2014年山东省高考文科数学试卷及答案解析(word版)

京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

2014年普通高等学校招生全国统一测试（山东卷）
文科数学
本试卷分第Ｉ卷和 第II卷两部分，共4页。满分150分，测试用时120分钟。测试结束
后，将本试卷和答题卡一并交 回。
注意事项：
１. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考 生号、县区和科类
填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２. 第I卷每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写 在试卷上无效。
３. 第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相
应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能
使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
P(A?B)?P(A)?P(B)

第Ｉ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
(1) 已知
a,b?R,i
是虚数单位. 若
a?i
＝
2?bi
，则
(a?bi)?



(A)
3?4i

(D)
4?3i

2
2
(B)
3?4i
(C)
4?3i

(2) 设集合
A?{x|x?2x?0},B?{x|1?x?4}
，则
AIB?



(A)
(0,2]

(D)
(1,4)

(B)
(1,2)
(C)
[1,2)

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(3) 函数
f(x)?


1
的定义域为
log
2
x?1
(B)
(0,2]
(C)
(2,??)
(A)
(0,2)

(D)
[2,??)

(4) 用反证法证明命题：“设
a,b
为实数， 则方程
x
3
?ax?b?0
至少有一个实根”时，要
做的假设是

实根

实根
(5) 已知实数
x,y
满足
a?a(0?a?1)
， 则下列关系式恒成立的是


(A)
x?y

2
33
xy
(A) 方程
x
3
?ax?b?0
没有实根 (B) 方程
x
3
?ax?b?0
至多有一个
(C) 方程
x
3
?ax?b?0
至多有两个实根 (D) 方程
x
3
?ax?b?0
恰好有两个

2







(D)
(B)
sinx?siny

(C)
ln(x?1)?ln(y?1)

11

?
22
x?1y?1
(6) 已知函数
y? log
a
(x?c)(a,c为常数，其中a?0,a?1)
的图象如右图，则下列结 论成
立的是
E
O


x

(B)
a?1,0?c?1
(A)
a?0,c?1

(C)
0?a?1,c?1
(D)
0?a?1,0?c?1

rrrr
?
(7) 已知向量
a?(1,3),b?(3,m)
. 若向量
a,b
的夹角为，则实数
m?

6
(A)
23
(B)
3
(C) 0 (D)
?3

(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据
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（单位：k Pa）的分组区间为
[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,1 7]
，将其按从左到右的
顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据 制成的频率分布直
方图。已知第一组和第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗 效的
人数为
频率组距
0.36
0.24
0.16
0.08
12




(A) 6
(B) 8
(C) 12
(D) 18
13
14
151617
舒张压kPa

(9) 对于函数
f(x)
，若存在常数
a?0
， 使得
x
取定义域内的每一个值，都有
f(x)?f(2a?x)
，则称
f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是


(A)
f(x)?x






(B)
f(x)?x

3
(C)
f(x)?tanx
(D)
f(x)?cos(x?1)

?
x?y?1?0,
(10) 已知
x,y
满足约束条件
?
当目标函数
z?ax?by(a?0,b?0)
在该约束
2x?y?3?0,
?
条件下取到最小值
25
时，
a
2
?b
2
的最小值为
(A) 5 (B) 4 (C)
5
(D) 2


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第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
(11) 执行右面的程序框图，若输入的
x
的值为1，则输出的
n
的值为 .
(12) 函数
y?
开始
输入
3
sin2x?cos
2
x
的最小正周期为 .
2
(13) 一个六棱锥的体积为
23
，其底面是边长为2的正六边形，侧棱 长
都相等，则该六棱锥的侧面积为 。
(14) 圆心在直线
x?2y?0< br>上的圆
C
和
y
轴的正半轴相切，圆
C
截
x< br>轴
所得弦的长为
23
，则圆
C
的标准方程为 。
3
n?0
x?4x?3?0
是
否
x?x?1
n?n?1
输入
结束
x
2
y
2
(15) 已知双曲线
2
?
2< br>?1(a?0,b?0)
的焦距为
2c
，右顶点为A，抛
ab
2
物线
x?2py(p?0)
的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c
，且
|FA|?c
，则双曲线的渐近线方程为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
(16)（本小题满分12分）
海关对 同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商
品的数量（单位：件 ）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样
品进行检测.
地区
数量

