-
第一章
质点运动学
本章提要
1
、
参照系：描述物体运动时作参考的其他物体。
2
、
运动函数：表示质点位置随时间变化的函数。
?
?
?
?
?
r<
/p>
?
r
(
t
)
?
x
(
t
)
i
?
< p>y(
t
)
j
?
z
(
t
)
k
位置矢量：<
/p>
位置矢量：
?
r
?
r
(
t
?<
/p>
?
t
)
?
r
(
t
)
一般
情况下：
?
r
?
?
r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
v
d
< br>2
r
?
d
r
?
3
、
速度和加速度
：
v
?
；
a
?
dt<
/p>
dt
2
dt
2
4
、匀加速运动：
a
?
常矢量
；
v
?
v
0
?
a
t< /p>
r
?
v
0
t
?
1
2
a
t
2
2
2
at
v
?
v
5
、一维匀加速运动：
< p>v
?
v
0
?
at
；
x
?
v
0
t
?
1
0
?
2
ax
2
?
?
?
?
?
?
?
6
、抛体运动：
a
x
?
0
；
a
y
?
?
g
v
x
?
v
0
cos
?
；
v
y
?
v
0
sin
?
?
gt
2
x
?
v
0<
/p>
cos
?
t
；
y
?
v
0
sin
?
t
?
1
2
gt
7
、圆周运动：
a
?
a
n
?
a
t
?
?
?
v
2
?
R
?
2
法向加速度：
a
n
?
R
dv
dt
?
?
?
8
、伽利略速度变换式：
v
?
v
?
?
u
切向加速度
：
a
t
?
【典型例题分析与解答】
1.
如图所示
,
湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为
h
，滑 轮到原
船位置的绳长为
l
。
当人以匀速
v
拉绳，船运动的速度
v
?
为多少
解：取如图所示的坐标轴
,
由题知任一时刻由船到滑轮的绳长为
l=l
0
-vt
则船到岸的距离为：
x
?
l
2
-h
2
?
(
l
0
-vt
)
2
-h
2
因此船的运动速率为：
v
?
dx
?
dt
v
v
v
h
2
l
v
o
?
?
h
l
?
?
?
l
?
vt<
/p>
?
?
?
0
?
x
?
?
?
?
2
2.
一质点具有恒定的加速度
a
?
(
6
i
?
4
j
)
m/s
,
在
t=0
时刻
,
其速度为零
,
位置矢量
r
?
10
i
(m).
求
:(1)
在任意时刻的速度和位置矢量
;(2)
质点在
xoy< /p>
平面的轨迹方程
,
并画出轨迹的示意图
.
< p>
?
?
d
v
解
. (1)
由加速度定义
a
?
,
根据初始条件
t
0
=0
v
0
=0
可得
dt
?
?
v
?
t
?
t
< p>
?
d
v
?
?
a
dt
?
?
(
6
i
?
4
j
)dt
0
0
0
?
?
v
?
(
6
t
i
?
4
t
j
)
m
/
s
?
?
< br>?
?
?
d
r
r
?
r
0
?
10
i
由
及
t
0
=0
v
?
dt
?
?
?
?
2
2
2
2< /p>
r
?
r
0
?
3
t
i
?<
/p>
2
t
j
?
[(
10
?
3
t
)
i
?
2
t
j< /p>
]
m
(2)
由以上可得质点的运动方程的分量式
x=x(t) y=y(t)
即
x=10+3t
y=2t
消去参数
t,
得质点运动的轨迹方程为
3y=2x-20
这是一个直
线方程
.
由
r
0
?
10
i
m
知
x
0
=10m,y
0
=0.
而直线斜率
k
?
dy/dx
?
tga
?
则
a
?
33
4
1
?
轨迹方程如图所示
?
2
2
得
?
?
t
?
t
?
?
d
r
?
?
v
dt
?
?
(
6
t
i
?
4
t
j
)< /p>
dt
r
r
0
0
0
y
3y=2x-20
?
?
10
X
2
,
3
2
3.
