[历年真题]2014年山东省高考数学试卷(文科)+

2014年山东省高考数学试卷（文科）



一.选择题每小题5分,共50分

1．（5分）已知a,b∈R,i是虚数单位,若 a+i=2﹣bi,则（a+bi）
2
=（ ）

A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i

2．（5分）设集合A={x|x
2< br>﹣2x＜0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=（ ）

A．（0,2] B．（1,2） C．[1,2） D．（1,4）

的定义域为（ ）

C．（2,+∞） D．[2,+∞）

3．（5分）函数f（x）=
A．（0,2） B．（0,2]
4．（5分）用反证 法证明命题“设a,b为实数,则方程x
3
+ax+b=0至少有一个实根”
时,要做 的假设是（ ）

A．方程x
3
+ax+b=0没有实根

B．方程x
3
+ax+b=0至多有一个实根

C．方程x
3
+ax+b=0至多有两个实根

D．方程x
3
+ax+b=0恰好有两个实根

5．（5分）已知实 数x,y满足a
x
＜a
y
（0＜a＜1）,则下列关系式恒成立的是（ ）

A．x
3
＞y
3
B．sinx＞siny

C．ln（x
2
+1）＞ln（y
2
+1） D．＞
6．（5分）已知函数y=log
a
（x+c）（a,c为常数,其中a＞0,a≠1）的 图象如图所示,
则下列结论成立的是（ ）
A．a＞1,c＞1 B．a＞1,0＜c＜1

C．0＜a＜1,c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1

,则实数m=（ ）

7．（5分）已知向量=（1,）,=（3,m）,若向量,的夹角为

A．2 B． C．0 D．﹣

8．（5分）为了研究某药品的疗效,选取若干名志 愿者进行临床试验．所有志愿者
的舒张压数据（单位:kPa）的分组区间为[12,13）,[13, 14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],
将其按从左到右的顺序分别编号为第一组 ,第二组,…,第五组．如图是根据试验数
据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人, 第三组中没有疗效的
有6人,则第三组中有疗效的人数为（ ）


A．6 B．8 C．12 D．18

9．（5分）对于函数f（x）,若存在常数a≠0,使得x取 定义域内的每一个值,都有
f（x）=f（2a﹣x）,则称f（x）为准偶函数,下列函数中是准偶函 数的是（ ）

A．f（x）= B．f（x）=x
2
C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）

,当目标函数z=ax+by（ a＞0,b＞0）10．（5分）已知x,y满足约束条件
在该约束条件下取到最小值2
A．5


二.填空题每小题5分,共25分

B．4 C． D．2

时,a
2
+b
2
的最小值为（ ）

11．（5分）执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为 ．

12．（5分）函数y=sin2x+cos
2
x的最小正周期为 ．
< br>,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相13．（5分）一个六棱锥的体积为2
等,则该六棱 锥的侧面积为 ．

14．（5分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切, 圆C截x轴所得
弦的长为2,则圆C的标准方程为 ．

﹣=1（a＞0,b＞0） 的焦距为2c,右顶点为A,抛物线15．（5分）已知双曲线
x
2
=2py（p＞0 ）的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,
则双曲线的渐近线方程为 ．



三.解答题共6小题,共75分

16．（12分 ）海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从
各地区进口此商品的数量（单 位:件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从
这些商品中共抽取6件样品进行检测．

地区

A

B

C

数量

50

150

100

（Ⅰ）求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量；

（Ⅱ）若在这6件样品中随 机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商
品来自相同地区的概率．

17． （12分）△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=3,cosA=
（Ⅰ）求b 的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

18．（12分）如图,四棱锥P﹣A BCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分
别为线段AD,PC的中点．

（Ⅰ）求证:AP∥平面BEF；

（Ⅱ）求证:BE⊥平面PAC．

,B=A+．

19．（12分）在等差数列{a
n
}中,已知公差d=2,a
2
是a
1
与a
4
的等比中项．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）设b
n
=a,记T
n
=﹣b
1
+b
2
﹣b
3
+ b
4
﹣…+（﹣1）
n
b
n
,求T
n
．< br>
,其中a为常数．

