寒假作文500字2012江苏高考数学卷解析

抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．
【答案】
3

5
【解析】组成满足条件的数列为：
1,?3,9.?27,81,?243,729,?2 187,6561,?19683.
从中随机取
出一个数共有取法
10
种，其 中小于
8
的取法共有
6
种，因此取出的这个数小于
8
的概率 为
3
.
5
【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关 键弄清基本事件数和基本事
件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复 ，这一点要特别
注意.
7．如图，在长方体
ABCD?A
1
B1
C
1
D
1
中，
AB?AD?3cm
，
AA
1
?2cm
，则四棱锥
A?BB
1
D
1D
的体积为 cm
3
.





【答案】
6cm
3

A B
D
1

A
1

D
C
1

B
1

C
D1
A1
D
A
OB
C1
B1
C

【解析】如图所示，连结
AC
交
BD
于点
O
，因为 平面
ABCD?BB
1
D
1
D
，又因为
AC?BD
，所以，
AC?平面BB
1
D
1
D
，所以四棱锥< br>A?BB
1
D
1
D
的高为
AO
，根据题意< br>AB?AD?3cm
，所以
AO?
32
，又因为
BD?32c m
，
AA
1
?2cm
，故矩形
BB
1
D< br>1
D
2

的面积为
62cm
，从而四棱锥
A?BB
1
D
1
D
的体积
V?
2
132
?62??6cm
3
.
32
【点评】本题重点考查空间几何体的体 积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的
位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点 找到四棱锥
A?BB
1
D
1
D
的高为
AO
，这是
解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.
x
2
y
2
8. 在平面直角坐标系
xOy
中，若双曲线
?
2
?1
的离心率为
5
，则m的值为 ▲ ．
mm?4
【答案】
2

【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在
x
轴上（否则不成立），因此
m
＞
0
，由离心率公
m?m
2
?4
式得到
?5
，解得
m?2
. < br>m
【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对< br>本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，
几乎 年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.
9. 如图，在矩形ABCD中，
AB?2，BC?2，
点E为BC的中点，点F在边CD上，若
?????????? ??????
AB
?
AF?2
，则
AE?BF
的值是 ▲ ．






【答案】
2

【解析】根据题意
AF?BC?DF,
所以
???
D
F
C
E
A
B
AB?AF?AB?(BC?DF)?AB?BC ?AB?DF?AB?DF?AB?DFcos0??2DF?2,
?
??????????? ???
从而得到
DF?1
，又因为
AE?AD?DF,BF?BC?CF，所以
??????

AE?BF?(AD?DF)?(BC?CF)?B C?0?0?DF?CFcos180
?
?2
.
【点评】本题主要考查平面 向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法
找到
DF?1
，这是本 题的解题关键，本题属于中等偏难题目.
?
???????
2
??
?1
≤x?0
，
?
ax?1，
?
10. 设
f(x )
是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
[?1，1]
上，
f(x)?
?
bx?2
，0
≤x≤1
，
?
?x?1
?
1
??
3
?
其中
a，b?R
．若
f
??
?f
??
，则
a?3b
的值为 ▲ ．
?
2
??
2
?
【答案】
?10
.
?
1
??
3
?
【解析】因为
f
??
?f
??
，函数
f(x)
的周期为
2
，所以
?
2
??
2
?
131
?
得到
3a?2b?? 2
，
f()?f(?2)?f(?)
，根据
f(x)?
?
bx?2
，0
≤x≤1
，
222
?
?
x?1
又
f(1)?f(?1)
，得到
?a?1?
所以
a?3b??10
.
【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期 性
将式子化简为
f()?f(
度适中.
?1
≤x?0
，< br>?
ax?1，
b?2
,即2a?b?0
，结合上面的式子解得
a?2,b??4
，
2
1
2
31
?2)?f(?)
然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难
22
?
?
?
4< br>?
11. 设
?
为锐角，若
cos
?
?
?< br>?
?
，则
sin(2
?
?)
的值为 ▲ ．
6
?
5
12
?
【答案】
172