质点的运动 方程为
x
?
-
10
t
?
30
t
和
y
?
15
t-
20
t
,(SI)
试求
:(1)
初速度的大小和方向
;(2)
加
2
速度的大小和方向
.
解
.(1)
速度的分量式为
v
x
?
dx/dt
?
-
10
?
60
t
< br>
v
y
?
dy/dt
?
15
-
40
t
当
t=0
时
,v
0x
=-10m/s,v
0y
=15m/s,
则初速度的大小为
v
0
?
而
v
< br>0
与
x
轴夹角为
a
?
arctg
v
0
x
?
v
0
y
?
18
.
0
m/s
2
2
v
0
y
v
0
x
?
123
?
4
1
?
dv
y
dv
x
-
2
?
40
ms
-
2
(2)
加速度的分量式为
a
x
?
?
60
ms
a
y
?
dt
dt
则其加速度的大小为
a
?
2
a
x
?
a
2
1
ms
-2
y
?
72
.
a
与
x
轴的夹角为
?
?
arctg
a
y
a
x
?
-
33
?
4
1
?
(
或
326
?
1
9
?
)
4.
一质点以
25m/s
的速度沿与水 平轴成
30
°角的方向抛出
.
试求抛出
< p>5s后
,
质点的速度和距抛出点
的位
置
.
解
.
取质点的抛出点为坐标原点
.
水平方向为
x
轴竖直方向为
y
轴
,
质点抛出后作抛物线运动
,
其速度为
v
x
?
v
0
cos
?
< /p>
v
y
?
v
0
sin
?
?
gt
则
t=5s
时质点的速度为
v
x
=s
v
y
=s
质点在
x,y
轴的位移分别为
Y
v
0
v
y
v
x
X
gt
2
x=v
0x
t=
y
?
v
0
y
t-
?
-
60
.
0
m
2
?<
/p>
?
?
?
?
质点在抛
出
5s
后所在的位置为
r
?
x
i
?
y
j
?
(
108
.
25
i
-
60
.
0
j
)
m
5.
两辆小车
A
、
B
沿
X
轴行驶
,
它们离出发点的距离分别为
< p> XA=4t+t, XB= 2t
+2t
(SI)
问
:(1)
在它
们刚离开出发点时
,
哪个速度较大
(2)
两辆小车出发后经过多少时间才能相遇< /p>
(3)
经过多少时间小车
A
和
B
的相对速度为零
解
.(1)
v
A
?
dx
A
/dt
?< /p>
4
?
2
t
2
2
3
v
B
?
dx
B
/dt
?
4
t
?
6
t
2
当
t=0
时
, v
A
=4m/s
v
B
=0
因此
v
A
>
v
B
(2)
当小 车
A
和
B
相遇时
, x
A
=x
B
即
4
t
?
t
?
2
t
?
2
t
解得
t=0
、
(
无意义
)
(3)
小车
A
和
B< /p>
的相对速度为零
,
即
v
A
-v
B
=0
3t
+t-2=0
解得
t= . -1s(
无意义
).
2
2
2
3
第二章
质点力学（牛顿运动定律）
本章提要
1
、牛顿运动定律
?
?
牛顿第一定律
F
?
o
时
v
?
常矢量
< br>?
?
?
?
?
牛顿第二定律
F
?<
/p>
m
a
?
ma
x
i
?
ma
y
i
?
ma
< br>z
k
牛顿第三定律
F
?
?
F
'
2
、技术中常见的几种力：
重力
P
?<
/p>
m
g
弹簧的弹力
f
?
?
kx
压力和张力
滑动摩擦力
f
k
?
?
k
N
静摩擦力
f
s
?
?
s
N
3
、基本自然力：万有引力、弱力、电磁力、强力。
4
、用牛顿运动定律解题的基本思路：
认物体
?
看运动
?
查受力（画示力图）
?
列方程
5
、国际单位制（
SI
）
量纲：表示导出量是如何由基本量组成的幂次式。
?
?
?
?
【典型例题分析与解答】
1.
