四川民办大学-四川民办大学
全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总
一．
集合与命题
………………………………………………………………………
…
.2
二．
不等式<
/p>
…………………………………………………………………………………
..9
三．
函数
………………………………………………… …………
20
四．
数列
……………………………………………………………………………………
.27
五．
矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，
概率统计
……
.31
六．
排列
组合，二项式定理，概率统计（续）复数
…………
.35
七．
复数
…………………………………………………………
< p>.39
八．
三角
…………………………… ……………………………
..42
第
1
页
共
44
页
近年来自主招生数学试卷解读
第一讲
集合与命题
第一部分
近年来自主招生数学试卷解读
一、
交大：
题型：
填空题
10
题，每题
5
分；解答题
5
道，每题
10
分；
考试时间：
90
分钟，
满分
100
分；
试题难度：
略高于高考，比竞赛一试稍简单；
考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等
< br>式、数列（包括极限）
、三角、复数、排列组合、向量、二项
式定
理、解析几何和立体几何
复旦：
题型：
试题类型全部为选择题（四选一）
；
全考试时间：
< /p>
总的考试时间为
3
小时（共
200
道 选择题，总分
1000
分，其
中数学部分
30
题左右，
，每题
5
分）
；
试题难度：
基本相当于高考；
考试知识点分布：
除高考常规内容之外
,
还附加 了一些内容
,
如：
行列式、
矩阵等；
考试重点：
侧重于函数和方程问题
、不等式、数列及排列组合等
同济：
题型：
填空题
8
题左右，分数大约
40
分，解 答题约
5
题，每题大约
12
分；
考试时间：
90
分钟，
满分
100
分；
试题难度：
基本上相当于高考；
考试知识点分布：常规高考内容
二、
各学校考试题型分析：
试题特点分析：
1.
突出对思维能力和解题技巧的考查。
第
2
页
共
44
页
关键步骤提示：
4
2
4
3
2
f
?
a
?
< br>?
x
?
3
x
?
4
a
?
x
?
x
?
2
x
?
?
?
?
?
(
x
?
2)(
x
?
2)(
x
2
?
1 )
a
?
x
2
(<
/p>
x
?
2)(
x
?
1)
2.
注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。
关键步骤提示
：
第
3
页
共
44
页
d
(
u
,
w
)
?
?
a
i
,
d
(
v
,
w
)
?
< br>?
b
i
,
d
(
u
,
v
)
?
?
a
i
?
b
i
i
?
1
i
?
1
i
?
1
n
n
n
由绝对值不等式性质，
a
i
?
b
i<
/p>
?
a
i
?
b
i
三、
1.
应试和准备策略
注意知识点的全面
数学题目被猜中的可能性很
小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求
学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是
个人的现场发挥。
2.
注意适当补充一点超纲内容
如上面提及的一些平时不太
注意的小章节或高考不一定考的问题，
如矩阵，
行列式等也不可忽视。<
/p>
3.
适当做近几年的自主招生的真题
俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高
校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。
4.
注重知识的延伸加深
复旦，交大，清华等全国重点院校
自主招生试题比高考试题稍难，比数学
竞赛试题又稍简单。
有些问题稍有 一定的深度，
这就要求考生平时注意知识点的
延伸加深。
例如
2008
年复旦自主招生的第
88< /p>
题：
关键步骤提示
：
上式＝
x
1
x
3
x
1
x
1
x
2
?
x
2
x
2
x
3
x
1
x
2
?
x
3
< br>x
2
x
3
x
3
x
1
3
3
?
3
x
1
x
2
x
3
?
(
x
1
3
?
x
2
< br>?
x
2
)
设
ax
3
?
bx
2
?
cx
?
d
?
0
的
3
个根为
x
1
,
x
2
,
x
3
,
b
?
x
?
x
?< /p>
x
?
?
?
1
2
3
a
?
<
/p>
c
?
则有
?
x
1
x
2
?
x
1
x
3
?
x
2
x
3
?
a
?
d
?
x
x
x
?
?
?
1
2
3
a
?
3
3
3
2
2
2
a
?
b
?
c
?
3
abc
?