50
??
167
?
?
4
?
【解析】根据
cos
?
?
?
?
?
，
cos(2
?
?)?2cos
2
(
?
?)?1?2?
，
?1?
65
362525
??
因为
cos(2
?
?
?< br>3
)?0
，所以
24
?
7
?
sin(2< br>?
?)?1?
??
?
325
?
25
?
?
2
，因为

sin(2
?
?
?
1 2
)?sin[(2
?
?
?
3
)?
?
4< br>]?sin(2
?
?
?
3
)cos
?
4?cos(2
?
?
?
3
)sin
?
4
?
172
.
50
【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆 分、二倍角公式的运用.在求解三
角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档 题，运算量较大，难度
稍高.
12. 在平面直角坐标系
xOy
中，圆C的 方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
，若直线
y? kx?2
上至少存在一
点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ．
【答案】
4

3
2
【解析】根据题意
x
2
?y
2
?8x?15?0
将此化成标准形式为：
?
x?4
?
?y
2
?1
，得到，该圆的圆
心为
M< br>?
4,0
?
半径为
1
，若直线
y?kx?2
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆
与圆C有公共点，只需要圆心
M
?
4,0
?
到直线
y?kx?2
的距离
d?1?1
，即可，所以有
d?
4k?2
k
2
?1
?2
，化简 得
k(3k?4)?0
解得
0?k?
44
，所以k的最大值是 .
33
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准
方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是
对 若直线
y?kx?2
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，这句
话的理解，只需要圆心
M
?
4,0
?
到直线
y?k x?2
的距离
d?1?1
即可，从而将问题得以转化.本题
属于中档题，难度 适中.
b?R)
的值域为
[0，
13. 已知函数
f(x)?x< br>2
?ax?b(a，
??)
，若关于x的不等式
f(x)?c
的解
集为
(m，m?6)
，则实数c的值为 ▲ ．
【答案】
9

2
【解析】根据函数
f(x)?x?ax?b ?0
，得到
a
2
?4b?0
，又因为关于
x
的不等 式
f(x)?c
，可化为：
x
2
?ax?b?c?0
，它的 解集为
?
m,m?6
?
，设函数
f(x)?x
2
? ax?b?c
图象与
x
轴的交点的横坐标分别为
x
1
,x< br>2
，则
x
2
?x
1
?m?6?m?6
，从而 ，
(x
2
?x
1
)
2
?36
，即
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?36
，又因为
x
1
x
2
?b?c,x
1
?x
2
??a
，代入得到
c?9
.

< br>【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.
二次 函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.
14. 已知正数
a，b，c
满足：
5c?3a
≤b≤4c?a
，clnb
≥a?c lnc
，
则
【答案】
?
e,7
?

【解析 】根据条件
5c?3a
≤b≤4c?a
，clnb
≥a?clnc
，
a?c
?
lnb?lnc
?
?cln
b
的取值范围 是 ▲ ．
a
b
，得到
c
a
bab
3a? b
，由已知
b?4c?a
，
ln?,?e
c
?1
， 得到
c?b
.又因为
5c?3a?b
，所以
c?
ccc5
得到
c?
a?ba?bb1
.从而
?b
，解得
?
.
44a3
【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是 注意不等式的等价变形，
做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.
二、解答题
15. （本小题满分14分）
????????????????
在
?A BC
中，已知
AB
?
AC?3BA
?
BC
．
（1）求证：
tanB?3tanA
；
（2）若
cosC?
【答案及解析】
5
，
求A的值．
5

【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式 、三角恒
等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几

< br>乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.
16. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
A
1
B
1
?A
1
C
1
，
D，E
分别是棱
（点D 不同于点C），且
AD?DE，

F
为
B
1
C1
的中点．
BC，CC
1
上的点
求证：（1）平面
AD E?
平面
BCC
1
B
1
；
（2）直线
A
1
F
平面ADE．
【答案及解析】
【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判
定，线面 平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，
相连得到中位线” .本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．
17. （本小题满分14分）
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某
炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
y?kx?
1
(1?k
2< br>)x
2
(k?0)
表示的曲线上，其中
20
k与发射方向有关 ．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞 行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过
多少时，炮弹可以击中它？请 说明理由．



