我懂得了孝敬父母-打保龄球
2016
年黑龙江省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题： 本题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知
在复平面内对应的点在第四象限，则实数
的取值范围是
（
）
A.
B.
C.
D.
2.
已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
3.
已知向量
，
，且
，则
A.
B.
C.
D.
4.
圆
的圆心到直线
的距离为
，则
D.
C.
A.
B.
5.
如图，小明从街道的
处出发，先到
处与小红会合，再一起到位于
处的老年公寓
参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（
）
A.
B.
C.
D.
6.
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
7.
若将函数
的图象向左平移
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（
）
A.
试卷第
1
页，总
22
页
B.
C.
D.
8.
中国古代有计算多项式值的 秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程
序框图，若输入的
，
，依次输入的
为
，
，
，则输出的
A.
B.
C.
D.
9.
若
，则
A.
B.
C.
D.
10.
从区间
随机抽取
个数
，
，
…
，
，
，
，
…
，
构成
个数对
，
…
，其中两数的平方和小于
的数对共有
个，则用随机模拟的方法得到
的圆周率
的近似值为（
）
A.
11.
已知
，
是双曲线
的左、右焦点，点
在
上，
与
轴垂直，
，则
的离心率为（
）
A.
12.
已知函数
满足
，若函数
B.
C.
D.
B.
C.
D.
与
图象的交点
为
，
，
…
，
，则
A.
B.
C.
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分．
D.
13.
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，
，则
试卷第
2
页，总
22
页
________
．
14.
，
是两个平面，
，
是两条直线，有下列四个命题：
①
如果
，
，
，那么
．
②
如果
，
，那么
．
③
如果
，
，那么
．
④
如果
，
，那么
与
所成的角和
与
所成的角相等．
其中正确的命题是
________
（填序号）
15.
有三张卡片，分别写有
和
，
和
，
和
．甲，乙，丙三人各取走一张卡片， 甲
看了乙的卡片后说：
“
我与乙的卡片上相同的数字不是
”
，乙看了丙的卡片后说：
“
我
与丙的卡片上相同的数字不是
”
，丙说：
“
我的卡片上的数字之和不是
”
，则甲的卡片
上的数字是
________
．
16.
若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
________
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
为等差数列
的前
项和，且
，
，记
，其中
表示不超
过
的最大整数，如
，
．
（
1
）求
，
，
；
（
2
）求数列
的前
项和．
18.
某保险的基本保费为
（单 位：元）
，继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人
本年度的保费与其上年度出险次数的关 联如下：
上年度出险次数
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
概率
（
1
）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（
2
）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
的概率；
（
3
）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19.
如图，菱形
的对角线
与
交于点
，
，
，点
，
分别在
，
上，
，
交于
于点
，将
沿
折到
的位置，
．
试卷第
3
页，总
22
页
（
1
）证明：
平面
；
（
2
）求二面角
的正弦值．
20.
已知椭圆
的焦点在
轴上，
是
的左顶点，斜率为
的直线交
于
，
两点，点
在
上，
．
（
1
）当
，
时，求
的面积；
（
2
）当
时，求
的取值范围．
21.
讨论函数
的单调性，并证明当
时，
；
证明：当
时，函数
，求函数
的值域．
请考生在第
22
～
24
题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
.[
选修
4-
1
：几何证明选讲
]
22.
如图，在正方形
中，
，
分别在边
，
上（不与端点重合）
，且
，过
点作
，垂足为
．
有最小值．设
的最小值为
（
1
）证明：
，
，
，
四点共圆；
（
2
）若
，
为
的中点，求四边形
的面积．
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]
23.
在直角坐标系
中，圆
的方程为
．
（
1
）以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
的极坐标方程；
（
2
）直线
的参数方程是
（
为参数）
，
与
交与
，
两点，
，求
的斜率．
试卷第
4
页，总
22
页
[
选修
4-5
：不等式选讲
]
24.
已知函数
，
为不等式
的解集．
（
1
）求
；
（
2
）证明：当
，
时，
．
试卷第
5
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22
页
参考答案与试题解析
2016
年黑龙江省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题： 本题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．
【解答】
解：
在复平面内对应的点在第四象限，
可得：
，解得
．
故选：
．
2.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
一元二次不等式的解法
【解析】
先求出集合
，
，由此利用并集的定义能求出
的值．
【解答】
解：∵
集合
，
，
∴
．
故选：
．
3.
【答案】
D
【考点】
平面向量的基本定理
【解析】
求出向量
的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于
的方程，解得答案．
【解答】
∵
向量
，
，
∴
，
又∵
，
试卷第
6
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22
页
∴
，
解得：
，
4.
【答案】
A
【考点】
圆的一般方程
点到直线的距离公式
【解析】
求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】
解：圆
的圆心坐标为：
，
故圆心到直线
的距离
解得：
，
故选：
．
5.
