武汉大学美女-武汉大学美女
高校自主招生数学问题讲练
全国重点大学自主招生考试是自
2006
年开始的一个新的考试
门类，目前，这种考试有
三大联盟：即，以清华为首的七校联盟，简称“华约”
（清华、上海交大、西安交大、南京
大学、浙江大学、中国科大、中国人大）
；以北大为首的十三校联盟，简称“北约”
（北大、
北航、北
师大、复旦、南开、武大、厦大、川大、山东大学、兰州大学、中山大学、华中科
大、香
港大学）
（注：复旦、南开两校今年起退出北约单独干）
；以及以北京理工大学为 首的
九校联盟，简称“卓越联盟”
（北理工、大连理工、华南理工、天津 大学、同济大学、重庆
大学、东南大学、西北工大、哈尔滨工大）
．
其试题特点是注重基础，知识全面，强化应用，突出能力，灵活多变，并与
大学的知识
内容及思想方法有所衔接，部分试题具有一定的高等数学以及数学竞赛背景．
自
2013
年起，自
主招生试题已由各有关高校自行命题，改为由国家考试中心命题，目
前还没有制定考试大
纲，
今年仍然按三个联盟分别命题，
明年，或许又将合为一卷，这正如
< p>三国演义开篇所说：
“话说天下大势，分久必合，合久必分”
．
自主招生试题，包括中学所涉及的全部知识（而不单是按某个省的教材）<
/p>
，内容可能会
有某些超越．
试题例讲
1
、对于数
列
?
a
n
?<
/p>
：
1,3,3,3,5,5,5,5,5,
L
,
即正奇数
k
有
k
个，且按自小到大排列，是
否存在整数
r
,
s
,
t
，使得对于任意正整数
n
，都有
a<
/p>
n
?
r
?
n
?
s
?
?
恒成立？
?
?
（
[
x
]
表示不
超过
x
的最大整数）
（上海交大）
解：对正整数分段，第一段
1
个数
，第二段
3
个数，第三段
5
个数，…，第
n
段
2
n
?
1
个
数，而
1
?
3
?
5
?
L
?
(2
n
?
1)
?
n
，
于是当
k
?
n
?
(
k
?
1)
时，
a
n
的取值为第
k
?
1
个奇数，即此时，
a
n
?
2
k
?
1
，由
于
2
2
2
k
2
?
n
?
1
?
(
k
?
1)
< br>2
，所以
k
?
?
n
?
1
?
，据此，
a
n
?
2< /p>
?
n
?
1
?
?
1
，将此与题目要求相
?
?
?
?
比较，可知
r
?
2,
s
?
?
1,
t
?
1
即是适合条件的整数；
（注：
93
年南昌市
赛及
06
年江西预赛题：数列
?
x
n
?
:
,3,3,3,5,5,5,5,5,
L
由全体
正奇数
自小到大排列而成，并且每个奇数
k
连续出现
k
次，
k
?
1,3,5,
L
，如果这个数列的通项公
式为
x
n
?
a
?
bn
?
c
< br>?
?
d
，
（
其中
?
x
?
表示
x
的整数部分
，
a
,
b
,
c
,
d
为整数
）
，
则
?
?
a
?
b
?
c
?
d
?
．
（答案：
3
）
.
简
解：
由
x
k
2
?
?
x
k
2
?
2
?
L
?
< p>x
?
k
?
1
?
2
?
2
k
< p>?1
，即当
k
2
?
1
?
n
?
?
k
?
1
?
时，
2
x
n
?
2
k
?
1
k
?
?
n
?
1
?
，所以
x
n
?
2
?
n
?
1
?
?
1
，于是，
?
?
?
?
．
?
a
,
b
,
< p>c,
d
?
?
?
2,1
,
?
1
,1
?
,
a
?
b
?
c
?
d
?
3
）
同类问题：数列数列
?
< br>a
n
?
：
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,
L
,
即正
整数
k
有
k
个
，自小到大排
列而成，求
a
n
及
S
n
．
解：
先对正整数分段，
第一段
1
个数，
第二段
2
个
数，
第三段
3
个数，
…，
第
k
段有
k
< br>个
数，而前
k
段项数和为
1
?
2
?
3
?< /p>
L
?
k
?
k
(
k
?
