中南大学升华公寓-中南大学升华公寓
高等数学复习资料
中国矿业大学
2009
—
2010
高等数学期末
姓名：
班级：
学号：
题号
一
得分
一、填空：
（每小题
4
分，总
16
< p>分）
1
．极限
l
im
x
?
2
3
< br>二
三
四
五
六
七
八
3
x
?
2
?
2
=
.
x
?
2
3
< br>sin
x
2
．
lim
?
1
?
2
x
?
x
?
0
?
.
3
．函数
< br>y
?
x
在
x
?
3
处的微分为
.
；
2
4
．
?
cos
x
?
sin
x
dx
=
.
cos
x
?
sin
x
二、选择：
（每小题
4
分，总
< p>16分）
1
．判断下列变量在给定 的变化过程中哪些不是无穷小量？
( )
A
．
3
?
x
?
1
?
x
?
0
?
< br>
；
B
．
sin
x
x
?
x
?
?
?
；
C
．
?
5
x< /p>
2
x
?
2
x
?
1
3
?
x
?
?
?
D.
x
2
?
1
?
?
2
?
sin
?
?
x
?
0
?
；
x
?
1< /p>
?
x
?
2
．
f
(
x
)
?
2
x
?
arctg
sin
?
x
2
1
x
?
1
的间断
点类型是（
）
（
A
）可去；
（
B
）跳跃；
（
C
）无穷；
（
D
）
A
、
B
、
C
都有
.
3
．对于不定积分
?
f
(
x
)
dx
，在下列等式中正确的是
.
（
A
）
d
[
?
f
(
x
)
d x
]
?
f
(
x
)< /p>
；
（
B
）
?
df
(
x
)
?
f
(
x
)
；
高等数学复习资料
（
C
）
?
f
?
(
x
)
dx
?
f
(< /p>
x
)
；
（
D
）
d
dx
?
f
(
x
)
dx
?
f
(
x
)
< br>.
?
1
?
x
< p>?
4
．
lim
x
?
0
?
1
x
?
lim
x
sin
< p>x
?
?
1
x
等于
A.
e
B.
e
?
1
C.
e
?
1
D.<
/p>
e
?
1
?
1
三、
计算下列极限：
（每小题
5
分，总
20
分）
< p>
tan
x
sin
2
x
?
1
?
1.
lim
;
2
．求
x
lim
?
?
.
?
?
0
x
x
?
0
si
n
5
x
?
?
x<
/p>
3
?
x
2
?
5
x
?
3
ta
n
x
?
x
3
．
< p>lim
4
．求
.
lim
x
?
0
< br>x
2
sin
x
x
?
1
x
3
?
4
x
2
?
5
x
?
2
四、求函数
y
?
ln[ln(ln
x
)]
< br>的导数
.
（
4
分）
五、计算下列积分：
（每小题
5
分，总
20
分）
1
．
< br>?
(cos
x
?
sin
x
)
2
dx
2
．
?
3
x
e
x
dx
2
2
3
．
求
?
x
六、已知
f
(
x
)
< p>的一个原函数为
(
1
?
si n
x
)
ln
x
,
求
?
xf
'
(
< p>x)
dx
（本题
8
分）
七、求曲线
y
?
ln
x
在
[2
，
6]
内的一条切线，使得该切线与直线
x<
/p>
?
2
,
x
?
6
和曲线
y
?
ln
x
所围成的面积最小。
（本题
2
ln
x
dx
. 4.<
/p>
e
?
x
dx
8
分）
高等数学复习资料
八、证明不等式：
（本题
8
分）
ln(
1
?
x
)
?
arc
tgx
,
x
?
0
；
1
?
x
高等数学复习资料
答案：
一、填空：
（每小题
4
分，总
16
分）
1
lim
x
?
2
3
3
x
?
2
< p>?2
=
1
x
?
2
4
3
< br>sin
x
.
2
．
lim
?
1
?
2
x
?
x
?< /p>
0
?
e
6
.
3
．函数
y
?
x
在
x
?
3
处的微分为<
/p>
.
dy
?
6
?
< p>x
；
2
4
．
?
cos
x
?
sin
x
dx
?
ln
|
sin
x
?
cos
x
|
?
c
.
cos
x
?
sin
x
二、选择：
（每小题
4
分，总
16
分）
1
．判断下列变量在给定的变 化过程中哪些不是无穷小量？
( C )
A
．
3
?
x
?
1
?
x
?
0
?
< br>
；
B
．
sin
x
x
?
x
?
?
?
；
C
．
?
5
x< /p>
2
x
?
2
x
?
1
3
?
x
?
?
?
D.
x
2
?
1
?
?
2
?
sin
?
?
x
?
0
?
；
x
?
1< /p>
?
x
?
2
．
f
(
x
)
?
2
x
?
arctg
sin
?
x
2
1
x
?
1
的间断
点类型是（
D
）
（
A
）可去；
（
B
）跳跃；
（
C
）无穷；
（
D
）
A
、
B
、
C
都有
.
3
．
对于不定积分
?
f
(
x
)
dx
，
在下列等式中正确的是
D .
（
A
）
d<
/p>
[
?
f
(
x
)
dx
]
?
f
(
x
)
；
（< /p>
B
）
?
df
(
x
)
?
f
(
x
)
；
（
C
）
?
f
?
(
x
)
dx
?
f
(< /p>
x
)
；
（
D
）
d
dx
?
f
(
x
)
dx
?
f
(
x
)
< br>.
?
1
?
x
< p>?
4
．
lim
x
?
0
?
1
x
?
lim
x
sin
< p>x
?
?
1
x
等于
D
A.
e
B.
e
?
1
C.
e
?
1
D.<
/p>
e
?
1
?