（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同
地区的概率.
(17) （本小题满分12分）
A
50
B
150
C
100
?ABC
中，角A，B，C所对的边分别为
a,b,c
. 已知
a?3,cosA?
（Ｉ）求
b
的值；
6
?
,B?A?
.
32
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（II）求
?ABC
的面积.
(18)（本小题满分12分）
如 图，四棱锥
P?ABCD
中，
AP?平面PCD,AD∥BC,AB?BC?
线段
AD,PC
的中点.
1
AD,E,F
分别为
2
P
D
A
C
B

（Ｉ）求证：
AP∥平面BEF
；
（II）求证：
BE?平面PAC
.
(19) （本小题满分12分） < br>在等差数列
{a
n
}
中，已知公差
a
1
?2
，
a
2
是
a
1
和
a
4
的 等比中项.
（Ｉ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（II ）设
b
n
?a
n(n?1)
，记
T
n
?? b
1
?b
2
?b
3
?b
4
?…?(?1)
n
b
n
，求
T
n
.
2
(20) （本小题满分13分）
设函数
f(x)?alnx?
x?1
，其中
a
为常数.
x?1
（Ｉ）若
a?0
，求曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程；
（II）讨论函数
f(x)
的单调性.
(21)（本小题满分14分）
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x
2
y
2
3
在平面直角坐标系
xOy
中 ，椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，直线< br>y?x
ab
2
被椭圆
C
截得的线段长为
（Ｉ）求椭圆
C
的方程；
（II）过原点的直线和椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C
上，且
AD?AB
，直线BD和
x
轴、
y
轴分别交于M，N 两点.
（i）设直线BD，AM的斜率分别为
k
1
,k
2
，证明存在常数
?
使得
k
1
?
?
k
2，并求出
?
的
值；
（ii）求
?OMN
面积的最大值.










410
.
5
2014年高考山东卷文科数学真题及参考答案

一．选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个
选项中，选择符合题目要求的选项。
（a?bi）?
（1）已知
a,b?R,i
是虚数单位，若
a?i
?2?bi
，则
（A）
3?4i
（B）
3?4i
（C）
4?3i

2
2
（D）
4?3i

2
2
（a?bi）?
(2?i)?4?4i?i?3?4i
【分析 】由
a?i
?2?bi
得，
a?2，b??1
，
故答案选A
2
（2）设集合
A?{xx?2x?0},B?{x1?x?4},
则
A?B?

（A）(0,2]
故答案为C
（B） (1,2) （C） [1,2) （D）(1,4)
2)，B?
?
1,4
?
，数轴上表示出来得到
A?B?
[1,2) 【分析】
A?(0，
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（3）函数
f(x)?
（A）
(0，2)

1
的定义域为
log
2
x?1
（B）
(0,2]
（C）
(2,??)
（D）
[2，??)

【分析】
log
2
x?1?0
故
x?2
。选D < br>（4）用反证法证明命题“设
a,b?R,
则方程
x?ax?b?0
至 少有一个实根”时要做的假设
是
（A）方程
x?ax?b?0
没有实根 （B）方程
x?ax?b?0
至多有一个实根
（C）方程
x?ax?b?0
至多有两个实根 （D）方程
x?ax?b?0
恰好有两个实根
【分析】答案选A，分析略。
（5）已知实数
x,y
满足
a?a(0?a?1)
，则下列关系式恒成龙的 是
33
（A）
x?y

2
22
22
xy

2



（D）
（B）
sinx?siny

（C）
ln(x?1)?ln(y?1)

xy
2
11
?

22
x?1y?1
22
【分析】由
a?a(0?a?1)
得，
x?y
，但是不可以确 定
x
和
y
的大小关系，故C、D
33
排除，而
y? sinx
本身是一个周期函数，故B也不对，
x?y
正确。
（6）已知函数
y?log
a
(x?c)(a,c为常数。其中a?0,a?1)
的图像如右 图，则下列结论
成立的是
（A）
a?1,c?1

