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完全版
概率论与数理统计习题答案
第四版
第一章
概率论的基本概念
1.[
一
]
写出下列随机试验的样本空间
（
1
）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）
（
[
一
] 1
）
o
1
n
?
100
?
S
?
?
?
,
?
?
?
，
n
表小班人数
n
?
?
n
n
（
3
）生产产品直到 得到
10
件正品，记录生产产品的总件数。
（
[< /p>
一
] 2
）
S=
{10
，
11
，
12
，…… …，
n
，………
}
（
4
）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”
，不合格的盖上“次品”< /p>
，
如连续查出二个次品就停止检查，或检查
4
个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“
”
，查出次品记为“
0
”
， 连续出现两个“
0
”就停止检查，或查满
4
次才停止检查。
（
[
一
] (3)
）
S=
{00
，
100
，
0100
，
0101
，
1010
，
0110
，
1100
，
0111
，
1011
，
1101
，
1110
，
1111
，
}
2.[
二
]
设
A
，
B
，
C
为三事件，用
A
，
B
，
C
的运算关系表示下列事件。
（
1
）
A
发生，
B
与
C
不发生。
表示为：
A
B
C
或
A
－
(
AB+AC
)
或
A
－
(
B
∪
C
)
（
2
）
A
，
B
都发生，而
C
不发生。
表示为：
AB
C
或
AB
－
ABC
或< /p>
AB
－
C
表示为：
A+B+C
（
3
）
A
，
B
，< /p>
C
中至少有一个发生
< br>（
4
）
A
，
B
，
C
都发生，
表示为：
ABC
表示为：
A<
/p>
B
C
或
S
－
(
A+B+C)
或
A
?
B
?
C
（
5
）
A
，
B
，
C
都不发生，
（
6< /p>
）
A
，
B
，
C
中不多于一个发生，即
A
，
B
，
C
中至少有两个同时不发生
相当于
A
B
,
B
C
,
A
C
中至少有一个发生。故
< /p>
表示为：
A
B
?
B
C
?
A
C
。
（
7
）
A
，
B
，
C
中不多于二个发生。
相当于：
A
,
B
,
C< /p>
中至少有一个发生。故
表示为：
A
?
B
?
C
或< /p>
ABC
（
8
）< /p>
A
，
B
，
C
中至少有 二个发生。
相当于：
AB
，
< p>BC，
AC
中至少有一个发生。故
表示为：
AB
+
BC
< p>+AC
6.[
三
]
设
A
，
B
是两事 件且
P
(
A
)=0.6
，
P
(
B
)=0.7.
问
(1)
在什么条件下
P
(
AB
)
取到最
大值，最大值是多少？（
2
）在什么条件下
P
(
AB
)
取到最小值，最小值是多少？
解：由
P
(
A
) = 0.6
，
P
(
B
) = 0.7
即知
AB
≠
φ
，
（ 否则
AB
=
φ
依互斥事件加法定理，
P
(
A
∪
B
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)=0.6+0.7=1.3>1
与
P
(
A
∪
B
)
≤
1
< p>矛盾）.
从而由加法定理得
P
(
AB
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)
－
P
(
A
∪
B
)
(*)
（
1
）从
0
≤
P
(
AB
)
≤
P
(
A
)
知，当
AB
=
A
，即
A
∩
B
时
P
(
AB
)
取到最大值，最大值为
P
(
AB
)=
P
(
A
)=0.6
，
（
2
）从
(*)
式知 ，当
A
∪
B=S
时，
P
< p>(AB
)
取最小值，最小值为
P
(
AB
)=0.6+0.7
－
1=0.3
。
7.[
四
]
设
A
，
B
，
C
是三事件，且
< br>P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
C
)
?
P
(
AC
< p>)?
1
.
求
A
，
B
，
C
至少有一个发生的概 率。
8
1
,
P
(
AB
)
?
P
< p>(BC
)
?