1
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三、
< p>计算下列极限：
（每小题
5
分，总
20
分）
1.
lim
x
?
0
解
< p>=
lim
x
?
0< /p>
sin
2
x
sin
5
x
：
1.
原
式
sin
2
x
2
x
5
x
sin
2
x
2
x
5
x
sin
2
x
5
x
2
2
?
?
?
lim
?
?
< p>?lim
?
sin
5
x
2
x
5
x
< p>x
?
0
2
x
5
x
sin
5
x
x
?
0
2
x
sin
5
x
5
5
tan
x
?
1
?
2
x
lim
?
?
?
?
0
x
?
?
.
解
这是
?
型未定式，
< p>
0
?
1
?
lim
?
?
x
?
?
0
x
?
?
< p>tan
x
?
lim
e
?
tan
x
ln
x
?
e
x
?
?
0
?
lim
ln
x
x
?
?
0
cot
x
?
e
?
lim
x
?
1
x
?
< p>?0
?
csc
2
x
?
e
sin
2
x
x
?
?
0
x
lim
?
e
x
?
?
0
lim
2
sin
x
cos
x
?
e
0
?
1
.
x
3
?
x
2
?
5
x
?
3
3
．
lim
x
?
1
x
3
?
4
x
2
?
5
x
?
2
x
3
?
x
2
?
5
x
?
3
3
x
2
?
2
x
< p>?5
6
x
?
2
?
lim
?
lim
?
?< /p>
4
解：
< br>lim
x
?
1
x
3
?
4
x
2
?
5
x
?
2
< br>x
?
1
3
x
2
?
8
x
?
5
x
?
1
6
x
?
8
tan
x
?
x
4
．求
lim
.
2
x
?
0
x
sin
x
sec
2
< br>x
?
1
tan
x
?
x
tan
x
?
x
< br>解
lim
?
lim
?
lim
x
0
x
2
sin<
/p>
x
x
?
0
x
?
0
x
3
3<
/p>
x
2
2
sec
2
x
tan
x
1
x
1
?
lim
?
lim
sec
2
x<
/p>
lim
?
.
x
?
0
x
?
0
3
x
?
0
x
3
6
x
四、求函数
y
?
ln[ln(ln
x
)]
的导数：<
/p>
（
4
分）
解：
y
'
?
1<
/p>
1
1
ln(ln
x
)
ln
x
x
五、计算下
列积分：
（每小题
5
分，总
20
分 ）
1
．
?
(cos
x
?
sin
x
)
2
dx
2
2
解：
?
(cos
x
?
sin
x
)
2
dx
=
?
(sin
2
2
2
x<
/p>
x
x
x
?
cos
< p>2
?
2
sin
cos
)
dx
2
2
2
2
=
?
(
1
?
si n
x
)
dx
=
x
?
cos
x
?
c
< br>
2
．
?
3
x
e
dx
解：
3
e
dx
＝
x
?
x
x
?
3
x
e
x
3
x
e
x
(
3
e
)
dx
＝
?
c
＝<
/p>
?
c
ln(
e
)
1
?
ln
3
x
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3
．
求
?<
/p>
x
2
ln
x
dx
.
2
3
解
< p>令
u
?
ln
x
,
dv
?
x
dx
，则
du
?
1
dx
，
v
?
1
x
,
x
3
故原式
=
x
4.
?
e
x
1
3
1<
/p>
x
3
x
3
ln
x
?
x
dx
?
ln
x
?
?
C
3
3
x
3
9
3
?
.
dx
解
：
令
x
t
?
x
，
则
原
式
=
2
?
e
t
t
dt
=
2
te
t
?
2
?
e
t
dt
=
2
t
(
t
?
1
)
?
c
=
2<
/p>
e
(
x
?
1
)
?
c
六、已知
f
(
x
)
的一个原函数为
(
1
?
sin
x
)< /p>
ln
x
,
求
?
xf
'
(
x
)
dx
（本题
8
分）
解：
f
(
x
)< /p>
的一个原函数为
(
1
?
< p>sinx
)
ln
x
，
则
f
(< /p>
x
)
?
[(
1
?
sin
x
)
ln
x
]'
=
ln
x
cos
x
?
1
?
sin
x
x
?
xf
'
(
x
)
dx
=
xf
(
x
)
?
?
f
(
x
)
dx
=
x
ln
x
cos
x
?
1
?
sin
x
?
(
1
?
sin
x
)
ln
x
?
c
1
=
x
ln
x
cos
x
?
< p>sinx
?
(
1
?
< p>sinx
)
ln
x
?
c
七、求曲线
y
?
ln
x
在
[2
，
6]
内的一条切线，使得该切线与直线
x
?< /p>
2
,
x
?
6
和曲线
y
?
ln
x
所围成的面积最小。
（本题
8
分）
解：设在
P
(
x
最小。
0
,
y
0
)
处，切线与
x
?
2
,
x
?
6
，和
y
?
ln
x
所围成的面积
y
'
?
1
，则切线方
程：
y
?
y
x
< br>2
o
?
1
(
x
?
x
o
)
x
o
S
?
?
6
(
x
16
?
ln
x
?
1
?
y
o
)
dx
=
?
y
0
?
6
ln
6
?
2
ln
2
x
o
x
o
o
?
4
ln
x
=
16
x<
/p>
o
?
6
ln
6
?
2
ln
2
令
S
'
?
?
16
x
o
2
?
4
?
0
?
<
/p>
x
o
?
4
x
o
东北大学工业工程-东北大学工业工程
广州龙洞大学-广州龙洞大学
江汉大学环境-江汉大学环境
资阳市大学-资阳市大学
珠海二本大学-珠海二本大学
上海大学合租-上海大学合租
侦察大学-侦察大学
大学生聚餐-大学生聚餐
-
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