(
a
?
b
?
c
)(
a
?
b
?
c
?
ab
?
ac
?
bc
)
此题若是知道三次方程的韦达定理，则
容易解决。但平时同学们对二次方
程的韦达定理很熟悉，对三次方程的韦达定理则比较陌
生。
第
4
页
共
44
页
又比如，
柯西不等式可以解决许多不 等式问题，
但由于目前上海高考不考，
所以很多高中生对此此不等式并不
十分熟悉。
但柯西不等式其实应用得非常广泛，
我们将在不等式一讲中将
会介绍它。
总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必
定会有一种居
高临下的感觉。
第二部分：集合与命题
一、
知识补充：
A
?
B
?
C
?
A
?
B
?
C
?
A
?
B
?
A
?
C
?
B
?
C
?
A
?
B
?
C
?
?
二、
真题精析：
关键步骤提示：
(
a
?
2)(
a
?
2 )
?
3
a
(
a
?< /p>
2)
?
0
4(<
/p>
a
?
2)(
a
?
)< /p>
?
0
1
2
关键步骤提示：
X
?
X
Y
,
而
X
Y
?
X
?
X
Y
?
X
?
X
?
Y
< br>第
5
页
共
44
页
关键步骤提示：
1
?
Sin
?
?
Sin
2
?
2
?
Cos
2
?
?
2
Sin
Cos
2
2
2
?
?
关键步骤提示：
S
1
?
C
1
?
S
1
< br>
若
C
1
?
S
2
，则很明显；
?
R
,
?
必存在
C
1
?
R
,
同理，
S
2
?
C<
/p>
2
?
S
2
，
若
C
2
?
1
则很明显；
?
R
，
必存在
C
2
?
R
,
否则，令
C
?
C
1
?
C
2
,
即可（
）
想一
想，除了令
C
?
C
1
?
C
2
,
还可以怎样令？< /p>
第
6
页
共
44
页
三、
仿真训练
仿真训练一
某校六（
1
）班有学生
54
人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球
队的有
25
人，参加排球队的有
22
人，参加游泳队的有
34
人，足球、排球都参
加的
有
12
人，
足球、
游泳都参加的有
18
人，
排球、
游泳都参加的有
14
人，
问：
三项都参加的有多少人？
仿真训练二
已知集合
M
?
?
x
1
?< /p>
x
?
10,
x
?
N< /p>
?
.
对它的非空子集
A
< p>,
k
将
A
中每个元素
K
都乘以（
?
1
）
,
再求和（如
A
?
?
1,3,6
?
,
3
6
可求得和为（
?
1
）
?
1
?
（
< p>?1
）
?
3
?
（
?
1
）
?
6
?< /p>
2
）称为
集合
A
的特殊和。求集合
M
的所有非空子集特殊和的总和。
关键步骤提示：
分析：本题所求的
“
特殊和< /p>
”
有如下特点：
奇数元素前面添上负号，偶数元素前面添上正号，再代数求和。
A
例如：对于
A
?
?
1,3,6
?
，
则
C
U
?
?
2,
4,5,7,8,9,10
< br>?
A
考虑
C
U<
/p>
的
“
特殊和
”
为
< p>2?
4
?
5
?
7
?
8
?
9
?
10
A
A
与
C
U
的
“
特殊和
”
的和< /p>
10
?
8
?
6
?
4
?
2
）
（
?
（
1
?
3
?
5
?
7
?
9
）
?
5
同理，对其它非空集合也有这样特点，将它
< br>们两两配对（空集与本身集合除外），值为
2
10
?
2
?
5
?
< p>（2
9
?
1
）
?
5
2
第
7
页
共
44
页
第二讲：不等式
第一部分
概述
不等式部分包括：解不等式；不等式的证明
在
复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占
12%
，其中绝大多数涉
及到不等式的证明；
交大试题中，不等式部分通常占<
/p>
10%-15%
，其中涉及到一些考纲之外的特
第
8
页
共
44
页
殊不等式
常用不等式及其推广：
?
a
,
b
?
R
?
,
有
2<
/p>
a
?
b
2
a
?
b
2
(
平方平均）< /p>
?
(
算术平均）
?
ab
（几何平均）
?
(
调和平均）
1
1
2
2
?<
/p>
a
b
推广到
n
个正实数，有
2
2
2
a
1<
/p>
?
a
2
?
?
a
n
a
?
a< /p>
?
?
a
n
n
n
?