1)
k
(
k
?
1)
，前
k
?
1
段项数和为
，
2
2
k
(
k
?
1)
k
(
k
?
1)
如果
a
n
?
，那么
，于是，当
n
给定时，由此式解得，
?
1
?
n
?
2
2
?
1
?
8
n
?
1
1
?
8
n
?
7
1
?
8
n
?
7
?
1
?
8
n
?
1
?
k
?
?
?
1
，于是
k
等于
< p>，注意
0
?
2
2
< p>22
?
1
?
8
n
?
7
?
?
< p>1
?
8
n
?
7
?
1
?
8
n
< p>?7
的整数部分，即
k
?< /p>
?
，也就是
a
?
?
?
?
，
n
2
2
2
?
?
?
?
由于数列第
k
段由
k
个
k
组成，其和为
k
，因此数列前
k
?
1
段的总和为
< /p>
2
S
1
2
k
(
k
?
1)
< br>?
1
2
?
2
2
?
L
?
(
k
?
1)
2
?
k
(
k
?
1)(2
k
?
1)
；
6
由于
a
n
?
k
位于第
k
段的第
< br>n
?
1
k
(
k
?
1)
个数，而这些项全是
k
，因此，
2
S
n
?
S
1
< br>1
k
(
k
?
1)(2
k
?
1)
?
1
?
?
?
?
?
n
?
k
(
k
?
1)
?
k
?
?< /p>
?
n
?
k
(
k
?
1)
?
k
k
(
k
?
1)
2
6
2
?
?
?
?
2
?
1
?
8
n
?
7
?
1
?
nk
?
k
(
k
2
?
1)
；其中
k
?
?<
/p>
?
．
2
6
?
?
2
、已知一无穷
等差数列中有三项：
13,25,41
，求证：
2009
为数列中的一项．
（
2009
北大）
< /p>
证：
注意到，
一个无穷等差数列任意截去前面一段后仍然是 无穷等差数列，
故可设此数
列为
?
a
n
?
，且
a
1
?
13,
a
m
?
25,
a
n
?
41
，设公差为
d
，则
d
?
25
?
13
41
?
13
12
28
12
28
,
?
?
1,
n
?
?
1
，所以
,
皆为整
数，而
，所以
m
?
m
?
1
n
?
1
d
d
d
d
28
?
12
?
2009
?
13
?
1996
?
13
?
(12
?
3
?
28
?
70)
?
13
?
?<
/p>
?
3
?
?
70
?
d
d
< br>?
d
?
?
13< /p>
?
(3
m
?
70
n< /p>
?
73)
d
，即
2
009
是等差数列
?
a
n
?
的第
3
m
?
70
n
?
73
?
1
?
3
m
?
70
n
?
72
项．
（
2009
清华大学理科）
3
、写出所有公差为
8<
/p>
的三项等差质数数列，并证明之．
解：设三数为
< br>a
,
a
?
8,
a
< p>?16
，其中
a
为
质数；考虑模
3
的余数，
若
a
?
1(mod3)
，则
a
?
8
?
9
?
0
(mod3)
，即
3
a
?
8
，故
a
?
8
是合数，不满足条件；
< br>若
a
?
2
(mod3)
< p>，
则
a
?
16
?
18
?
0
(mod3)
，
即
3
a
?
16
，
故
a
?
16
是合数，
不满足条件；
故只有
a
?
0
(mod3)
，因
a
为质数，只有
a
?< /p>
3
，于是只有唯一解，即三数为
3,11,19<
/p>
．
4
、设
5
?
1
的整数部分为
A
，小数部分为
B
；
< br>(1)
、求出
A
,
B
；
5
?
1
1
（
2009
清华大学
理科）
AB
的值；
(
3)
、求
lim(1
?
B
?
B
2
?
L
< p>?B
2
)
．
n
??
2
(2)
、求
A
2
?
B
2
?
解：
(
1)
、因为
5
?
1
?
5
?
1
?
5
?
1
4
?
2
?
3
?
5
?
3
?
5
，所以，
A
?
?
?<
/p>
?
?
2
，
2
?
2
?
B
?
3
?
5
5
?
1
?
2
?
< p>；
2
2
2
?
5
?
1
?<
/p>
1
1
5
?