20．（13分）设函数f（x）=alnx+
（Ⅰ）若a=0,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

21．（14分）在平面直角坐标系xOy中, 椭圆C:
,直线y=x被椭圆C截得的线段长为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（ Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不是椭圆C的顶点）．点D在
椭圆C上,且AD⊥A B,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点．

（i）设直线BD,AM的斜率分别为k< br>1
,k
2
,证明存在常数λ使得k
1
=λk
2
,并求出λ的值；

（ii）求△OMN面积的最大值．



．

+=1（a＞b＞0）的离心率为

2014年山东省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析



一.选择题每小题5分,共50分

2
=1．（5分）（2014 ?山东）已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2﹣bi,则（a+bi）（ ）

A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i

【分析】利用两个复数 相等的充要条件求得a、b的值,再利用两个复数代数形式
的乘法法则求得（a+bi）
2的值．

【解答】解:∵a+i=2﹣bi,∴a=2、b=﹣1,则（a+bi）
2
=（2﹣i）
2
=3﹣4i,

故选:A．

【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件,两个复数代数形式的乘法法则,
属于基础题．



2．（5分）（2014?山东）设集合A={x|x
2
﹣2x ＜0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=（ ）

A．（0,2] B．（1,2） C．[1,2） D．（1,4）

【分析】分别解出集合A和B,再根据交集的定义计算即可．

【解答】解:A={x|0＜x＜2},B={x|1≤x≤4},

∴A∩B={x|1≤x＜2}．

故选:C．

【点评】本题是简 单的计算题,一般都是在高考的第一题出现,答题时要注意到端
点是否取得到,计算也是高考中的考查点 ,学生在平时要加强这方面的练习,考试
时做到细致悉心,一般可以顺利解决问题．



3．（5分）（2014?山东）函数f（x）=
A．（0,2） B．（0,2]
【分析】分析可知,
C．（2,+∞）
的定义域为（ ）

D．[2,+∞）

,解出x即可．

【解答】解:由题意可得,,

解得,即x＞2．

∴所求定义域为（2,+∞）．

故选:C．

【点评】本题是对基 本计算的考查,注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时,被开
方数要大于等于0”,及“分母不为0 ”,即可确定所有条件．高考中对定义域的考查,
大多属于容易题．


< br>4．（5分）（2014?山东）用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x
3
+a x+b=0至少
有一个实根”时,要做的假设是（ ）

A．方程x
3
+ax+b=0没有实根

B．方程x
3
+ax+b=0至多有一个实根

C．方程x
3
+ax+b=0至多有两个实根

D．方程x
3
+ax+b=0恰好有两个实根

【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．

【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,

∴用反证法证明命题“设 a,b为实数,则方程x
3
+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的
假设是:方程 x
3
+ax+b=0没有实根．

故选:A．

【点评】本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查．



5．（5分）（2014?山东）已知实数x,y满足a
x
＜a
y
（0＜a＜ 1）,则下列关系式恒成
立的是（ ）

A．x
3
＞y
3
B．sinx＞siny

C．ln（x
2
+1）＞ln（y
2
+1） D．＞

【分析】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题

的关键．

【解答】解:∵实数x,y满足a
x
＜a
y（0＜a＜1）,∴x＞y,

A．当x＞y时,x
3
＞y
3
,恒成立,

B．当x=π,y=时,满足x＞y,但sinx＞siny不成立．

C．若ln（ x
2
+1）＞ln（y
2
+1）,则等价为x
2
＞y
2
成立,当x=1,y=﹣1时,满足x＞y,但
x
2
＞y
2不成立．

D．若＞,则等价为x
2
+1＜y
2
+1, 即x
2
＜y
2
,当x=1,y=﹣1时,满足x＞y,但
x
2
＜y
2
不成立．

故选:A．

【点评】本题主 要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性
是解决本题的关键．



6．（5分）（2014?山东）已知函数y=log
a
（x+c）（a, c为常数,其中a＞0,a≠1）的
图象如图所示,则下列结论成立的是（ ）
A．a＞1,c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1,c＞1