【答案】
B
【考点】
排列、组合的实际应用
分步乘法计数原理
【解析】
从
到
最短的走法，无论怎样走，一定包括
段，其中
段方向相同，另
段方向相同，
每种最短走法，即是从
段中选出
段走东向的，选出
段走北向的，由组合数可得最短
的走法，同理从
到
，最短的走法，有
种走法，利用乘法原理可得结论．
【解答】
解：从
到
，每条东西向的街道被分成
段，每条南北向的街道被分成
段，
从
到
最短的走法，无论怎样走，一定包括
段，其中
段方向相同，另
段方向相同，
每种最短走法，即是从
段中选出
段走东向的，选出
段走北向的，故共有
种走
法．
同理从
到
，最短的走法，有
种走法．
∴
小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
种走法．
故选：
．
6.
【答案】
C
【考点】
由三视图求面积、体积
【解析】
空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是
，圆锥的高是
，
在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定 理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱
的底面直径是
，圆柱的高是
，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【解答】
解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是
，圆锥的高是
，
∴
在轴截面中圆锥的母线长是
，
试卷第
7
页，总
22
页
，
∴
圆锥的侧面积是
，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是
，圆柱的高是
，
∴
圆柱表现出来的表面积是
∴
空间组合体的表面积是
，
故选：
．
7.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的奇偶性
函数
y=Asin
（
ωx+φ
）的图象变换
【解析】
利用函数
的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
【解答】
将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
，
由
得：
，
即平移后的图象的对称轴方程为
8.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
，
根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
的值，模拟
程序的运行过程，可得答案．
【解答】
解：因为输入的
，
，
当输入的
为
时，
，
，不满足退出循环的条件；
当再次输入的
为
时，
，
，不满足退出循环的条件；
当输入的
为
时，
，
，满足退出循环的条件；
故输出的
值为
，
故选
.
9.
【答案】
D
【考点】
二倍角的余弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
利用诱导公式化
，再利用二倍角的余弦可得答案．
【解答】
解：∵
，
试卷第
8
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22
页
∴
.
故选
．
10.
【答案】
C
【考点】
几何概型
【解析】
以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率
的近似值．
【解答】
解：由题意，
故选：
．
11.
【答案】
A
【考点】
双曲线的性质
【解析】
设
，则
，利用勾股定理，求出
，利用
，求得
，∴
．
，可得
，求出
，即可得出结论．
【解答】
解：设
，则
，
∵
与
轴垂直，
∴
，
∴
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
试卷第
9
页，总
22
页
故选：
．
12.
【答案】
B
【考点】
抽象函数及其应用
【解析】
由条件可得
，即有
关于点
对称，又函数
，即
的图象关于点
对称，即有
为交点，即有
也为交点，计算即可
得到所求和．
【解答】
解：函数
满足
，
即为
，
可得
关于点
对称，
函数
，即
的图象关于点
对称，
即有
为交点，即有
也为交点，
为交点，即有
也为交点，
…
则有
．
故选
．
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分．
13.
【答案】
【考点】
解三角形
【解析】
运用同角的平方关系可得
，
，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得
，
运用正弦定理可得
【解答】
，代入计算即可得到所求值．
试卷第
10
页，总
22
页
解：由
，
，可得
，
，
由正弦定理可得
，
．
故答案为：
．
14.
【答案】
②③④
【考点】
命题的真假判断与应用
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据空间直线与平面 的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，
可得答案．
【解答】
解：
①
如果
，
，
，那么
，故错误；
②
如果
，则存在直线
，使
，由
，可得
，那么
．故正确；
③
如果
，
，那么
与
无公共点，则
．故正确；
④
如果
，
，那么
，
与
所成的角和
，
与
所成的角均相等．故正确
.
故答案为：
②③④.
15.
【答案】
和
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着
和
，或
和
，分别讨论这两种情况，根据甲
和乙的说法可分 别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】
（
1
）若丙的卡片上写着
和
，根据乙的说法知，乙的卡片上写着
和
∴
根据甲的
说法知，甲的卡片上写着
和
若丙的卡片上写着
和
，根据乙的说法知，乙的
卡片上写着
和
又甲说，
“
我与乙的卡片上相同的数字不是
”
（
4
）∴
甲的卡片上
写的数字不是
和
，这与已知矛盾（
5
）∴
甲的卡片上的数字是
和（
3
）
故答案为：
和（
3
）
16.
【答案】
【考点】
试卷第
11
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22
页
我懂得了孝敬父母-打保龄球
我懂得了孝敬父母-打保龄球
我懂得了孝敬父母-打保龄球
我懂得了孝敬父母-打保龄球
我懂得了孝敬父母-打保龄球
我懂得了孝敬父母-打保龄球
我懂得了孝敬父母-打保龄球
我懂得了孝敬父母-打保龄球
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