1
2
2
2
?
?
2< /p>
?
?
5
；
(2)
、
A
?
B
?
AB
?
2
?
?
?
?
2
?
2
2
2
?
?
< br>由于
B
?
5
?
< p>11
3
?
5
?
1
，则
lim(1
?
B
?
B
2
?
L
?
B
n
)
?
?
．
n
??
< p>2
1
?
B
2
5
、已知
a
2
?
a
?
1
?
0,
b
2
?
b
?
1
?
0,
a
?
b
，
设数列
?
a
n
?
,
?
b
n
?
满足：
a
1
?
1,
a
2
?
b
，
a
n
?
1
?
a
n
?
a
n
?
1
?
0
(
n
?
2)
，
b
n
?
a
n
?
1
< p>?
aa
n
，
(1)
、证明数列
?
b
n
?
是等比数列；
(2)
、求数列
?
a
n
?
的通项；
(3)
、设
c
1
?
c
2
?
1,
c
n
?
2
?
n
?
1
?
c
n
，证明：当
n
?< /p>
3
时，有
(
?
1)
n
(
c
n
?
2
a
?
c
n
b
)
?
b
n
?
1
．
（华南理工大学）
解：
(1)
、由条件知，
a
,
b< /p>
是方程
x
?
x
?< /p>
1
?
0
的两根，由
a
?
b
，所以
a
?
2
?
1
?
5< /p>
，
2
b
?
?
1
?
5
1
< p>?5
,
b
n
?
a
n
?
1
?
aa
n
?
a
n
?
1
?
a
< br>n
；又由条件
a
n
?
1
?
?
a
n
?
a
n
?
1
(
n
?
2)
，
2
2
1
?
< p>5
a
n
，得
2
所以，由
b
n<
/p>
?
a
n
?
1
?
b
n
?
n
?
1
?
5
?
1
5
?
1
< p>5?
1
a
n
,
b
n
?
1
?
a
n
?
a
n
?
1
?
a
n
?
(
a
n
?
1
?
a
n
)
2
2
2
?
b
n
?
1
< p>5
?
1
?
5
?
1
?
5
?
< p>1
5
?
1
，即
，且
b
1
?
a
2
?
aa
1
< br>?
b
?
a
?
5
，
a
?
a
?
b
?
?
n
?
1
n
?
n
< br>?
2
?
2
2
b
n
2
?
?
5
?
1
的等比数列；<
/p>
2
k
?
1
所以
?
b
n
?
是首项为
5
，公比为
?
5
?
1
?
(2)
、据
(1)
知，
b
k
?
5
?
?
?
2
?
?
?
?
?
5
?
1
?
5
?
1
a
k
< br>?
5
?
?
即
a
k
?
1
?
?
2
?
?
2
?
?
a
k
?
1
r
k
?
1
k
，
a
< br>k
?
1
?
aa
k
?
b
k
，
k
?
1
?
5
?
1
?
，两边同除
?
?
?
?
?
2
?
?
k
?
1
，
（暂记
?
5
?
1
?<
/p>
r
）得
2
?
5
?
3
?
< br>a
k
?
k
?
5
?
?
2
?
?
，令
k
1,2,
L
,
n
?
1
，并求和得，
r
?
?
n
?
1
n
?
1
n
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
a
n
5
?
1
5
?
3
5
?
1
a
n
a
1
5
?
1
?
5
?
3
?
?
a
?
，所以
，则
?
?
1
?
?
?
?
?
?
n
n
?
2
?
?
2
?
?
< br>；
?
?
r
2
r
n
r
2
< br>?
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
(3)
、利用数学归纳法，
n
?
3
时，
(
?
1)
3
(
c
1
a
?
c
< br>3
b
)
?
?
?
a
?
(
c
1
?
c
2
)
b
?
?
?
(
a
?
2
b
)
?
3
?
5
?
b
2
，结论成立；
2
k<
/p>
k
?
1
若
n
?
k
(
k
?
3)
时结论成立，即有
(
?
1)
(
c
k
?
2
< br>a
?
c
k
b
)
?
b
，则当
n
?
k
?
1
时，
(
?
1)
k
?
1
(
c
k
?
1
a
?
c
k
?
1
b
)
?
(
?
1)
k
?