D．0＜a＜1,0＜c＜1

【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．

【解答】解:∵函数单调递减,∴0＜a＜1,

当x=1时log
a
（x+c）=log
a
（1+c）＜0,即1+c＞1,即c＞0,

当x =0时log
a
（x+c）=log
a
c＞0,即c＜1,即0＜c＜1,< br>
故选:D．

【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质,利用对数函数的 单调性是解决本
题的关键,比较基础．

7．（5分）（2014?山东）已知向量=（1,
则实数m=（ ）

A．2 B． C．0 D．﹣

）,=（3,m）,若向量,的夹角为,
【 分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式,求得m的值．

【解答】解:由题意可得cos
解得 m=
故选:B．

【点评】本 题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用,属
于基础题．



8．（5分）（2014?山东）为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位:kPa）的分组区间为
[12,13）,[13,14）,[ 14,15）,[15,16）,[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为
第一组,第二组, …,第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第
一组与第二组共有20人,第三组中没 有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为
（ ）

,

===,


A．6 B．8 C．12 D．18

以及 直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20【分析】由频率=
人的频率,即可求出第三组中有疗效的 人数得到答案；

【解答】解:由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区 间第一
组与第二组的频率分别为0.24,0.16,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频< br>率为0.36,所以第三组的人数:18人,

第三组中没有疗效的有6人,

第三组中有疗效的有12人．

故选:C．
【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合,列举对事件是解决问题的
关键,属中档题．< br>


9．（5分）（2014?山东）对于函数f（x）,若存在常数a≠0 ,使得x取定义域内的
每一个值,都有f（x）=f（2a﹣x）,则称f（x）为准偶函数,下列函数 中是准偶函数
的是（ ）

A．f（x）= B．f（x）=x
2
C．f（x）=tanx D．f（x）=cos（x+1）

【分析】由题意判断f（x）为准偶函数的对称轴,然后判断选项即可．

【解答】解 :对于函数f（x）,若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都
有f（x）=f（2a﹣x ）,则称f（x）为准偶函数,

∴函数的对称轴是x=a,a≠0,

选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0,选项C,函数没有对称轴．

函数f（x）=cos（x+1）,有对称轴,且x=0不是对称轴,选项D正确．

故选:D．

【点评】本题考查函数的对称性的应用,新定义的理解,基本知识的考查．



10．（5分）（2014?山东）已知x,y满足约束条件
（a＞0,b＞0）在 该约束条件下取到最小值2
A．5 B．4 C． D．2

,当目标函数z=ax+by
时,a
2
+b
2
的最小值为（ ）

【分析】由约束条件正常可行域,然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标,代
入目标函数得到2a+b﹣2=0．a
2
+b
2
的几何意义为坐标原点到直线 2a+b﹣2=0
的距离的平方,然后由点到直线的距离公式得答案．

【解答】解:由约束条件作可行域如图,

联立,解得:A（2,1）．

（b＞0）．

过A点时,直线在y轴上的截距最小,z最小．

化目标函数为直线方程得:
由图可知,当直线
∴2a+b=2
即2a+b﹣2
．

=0．

．

则a
2
+b
2
的最小值为
故选:B．

【 点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,考查了数学转
化思想方法,训练了点到 直线距离公式的应用,是中档题．



二.填空题每小题5分,共25分

11．（5分）（2014?山东）执行如图所示 的程序框图,若输入的x的值为1,则输出
的n的值为 3 ．

【分析】计算循环中不等式的值,当不等式的值大于0时,不满足判断框的条件,
退 出循环,输出结果即可．

【解答】解:循环前输入的x的值为1,

第1次循环,x
2
﹣4x+3=0≤0,

满足判断框条件,x=2,n=1,x
2
﹣4x+3=﹣1≤0,

满足判断框条件,x=3,n=2,x
2
﹣4x+3=0≤0

满足 判断框条件,x=4,n=3,x
2
﹣4x+3=3＞0,不满足判断框条件,

输出n:3．

故答案为:3．

【点评】本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力．



12．（5分）（2014?山东）函数y=sin2x+cos
2
x的最小正周期为 π ．

【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）,从而求得函数的最小正周期

sin2x+cos
2
x=sin2x+
=π,

=sin（2x+）+,

【解答】解:∵函数y=
故函数的最小正周期的最小正周期为
故答案为:π．

【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式,正弦 函数的周期
性,属于基础题．

13 ．（5分）（2014?山东）一个六棱锥的体积为2
形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 12 ．