1
2
?
a
1
a
2
a
n
?
1
1
n
n
?
?
a
1
a<
/p>
2
a
n
第二部分
知识补充：
1
、
柯西不等式
柯西不等式的证明
2
2
(
a
1
?
a
2
?
2
2
?
a
n
)(
b
1
2
?
b
2
?<
/p>
2
b
n
)
≥
(
a
1
b
1
?
a
2
b
2
?
设
a
< p>1
,
a
2
,
a
3
,
,
a< /p>
n
,
b
1
,
b
2
,
b
< p>3
,
,
b
n
是实数
,
则
2
2
2
2
2
(
a
1
?
a
2
?
?
a
n
)(
b
1
2
?
b
2
?
b
n
)
≥
(
a
1
b
1
?
a
2
b
2
?
当且仅当
b
i
?
0(
i
?
1,
2,
,
n
)
或存在一个 数
a
n
b
b<
/p>
)
2
k
,
使得
a
i
?
kb
i
(
i
?
1,
2 ,
,
n
)
时
,
等号 成立
a
n
b
b
)
2
②
2
2
C
?
b
1
2
?
b
2
?
?
?
b
n
，
2
2
2
设
A
?
a
?
a
?
?
?
a
1
2
n
，
分析：
B
?
a
1
b
1
?
a
2
b
2
?
?
a
n
b
n
不等式
②
就是
AC
≥
B
2
证明：
若
a
< br>i
?
i
?
1,2,
n
?
全部为零，则原不等式显然成立。
若
a
i
不全
部为零，构造二次函数
2
2
< br>f
(
x
)
?
(
a
1
2
?
a
2
?
?
a
n
)
x
2
?
2 (
a
1
b
1
?
a
2
b
2
?
a
n
b
n
)
x
2
2
?
(
b
1
2
< br>?
b
2
?
b
n
)
< br>又
f
(
x
)
?
(
a
1
x
?
b
1
)
2
?
(
a
2
x
?
b
2
)
2
?
?
?
(
a
n
x
?
b
n
)
2
?
0
柯西不等式的推论一
∴
二次函数
f
?
x
?
的判别式
△≤
0
,
2
2
2
2
2
2
2
即
4(
a
1
b
1
?
a
2
b
2
?
a
n
b
n
)
?
4(
a
1
?
a
2
?
a
n
)
?
(
b
1
?
b
2
?
?
b
n
)
≤
0
例
1
已知
< p>a
1
,
a
2
,
,
a
n
都是实数，求证：
1
< br>(
a
?
a
?
?
a
)
2
≤
a
< br>2
?
a
2
?
?
a
2
1
2
n
1
2
n
n
证明：
2
2
2
(1
2
?
1
2
?
?
1
2
)(
a
1
?
a
2
?
?
a
n
< br>)
2
<
/p>
≥
(1
?
a
1
?
1
?
a
2
< br>?
?
1
?
第
a
n
)
9
页
共
44
页
(
a
2
?
a
2
?
?
a
2
)
≥< /p>
(
a
?
a
?
?
n
1
2
n
1
2< /p>
1
2
2
?
(
a
1<
/p>
?
a
2
?
?
a
n
)
2
≤
a
1
?
a
2
?
n
柯西不等式的推论二
?
n
?
?
n
1
?
?
设
a
i
?
R
,
则
?
?
a
i
?
?
?
?
?
n
2
?
i
?
1
?
?
< br>i
?
1
a
i
?
柯西不等式的应用
?
a
n
)
2
2
?
a
n
2
已知
a
,
b
,
c
,
d
是不全相等的正
数，证明：
例
2
2
2< /p>
2
a
?
b
?
c
?
d
?
ab
?
b c
?
cd
?
da
证明：
(
a
2
?
b
2
?
c
2
< br>?
d
2
)(
b
< p>2
?
c
2
?
d
2
?
a
2
)
2
≥
(
ab
?
bc
?
cd
?
da
)
a
b
c
d
∵
a
,
b
,
c
,
d
是
不全相等的正数，
?
?
?
?
不
b
c
d
a
< br>
成立
.
∴
(
2
?
b
2
?
c
2
?
d< /p>
2
)
2
?
(
ab
?
bc
?
cd
?
da
)
2
a
2
?
b
2
?
c
2
?
d
2
?
ab
?
bc
?
cd
?
da
即
例
3
已知
x
?