1
?
c
k
?
1
a
?
(
c
k
?
c
k
?
1
)<
/p>
b
?
?
(
?
1)
k
?
1
?
c
k
?
1
(
a
?
b
)
?
c
k
b
?
?
(
?
1)
k
?
1
?
?
c
k
?
1
?
c
k
b
?
?
(
< p>?1)
k
?
1
?
3
?
5
?
< br>?
c
k
?
2
?
c
k
(
b
?
1)
?
?
(
< p>?1)
?
?
?
c
k
?
2
?
2
c
k
?
?
?
?
k
?
(
?
1)
k<
/p>
5
?
1
?
5
?
1
5
?
1
?
k
k
?
1
k
?
c
?
c
?
(< /p>
?
1)
(
c
a
?
c
b
)
b
?
b
?
b
?
b
?
?
k
?
2
k
?
k
?
2
k
?
2
?
2
2
?
即
n
?
k
?
1
时，结论也成立，于是结论得证．
6
、
n
个
圆至多将平面分成多少个部分？
n
个球至多将空间分成多少个部
分？
（
2009
南京大学）
解：设
n
个两两相交的圆
C
1
,
C
2
,
L
,
C
n
将平面分成
f
(
n
)
部分，现加入圆
C
n
?
1
，它与前
n
个圆都相
交，共得
n
对交点，这
n
对交点把
C
n
?
1< /p>
的圆周分成
2
n
段弧，每
段弧穿过一个原
先的区域，就将该区域一分为二（即增加一个区域）
，即 增加圆
C
n
?
1
后，新增加的区域数为
2
n
< br>，所以，
f
(
n
?
1)
?
f
(
n
)
?
2
n
，即
f
(< /p>
n
?
1)
?
f
(
n
)
?
2
n
，
又
f
(1)
?
2
，
于是
f
(
n
)
?
n
?
n
?
2
．
再设
n
个两两相交的球
C
1
,
C
2
,
L
< p>,C
n
将平面分成
?
(
n
)
部分，现加入球
C
n
?
1
，它
与前
n
个球
都相交，
这
n
个球在
C
n
?
1
的球面上交出
n
个圆，
据上述结论，
球面被分成
< br>f
(
n
)
?
n
?
n
?
2
2
2
n
(
n
2
?
3
n
+8)
个区域，则
?
(
n
?
1)
?
?
(
n
)
?< /p>
(
n
?
n
?
2)
，且
?
(1)
?
< p>2
，解得
?
(
n< /p>
)
?
．
3
2
n
1
1
7
、数列
?
a
n
?
满足：
?
?
?
；
i
?
1
a
i
i<
/p>
?
1
a
i
n
(1)
、求
a
n
和
a
n
?
1
的关系；
(2)
、若
0
?
a
1
?
1
，证明
0
?
a
n
?
1
；
(3)
、若
a
1
?
[0,1]
，证明
a
n
?
a
n
?
1
,(
n
?
2)
．
（
2008
中国科大）
解：
(1)
、由
1<
/p>
1
1
1
1
1
?
?
L
?
?
?
?< /p>
L
?
，
a
1
a
2
a
n
a
1
a
2
a
n
1
1< /p>
1
1
1
1
?
?
L
?
?
?
?
L< /p>
?
，相减得
a
< br>1
a
2
a
n
?
1
a
1
< br>a
2
a
n
?
1
?
1
?
< br>1
1
1
1
?
?
?
1
?
?
?
L
?
，所以
< br>a
n
?
1
?
a
n
?
1
?
a
1
a
2
a
n
1
?
a
n
?
1
?
a
1
a
2
L
a
n
，继而有
1
?
a
n
?
a
1<
/p>
a
2
L
a
n
?
1
,(
n
?
2)
所以
1
?
a
n
?
1
?
a
n
(1
?
a
n
)
，即
a
n
?
1
?
1
?
a
n
(
a
n
?
1)
…
①
(2)
、用数学归纳法，若
0
?
a
1
?
1
，由
1
1
1
1
?
?
< p>?
得
a
2
?
1
?
a
1
，<
/p>
a
1
a
2
a
1
a
2
据此，
0
?
a
< p>2
?
1
；若已有
< br>0
?
a
k
?
