感恩手抄报图片-白天不懂夜的黑歌词
【真题体验】
1．(2012·江苏，12)在平面直角坐标系
x
Oy
中，圆
C
的方程为
x
＋
y
－8
x＋15＝0，若
直线
y
＝
kx
－2上至少存在一点，使得以该点
为圆心，1为半径的圆与圆
C
有公共点，则
k
的最大值是________．
|4
k
－2|
解析 设圆心
C
(4,0)到直线
y
＝
kx
－2的距离为
d
，则
d
＝
2
，由题意知问题转化为
k
＋1
22
d
≤2，
|4
k
－2|44
即
d
＝≤2，得0≤
k
≤，所以
k
＝.
max
33
k
2
＋1
4
答案 <
br>3
2．(2012·天津改编)设
m
，
n
∈R若直线(
m
＋1)
x
＋(
n
＋1)
y
－2＝0与圆(x
－1)＋(
y
－1)
＝1相切，则
m
＋
n<
br>的取值范围是________．
解析 根据直线与圆相切建立
m
与
n
的关系，再由基本不等式求解
m
＋
n
的取值范围．由题
意
可得
|
m
＋
n
|
22
m
＋1
2<
br>＋
n
＋1
2
＝1，化简得
mn
＝
m
＋
n
＋1≤
m
＋
n
4
2
，解得
m
＋
n
≤2－
22或
m
＋
n
≥2＋22.
答案 (－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)
3．(2011·盐城模拟)直线
x
＋
ay
＋1＝0与直线(
a
＋1)
x
－
by
＋3＝0互相垂直，
a
，
b
∈
R且
ab
≠0，则|
ab
|的最小值为________．
22
a
2
＋1
a
2
＋1
解析
由题意得－
2
×＝－1，所以
b
＝
2
，
aba
1
?
a
＋1
??
1
?
所以|
ab
|＝
?
a
·
2
?
＝
?
a
＋
?
≥2.
a
??
a
??
答案 2
4．(2010·江苏，9改编)在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆x
＋
y
＝
r
(
r
＞0)上有且仅
有四
个点到直线12
x
－5
y
＋13＝0的距离为1，则实数
r
的取值范围是________．
解析 圆半径为
r
，圆心(0,0)到直线12<
br>x
－5
y
＋13＝0的距离等于1，圆上有且仅有四个点
到直线12<
br>x
－5
y
＋13＝0的距离为1，所以
r
＞2，则
r
的取值范围是(2，＋∞)．
答案 (2，＋∞)
5．(2012·苏北四市模拟
)平面直角坐标系中，已知点
A
(1，－2)，
B
(4,0)，
P<
br>(
a,
1)，
222
2
N
(
a
＋1
,1)，当四边形
PABN
的周长最小时，过三点
A
、
P
、
N
的圆的圆心坐标是________．
解析 ∵
AB
，
PN
的长为定值，∴只要求
PA
＋
BN
的最小值．
1
PA
＋
BN
＝
a
－1
2
＋9＋
a
－3
2
＋1，其几何意义为动点(
a,
0)到两定点(1,3)和(3，
5
－1)距离之和，∴三点共线时，即
a
＝
时，其和取得最小值．然后由线段
PN
的中垂线
x
2
9
?<
br>11
?
7
??
＝3，与线段
PA
的中垂线
y
＋＝－
?
x
－
?
的交点
?
3，－
?
即为所求圆心坐标．
4
?
8
?
22
??
9
??
答案
?
3，－
?
8
??
【高考定位】
高考
对本内容的考查主要有：直线和圆的方程；两直线的平行与垂直关系；点到直线的
距离；直线与圆的位置
关系；直线被圆截得的弦长．多为B级或C级要求．
【应对策略】
高考对解析几何的考查，
主要考查直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问
题．运算能力与平面几何知识的灵活运用有可
能成为制约考生解题的一个重要因素，因此在
复习的过程中，要注意加强平面几何中有关知识特别是圆的
几何性质的复习，注意向量方法
在解析几何中的应用，注意强化运算能力的训练，努力提高灵活解题的能
力.
必备知识
1．两直线
l
1
：
y
＝
k
1
x
＋
b
1
、
l
2
：
y
＝
k
2
x
＋
b
2
平行与垂直
(1)
l
1
∥
l
2
?
k
1
＝
k
2
，且
b
1
≠
b
2
(注：
b
1
＝
b
2
时，
l
1
与
l
2
重合，若要求平行，需排除)
(2)
l
1
⊥
l
2
?
k
1
·
k
2
＝－1(注：若知两直
线互相垂直及
k
1
，可据此求
k
2
)
2．圆的方程
(1)圆的标准方程：(
x
－
a
)＋(y
－
b
)＝
r
，圆心(
a
，
b
)，半径
r
(2)圆的一般方程：
x
＋
y
＋<
br>Dx
＋
Ey
＋
F
＝0，(
D
＋
E<
br>－4
F
＞0)
3．直线
Ax
＋
By
＋C
＝0与圆(
x
－
a
)＋(
y
－
b<
br>)＝
r
的位置关系有三种
|
Aa
＋
Bb
＋
C
|
(1)若
d
＝，
d
＞
r
?相
离?