,其底面是边长为2的正六边
【分析】判断棱锥是正六棱锥,利用体积求出棱锥的 高,然后求出斜高,即可求解侧
面积．

【解答】解:∵一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都
,

相等,∴棱锥是正六棱锥,设棱锥的高为h,则
∴h=1,

棱锥的斜高为:
该六棱锥的侧面积为:
故答案为:12．

==2,

=12．


【点评】本题考查了棱锥的体积, 侧面积的求法,解答的关键是能够正确利用体积
与表面积公式解题．


< br>14．（5分）（2014?山东）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆
C 截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为 （x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=4 ．

【分析】由圆心在 直线x﹣2y=0上,设出圆心坐标,再根据圆与y轴相切,得到圆心
到y轴的距离即圆心横坐标的绝对 值等于圆的半径,表示出半径r,由弦长的一半,
圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方 程,求出方程的解得到t的
值,从而得到圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可．

【解答】解:设圆心为（2t,t）,半径为r=|2t|,

∵圆C截x轴所得弦的 长为2
∴t
2
+3=4t
2
,

∴t=±1,

∵圆C与y轴的正半轴相切,

,

∴t=﹣1不符合题意,舍去,

故t=1,2t=2,

∴（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=4．

故答案为:（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=4．

【点评】此题综合考查了垂径定理,勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意
设出圆心坐标,找出圆的 半径是解本题的关键．



15．（5分）（2014?山东）已知双曲线 ﹣=1（a＞0,b＞0）的焦距为2c,右顶
点为A,抛物线x
2
=2py（p＞0 ）的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为
2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 y=±x ．

【分析】求出双曲线的右顶点A（a,0）,拋物线x
2
=2 py（p＞0）的焦点及准线方
程,根据已知条件得出
近线方程为:y=±x．

【解答】解:∵右顶点为A,

∴A（a,0）,

∵F为抛物线x
2
=2py（p＞0）的焦点,

F,

及,求出a=b,得双曲线的渐
∵|FA|=c,

∴


抛物线的准线方程为
由得,

,

由①②,得
∵c
2
=a
2
+b
2
,

=2c,即c
2
=2a
2
,

∴a=b,

∴双曲线的渐近线方程为:y=±x,

故答案为:y=±x．

【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．



三.解答题共6小题,共75分

16．（12分）（2014?山东）海关对同时从 A,B,C三个不同地区进口的某种商品进
行抽样检测,从各地区进口此商品的数量（单位:件）如表所 示．工作人员用分层
抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．

地区

A

B

C

数量

50

150

100

（Ⅰ）求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量；

（Ⅱ）若在这6件样品中随 机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商
品来自相同地区的概率．

【分析 】（Ⅰ）先计算出抽样比,进而可求出这6件样品来自A,B,C各地区商品的
数量；

（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数,及这2件商品来自
相同地区的事件个数, 代入古典概型概率计算公式,可得答案．

【解答】解:（Ⅰ）A,B,C三个地区商品的总数量为50+150+100=300,

故抽样比k==,

×50=1；

×150=3；

×100=2；

=15个不同的基本事件；

故A地区抽取的商品 的数量为:
B地区抽取的商品的数量为:
C地区抽取的商品的数量为:
（Ⅱ）在这6件 样品中随机抽取2件共有:
且这些事件是等可能发生的,

记“这2件商品来自相同地区”为事件A,则这2件商品可能都来自B地区或C地区,

则A中包含=4种不同的基本事件,

故P（A）=,

．

即这2件商品来自相同地区的概率为
【点评】本题考查的知识点是分层抽样,古典概型概率计算公式,难度不大,属于基
础题．



17．（12分）（2014?山东）△ABC中,角A,B,C所对的边分别为 a,b,c．已知
a=3,cosA=,B=A+．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA,进而利用A 和B的关系求得sinB,最后利用正
弦定理求得b的值．

