
C< /p>
的值
.
2
（五）概率
101
（
2016
年清华大学领军计划）
甲，乙，丙，丁
四个人进行网球赛规定甲乙一组，丙丁一组先打，胜者再打决胜局，四人相互对战，对战
时胜率如下，求甲获胜的概率为
____________.
选手
对手
甲
乙
丙
丁
甲
0.7
0.7
0.2
乙
0.3
0.4
0.6
丙
0.3
0.6
0.5
丁
0.8
0.4
0.5
102
（
2014
< p>年“卓越”试题）
3
，
则
a
?
16
已知
0
?
a
?
1
，
分别在区间
(0,
a
)
和
(0,4
?
a
)
< p>内任取一个数，
且取出的两数之和小于
1
的概率为< /p>
_________.
103
（
2014
年“华约”试题）
1
)
，设甲赢得比赛的概率为
2
一场比赛
在甲、乙之间进行，采取五局三胜制。已知甲赢一局的概率为
p
(
p
?
q
.
求
< p>q
?
p
的最大值及取最大值时的
p
值。
104
（
2012
年清华暑期学校学业水平测试）
某企业生产的电子元件的次品率为
10%.
为保证质量，检测部门对该产品进行 抽查，每次抽检
1
件。如果抽
到次品则抽查结束，否则继
续抽查。抽查产品件数的数学期望与方差分别为（
）
。
A
．
E
(
?
)
?
10,
D
(
?
)
?
90
B.
E
(
?
< br>)
?
10,
D
(
?
)
?
9
C.
E
(
?
< br>)
?
9,
D
(
?<
/p>
)
?
90
D.
E
(
?<
/p>
)
?
9,
D
(
?
)
?
9
105
（
2012
< p>年“华约”自招测试）
设某系统中每个元件正常工作的概率都是<
/p>
p
(0
?
p
?
1)
，各个元件正常工作的事件相互独立
.
如果该系统 中
有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作
.
系统 正常工作的概率称为系统的可靠性
.
（
1
）
该系统配置有< /p>
2
k
?
1
个元件，
k
为正整数，求该系统正常工作概率的表达式；
（
2
）
现为改善（
1
）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系
< p>统的可靠性
.
106
（
2 011
年清华夏令营）
北京采用摇号买车的方式。有<
/p>
20
万人摇号，每个月有
2
万个名额。
(1)
如果每个月摇上的退出摇号，没有摇上的继 续进入下月摇号，则平均每个人摇上需要多长
时间？
(2)
如果每个月都有
2
万人补充进摇号队伍，则平均每个人摇上需要多长时间？
(3)
如果交管所可以控制摇上号的人的比例，
使其成为每个季度第一个月摇上的概率为
1
，
第
10
1
1
二个
月为
，第三个月为
，则平均每个人摇上需要多长时间？
9
8
（六）平面几何与立体几何
107
（
2016
年清华大学领军计划）
AB
为圆
O
的一条弦，
P
为圆
O<
/p>
上一点，
OC
?
AB
,
PA
OC
?
M
,
PB
交
OC
延长线于
N
.
A.
OMBP
共圆
B.
AMBN
共圆
C.
AOPN
共圆
广州外贸大学-广州外贸大学
什么工程大学-什么工程大学
大学文言文-大学文言文
重庆大学的排名-重庆大学的排名
大学生活动中心设计-大学生活动中心设计
燕山大学吧-燕山大学吧
内蒙古科技大学研究生-内蒙古科技大学研究生
湖南大学金融专硕-湖南大学金融专硕
-
上一篇：南京大学自主招生个人陈述自荐信优秀范文
下一篇：自主招生数学试题例讲