一木块在与水平面成
a
角的斜面上 匀速下滑
.
若使它以速度
v
0
沿此斜面向上滑动
,
如图所示
.< /p>
证
y
x
明它能沿该斜面向滑动的距离为<
/p>
v
02
/4gsina.
证
.
选如图所示坐标
,
当木块匀速下滑时
,
由牛顿第二定理有
v
0
mgsina-f =0
因此木块受到的摩擦阻力为
f = mgsina (1)
当木块上行时
,
由牛顿第二定律有
- mgsina - f=ma (2)
联立
(1)(2)
式可得
a= -2gsina
F
N
f
F
N
P
f
P
a
式中负号表示木块沿斜面向上作匀减速直线运动
.
木块以初速
v
0
开始向上滑至某高度时
,v=0,< /p>
由
v
=v
0
+2as
可得木块上行距离为
s=-v
0
/2a=v
0
/4gsina
2.
如图所示
,
已知
F=
×
10
N,m1=
×
10
kg,m2=
×
10
kg
两物体与平面 间的摩擦系数为
,
设滑轮与绳间的
摩擦系数均不计算
.
求质量
m
2
物体的
速度及绳对它的拉力
.
解
< p>.如图所示
,
设
m
2
的加速度为
a
2
,m<
/p>
1
的加速度
为
a
1
.
由牛顿第二定律分别列出
m
1
,m
2
的运动方
m
2
程为
N
2
m
1
4
3
3
2
2
2
2
a
1
F
T
2
?
T
2
T
1
?
N
1
F
m
1
g
F-T
1
-
?
m
1
g
?
< br>m
1
a
1
T
2
-
?
m
2
g
?
m
2
a
2
f
2
m
2
g
T
2
?
T
1
f
1
由于滑
轮质量、滑轮与绳之间的摩擦力不计
,
则有
T
1
'-T
2
'
0
考虑到
T
1
'
?
T
1
,T
2
'
?
T
2
,
且绳子不被拉长
,
则有
a
2
?<
/p>
2
a
1
联立上述各式
,
可得
a
2
?
2
F-
2
?
g
(
2
m
2
?
m
1
)
?
4
.
78
m.s
-
2
4
m
< p>2
?
m
1
4
T
2
?
m
< br>2
(
?
g
?
a
2
)
?
1
.
35
?
10
N
3.
在一只半径为
R
的半球形碗内
,
有一粒质量为
m
的小钢球
.
< p>当小钢球以角速度ω在水平面内沿碗内
壁作匀速圆周运动时
,
它距碗底有多高
解
.
如图所示
,
钢球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动
.
当它距碗底高为
2
2
h
时
,
其向心加速度为
a
n
?
r
?<
/p>
?
R
?
sin<
/p>
?
，钢球所受到的作用力为重力
P
和碗壁对球的
支持力
N,
其合力就是钢 球匀速圆周运动所需的向心力
F.
由图
有
F
?
N
sin
?
?
mR
?
sin
?
R
`
则
N
?
mR
?
(1)
2
2
N
θ
h
F
P
θ
考虑到钢球在垂直方向受力平衡
,
则有
N
cos
?
?
P
?
mg
(2)
由图可知
cos
?
?
(
R-h
)
/R
.
故有
h
?
R- g/
?
2
4.
一质量为
m
< p>的小球最最初位于如图所示的A
点
,
然后沿半 径为
r
的光滑圆弧的内表面
ADCB
下滑
.
试求小球在点
C
时的角速度和对圆弧表面的作用 力
.
解
.
< p>取图所示的坐标系,
小球在运动过程中受重力
P
和圆弧内表面的作用力
N.
由牛顿第二定律得小
球在切
向方向运动方向方程为
F
t
?
ma
t
即
-mg
s in
a
?
mdv/dt
由
v
?
ds /dt
?
rd
?
/dt
可得
dt
?
rd
?
/v
.
将其代入上式后
,
有
vdv
?
-rg
sin
?
d
?