1
，由①，
1
?<
/p>
3
?
3
?
?
a
k
?
1
< p>?
1
?
a
k
(
a
k
?
1)
?
?
a
k
?
?
?
?
?
,
1
?
?
(0, 1)
，
2
?
4
?
4
?
?
因此在
n
?
k
?
1
时结论也成立，故由数学归纳法，对一切正整数
< br>n
，
0
?
a
n
?
1
．
2
(3)
、由①得
a<
/p>
n
?
1
?
a
n
?
(
a
n<
/p>
?
1)
2
…
②，若
a
1
?
[0,1]
，则由
1
1
1
1
?
?
?
得
a
1
a
2
a
1
a
2
a
2
< br>?
1
?
a
1
?
[0,1]
，据
1
?
a
n
?
1
?
n
(1
?
a
n
)
归纳易见对一切
n
，有
a
n
?
1
，
2
所以
由②，
a
n
?
1
?
a
n
?
(
< p>a
n
?
1)
?
0
，因此
a
n
?
a
n
?
1
,
(
n
?
2)
8
、
设二次函数
y
?
f
(
x
)
的图像过原点
(0,0)
，
且满足
?
3
x
2
?
1
?< /p>
f
(
x
)
?
6
x
?
2
，
而数
< br>列
?
a
n
?
满足
a
1
?
1
，
a
n<
/p>
?
1
?
f
(
a
n
)
3<
/p>
(1)
、确定
f
(
x
)
的表达式；
(2
)
、证明：
a
n
?
1
?
a
n
；
(3)
、证明：
1<
/p>
1
?
a
1
2
?
1
1
?
a
2
2
2
?
L
?
1
1<
/p>
?
a
n
2
?
3
n
?
1
?
3
．
（
2007
武汉大学）
解：
(1)
、设
f<
/p>
(
x
)
?
ax
?
bx
?
c
，由
y
?
f
(
x
)
过
(0,0)
，则
c
?< /p>
0
，
f
(
x
)
?
ax
?
bx
，
2
当条件式
?
3
x
?
1
?
f
(
x
)
?
6
x
?
2
两边都取等号时，由
?
3
x
?
1
?
6
x
?
2
得
(
x
?
1)
?
0
，
< /p>
2
2
2
x
?
?
1
，这时条件式
?
3
x
2
?
1
?
f
(
x
)
?
6
x
?
2
成为，
?
3
?
(
?
1)
2
?
1
?
f
(
?
1)
?
6
?
(
?
1)
?
2
，
< /p>
得
f
(
?
1)
?
?
4
，即
a
?
b
?
4
，于是
f
(
x
)
?
(
< p>b?
4)
x
?
bx
< p>；
又由
f
(
x
)
?
6
x
?
2
，即
(
b
?
< p>4)x
?
bx
?
6
< p>x?
2
，也即
(
?
4)
x
?
(
b
?
6)
x
?
2
?
0
，
此式对任意实数
x
成立，
所以有
b
4
且判别式
?
?
(
b
?
6)
?
8(
b
?
4)
?
0
，<
/p>
即
(
b
?
2)
?
0
，
于是
b
?
2
，由此
f
(
x
)
?
?
2
< p>x?
2
x
．
2
2
2
2
2< /p>
2
?
1
?
2
?
2
a
n<
/p>
，今用数学归纳法证明
a
n
?
?
0,
?
，
n
?
1
时显然，
(2)
、
a
n
?
1
?
f
(
a
n
)
?
?
2
a
n
?
2
< br>?
1
?
1
?
1
?
?
1
?
?
2
假若在
n
?
k
时已有
< br>a
k
?
?
0,
?
，则
a
k
?
1
?
?
2
a
k
?
2
a
k
?
?
2
?
a
k
?
?
?
?
?
0,
?
，因此
2
?
2
?
2
?
?<
/p>
2
?
?
对所有正
整数
n
皆有
a
n
?
?
0,
?
．
2
?
?
1
?
2
< br>?
1
?
1
?
1
?
?
2
由于
a
n
?
1< /p>
?
a
n
?
?
2
a
n
?
a
n
?
?
2
?
a
n
?<
/p>
?
?
?
?
0,
?
，所以
a
n
?
1
?
a
< br>n
?
0
，即
a<
/p>
n
?