（Ⅱ）利用sinB,求 得cosB的值,进而根两角和公式求得sinC的值,最后利用三角
形面积公式求得答案．

【解答】解:（Ⅰ）∵cosA=
∴sinA=
∵B=A+．

）=cosA=
=
×
,

=3．

,

=,

,

∴sinB=sin（A+
由正弦定理知
∴b=?sinB=
（Ⅱ）∵sinB=
∴cosB=﹣
,B =A+
=﹣,

＞

sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A +B）=sinAcosB+cosAsinB=
∴S=a?b?sinC=×3×3×=．

×（﹣）+×=,

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角 三角函数关系,

三角函数恒等变换的应用,注重了基础知识的综合运用．



18 ．（12分）（2014?山东）如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥
BC,AB =BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点．

（Ⅰ）求证:AP∥平面BEF；

（Ⅱ）求证:BE⊥平面PAC．


【分析】（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形,可得O是AC的中点,利用F为线
段PC的中点,可得PA∥OF,从而可证AP∥平面BEF；

（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC,即可证明BE⊥平面PAC．

【解答】证明:（Ⅰ）连接CE,则

∵AD∥BC,BC=AD,E为线段AD的中点,

∴四边形ABCE是平行四边形,BCDE是平行四边形,

设AC∩BE=O,连接OF,则O是AC的中点,

∵F为线段PC的中点,

∴PA∥OF,

∵PA?平面BEF,OF?平面BEF,

∴AP∥平面BEF；

（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形,

∴BE∥CD,

∵AP⊥平面PCD,CD?平面PCD,

∴AP⊥CD,

∴BE⊥AP,

∵AB=BC,四边形ABCE是平行四边形,

∴四边形ABCE是菱形,

∴BE⊥AC,

∵AP∩AC=A,

∴BE⊥平面PAC．


【点评】 本题考查直线与平面平行、垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,
正确运用直线与平面平行、垂直 的判定是关键



19．（12分）（2014?山东）在等差数列{a< br>n
}中,已知公差d=2,a
2
是a
1
与a
4
的等比
中项．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；
< br>（Ⅱ）设b
n
=a,记T
n
=﹣b
1
+b
2
﹣b
3
+b
4
﹣…+（﹣1）
n
b
n,求T
n
．

,再利用等差数列的通【分析】（Ⅰ）由于a
2< br>是a
1
与a
4
的等比中项,可得
项公式即可得出．

（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得b
n
=a
n
b
=n（n+1）,因此 T
n
=﹣b
1
+b
2
﹣b
3
+b
4
﹣…+（﹣1）
n
n?（n+1）．对
n
=﹣1×（1+1）+2 ×（2+1）﹣…+（﹣1）n分奇偶讨论即可得
出．

【解答】解:（Ⅰ）∵a2
是a
1
与a
4
的等比中项,

∴,

∵在等差数列{a
n
}中,公差d=2,

∴
化为
,即
,解得a
1
=2．

,

∴a
n
=a
1
+（n﹣1）d=2+（n﹣1 ）×2=2n．

（Ⅱ）∵b
n
=a=n（n+1）,

∴T
n
=﹣b
1
+b
2
﹣b
3
+b
4
﹣…+（﹣1）
n
b
n
=﹣ 1×（1+1）+2×（2+1）﹣…+（﹣1）
n
n?
（n+1）．
当n=2k（k∈N
*
）时,b
2k
﹣b
2k
﹣
1
=2k（2k+1）﹣（2k﹣1）（2k﹣1+1）=4k

T
n=（b
2
﹣b
1
）+（b
4
﹣b
3
） +…+（b
2k
﹣b
2k
﹣
1
）

=4（1+2+…+k）=4×
当n=2k﹣1（k∈N
*
）时,

T
n
=（b
2
﹣b
1
）+（b
4
﹣b
3
）+…+（b
2k
﹣
2
﹣b
2k
﹣
3
）﹣b
2k
﹣
1

=
=﹣．

n（n+1）

=2k（k+1）=．

故T
n
=．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及 其前n项和公式、分类讨
论思想方法,属于中档题．