O
（第17题）
x（千米）
y（千米）

【答案及解析】

【点 评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的
最值问题时，要 注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后
建立数学模型，接着求解数学 模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中．
18．（本小题满分16分）
已知a，b是实数，1和
?1
是函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx
的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数
g (x)
的导函数
g
?
(x)?f(x)?2
，求
g(x)< br>的极值点；
（3）设
h(x)?f(f(x))?c
，其中
c?[? 2，2]
，求函数
y?h(x)
的零点个数．
【答案及解析】

【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最 值中的运用.考查较全面系
统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要 考查数形结合
思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分
析问题和解决问题的能力，运算量比较大．
19. （本小题满分16分）
x2
y
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
(?c，0)
，
ab
?
3
?
e)
和
?
e，
F< br>2
(c，0)
．已知
(1，
?
??
都在椭圆上，其中 e为椭圆的离心率．
2
??
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
AF
1

与直 线
BF
2
平行，
AF
2
与
BF
1
交于点P．
（i）若
AF
1
?BF
2
?
A
P
B
y
F
1

O
F
2

x
6
，求直线
AF
1
的斜率；
2
（第19题）
（ii）求证：
PF
1
?PF
2
是定值．
【答案及解析】

【点评】本题主要考查椭圆 的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待
定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲 线和方程的关系.在利用条件
AF
1
?BF
2
?
6
时，
2

需要注意直线
AF
1
和直线
BF2
平行这个条件.本题属于中档题．
20. （本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
n?1
?
a
n
?b
n
a
n
2
?b
n
2
，n?N
?
．
2
?
b
n
?
?
b
n
?
?
?
?
（1）设
b
n?1
?1?，n?N
，求证：数列
?
??
?
是等差数列；
a
a
n
?
??
n
?
?
?
（2）设
b
n?1
?2?
【答案与解析】
b
n
，n?N
?
，且
{a
n
}
是等比数列，求
a
1
和
b
1
的值．
a
n


【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知 识的灵活运用、指数幂和根式的
互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思 路和基本方法，本题是
有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在

训练时，要引起足够的重视.
数学Ⅱ(附加题)
2 1．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若
．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD
C
= DC，连结AC，AE，DE．
求证：
?E??C
．



【答案与解析】
A
O
E
（第21-A题）
D
B

【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所 对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质
考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的 主要思想方法为等量代换法，属
于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本 性质的题目居多，
在练习时，要有所侧重．
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
?
13
?
?
?
4 4
?
已知矩阵A的逆矩阵
A
?1
?
??
，求矩阵A 的特征值．
?
1
?
1
?
?
2
?
2
??


【答案与解析】

【点评】本 题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式
与特征值求解．在求解矩 阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；
在求解矩阵的特征值时，要正确的写 出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标中，已知圆C经过点
P
圆C的极坐标方程．
【答案与解析】 ?
2，
?
?
3
，圆心为直线
?
sin
?
?
与极轴的交点，求
??
3
4
2
?
??

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角< br>和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线
?
sin(
?
?< br>?
3
)??
3
与极轴的交点，考
2
查三角函数的综合 运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低
档题为主．
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数x，y满足：
|x?y|?
【答案与解析】

115
，|2x?y|?，
求证：
|y|?
．
3618

【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及 其运用，属于中档题，难度适中．切
实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.
22．（本小题满分10分）
设
?
为随机变量，从棱长为1的正方体的12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，
?
?0
；当两条棱
平行时，
?< br>的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
?
?1
．
（1）求概率
P(
?
?0)
；
（2）求
?
的分布列，并求其数学期望
E(
?
)
．
【答案与解析】

【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、 数学期望的求解、随机事
件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布 列和期望的求
解，在列分布列时，要注意
?
的取值情况，不要遗漏
?
的取值情况．
23．（本小题满分10分）
?
设集合
P
n
?{1，2，
…
，n}
，
n?N
．记
f(n)
为 同时满足下列条件的集合A的个数：
①
A?P
n
；②若
x?A，则
2x?A
；③若
x??
P
n
A
，则
2x??
P
n
A
．
（1）求
f(4)
；

（2）求
f(n)
的解析式（用n表示）．
【答案与解析】

【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集
和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.