根据小球从<
/p>
A
运动到
C
的初末条件对上式两边进行积分
,
则有
D
A
O
B
a
r
C
?
v
0
vdv
?
?
?
(
rg
sin
?<
/p>
)
d
?
得
v
?
2
rg
cos< /p>
?
2
?
小球在
C
点的角速度为
< br>?
?
v/r
?
2
g
cos
?
/r
a
n
a
t
a
mg
小球在法线方向的运动方程为
F
n
=ma
n
即
N-mg
cos
?
?
mv
/r
?
2
mg
cos
?
由此得小球对圆弧的作用力为
N'
?
-N
?
-
3
< p>mgcos
?
5
.
有一个可以水平运动的倾角为α的斜面
,
斜面上放一质量为
m
的物体
,
物体与斜面间的静摩擦系数
为μ
,
如果要使物体在斜面上保持静止
,
斜面的水平加速度应如何
解
.
物体
m
在斜面上保持静止
,
因而具有和斜面相同的加速度< /p>
a.
可以直观的看出
,
如果斜面的加速度
< p>太小
,
则物体将向下滑
;
如果斜面的 加速度过大
,
则物体会向上滑
.
(1)
假定物体静止在斜面上
,
但有向下滑的趋势
;
物体受力分析如图
(1)
所示
,
由牛顿运动定律有
y
N
a
f
2
a
mg
x
f
cos
?
-N
sin
?
?
m
(
-a
)
f
sin
?
?
N
cos
?
-mg
?
0
f
?
?
N
则
a
?
sin
a-
μ
cos
a
g
cos
a
?
μ
sin
a
(1)
假定物体静止在斜面上
,
但有向上滑的趋势
;
物体受力分析如图
(2)
所示
,
由牛顿运动定律有
?
f
cos
?
-N
sin
?
?
m
(
-a
)
?
f
s in
?
?
N
cos
?
-mg
?
0
y
N
a
-f
a
mg
x
sin
a
< br>?
μ
cos
a
g
cos
a
?
< br>μ
sin
a
sin
a-
< p>μcos
a
sin
a
?
μ
cos
a
故
g
?
a
?
g
cos
a
?<
/p>
μ
sin
a
cos
a
?
μ
sin
a
f
?
?
N
则
a
?
第三章
功与能
本章提要
1
、功：
< p>dW
?
F
?
d
r
B
?
B
?
B
W
?
dW
?
F
?
d
r
?
F
cos
?
dr
?
?
?
?
?
(
F
x
dx
?
f
y
dy
?
f
z
dz
A
A
A
?
?
2
2
、< /p>
动能定理：
W
?
1
mv
2
2
2
< br>
?
1
mv
1
2
3
、保守力与非保守力：
W
< br>?
?
L
?
?
?
?
F
保
?
d
r
?
0
< br>W
?
?
F
非
?
d
r
?
0
L
4
、势能：对保守内力可以引入势能概念
万有引 力势能：
E
p
?
?
G
m
1
m
2
以两质点无穷远分离为势能零点。
r
重力势能：
E
p
?
mgh
以
物体在地面为势能零点。
弹簧的弹性势能：
E
p
?
1
以弹簧的自然伸长为势能零点。
2
kx
2
5
、机械能受恒定律：在只有保守内 力做功的情况下，系统的机械能保持不变。
1
、用力推 地面上的石块
.
已知石块的质量为
20kg,
力的 方向和地面平行
.
推力随位移的增加而线性
增加
,
即
F=6x(SI).
试求石块由
x< /p>
1
=16m
移到
x
2
=
20m
的过程中
,
推力所作的功
.
解
.
由于推力在作功过程中是一变力
,< /p>
按功的定义有
W
?
?
x
2
x
< br>1
?
?
20
F
?
d
x
?
?
6
xdx
?
3
(
20
2
-
16
2
)
?
432
J
16
2
、
一颗速率为
700m/s
的子弹
,
打穿一木块后速率降为
500m/s.
如果让它继续穿过与第一 块完全相同
的第二块木板
.
求子弹的速率降到多少
解
.