Δ
＜0.
A
2
＋
B
2
(2)
d
＝
r
?相切?
Δ
＝0.
(3)
d
＜
r
?相交?
Δ
＞0.
必备方法
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出方程．
(2)待定系数法：先设出方程，再根据条件求出待定系数．
2．三个独立条件确定一个圆，
一般用待定系数法，如果已知圆心或半径可用标准式；
如果已知圆经过某些点常用一般式．并要注重圆的
一般方程与标准方程的互化．
222
2222
222
2
3．直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离
d
与半径
r
的
大小关系判定较好．
4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算弦长时，要注意应用
半径、
弦心距、半弦长构成的直角三角形．
5．要注意数形结合，充分利用圆的性质和几何特征，尽可能简化计算．
命题角度一 直线和圆的方程
[命题要点] 根据条件确定直线或圆的方程．
【例1】? (2012·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线y
＝4
x
的焦点为
2
F
，点
P
在抛物
线上，且位于
x
轴上方．若点
P
到坐标原点
O
的距离为42
，则过
F
、
O
、
P
三点的圆的方程是________．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 因为圆经过点
F
(1,0)，
O
(0,0)，可设圆方程为
x
＋
y＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝0，将
F
、O
、
22
P
的坐标代入确定
D
、
E
、
F
的值．
解析 法一 先设点
P
(
x
，
y
)，根据
P
在抛物线上，且位于
x
轴上方，又
PO
＝42，解得
P
点坐标为(4,4)，又因为圆经过点
F
(1,0)，O
(0,0)，可设圆方程为
x
＋
y
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝0，
代入三个坐标，解得圆方程为
x
＋
y
－
x
－7
y
＝0.
法二 可利用几何方法，分
析圆心在两条直线的中垂线上，选择两条中垂线联立，可求得圆
22
22
?
1
7
?
2
14925
?
1
?
2
?
7
?
2
25
心坐标为
?
，
?
，
r<
br>＝＋＝，故圆方程为
?
x
－
?
＋
?
y
－
?
＝.
442
?
22
??
2
??<
br>2
?
2
答案
x
＋
y
－
x
－7
y
＝0.
求圆的方程就是要确定圆心坐标和半径，通常用待定系数法；对于解析几何
填空题利用其几何
性质往往会起到方便、快捷作用．
【突破训练1】 (2012·南通模拟)已知过某定圆上的每一点
均可以作两条相互垂直的
直线与椭圆＋＝1的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为_______
_．
169
解析 易得椭圆＋＝1的外切矩形的四个顶点(±4，±3)必在该定
圆上，则该定圆必是
169
该外切矩形的外接圆，方程为
x
＋
y＝25，可以验证过该圆上除点(±4，±3)的任意一
点也均可作两条相互垂直的直线与椭圆＋＝
1的交点都各只有一个；故圆方程
x
＋
y
169
22
22<
br>x
2
y
2
x
2
y
2
x
2<
br>y
2
22
3
＝25.
答案
x
＋
y
＝25
命题角度二
直线与圆、圆与圆的位置关系
[命题要点] 直线与圆的位置关系的判定；圆的切线性质的运用．
【例2】? (2012·南通模拟)在平面直角坐标系
xOy
中，已知圆
C
1
：(
x
－3)＋(
y
＋2)
＝4，圆
C
2
：(
x
＋
m
)＋(
y
＋
m＋5)＝2
m
＋8
m
＋10(
m
∈R，且
m<
br>≠－3)．
(1)设
P
为坐标轴上的点，满足：过点
P
分别
作圆
C
1
与圆
C
2
的一条切线，切点分别为
T1
、
222
22
22
T
2
，使得
PT
1
＝
PT
2
，试求出所有满足条件的点
P
的坐标；
(2)若斜率为正数的直线
l
平分圆
C
1
，求证：直线l
与圆
C
2
总相交．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] (1)将等式
PT
1
＝
PT
2
转化为坐标之间的关系，通过解方程求解；(2)利用直线与
圆的位置关系的判定方
法．
解 (1)设点
P
的坐标为(
x
0
，
y0
)，圆
C
1
与圆
C
2
的半径分别为
r
1
、
r
2
，
由题意得
PC
1
－
r
1
＝
PC
2
－
r
2
， 即[(
x
0
－3)＋(
y
0
＋2)]－4＝[(
x
0
＋
m
)＋(
y
0
＋
m
＋5
)]－(2
m
＋8
m
＋10)，
化简得
x
0＋
y
0
＋1＝0，因为
P
为坐标轴上的点，
所以点
P
的坐标为(0，－1)或(－1,0)；
(2)依题意可设直线<
br>l
的方程为：
y
＋2＝
k
(
x
－3)，k
＞0，化简得
kx
－
y
－3
k
－2＝0，
|
k
－1|·|
m
＋3|
则圆心
C
2(－
m
，－
m
－5)到直线
l
的距离为，
k
2
＋1
又圆
C
2
的半径为2
m
＋8
m
＋10，
|
k
－1|·|
m
＋3|
2
所以“直线
l
与圆
C
2
总相交”等价于“?