0
，
4
解：
P
(
A
，
B
，
C
至少有一个发生
)=
P
(
A
+
B
+
C
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)+
P
(
C
)
－
P
(
AB
)
－
P
(
BC
)
－< /p>
P
(
AC
)+
P
(
ABC
)=
3
1< /p>
5
?
?
0
?
4
8
8
8.[
五
]
在一标准英语字典中具有
55< /p>
个由二个不相同的字母新组成的单词，若从
26
个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？
记
A
表“能排成上述单词”
2
∵
从
26
个任选两个来排列，排法有
A
2
6
种。每种排法等可能。
字典中的二个不同字
母组成的单词：
55
个
∴
P
(
A
)
?
5
5
11
?
2
A
26
130
9.
在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。
< p>（设后面4
个数中的每一个数都是等可能性地取自
0
，
1
，
2
……
9< /p>
）
记
A
表“后四个数全不同”
∵
后四个数的排法有
10
4
种，每种排法等可能。
4
后四个数全不同的排法有
A
10
∴
4
A
10
P<
/p>
(
A
)
?
4
?
0
.
504
10
10.[
六
]
在房间里有
10
人。分别佩代着从
1
号到
10
号的纪念章，任意选
3
人记录
其纪念章的号码。
（
1
）求最小的号码为
5
的概率。
记“三人纪念章的最小号码为
5
”为事件
A
10
?
∵
10
人中任选
3
人为一组：选法 有
?
?
3
?<
/p>
种，且每种选法等可能。
?
?< /p>
5
?
又事件
A
< p>相当于：有一人号码为5
，其余
2
人号码大于
5
。这种组合的种数有
1
?
?
?
2
?
< br>
?
?
∴
5
?
1
?
?
?
2
?
?
?
?
1
P
(
A
)
?
12
?
10
?
?
3
?
?
?
（
2
）求最大的号码为< /p>
5
的概率。
10
?
记“三人中最大的号码为
5
”为事件
B
，同上
10
人中任选
3
人，选法有
?
?
3
?
种，且
?
?
4
?
每种选法等可能，
又事件
B
相当于：
有一人号码为
5
，
< p>其余2
人号码小于
5
，
选法有
1
?
?
?
2
?
?
?
种
4
?
1
?
?
?
2
?
?
?
?
1
< br>P
(
B
)
?
20<
/p>
?
10
?
?
3
?
?
?
< br>11.[
七
]
某油漆公司发出
17
桶油漆，其中白漆
10
桶、黑漆
4
桶，红漆
3
桶。在搬
运中所标笺脱落，交货人
随意将这些标笺重新贴，问一个定货
4
桶白漆，
3
桶黑漆和
2
桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？
记所求事件为
A
。
9
在
17
桶中任取
9< /p>
桶的取法有
C
17
种，且
每种取法等可能。
4
3
2
?
C
4
?
C
3
取得
4
白
3
< p>黑2
红的取法有
C
10
故
4
3
2
C
10<
/p>
?
C
4
?
C
3
252
P
(
A
)
?
?
6
2431
C
17
12.[
八
]
在
15 00
个产品中有
400
个次品，
1100
个正品，任意取
200
个。
（<
/p>
1
）求恰有
90
个次品的概率。
< /p>
记“恰有
90
个次品”为事件
A
< p>
1500
?
∵
在
1500
个产品中任取
200
个，取法有
?
?
200
?
种，每种取法等可能。
?
?
400
?
?
< p>1100
?
种
2 00
个产品恰有
90
个次品，取法有
?<
/p>
?
?
?
?
?
90
?
?
110
?
?
400
?
?
1100
?
?
90
?
?
110
?
?
?
?
P
(
A
)
?
?
?
1500
?
?
200
?
?
?
∴
（
2< /p>
）至少有
2
个次品的概率。
记：
A
表“至少有
2
个次品”
B
0
表“不
含有次品”
，
B
1
表“只含有一
个次品”
，同上，
200
个产品不含次品，取法
< br>1100
?
?
400
?
?
1100
?
< br>有
?
?
200
< br>?
种，
200
个产品含一个次品，取法有
?
1
?
?
199
?
种
?
?
?
?