20．（13分）（2014?山东）设函数f（x）=alnx+,其中a为常数．

（Ⅰ）若a=0,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义,曲线y= f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f（1）
=f′（1）（x﹣1）,代入计算即可．
< br>（Ⅱ）先对其进行求导,即,考虑函数g（x）=ax
2
+（2a+2）x+a,
分成a≥0,﹣＜a＜0,a≤﹣三种情况分别讨论即可．

【解答】解:
（Ⅰ）当a=0时,
,

,f′（1）=,f（1）=0

∴曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）．

（Ⅱ） （1）当a≥0时,由x＞0知f′（x）＞0,即f（x）在（0,+∞）上单调递增；

（2）当a＜0时,令f′（x）＞0,则
令f′（x）＜0,则< br>＞0,整理得,ax
2
+（2a+2）x+a＞0,

＜0,整理得,ax
2
+（2a+2）x+a＜0．

,对称轴方以 下考虑函数g（x）=ax
2
+（2a+2）x+a,g（0）=a＜0.
程．

①当a≤﹣时,△≤0,∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）

②当﹣＜a＜0时,此时,对称轴方程
∴g（x）=0的两根一正一负,计算得

当0＜x＜
当x＞
综合（1）（2）可知,

当a≤﹣时,f（x）在（0,+∞）上单调递减；

当﹣＜a＜0时,f（x）在（0,
∞）上单调递减；

当a＞0时,f（x）在（0,+∞）上单调递增．

【点评】导数是高考中极易考察 到的知识模块,导数的几何意义和导数的单调性
是本题检查的知识点,特别是单调性的处理中,分类讨论 是非常关键和必要的,分
类讨论也是高考中经常考查的思想方法．


21．（14分）（2014?山东）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
的离心率为,直线y= x被椭圆C截得的线段长为．

+=1（a＞b＞0）
）上单调递增,在（,+
时,g（x）＞0；

时,g（x）＜0．

＞0,

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不是椭圆C的顶点）．点D在
椭圆C上, 且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点．

（i）设直线BD,AM的斜率 分别为k
1
,k
2
,证明存在常数λ使得k
1
=λk
2
,并求出λ的值；

（ii）求△OMN面积的最大值．

【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程 联立后求
出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b的值,则椭
圆方程可求；

（Ⅱ）（i）设出A,D的坐标分别为（x
1
,y
1
）（x
1
y
1
≠0）,（x
2
,y
2）,用A的坐标表示
B的坐标,把AB和AD的斜率都用A的坐标表示,写出直线AD的方程,和椭 圆方程
联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和,求出AD中点坐标,则BD斜率可
求, 再写出BD所在直线方程,取y=0得到M点坐标,由两点求斜率得到AM的斜率,
由两直线斜率的关系 得到λ的值；

（ii）由BD方程求出N点坐标,结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN 的面积,
然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值．

【解答】解:（Ⅰ）由题意知,
∴椭圆C的方程可化为x
2
+4y
2
=a
2
．
将y=x代入可得
因此
则b=1．

∴椭圆C的方程为；

,

,解得a=2．

,则a
2
=4b
2
．

（Ⅱ）（i）设A（x1
,y
1
）（x
1
y
1
≠0）,D（x
2
,y
2
）,

则B（﹣x
1
,﹣y
1
）．

∵直线AB的斜率
又AB⊥AD,

∴直线AD的斜率
设AD方程为y=kx+m,

由题意知k≠0,m≠0．

联立,得（1+4k
2
）x
2
+8kmx+4m
2
﹣4=0．

．

,

∴
因此
由题意可得
．

．

．

∴直线BD的方程为
令y=0,得x=3x
1
,即M（3x
1
,0）．

可得
∴
．

,即．

使得结论成立．

．

因此存在常数
（ii）直线BD方程为
令x=0,得,即N（）．

,

由（i）知M（3x
1
,0）,

可
S=
当且仅当
得△
=
时等号成立．

OMN的面
．

积为
∴△OMN面积的最大值为．

【点评】本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直
线与曲线联立,根据 方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方
法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要 求考试具备较强的运算推理的能力,是
压轴题．

参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz；任老师；qiss ；maths；sxs123；刘长柏；
wdnah；豫汝王世崇；wsj1012；沂蒙松（排名不分 先后）

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2017年3月24日