m
≠
－3，＜2
m
＋8
m
＋10”，即
2
k
＋1
|
k
－1|
＜
2
m
＋8
m
＋10
，①
m
＋3
2
2
2
22222
2222
k
2
＋1
2<
br>2
m
＋8
m
＋10
2
记
y
＝
2
，整理得(
y
－2)
m
＋2(3
y
－4)m
＋9
y
－10＝0，
m
＋3
当
y
＝2时，
m
＝－2；
当y
≠2时，判别式
Δ
＝[2(3
y
－4)]－4(
y<
br>－2)(9
y
－10)≥0，解得
y
≥1；
2
m<
br>＋8
m
＋10
综上得
y
＝，
m
≠－3的最小
值为1，
m
＋3
2
2
2
4
所以①式?
|
k
－1|
k
2＋1
＜1?
k
＞0，即证．
根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系．
【突破训练2】 (201
2·苏北四市调研)平面直角坐标系
xOy
中，直线
x
－
y
＋1＝0截以
原点
O
为圆心的圆所得的弦长为6.
(1)求圆
O
的方程；
(2)若直线
l
与圆
O<
br>切于第一象限，且与坐标轴交于
D
，
E
，当
DE
长最
小时，求直线
l
的方程；
(3)设
M
，
P
是圆<
br>O
上任意两点，点
M
关于
x
轴的对称点为
N
，若直线
MP
、
NP
分别交于
x
轴于点(
m,0)和(
n,
0)，问
mn
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，
请说明理由．
解 (1)因为
O
点到直线
x
－
y
＋1＝0的距离为
1
2
，
所以圆
O
的半径为
2
2
?
1
?
2
?
6
?
2
??
＋
??
＝2，
?
2
??
2
?
xyab
故圆
O
的方程为
x
＋
y
＝2.
(2)设直线
l
的方程为＋＝1(
a
＞0，
b
＞0)，即<
br>bx
＋
ay
－
ab
＝0，
由直线
l
与圆
O
相切，得
|
ab
|
1
?
111<
br>22222
?
1
＋
＝2，即＋＝，
DE
＝
a
＋
b
＝2(
a
＋
b
)
22
?≥8，
?
22
ab
2
?
ab
?
a2
＋
b
2
当且仅当
a
＝
b
＝2时取等
号，此时直线
l
的方程为
x
＋
y
－2＝0.
(3
)设
M
(
x
1
，
y
1
)，
P(
x
2
，
y
2
)，则
N
(
x
1
，－
y
1
)，
x
1
＋
y
1
＝2，
x
2
＋
y
2
＝2，
直线MP
与
x
轴交点
?
直线
NP
与
x轴交点
?
2222
?
x
1
y
2
－x
2
y
1
，0
?
，
m
＝
x<
br>1
y
2
－
x
2
y
1
，
?
y
2
－
y
1
?
y
2
－
y
1
?
?
x
1
y
2
＋
x
2
y
1
，0
?
，
n
＝
x
1
y
2
＋
x
2
y
1
，
?
y
2
＋
y
1
?
y
2
＋
y
1
?
222
x
1
y
2
－
x
2
y<
br>1
x
1
y
2
＋
x
2
y
1<
br>x
2
1
y
2
－
x
2
y
1<
br>mn
＝·＝
22
y
2
－
y
1y
2
＋
y
1
y
2
－
y
12－
y
1
y
2
－2－
y
2
＝
2
y
2
2
－
y
1
222
y
2
1
＝2，故
mn
为定值2.
5
命题角度三 直线、圆与其他知识的交汇
[命题要点]
求直线被圆截得的弦长；圆与圆的位置关系；以圆锥曲线为载体结合平面
向量的综合问题．
【例3】? (2012·南京、盐城模拟)如图，在平面直角坐标系
xOy
中，已知
点
A
为椭圆
x
2
2
y
2
9
＋9
→→
＝1的右顶点，点
D
(1,0)，点
P
，
B
在椭圆上，
BP
＝
DA
.