?
?
< br>∵
A
?
B
0
?
B
1
且
B
0
，
B
1
互不相容。
∴
?
?
1100
?
?
?
200
?
?
?< /p>
?
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)< /p>
?
1
?
[
P
(
B
0
)
?
P
< p>(B
1
)]
?
1
?
?
1500
?<
/p>
?
?
?
200<
/p>
?
?
?
?
?
?
400
?
?
1100
?
?
?
1
?
?
199
?
?
?
?
?
?
?
?
1500
?
?
?
200
?
?
?
?
13.[
九
]
从
5
双不同鞋子中任取
4
只，
4
只鞋子中至少有
2
只配成一双的概 率是多少？
记
A
表“
4
只全中至少有两支配成一对”
则
A
表“
4
只人不配对”
10
?
∵
从
10
只中任取
4
只，取法有
?
?
4
< br>?
种，每种取法等可能。
?
要
4
只都不配对，可在
5
双中任取
4
双，再在
4
双中的每一双里任取 一只。取法有
?
5
?
< br>?
2
4
?
4
?
?
?
< br>?
P
(
A
)
?
4
C
5
?
2
4
4
C
10<
/p>
?
8
21
8
13
?
21
21
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
< p>?1
?
15.[
十一
]
将三个球随机地放入
4
个杯子中去，
问杯子中球的最大个数分别是
1
，
2
，< /p>
3
，的概率各为多少？
记
A
i
表“杯中球的最大个数为
i
个”
i=
1,2,3,
三只
球放入四只杯中，放法有
4
3
种，每种放法等可
能
对
A
1
：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法
4
×
3
×
2
种。
(
选排列 ：好比
3
个球在
4
个位置做排列
)
P
(
A
1
)
?
4
?
3
?
2
6
?
3
16
4
2
?
4
?
3
种。
对
A
2
：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装
两球。放法有
C
3
< br>2
(
从
3
个球中选
2
个球，选法有
C
3
，
再将此两个球放入一个杯中，选法有
4
种，最后将剩余的
1
球放入其余的一个杯中，选法有
3
种。
2
C
3
?
?
3
P
(
A
2
)
?
4
3
?
9
16
对
A
3
：必须三球
都放入一杯中。放法有
4
种。
(
只需从
< p>4个杯中选
1
个杯子，放入此
3
个球，选法有
4
种
)
P
(
A
3
)
?
4
1
?
3
16
4
16.[
十 二
]
50
个铆钉随机地取来用在
10
个部件，
其中有三个铆钉强度太弱，
每个部
件用
3
只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件 强度就太弱，
问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
记
A
表“
10
个部件中有一个部件强度太 弱”
。
法一：用古典概率作：
把随机试验
E
看作是用三个钉一组，
三个钉一组 去铆完
10
个部件
（在三个钉的一组
中不
分先后次序。但
10
组钉铆完
10
个部件要分先后 次序）
3
3
3
3
?
C
47
?
C
44
?
?
?
C< /p>
23
对
E
：铆法有
C
50
种，每种装法等可能
3
3
3
3
?
C
47
?
C
44
?
?
C
23
对
A
：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔
C<
/p>
3
〕
×
10
种
3
3
3
3
[
C
3
?
C
47
?
C
44
?
?
?
C
23
]
?
10
3
3
3
C
50
?
C< /p>
47
?
?
?
?
C
23
P
(
A
)
?
?
1
?
0
.
00051
1960
法二：用古典概率作
把试验
E
看作是在
50
个钉中任选
30
个钉排成一列，
顺次钉下去，
直到把部件铆完。
（铆钉要计先后次序）
3
对
E
：铆法有
A
50
种，每种铆法等可能
对
A
：三支次钉必须铆在“
1
，
2
，
3
”位置上或“
4
，
5
，
< p>6”位置上，…或“
28
，
29
，
3
27
3
27
3
27
3
27
?
A
47
?
A
3
?
A
47
?
?
?
?
A
3
?
A
47
?
10
?
A
3
?