2
y
?
< p>3z
?
1,
求
x
2
?
y
2
?
z
2
的最小值
.
证
明
:
(
x< /p>
2
?
y
2
?
z
2
)(
1
2
?
2
2
?
3
2
)
?
(
x
?
2
y
?
3
z
)
2
?
1
?
x
2
?
y
2
?
z
< br>2
?
1
14
x
y
z
1
1
3
当
且
仅
当
?< /p>
?
即
x
?
,
y
?
,
z
?
时
1<
/p>
2
3
14
7
14
x
2
?
y
2
?
z
2
取
最
小
值
1
14
1.
a
,
b
?
R
?
,
a
?
b
例
2
设
?
1,
求证
< br>1
1
?
?
4
a
b
2.
已知
x
?
2
y
?
1
,
求
x
?
y
的最小值
.
第
10
页
共
44
页
2
2
3.
设
x
,
y
< p>?R
?
,
且
x+2y
=36,
求
1
2
?
的最小值．
x
y
第三部分
真题精析：
令
sin
x
?
cos
x< /p>
?
y
,
y
?
sin< /p>
x
?
cos
x
?
2< /p>
sin
x
cos
x
2
t
2
?
1
令
sin
x
< p>?cos
x
?
t
,
< p>则sin
x
cos
x
?
,
且
t
?
?
1,
2
?
?
?
2
2
t
?
1
y
?
t
?
2
,
显然，
y
关于< /p>
t
是单调递增的
2
2
（
2004
，复旦）
（
2004
，同济）
第
11
页
共
44
页
关键步骤提示：
2(
k
?
< p>1?
k
)
?
2
1
2
2
?
?
?< /p>
?
2(
k
?
k
?
1)
k
?
1
?
k
k
2
k
k
?
k< /p>
?
1
关键步骤提示：
关键步骤提示：
第
12
页
共
44
页
关键步骤提示：
关键步骤提示：
第
13
页
共
44
页
关键步骤提示：
关键步骤提示：
第
14
页
共
44
页
关键步骤提示：
关键步骤提示：
第
15
页
共
44
页
关键步骤提示：
(2007
复旦
)
关键步骤提示：
关键步骤提示：
第
16
页
共
44
页
关键步骤提示：
第
17
页
共
44
页
2008,
北大
关键步骤提示：
第
18
页
共
44
页
关键步骤提示：
第三讲
函数
第一部分：函数概括
函数是自主招生的一个非常重要内容！
?
就近几年来，
本人作了一个统计，< /p>
复旦和交大自主招生中有关函数的内容
大约占
20%
—
30%
。
?
其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题（
值域）
、函数的性质（如周期、有界性等）
、函数的迭代、
简单的函数方程、方程的不动点问题、
函数的图像及解析式等。 而其中特
别提醒同学们注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
第二部分：知识补充：
第
19
页
共
44
页
函
数
零
点
的
定
义
：
对于函数
y=f(x),
我们把使
f(x)=0
的实数
x
叫做函数
y=f(x )
的零点。
结论：
< br>如果函数
y=f(x)
在区间
[a,b]
上 的图象是连续
不断的一条曲线，并且有
f(a)·
f(b)<0
，那么，函
数
y=f(x)
在区间
(a,b)
内有零点，即存在
c
∈
(a,b)
，使 得
f(c)=0
，这个
c
也就是方程
f(x)=0
的根。
函数
y=f(x)
零点的判断方法：
< /p>
1
、方程法：解方程
f(x)=0
，得函数
y=f(x)
的零点。
2
、图象法：画出函数
y=f(x)
的图象，其图象与
x
轴交点的横坐标就是
y=f(x)
的零
点。
3
、
定理法：
函数在区间
[a,b]
上图象是一条连续不断的曲线，
并且有
f( a)
·
f(b)<0
。
例
1
：
若函数
f(x)=x2+(k-2)x+2k-1
的两个零点中，一个在
0
和
1
之间，
另一个在
1
和
2
之间，求
k
的取值范 围。
三
次
方
程
的
韦
达
定
理
第三部分：真题精析
1
、方程根的问题
第
20
页
共
44
页
第
21
页
共
44
页
2.
其它问题
第
22
页
共
44
页