由动能定理可知
,
子弹穿过第一块和第二块木板时克服阻力所作的功分别为
2<
/p>
1
2
W
1
?
1
2
mv
2
-
2
mv
1
W
2
?
mv
-
mv
1
2
2
3
1
2
2
2
式中
v
1
为子弹初速率
,v
2
为穿过第一块木板后的速率
,v
3
为穿过第二块木板后的速率
.
由题意知两块木
板
完
全
相
同
,
因
此
子
弹
穿
过
木< /p>
板
过
程
中
克
服
阻
力
所
作
的
功
< p>可认
为
相
等
,
即
W
1
=W
< br>2
,
故
有
1
2
2
1
< br>2
1
2
mv
2
-
2
mv
1
2
?
1
2
mv
3
-
2<
/p>
mv
2
由此得子弹穿过第二块木板后的速率为
v
3
?
2
2
v
2
-v
1
2
?
100
m/s
3
、
.
用铁锤把钉子敲入木板
.
设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比
.
< p>若第一次敲击能把
钉子打入木板
1.0
?
10
m
.
第二次打击时< /p>
,
保持第一次打击钉子的速度
,
那么第二次能把钉 子打多
-2
深
.
解
.
锤敲钉子使钉子获得动能
.
钉子钉 入木板是使钉子将获得的动能用于克服阻力作功
.
由于钉子所
受阻力
f
与进入木板的深度
x
成正比
,
即
f=kx,
其中
k
为阻 力系数
.
而锤打击钉子时
,
保持相同的速度
,
故钉子两次进入木板过程中所作功也相等
,
所以有
?
0
.
01
0
kxdx
?
?
kxdx
x
?
0
.
0141
m
0
.
01
x
即
钉
子
经
两
次
敲
击
进
入
木
板
的
总
深
度
为
.
由
此
可
知
第
二
次
打
击
使
钉
子
进
入
木
板
的
深
度
为
d
?
x-x
1
?
0
.
0041
m
4
、一半径为
R
< p>的光滑球固定在水平面上.
另有一个粒子从球的最高点由静止沿球面滑下< /p>
.
摩擦力略
去不计
.
求粒子 离开球的位置以及粒子在该位置的速度
.
解
如图所示
,
粒子在光滑球面上滑动时仅受球面支持力
和地球引力
mg
的作用
.
由于
N
始终与球的运动方向垂直
,
故
系
统
机
械
能
守
恒
.
当
粒
子
从
最
高
点
2
mgR
?
1
2
mv
mgR
cos
?
A
滑
至
离
开
球
的
位
置
B
时
,
有
根据牛顿第二定律
,
有
mg
cos
?
?
N
?
而粒子刚好离开时
,N=0.
因此有
1
R
mv
2
A
B
R
θ
o
P
N
mgR
?
1
2
mgR
cos
?
?
mgR
cos
?
则物体刚离开球面处的角位置为
?
?
?
arccos
2
?
48
.
2
3
v
gR
cos
?
?
2
3
Rg
?
?
此时
,< /p>
粒子的速率为
v
?
v
的方向与
P
夹角为
a
?
90
?
?
?
41
.
8
5
、
一劲 度系数为
K
的水平轻弹黉
,
一端固定在墙上
,
另一端系一质量为
M
的物体
A
放在光滑的水平面
上
.
当把弹黉压缩
x
0
后
,
再靠着
A
放一质量为
m
的物体
B,
如图 所示
.
开始时系统处于静止
,
若不计一切
摩擦
.
试求
:(1)
物体
A
和
B
分离时
,B
的速度< /p>
;(2)
物体
A
移动过程中离开
o< /p>
点的最大距离
.
解
.(1 )
以
A
、
B
及弹黉为系统
,
假定
A
、
B
分离时的共同 速度为
v.
由机械能守恒定律
,
有
1
2
2
(
M
?
m
)
v
2
?
1
2
kx
0
则
v
?
K/
(
M
?
m
)
x
0
x
0
A
B
x
(2)
若设
x
为物体
A
离开
o< /p>
点的最大距离
,
2
由系统机械能守恒
,
有
1
2<
/p>
Mv
?