A
47
30
”位置上。这种铆法有
A
3
种
3
27
10
?
A
3
?
A
47
30
A<
/p>
50
P
(
A
)
?
?
1
?
0
.
00051
1960
17.[
十三
]
已知
P
(
A
< p>)?
0
.
3
,
P
(
B
)
?
0
.< /p>
4
,
P
(
A
B
)
?
0
.
5
,
< p>求P
(
B
|
A
?
B
)
。
解一：
P
(
A
)
?
1
?
P
(
A
)
?
0
.
7
,
P
(
B
)
?
1
?
P
(
B
)
?
0
.
6
,
A
?
AS
?
A
(
B
?
B
)
?
AB
?
A
B
注意
(
AB
)(
A
B
)
?
?<
/p>
.
故有
P
(
AB
)=
P
(
A
)
－
P
(< /p>
A
B
)=0.7
－
0.5=0.2
。
再由加法定理，
P
(
A
∪
B<
/p>
)=
P
(
A
)+
P
(
B
)
－
P < /p>
(
A
B
)=0.7+0.6
－
0.5=0.8
于是
P
B
|
A
?
B
)
?
P
[
B
(
< p>A?
B
)]
P
(
AB
)
0
.
2
?
?
?
0
.
25
< br>
P
(
A
?
B
)
P
(
A
?
B
)
0
.
8
解二
P
(
A
B
)
?
P
(
A
)
P
(< /p>
B
|
A
)
?
由已知
?
?
?
05
?
07
?
P
(
B
|
A
)
?
P
(
B< /p>
|
A
)
?
0
.
5
5
2
1
?
P
(
B
|
A
)
?
故
P
(
AB
)
?
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
?
0
.
7
7
7
5
1
P
(
BA
?< /p>
B
B
)
P
(
BA
)
5
P
(
B
|
A
?
B
)
定义<
/p>
?
?
?
0
.
25
P
(
A
?
B
)
P
(
A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
A
B
)
0
.
7
?
0
.
6
?
0
.
5
18.[
十四
]
P
(
A
)
?
1
1
1
,
P
(
B< /p>
|
A
)
?
,
P
(
A
|
B
)
?
< p>,求
P
(
A
?
B
)
。
4
3< /p>
2
1
1
?
定义
P
(
AB
)
P
(
A
)
P
(
B
< p>|A
)
由已知条件
1
4
3
?
P
(
< p>B)
?
1
?
?
?
?
?
?
< p>?有
?
解：
由
P
(
A
|
B
)
< br>P
(
B
)
P
(
B
)
2
P
(
B
)
6
由乘法公式，得
P
(
AB
)
?
P
(
A
< p>)P
(
B
|
A
)
?
1
12
1
1
1
1
?
?
?
4
6
1 2
3
由加法公式，得
P
(
A
?
B
)
?
P
< p>(A
)
?
P
(
B
)
?
P
(
AB
)
?
19.[
十五
]
掷两 颗骰子，
已知两颗骰子点数之和为
7
，
求其中有一 颗为
1
点的概率
（用
两种方法）
。
解：
（方法一）
（在缩小的样 本空间
SB
中求
P(A|B)
，即将事件
B
作为样本空间，求
事件
A
发生的 概率）
。
掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（
x
,
y
）
（
x
,
y< /p>
=1,2,3,4,5,6
）并且满足
x
,+
y
=7
，则
样本空间为
S={(
x
,
y
)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}
每种结果（
x
,
y
）等可能。
A={
掷 二骰子，点数和为
7
时，其中有一颗为
1
点。故< /p>
P
(
A
)
?
2
1
?
}
6
3
方法二：
（用公式
P
(
A
|
B
)
?
P
(
AB
)
P
(
B
)
S={(
x
,
y
)|
x
=1,2,3,4,5,6;
y
= 1,2,3,4,5,6}}
每种结果均可能
A=
“掷两颗骰子，
x
,
y
中有一个为“
1
”点”
，
B=
“掷两颗骰子，
x
,+
y
=7
”
。则
P
(
B
)
?
