蒙特雷大学-蒙特雷大学
高三向量
一、自主招生与竞赛知识
1
、三角形的心
（
1
）重心
（
2
）垂心
（
3
）内心
（
4
）外心
例
1
（
2010
·湖北高考理科·Ｔ
5
）已知△
ABC
和点
M
满足
MA
?
MB
?
MC
?
0
.
若存在实数
m
使得
AB
?
AC
?
m
AM
成立，则
m
=
（
）
（
A
）
2
（
B
）
3
（
C
）
4
（
D
）
5
例
2
（河北省邯郸市
2013
年高三第一次模拟考试
）
已知点
G
< p>是Δ
ABC的重心，
?
A
< p>= 120
0
，
A.
的最
小
值是
= -2,
则
2
3
3
2
B.
C.
D.
3
4
3
2
例
3
（
2009
宁
夏
海
南
卷
理
）
已
知
< p>O，
N
，
P
在
?
ABC
所
在
平
面
内
，
且
OA
?
OB
?
OC
,
NA
?
NB
?
NC
?
0
，且
PA
?
PB
?
PB< /p>
?
PC
?
PC
?
PA
，则点
O
，
N
，
P
依次是
?
ABC
的
（
A
）重心
外心
垂心
（
B
）重心
外心
内心
（
C
）外心
重心
垂心
（
D
）外心
重心
内心
例
4
O
是平面
ABC
内的一定点，
P
是平面
ABC
内的一动点，若
?
PB
?
PC
< br>?
?
OB
?
OC
< br>?
?
?
PC
?< /p>
PA
?
?
OA
?< /p>
OC
?
?
0
，
则
O
是
?
ABC
的
______
心
.
例
5
三个不共线的向量
OA
,
O B
,
OC
,
?
AB
CA
?
?
< br>BA
CB
?
?
CA
?
?
OB
?
?
?
OC
?
满
OA
?
?
?
?
?
AB
CA
?
?
BA
CB
?
?
CA
?
?
?
?
?
的
______
心
.
?
BC
?
?
0
，
则
O
为
?<
/p>
ABC
?
BC
?
例
6
已知
?
ABC
内一点
O
满足关系
OA
?
2
OB
?
3
OC
?
0
，
试
求
S
?
BOC
:
S
?
COA
:
S
?
AOB
的值
例
7
（
2010
·全国 高考卷Ⅱ理科·Ｔ
8
）在△
ABC
中，点
D
在
边
AB
上，
CD
平分∠
ACB
，
若
< p>CB
=
a
,
CA
=
b
,
a
?
1,
b
?
2
，
则
CD
=
（
）
（
A
）
1
1
3
3
2
2
4
4
a
+
b
（
B
）
a
+
b
（
C
）
a
+
b
（
D
）
a
+
b
3
3
< p>55
3
3
5
5
2
、定比分点公式
uu
u
v
例
1
已知
A
?
0,0
?
，
B
?
4,8
?
，
C
?
6,
?
4
?
，<
/p>
点
M
分
AB
的比为
3
，
N
为边<
/p>
AC
上的
一点，且
?
AMN
的面积是
?
ABC< /p>
面积的一半，求点
N
的坐标
.
例
2
?
AB C
的三个顶点坐标是
A
?
1,2
?
，
B
?
4,1
?
，
C
?
4,4
?
，
D
为边
AB
上的一
点，且
DE
∥
BC
，交
AC
于点<
/p>
E
，若
DE
把<
/p>
?
ABC
分成面积相等的两部分，求点
D
的坐标
.
3
、自主招生题目欣赏
例
1
(2008
南京大学
)
在
?
ABC
中任取一点
O
，
uu
r
uu
u
r
uu
u
r
v
求证：
S
?
BOC
?
OA
?
S< /p>
?
COA
?
OB
?
S
?
AOB
?
O C
?
0
uu<
/p>
r
uu
u
r
uu
uu
u
v
例
2
(2010
北京大学
)
已知向量
< p>OA
与
OB
的夹角为
?
，
OA
?
2
，
OB
?
1
< br>，
v
uu
u
v
< p>uuv
uuu
v
uu
u
v
uu
u
1
< br>?
的范围
.
OP
?
tOA
，
OQ
?
?
1
?
t
?
OB
，
PQ
在
t
0
时取得最小值
.< /p>
问当
0
?
t
0
?
时，
5
二、高考热点
1
、平面向量的拆分
例
1
(2015
·
新 课标全国卷Ⅰ理科·
T7)
设
D
为△
ABC
所在平面内一点
,
则
(
)
1
4
1
4
A.
AD
?
?
AB
?
AC
B.
AD
?
AB
?
AC
3
3
3
3
4
1
4
1
C. <
/p>
AD
?
AB
?
AC
D.
AD
?
AB
?
AC
3
3
3
3
=3
,
例
2
（
2015
·
四川高考理科·
T7
）
设四边形
ABCD
为平行四边形，
|
AB
|
?
< p>6
，
|
AD
|
?
4
。
若点
M
，
N
满足
BM
?
3
MC
，
DN
?
2
NC
，则
AM
?
NM
?
（
）
（
A
）
20
（
B
）
15
（
C
）
9
（
D
）
6
例
3
（2012·江西高考理科·Ｔ
7
）在直角三角形< /p>
ABC
中，点
D
是斜边
AB
的
中点，点
P
为线段
CD
的中点，则
PA
?
PB
P
C
2
2
2
＝（
）
(A)2
(B)4 (C)5 (D)10
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