1
2
kx
2
则
x
?
M/
(
M
?
m
)
x
0
第四章
动量
本章提要
1
、动量定理：合外 力的冲量等于质点（或质点系）动量的增量。
F
dt
?< /p>
p
1
?
p
2
对于质点系
p
?
?
?
?
p
i
?
i
<
/p>
2
、动量受恒定律：系统所受合外力为零时，
p<
/p>
?
3
、质心的概念
质心的位矢：
r
c
?
?
?
p
?
i
常矢量。
< br>i
?
?
m
r
?
i
i
i
< br>m
(
1
?
?
1
?
m
r
)
r
r
dm
?
i
i
c
?
?
m
i
m<
/p>
?
?
4
、质心运动定律： 质点系所受的合外力等于其总质量乘以质心的加速度。
F
?
m
a
c
质点系的动量受恒等同于它的质心速度不变。
1
、如图所示
,
质量为
m
、速度为
v
的子弹
,< /p>
射向质量为
M
的靶
,
靶中有一小孔< /p>
,
内有劲度系数为
k
的
弹
黉
,
此靶最初处于静止状态
,
但可在水平面作无摩 擦滑动
.
求子弹射入靶内弹黉后
,
弹黉的最大压缩
距离
.
解
.
质量为
m
的子弹与质量为
M
的靶之间的碰撞是从子弹与固定在靶上的弹黉接触时开始的
,
当弹黉
受到最大压缩时
,M
和
m
具有共同的速度
v
1
,
此时弹黉的压缩量为
x
0
.
在碰 撞过程中
,
子弹和靶组成的
系统在水平方向上无外力作用
,
故由动量守恒定律可得
mv
?
(
m
?
M
)
< p>v
1
(1)
在碰撞过程中
,
系统的机械能守恒
,
有
1
2
2
2
1
mv
2
?
1
2
(
m
?
M
)
v
1
?
2
kx
0
(2)
v
M
m
联立
(1) (2)
式
,
得
x
0
?
2<
/p>
、质量为
7.2
?
10<
/p>
-23
mMv
k
(
m
?
M
)< /p>
kg
、速率为
6.0
?< /p>
10
7
m/s
的粒子
A,
与另一个质量为其一半而静止的粒子
B
发
7
生完全弹性的二维碰撞
,
碰撞后粒子
A
的速率为
5.0
?
10
m/s
.
求
( 1)< /p>
粒子
B
的速率及相对粒子
A
原
来速度方向的偏角
;(2);
粒子
A
< p>的偏转角.
解
.
取 如图所示的坐标
.
当
A
、
B
两粒子发生碰撞时
,
系统的动量守恒
.
在
xoy
平面内的二维直角坐标中
,
有
mv
A1
?
mv
A
2
x
?
1
2
1
mv
B
2
x
?
mv<
/p>
A2
cos
?
?
1
mv
B2
c
os
?
2
2
0
?
m
v
A2<
/p>
sin
?
?
m
< p>v
B2
s
in
?<
/p>
由碰撞前后系统机械能守恒
,
有
y
V
A2
o
v
A1
β
α
V
B2
1<
/p>
2
2
2
1
1
mv
2
A1
?
2
(m/2)v
B2
?
2
mv
A2
则碰撞后粒子
B
的速率为
x
v
B2<
/p>
?
4.69
?
1
0
7
m
/s.
粒子
B
相对于粒子
A
原方向的偏 转角
?
?
54
6'
,
?
粒子
A
的偏转角
a
?
22
3
、
如图所示为一 弹黉振子
,
弹黉的劲度系数为
K,
质量不计
.
有一质量为
m
、
速度为
v
的子弹打入质量
为
M
的物体
< p>,并停留在其中
,
若弹黉被压缩的长度为
x,
物体与平面间的滑动摩擦系数为μ
,
求子弹的
初速度
.
解
.
