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博
弈
论
作
业
及
答
案
浙
江
财
经
大
学
张
老
师
作
业
答
案
Document
serial number
【
LGGKGB-LGG98YT- LGGT8CB-LGUT-
第<
/p>
1
次
作
业
1
、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一
个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家
< br>企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学
生获得工作的概率为
1/2
。现在假定每家企业的工资满足：
W
1/2 ，则问： ．写出以上博弈的战略式描述 ．求出以上博弈的所有纳什均衡（包括 混合策略均衡 ）
、 设古诺模型中有 ? q q q n P ( Q ) ? a ? Q ? a ? 0
a
b
2
n
家厂商。
q
i
为厂商
i
的产量，
Q
1
?
2<
/p>
?
产量。
P
为市
场出清价格，且已知
P
?
为市场总
?
（当
Q
时，否则
P
）。假设厂商
i
生产产量
q
i
的总成本为
C
i
?
C
i
(
q
i
)
?
cq
i
，也就是说没有
固定成本且各厂的边际成本都相同，为常数
c
(
c
?
a
)
。假设各厂同时选择产量，该
模型的纳什均衡是什么当趋向于无穷大时博弈分析是否
仍然有效
3
、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商 品的市场需求函数为
Q
?
100
?
P
，设厂商
1
和厂商
2
都没有固定成本。若他们在相互知道对方边际成
本的情况下，同时作出产量决策是
分别生产
20
单位和
30
单位。问这两个厂商的边 际
成本各是多少各自的利润是多少
4
、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益
v
是鸭子总数
N
的函数，并取决于
N
是否超过某个临界值
N
；如果<
/p>
N
?
N
，收益
v
?
v
(
N
)
?
50
?
N
；如果
N
?
N
时，
v
(
N
)
?
0
。再假设每只
鸭子的成本
为
c
?
2
< p>元。若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么
5
、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。
问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么这三对夫妻的感情状态究竟如何
矩阵
1
：
妻子
活着
死了
丈夫
活着
1
，
1
-1
，
0
死了
0
，
-1
0
，
0
矩阵
2
：
妻子
活着
死了
丈夫
活着
0
，
0
1
，
0
死了
0
，
1
0
，
0
矩阵
3
：
妻子
活着
死了
丈夫
活着
-1
，
-1
1
，
0
死了
0
，
1
0
，
0
6
、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度
< p>e
i
?
[0,1]
(
i
?
1,
2)
，成本为
c
(
e
i
)
(
i
?
1,
2)
，该项目的产出为
f
(
e
1
,
e
2
)
。个体的努力程度不影响到项目的
分配方法，项目的产出在
个体之间均分。试回答以下问题：
1
（即两个个体选择的最优努力程度）。
2
、如果
2
c
(
< p>e)
?
e
f
(
e
1
,
e
2<
/p>
)
?
3
e
1
e
2
，
i
(
i
?
1,
2)< /p>
，试求此博弈的的
Nash
均衡
f
(
e
1
,
e
2
)
?
4
e
1
e
2
，
c
(
e
i
)
?
e
i
(
i
?
1,
2)
，试求此博弈的的
Nash
均衡。
第
2
次作业
1
、企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个
< br>企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产
品选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方
都
清楚。
（
1
）用扩展型表示这一博弈。
（
2
）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么
企业乙
高档
低档
高档
企业甲
500
，
500
1000
，
700
低档
700
，
1000
600
，
600
2
、两 个寡头企业进行价格竞争博弈，企业
1
的利润函数是
?<
/p>
1
?
?
（
p
?
aq
?
c
)
2
?
q
，企业
2
的 利润函数是
?
2
?
?< /p>
（
q
?
b
)
2
?
p
，其
中
p
是企业
1
的价格，
q
是企业
2
的价格。求：
（
1
）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；
< /p>
（
2
）企业
1
先决策的子博 弈完美纳什均衡；
（
3
）企业
2
先决策的子博弈完美纳什均衡；
（
）是否存在参数
a
,
b
< p>,c
的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策
3
、考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业
1
和企业
2
目前情况下的生产成本
都是
c
资
?
2
。企业
1
可以引进一项新技术使单位成本降低到
c
?
1
，该项技术需要投
f
。在企业
1
作出是否投资的决策（企业
2
可以观察到）后，两个企业同时选择产
量。假设市场需求函数为
产量。问上述投资额
p
(
q
)
?
14
?
q
，其中
p
是市场价格，
q
是两个企业
的总
f
处于什么水平时，企业
1
会选择引进新技术
4
、在市场进入模型中，市场逆需求函数为
p
＝
13-Q
，进入者和在位者生产的边际
成本都为
1
，固定成本为
0
，潜在进入者的进入成本为
4
< p>。博弈时序为：在位者首先决
定产量水平；潜在进入者在观察到在位者的产量水平之
后决定是否进入；如果不进
入，则博弈结束，如果进入，则进入者选择产量水平。求解以
上博弈精炼纳什均衡。
5
、在三寡头的市场中，市场的 逆需求函数
p
?
a
?