（C）
0?a?1,c?1

【分析】

答案选
C
（7）已知向量
a?(1,3),b?(3,m)
.若向 量
a,b
的夹角为
（A）
23
（B）
3
（C）
0

（B）
a?1,0?c?1


（D）
0?a?1,0?c?1

由图象单调递减的性质可得
0?a ?1
，向左平移小于
1
个单位，故
0?c?1

π
，则实数
m
=
6

（D）
?3

【分析】：
rr
a?b?3?3m
rrrrrr< br>3
a?b?abcosa,b?29?m
2
?
2
??
?3?3m?3?9?m
2
?m?3

答案：B

（8） 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床实验。所有志愿者的舒张压数据
（单位：kPa）的 分组区间为[12,13）, [13,14）,[14,15）,[15,16].将其按从左到右的顺序分别
编号为第一组，第二组，……，第五组。右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已
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知第一组和第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
（A）
6



（B）
8

（C）
12

（D）
18

【分析】：第一组和第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
20?0.4?50

50?0.36?18
18?6?12

答案：C
（9）对于函数
f(x)
，若存在常数
a?0
， 使得
x
取定义域内的每一个值，都有
f(x)?f(2a-x)
，则称
f(x)
为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是
（A）
f(x)?x

（B）
f(x)?x

2
（C）
f(x)?tanx
（D）
f(x)?cos(x?1)

【分析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。
答案：D

?< br>x-y-1?0,
（10）已知
x,y
满足的约束条件
?
当目 标函数
z?ax?by(a?0,b?0)
在该约束
2x-y-3?0,
?< br>条件下取得最小值
25
时，
a
2
?b
2
的最 小值为
（A）
5


（B）
4

（C）
5


（D）
2

?
x?y?1?0
【分析】：
?
求得交点为
?
2,1
?，则
2a?b?25
，即圆心
?
0,0
?
到直线
?
2x?y?3?0
?
25
?
2
?2?4
。
2a?b?25?0
的距离的平方
??
?
5
?
??
答案：
B

2
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线
上。

11．执行右面的程序框图，若输入的
x
的值为1，则输出的
n< br>的值为

。
【分析】：根据判断条件
x?4x?3?0
，得
1?x?3
，
输入
x?1

第一次判断后循环，
x?x?1?2,n?n?1?1

第二次判断后循环，
x?x?1?3,n?n?1?2

2
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第三次判断后循环，
x?x?1?4,n?n?1?3

第四次判断不满足条件，退出循环，输出
n?3

答案：3

12．函数
y?
【分析】：
y?

?T?
3
sin2x?cos
2
x
的最小正周期为

。
2
3311
?
?
1
?
sin2x?c os
2
x?sin2x?cos2x??sin
?
2x?
?
?

22226
?
2
?
2
?
?
?
.
2
答案：
T?
?

13．一个六棱锥的体积为
23
，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱
锥的侧面积为

。
【分析】：设六棱锥的高为
h
，斜高为
h
?
，
1
?
1
?
o
则由体积
V??
?
? 2?2?sin60?6
?
?h?23
得：
h?1
，
h?
?
3
?
2
?
?
3
?
2?h
2
?2

1
?
侧面积为
?2?h
?
?6?12
.
2
答案：12

14．圆心在直线
x?2y?0
上的圆
C
和
y< br>轴的正半轴相切，圆
C
截
x
轴所得的弦的长
23
，则 圆
C
的标准方程为

。
?
a
?
【分析】 设圆心
?
a,
?
?< br>a?0
?
，半径为
a
. 由勾股定理
?
2
?
??
2
?
a
?
3?
??
?a
2< br>得：
a?2

?
2
?
2
2

?
圆心为
?
2,1
?
，半径为2，
?
圆
C
的标准方程为
?
x?2
?
?
?
y?1< br>?
?4

答案：
?
x?2
?
?
?< br>y?1
?
?4

22
2
x
2
y2
15．已知双曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b ?0
?
的焦距为
2c
，右顶点为
A
，抛物线
ab< br>x
2
?2py
?
p?0
?
的焦点为
F
，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为
2c
，且
FA?c
，
则双 曲线的渐近线方程为

。
【分析】 由题意知
P
?c
2
?a
2
?b
，
2
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抛物线准 线和双曲线的一个交点坐标为
?
c,
?
?
P
?
?< br>，
2
?
c
2
c
2
b
2
即
?
c,?b
?
代入双曲线方程为
2
?
2
?1
，得
2
?2
，
a
ab
bc
2
?
渐近线方程为
y??x
，
???1?1
.
aa
2
答案：1
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
（16）（本小题满分12分）
海关对同时从
A,B,C
三个不同 地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商
品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用 分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件
样品进行检测。
地区
A