以< /p>
M
、
m
和弹黉为研究对象
,
系统在水平
方向动量守恒
,
有
mv=(m+M)u (1)
子弹打入物体后
,
在弹黉被压缩 的过程中
,
由功能原理
,
可得
1
2
?
m
2
v
M
(m
?
M)u
?
Kx
?
?
(m
?
M)gx
(2)
2
1
2
联立
(1)(2)
式得
< p>v
?
m
?
M
m
Kx
/(M
?
m)
?
2
?
gx
2
4
、
质量为
m
的物体从斜面上高度为
h
的
A
点处由静止开始下滑
,
滑至水平段< /p>
B
点停止
.
今有一质量为
m
的子弹射入物体中
,
使物体恰好能返回到斜面上的
A
点处
.
求子弹的速率
.
解
.
以地球和物体为研究系统
,
物体从
A
处滑到
B
处
的过程中
,
由功能原理可得摩擦力的功的数值
为
W
f
=mgh
取子弹
和物体为系统
,
子弹射入物体的过程系统
的动量守恒
,
有
mv=2mu
再以地球、物体和子弹为系统
,
由功能原理有
2
2W
< br>f
?
1
-
2mg h
2
(2m)u
A
h
m
B
m
由此可得
v
?
4
gh
< br>
5
、如图所示
,
质量为
m
的小球沿斜坡在
h
处由静止开始无摩擦滑下
,
在最低点与质量为
M
的钢块作
完全
弹性碰撞
.
求
:(1)
碰撞后小球沿斜坡上升的高度
.(2)
若钢块和地面间摩擦系数为μ
,
碰撞后钢块经过多长时间
后停下来
.
解
.
小球沿斜坡滑下过程中系统机械
< /p>
能守恒
mgh
?
1
2
mv
2
A
h
小球
m
以速度
v
在斜坡底端和
M
发生完全弹性碰撞
,
有
m
M
m
v
?
m
v
1
?
Mv
2
1
2
2
2
1
mv
2
?
1
2
mv
1
?
2
Mv
2
2
小球沿斜坡上升过程中系统机械能守恒
,
有
1
2
mv
1<
/p>
?
mgh'
若
钢块
M
在平面上运动经
?
t
秒后停下来
,
由动量定理有
-
?
Mg
?
t
?
0
-
Mv
2
<
/p>
2
m
?
M
?
m
?
2
h
/
g
联立求解 可得
h'
?
?
?
h
?
t
?
?
(
M
?
m
)
?
M
?
m
?
2
第五章
刚体的转动
本章提要：
1
、
刚体的定轴转动：
d
?
dt<
/p>
d
?
角加速度；
?
?
dt
角
速度：
?
?
2
2
2
匀加速转动：
?
?
?
0
?
?
t
?
?
?
0
＝
?
0
t
＋
1
2
?
t
?
?
?
0
?
2
??
2
、
刚体的定轴转动定律：
< p>M
?
J
?
3
、
刚体的转动惯量：
J
?
?
m
r< /p>
i
2
i
i
J
?
r
dm
<
/p>
2
?
2
平行轴定
理
J
?
J
c<
/p>
?
md
4
、
力矩的功：
W
?
?
Md
?
1
2
转动动能：<
/p>
E
k
?
J
?
2
1
2
2
J
?
2
?
1
2
J<
/p>
?
0
刚体定轴
转动的动能定理：
W
?
刚体的重力势能：
E
p
?
mgh
c
机械能守恒定律：只有保守力做功时，
E
k
?
E
p
?
常量
5
、
角动量：
?
?
?
?
质点的角动量：
L
?
r
?
P
?
m
r
?
v
<
/p>
?
d
?
质点的角
动量定理：
M
?
L
dt
质点的角动量守恒定律：
M
?
0
,
L< /p>
?
r
?
m
v
?
常矢量
刚体定轴转动的角动量：
L
?
J
?
刚体定轴转动的角动量定理：
M
?
?<
/p>
?
?
d
L
dt
刚体定轴转动的角动量受恒定理：当合外力矩为
零时
J
?
?