Q< /p>
,
Q
为三家产量之和
，每家企
业的不变边际成本为
c
，固定成本为
0
。如果企业
1
首先选择产量，企业
2
和企业
3
观
察到企业
1
的产量后同时选 择产量，则均衡时的市场价格。
第
3
次作业
1
、两个人合作开发一项产品，能否成功与两个人的工作态度有关，设成功概率如
< br>下：
B
努力
偷懒
努力
9/16
3/8
A
偷懒
3/8
1/4
再假设成功时每人有
4
单位的利 益，失败则双方都没有利益，偷懒本身有
1
单位
的利益。
问该博弈无限次重复博弈的均衡是什么
2
、两寡头 古诺产量竞争模型中厂商的利润函数为
?
i
?
q
i
(
t
i
?
q
j
?<
/p>
q
i
)
，
i
?
1,2
。若
t
1
?
1
是两个厂商的共同知
识，而
t
2
则是厂商
2
的私人信息，厂商
1
只
知道
t
2
?
3/
4
或
t
2
?
，且
t
2
< br>取这两个值的概率相等。若两个厂商同时选择产
量，请找出该博弈的纯策略贝叶斯
均衡。
3
、两个厂商生产相同产品在市场上 进行竞争性销售。第
1
个厂商的成本函数为
c
1
?
q
1
，其中
q
1
为厂商
1< /p>
的产量。第
2
个厂商的成本函数为
c
2
?
cq
2
< br>，其中
q
2
为厂商
2
的产量，
c
为其常数边际成本。两
个厂商的固定成本都为零。厂商
2
的边际成本
c
是厂
?
1
?
商
2
的“私人信息”，厂商
1
认为< /p>
c
在
?
,
3
2
?
上呈均匀分布
。设市场需求函数为
?
2
?
P
?
4
?
q
1
?
q
2
，其中
P
为价格，两个厂商都以其产量为纯战略，问纯战略贝叶斯均衡
为何。
4
、两个企业同时决定是否进入一个市场，企业
i
的进入 成本
?
i
信息，
?
i
是服从分布函数
F
(
?
i
)
的
随机变量以及分布密度
?
[
0
,
?
)
是私人
f
(
?
i
)
严格大于零，并
且
m
?
1
和<
/p>
?
2
两者独立。如果只有一个企业进入，
进入企业
i
的利润函数为
?
?<
/p>
?
i
；如果
d<
/p>
?
?
?
i
；如果没有企业进入，利润为零。
两个企业都进入，则企业
i< /p>
的利润函数为
m
d
m
d
?
假定
和
?
是共同知识，且
?
>
?
>0
，试计算此博弈的贝叶斯均衡。
博弈论第
1
次作业答案
1
、
a
．写出以上博弈的战略式描述
弈
均
学生
A
纳
企业
1
企业
2
学生
B
企业
1
企业
2
b
．求出以上博
的所
有纳什均衡
（包括混合策略
衡）
存在两个纯战略
什均衡：分别为
（企业
1
，企业
2
），收益为
(
W
1
,
W
2
)
。
（企业
2
，企业
1
），收益为
(
W
2
,
W
1
)
。
存在一个混合策略均衡：令学生
A
选 择企业
1
的概率为
p
，选择企<
/p>
业
2
的概率为
1
?
p
;
学生
B
选择企业
1
的概率为
q
，选择企业
的概率为
1
?
q
< br>。
当学生
A
以
< br>(
p
,
1
?
p
)
的概率选择时，学生
B
选择企业
1< /p>
的期望收益
应该与选择企业
2
的期望收益相 等，即：
解得：
p
?
2
W
1
?
W
2
2
W
2
?
W
1
1
?
p
?
,
W
1
?
W
2
W
1
?
W
2
同理求出：
解得：
2
W
1
?
W
2
2
W
2
?
W
1
q
?
,
1
?
q
?
W
1
?
W
2
W
1
?
W
2
所以，混合策略纳什均衡为：学生
A
< p>、B
均以
(
2
W
1
?
W
2
2
W
2
?
W
1
,
)
的
W
1
?
W
2
W
1
?
W
2
概率选择企业
1
，企业
2
。< /p>
2
、该模型的纳什均衡是什么当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效
各厂商的利润函数为：
求解：
对其求导，令导数为
0
，解得反应函数为：
*
*
*
(
q
,
q
,...,
q
纳什均
衡
1
2
n
)
,
必是
n
条反应函数的交点
.....
......
得到：
a
?
c
< br>q
?
q
?
...
?
q
?
n
?
1
，且为唯一的纳什均衡。
*
1
*
2
*
n
< br>
当趋向于无穷大时博弈分析无效。
a
?
c
lim
q
?
lim
?
0
，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无效。
n
?
?
n
?
?
n
?
1
*
i
3
、问这两个厂商的边际成本各是多少各自的利润是多少
设：边际成本不变，为
c
< br>1
，
c
2
。
计算得市场出清价格为：
两个厂商的利润函数为：
求解：
对其求导，令导数为
0
，解得反应函数为：
*
*
(
q
,
q
纳什均衡
1
2
)
,
即（
20,30
）为两条反应函数的交点
得到：
c
< br>1
?
30
，
c<
/p>
2
此时：
?
20
。
u
1
?
400
，
u
2
?
900
。
4
、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么
设居民
选择的养鸭数目为
n
i
i
i
(
i
?
1
,
2
< p>,3
,
4
,
5
)
，则总数为
N
?
?<
/p>
n
i
?
1
5
。
假设：
居民的得益函数为：