B

50 150
数量
（Ⅰ）求这6件样品中来自
A,B,C
各地区样品的数量；
同地区的概率。
C

100
（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相

（16）【分析】：
（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：

A:B:C?50:150:100?1:3:2

132
?1
，
B:6??3
，
C:6??2
； < br>666
（Ⅱ）设各地区商品分别为：
A,B
1
,B
2
,B
3
,C
1
,C
2

所以各地区抽取商品数为：
A:6?
基本时间空间
?
为：
?
A,B
1
?
,
?
A,B
2
?
,
?
A,B
3
?
,
?
A,C
1
?
,
?
A,C
2
?
,
?
B
1
,B2
?
,
?
B
1
,B
3
?
< br>?
B
1
,C
1
?
,
?
B
1
,C
2
?
,
?
B
2
,B
3
?
,
?
B
2
,C
1
?
,
?B
2
,C
2
?
,
?
B
3
,C
1
?
,
?
B
3
,C
2
?
,
?
C
1
,C
2
?
，共15个.
样本时 间空间为：
?
B
1
,B
2
?
,
?
B
1
,B
3
?
,
?
B
2
,B3
?
,
?
C
1
,C
2
?
< br>所以这两件商品来自同一地区的概率为：
P
?
A
?
?
（17）（本小题满分12分）
在
?ABC
中，角
A,B,C所对的边分别是
a,b,c
。已知
a?3,cosA?
（Ⅰ）求
b
的值；
（Ⅱ）求
?ABC
的面积。
4
.
15
6
?
,B?A?.

32
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（17）【分析】：
（Ⅰ）由题意知：
sinA?1?cosA?

sinB?sin
?
A?
2
3
，
3
??
6
，
?sinAcos?cosAsin?cosA??
2
?
223
aba?sinB
由正弦定理得：
??b??32

sinAsinBsinA
?
?
（Ⅱ）由余弦定理得：
?
?
b
2
?c
2
?a
2
6
??c
2
?43c?9?0?c
1
?3,c
2
?33,

cosA?
2bc3
又因为
B?A?
所以
S< br>V
ABC
?
?
2
为钝角，所以
b?c
，即< br>c?3
，
132
acsinB?.

22
（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥
P?ABCD< br>中，
AP?平面PCD,ADBC,
AB?BC?
别为线段
AD,PC
的中点。
（Ⅰ）求证：
AP平面BEF

（Ⅱ）求证：
BE?平面PAC

【分析】：（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,则AD=2
1
AD
,
E,F
分
2
?AB?BC,ADBC,
?< br>四边形ABCE为菱形
?O,F分别为AC,PC中点，?OFAP

?AP平面BEF
又
?OF?平面BEF，
（Ⅱ）
?AP?平面P CD，CD?平面PCD,?AP?CD

?BCED,BC?ED,?BCDE为平行四边形 ，?BECD
,
?BE?PA

又?ABCE为菱形，?BE?AC

又?PA?AC?A,PA、AC?平面PAC
,
?BE?平面PAC


（19）（本小题满分12分）
在等差数列
?
an
?
中，已知
d?2
，
a
2
是
a1
和
a
4
等比中项.
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n
?a
n
?
n?1
?
,
记
T< br>n
??b
1
?b
2
?b
3
?L?
?
?1
?
b
n
，求
T
n
.
2
n
【分析】： （Ⅰ）由题意知：
京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班

京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

?
a
n
?
为等差数列，设
a
n
?a
1
??
n?1
?
d
，
?a
2
为
a
1
和
a
4
的等比中项
2
?a
2
?a1
?a
4
且
a
1
?0
，即
?
a
1
?d
?
?a
1
?
a
1
?3d
?
，
?
d?2
解得：
a
1
?2

2
?a
n
?2?(n?1)?2?2n

（Ⅱ）由 （Ⅰ ）知：
a
n
?2n
，
b
n
?a
n(n?1 )
?n(n?1)

2
①当n为偶数时：
T
n
? ?
?
1?2
?
?
?
2?3
?
?
?
3?4
?
????n
?
n?1
?
?2
?< br>?1?3
?
?4
?
?3?5
?
????n
?
?
?
n?1
?
?
?
n?1
?
?< br>?2?2?4?2?6?2????n?2

?2?
?
2?4?6?? ??n
?
?
2?n
?
n
n
2
?2n
2
??2?
22
②当n为奇数时：
?2
?
?1?3
?
?4
?
?3?5
?
????
?
n?1< br>?
?
?
?
n?2
?
?n
?
?n?
n?1
?