常量
1
、
设某机器 上的飞轮的转动惯量为转动的角速度为
,
在制动力矩的作用下
,< /p>
飞轮经过
20s
匀减速地停
止转动
,
求角加速度和制动力矩
.
解
.
由题意知飞轮作匀减速运动
,
角加速度β应为常量
,
故有
?
?
(
?
-
?
0
)/t
?
(0
-
31.4)/20
?
< br>-1.57rad/s
.
根据转动定律
,
可得制动力矩
M
?
J< /p>
?
?
63.6
?
( -1.57)
?
-99.9N.m
式中负号表示角加速度、制动力矩的方向均与飞轮转动的角速度方向相反
.
2
、
如图
(a)
所示为一 阿脱伍德
(Atwood)
机
.
一细而轻的绳索跨 过一定滑轮
,
绳的两端分别悬有质量为
m
1
和
m
2
的
物体
,
且
m
1
>
m
2
.
设定滑轮是一质量为
M< /p>
、
半径为
r
的圆盘
,
绳的质量不计
,
且绳与滑轮间无相
对运动
.
试求物体的加速度和绳的张力
.
如果略去滑轮的运动
,
将会得到什么结果
解
.
分别作出滑轮
M,
物体
m
< p>1
和
m
2
的受力分析图如图
(b)
所示
.
由于绳索质量不计
,
且长度不变
,
故
m
1
和
m
2
两
物体运动的加速度
a
和
a'
大小相等
,
均为
a,
但方向相反
.
对物体
m
1
和
m
2
以及滑轮
M
分别应用
牛顿第
二定律和转动定律
,
可得
M
a
m
1
T
’
2
P
2
T
2
P
T
1
N
T
’
a
P
1
m
2
m
1
g-T
1
=m
1
a (1)
T
’
2
-m
2
g=m
2
< br>a
’
(2)
(T
1
-
T
2
)r
?
J
?
(3)
而
J
?
1
2
Mr
2
(4)
a
?
r
?
(5)
< /p>
联立
(1)(2)(3)(4)(5)
式
,
可得
a
?
m
1
-
m
2
g
< p>
m
2
?
m
2
?
M/2
2m
2
?
M/2
2m
1
?
M/2
m
l
g
T
2
?
m
< br>2
g
m
2
?
m
2
?
M/2
m
2
?
m
2
?
M/2
T
1
?
如果略去滑轮的
运动
,
即
T
1
=
T
2
=T,
有
a
?
(m
1
-
m
2
)g
2m
1
m
2
g
T
?
T
1
?
T
2
< br>?
m
1
?
m
2
m
1
?
m
2
3
、
质量为
,
长为的均匀细棒
,
可绕垂直于棒的一端的水平轴转动
.
如将此棒放在水平位置
,
然后任其下
落
.
求
:( 1)
在开始转动时的角加速度
;(2)
下落到铅直位置时的动能< /p>
;(3)
下落到铅直位置时的角速度
.
解
.(1)
如图所示
,
棒绕端点
o
的转动惯量
J=m
< br>l
/3.
在水平位置时
,
棒所受的重力矩
Ｍ
=mg
l
/2,
根据转动定律
,
得
?
?
M/J
?
3g/(2
l
)
?
36.8rad.s
-2
< br>2
A
P
(2)
取棒和地球为系 统
,
以棒处于竖直位置时其中
心点
A
处为重力势能零点
.
在棒的转动过程中只有
保守内力作功
,
系统的机械能守恒
.
棒从静止时的水
平位置下落到竖直位置时
,
其动能为
E
k
=mg
l
/2=
(3)
棒在竖直位置时的动能就是此刻棒的转动动能
,
则有
E
k
=1/2 J
ω
,
所以 竖直位置时棒的角速度
为
?
?
2
2E
k
/J
?
3g/
l
?
< br>8.57rad/s
4
、如图所式
,A
、
B
两个轮子的质量分别为
m
1
和
m
2
< br>,
半径分别为
r
1
和
r
2.
另有一绳绕在两轮上
,
并按图
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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