1
?
a
n
．
4
8
8< /p>
?
?
?
?
2
1
1
?
1
?
1
?
?
1
?
?
2
(3
)
、由
a
n
?
?
0,
?
，得
?
a
n
?
?
0,
?
，由
a
k
?
1
?
?
2
a
k
?
2
a
k
?
?
2
?
a
k
?
?
?
知
< br>2
2
?
2
?
2
?
?
2
?
?
2
1
?
1
?
?
1
?
?
1
?
?
1
?
?
a
k
?
1
?
2
?
?
a
k
< br>?
，所以
lg
?
?
a
n
?
1
?
?
lg
2
?
2lg
?
?
a
n
?
，若令
b
k
?
lg
?
?
a
k
?
，
2
?
2
?
?
2
?
?
2
?
?
2
?
则
b
k
?
1
?
2
?
2
b
k
，即
b
k
?
1
?
lg
2
?
2(
b
k
?
lg
2)
，故
?
b
k
?
lg
2
?
构成
公比为
2
的等比数列，
所以有
b
k
?
lg< /p>
2
?
2
k
?
1
2
1
1
(
1
?
lg
2)
< p>?2
k
?
1
(lg
?
lg
2)
?
2
< p>k
?
1
lg
，因此
，
6
3
k
?< /p>
1
k
?
1
1
1
?
1
?
lg
?
?
a
k
?
?
b
k
?
2
k
?
1
lg
?
lg
2
?
?
lg
2
?
3
2
，于是
?
2
?
3
2
；
1
3<
/p>
?
2
?
?
a
k
2
由于当
k
?
1,
2
时，恰有
2
k
?
1
?
k
，而当
k
?
3
时，
1
k
?
1
0
1
2
k
?
1
?
(1
?
1)
k
?
1
?
C
k
0
?
1
?
C
k
?
1
?
L
?
C
k
?
1
?
C
k
?
1
?
C
k
?
1
?
k
，即对一切正整数
k<
/p>
，都有
k
?
1< /p>
2
k
?
1
?
k
，故
3
2
?
3
k
，所以
1
1
?
a
1
2
?
1
< br>1
?
a
2
2
?
L
?
1
1
?
a
n
2
?
2(3
1
?
3
2
?
L
?
3
n
)
?
3
n
?
1
?
3
．
9
、对于函数
f
?
x
,
y
?
，如果存在函数
a
?
x
?
,
b
?
y
?
,
c
?
x
?
,
d
?
y
?
，
使
f
?
x
y
?
?
a
?
x
?
b
?
y
?
?
c
?
x
?
d
?
y
?
，则称
f
?
x
,
y
?
为
p
?
函数
.
试确定：
?
1
?
.
xy
?
1
是否为
p
?
函数？
?
2
?
.
x
2
y
2
?
xy
?
1
是否为
p
?
函数？（
2006
上海交大）
解：
?
1
?
.
取
a
?
x
?
?
x
?
1
y
?
1
x
?
< p>1y
?
1
,
b
?
y
?
?
c
?
x
?
?
,
d
?
y<
/p>
?
?
，则
2
2
2
2
（或取
a
?
x
?
< br>?
x
,
b
?
y
?
?
y
,
c
?
x
?
?
d
?
y
?
< br>?
1
）
f
?
x
,
y
?
?
a
?
x
?
b
?
y
?
?
c
?
x
?
d
?
y
< br>?
，
因此
f
?
x
,
y
?
?
xy
?
1
为
< br>p
?
函数
.
?
2
?
.
f
?
x
,
y
?
?
x
2
y
2
?
xy
?
1
不是
p
?
函数
.
反证法，
若存在函数
a
?
x
?
,
b
?
y
?
,
c
?
x
?
，
< br>d
?
y
?
，
使
x
y
?
xy
?
1
?
a
?
x
?
b
?
y
?
?
c
< p>?
x
?
d
?
y
?
……
①
.
2
2
记
a
?
0
?
?
a
,
b
?
0
?
?
b
,
c
?
0
?
?
c
,
d
?
0
< br>?
?
d
.
则
ab
?
cd
?
1
……
②，
a
,
b
,
c
,
d
四数必有一个不为零，据对称性，不妨设
d
?
0
，由①得，