?2?2?4?2?6?2????
?
n?1
?
?2?n
?
n?1
?

?2?
?
2?4?6????
?
n?1
?
?
?n
?
n?1
?
?
2?n?1
?
n?1
n
2
? 2n?1
2
?2??n
?
n?1
?
??
22
T
n
??
?
1?2
?
?
?
2?3
?
?
?
3?4
?
????n
?
n?1
?
?
n
2
?2n?1
?，n为奇数
?
?
2< br>T?
?
2
综上：
n

?
n?2n
, n为偶数
?
?
2
（20）（本小题满分13分）
设函数< br>f
?
x
?
?alnx?
x?1
，其中
a为常数.
x?1
（Ⅰ）若
a?0
，求曲线
y?f
?< br>x
?
在点
1,f
?
1
?
处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数
f
?
x
?
的单调性.
【分析】( 1)
当a?0时
f(x)?
??
x?12
,f
?
( x)?

x?1(x?1)
2
f
?
(1)?
21
?

2
(1?1)2
京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班

京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

又Qf(1)?0?直线过点(1,0)

?y?
11
x?

22
(2)
f
?
(x)?
a2
?(x?0)

2
x(x?1)
2
恒大于0.f(x)在定义域上单调递增.
(x?1)
2
①当a?0时，f
?
(x)?
a2a(x?1)< br>2
?2x
②当a?0时，f
?
(x)??=?0.f(x)在定义域上 单调递增.

x(x?1)
2
x(x?1)
2
1
③ 当a?0时，??(2a?2)
2
?4a
2
?8a?4?0,即a??.
2
开口向下，f(x)在定义域上单调递减。

当?
1?(2 a?2)?8a?4?a?1?2a?1
?a?0时，??0.x
1,2
??

22aa
对称轴方程为x??
2a?21
??1??0.且x
1gx
2
?1?0

2aa
?f(x)在(0,
(
?a?1?2a?1?a?1?2a?1?a?1?2a?1
)单调递减，(,)单调递增，
aaa
?a?1+2a?1
，+?)单调递减。
a
综上所述，a?0时，f( x)在定义域上单调递增；a?0时，f(x)在定义域上单调递增
a??
(
11?a ?1?2a?1
时，f(x)在定义域上单调递减；??a?0时，f(x)在(0,)单调递减，22a
?a?1?2a?1?a?1?2a?1?a?1+2a?1
,)单调递增，(，+ ?)单调递减。
aaa

（21）（本小题满分14分）
3
x
2
y
2
在平面直角坐标系
xOy中，椭圆
C:
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
的离心率为，直线
2
ab
y?x
被椭圆
C
截得 的线段长为
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
410
.
5
（Ⅱ）过原点的直线和椭圆
C
交于
A,B
两点（
A,B
不 是椭圆
C
的顶点），点
D
在椭圆
C
上，且
AD?A B
，直线
BD
和
x
轴、
y
轴分别交于
M, N
两点.
（i）设直线
BD,AM
的斜率分别为
k
1,k
2
.证明存在常数
?
使得
k
1
?
?
k
2
，并求出
?
的
值；
（ii）求
VOMN
面积的最大值.
京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班

京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班

3c3c< br>2
3a
2
?b
2
3
22
??即
2< br>=,??a?4b
【分析】(1)
Qe?

2
2a2a4a4
设直线和椭圆交于
p,q
两点。不妨设
p
点为直线和椭圆在第一象限 的交点。
又Q弦长为
4102525
，
?p(,)
555

44
?
5
2
?
5
2
?1
ab联立解得a
2
?4,b
2
?1

x
2
2
?椭圆方程为?y?1.
4
京翰高考补习——专业对高中学生开设高三数学辅导补习 班