(1)求直线
BD
的方程；
(2)求直线
BD
被过
P
，
A
，
B
三点的圆
C
截得的弦长；
(3)是否存在分别以
PB
，
PA
为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这
两个圆的方程；
若不存在，请说明理由．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 利用向量相等求出坐标，再利用两点式或点斜式求直线方程；根
据圆
M
和圆
N
相外切确定
P
，
M
，
N
在一条直线上，且
PM
＝
PN
，从而求解
M
、
N
的坐标．
→→
解 (1)因为
BP
＝
DA且
A
(3,0)，所以
BP
＝
DA
＝2，而
B
，
P
关于
y
轴对称，所以点
P
的横坐标
为
1，
从而得
P
(1,2)，
B
(－1,2)
所以直线
BD
的方程为
x
＋
y
－1＝0.
(2)线段
BP
的垂直平分线方程为
x
＝0，线段
AP
的
垂直平分线方程为
y
＝
x
－1，所以圆
C
的
圆心为
(0，－1)，且圆
C
的半径为
r
＝10，又圆心(0，－1)到直线
BD
的距离为
d
＝2，
所以直线
BD
被圆
C截得的弦长为2
r
－
d
＝42.
(3)假设存在这样的两个圆
M
与圆
N
，其中
PB
是圆
M
的弦，
PA
是圆
N
的弦，则点
M
一定在
y
轴上，点N
一定在线段
PC
的垂直平分线
y
＝
x
－1上
，当圆
M
和圆
N
是两个相外切的等圆
时，一定有
P
，
M
，
N
在一条直线上，且
PM
＝
PN
.
设
M
(0，
b
)，则
N
(2,4－
b)，根据
N
(2,4－
b
)在直线
y
＝
x－1上，
解得
b
＝3.所以
M
(0,3)，
N
(2,1)，
PM
＝
PN
＝2，故存在这样的两个圆，且方程分别为
x
＋
(
y
－3)＝2，(
x
－2)＋(
y
－1)＝2.
求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长
公
222
2
22
6
式
AB＝2
r
－
d
；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关
系则多借助
于几何关系进行判定．
22
【突破训练3】 如图所示，已知
以点
A
(－1,2)为圆心的圆与直线
l
1
：
x
＋
2
y
＋7＝0相
切．过点
B
(－2,0)的动直线
l
与圆
A
相交于
M
，
N
两点，
Q
是
MN
的中点，直线
l
与
l
1
相交
于点
P
.
(1)求圆
A
的方程；
(2)当
MN
＝219时，求直线
l
的方程；
→→
(3)
BQ
·
BP
是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理
由．
解 (1)设圆
A
的半径为
R
.
∵圆
A<
br>与直线
l
1
：
x
＋2
y
＋7＝0相切，
|－1＋4＋7|
∴
R
＝＝25.
5
∴圆
A的方程为(
x
＋1)＋(
y
－2)＝20.
(2)当直线l
与
x
轴垂直时，易知
x
＝－2符合题意；
当直线<
br>l
与
x
轴不垂直时，设直线
l
的方程为
y
＝
k
(
x
＋2)，
即
kx
－
y
＋
2
k
＝0.连接
AQ
，则
AQ
⊥
MN
.
∵
MN
＝219，∴
AQ
＝20－19＝1.
由
AQ
＝
|
k
－2|3
＝1，得
k
＝.
4
k
2
＋1
22
∴直线
l
的方程为3
x－4
y
＋6＝0.
∴所求直线
l
的方程为
x
＝－2或3
x
－4
y
＋6＝0.
→→
(3)∵
A
Q
⊥
BP
，∴
AQ
·
BP
＝0
→→→→
→
∴
BQ
·
BP
＝(
BA
＋
AQ
)·
BP
→→→→→→
＝
BA
·
BP
＋
AQ
·
BP
＝
BA
·
BP
.
5
??
当直线
l
与
x
轴垂直时，得
P
?－2，－
?
.
2
??
5
?
→
?→
则
BP
＝
?
0，－
?
，又
BA＝(1,2)，
2
??
→→→→
∴
BQ
·
B
P
＝
BA
·
BP
＝－5.
7
当直线
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
y
＝<
br>k
(
x
＋2)．
由
?
?
?
y＝
kx
＋2，
－4
k
－7
?
?
x＋2
y
＋7＝0，
解得
P
?
?
?<
br>1＋2
k
，
－5
k
1＋2
k
?
?<
br>?
.
∴
→
BP
＝
?
?
－5－5<
br>k
?
1＋2
k
，
1＋2
k
?
??
.
∴
→
BQ
·
→
BP
＝
→
BA
·
→
BP
＝
－510
k
1＋2k
－
1＋2
k
＝－5.
综上所述，
→
BQ<
br>·
→
BP
是定值，且
→
BQ
·
→
B
P
＝－5.
8