6
1
2
，<
/p>
?
,
P
(
AB
)
?
2
2
6
6
6
2
2
P
(
AB
)
2
1
6
?
?
?
故
P
(
A
|
B
)
?
P
(
B< /p>
)
1
6
3
6
20.[
十六
]
据以往资料表明，某 一
3
口之家，患某种传染病的概率有以下规律：
P
(
A
)=
P
{
孩子得病< /p>
}=0.6
，
P
(
B
|
A
)=
P
{
母亲得病
|
孩子得病
}=0.5
，
P
(
C
|
AB
)=
P
{
父亲得病
|
母亲
及孩子得病
}=0.4
。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：所求概率为
P
(
AB
C
)
（注意：由于“母病”
，
“孩病”
，
“父病”都是随机事件，
这里不是求
P
(
C
|AB
)
P
(
AB
)=
P
(
A
)=
P
(
B
|
A
)=0.6×
0.5=0.3,
P
(
C
|AB
)=1
－
P
(
C
|
AB
)=1
－
0.4=0.6.
从而
P
(
AB
C
)=
P
(
AB
) ·
P
< p>(
C
|AB
)=0.3×
0 .6=0.18.
21.[
十七
]
已知
10
只晶体管中有
2
只次品， 在其中取二次，每次随机地取一只，作
不放回抽样，求下列事件的概率。
（
1
）二只都是正品（记为事 件
A
）
法一：用组合做
在
10
只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种
取法等可能。
C
8<
/p>
2
28
P
(
A
)
?
2
?
?
0
.
62
C<
/p>
10
45
法二：用排列做
在
10
只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个
排列等可能。
2
A<
/p>
8
2
A
10
P
(
A
)
?
< br>
?
28
45
法三：用事件的运算和概率计算法则来作。
记
A
1
，
A
2
分别表第一、二次取得正品。
P
(
A
)
?
P
(
A
1
A
2
)
?
P
(
A
)
P
(
A
2
|
A
1
)
?
（
2
）二只都是次品（记为事件
B
）
< p>
2
C
2
2
C
10
8
7
28
?
?
10
9
45
法一：
P
(
B
)
?
?< /p>
1
45
法二：
P
(
B
)
?
2<
/p>
A
2
2
A
10
?
1
45
2
1
1
?<
/p>
?
10
9
45< /p>
法三：
P
(< /p>
B
)
?
P
(
A
1
A
2
)
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|<
/p>
A
1
)
?
（
3
）一只是正品，一只是次品（记为事件
C
）< /p>
1
1
C
8
?
C
2
2
C
10
法一：
P
(
C
)
?
?
16
45
法二：
P
(
C
)
?
1<
/p>
1
2
(
C
8
?
C
2
)
?< /p>
A
2
2
A
10
?
16
45
法三：
P
(
C
)
?
P
(
A
1
A
2
?
A
1
A
2
)
且
A
1
A
2
与
A
1
A
2
互
斥
?
P
< p>(A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
)
?
P
(
A
1
)
P
(
A
< p>2
|
A
1
)
?
2
8
16
8
2
?
?
?
10
9
10
9
45
< p>（
4
）第二次取出的是次品（记为事件
D
< p>）
法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，
1
1
A
9
?
A
2
2
A
10
法二：
P<
/p>
(
D
)
?
?
1
5
法三：
P
(
D
)
?
P
(
A
1
A
2
?
A
1
A
2
)
且
A
1
A
2
与
A
1
< br>A
2
互斥
?
P
(
A
1
< br>)
P
(
A
2
|
A
1
)
?
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
)
?
8
2
2
1
1
?
?
?
?
10
9
10
9
5
22.[
十八
]
某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超
过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是
多少？
记
H
表拨号不超过三次而能接通。
A
i
表第
i
次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
?
?
H
?
A
< p>1
?
A
1
A
2
?
A
1
A
2
A
3
三种情况互斥
P
(
H
)
?
P
(
A
1
)
?
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
)
?
P
(
A
1
)
(
A
2
|
A
1
)
P
(
A< /p>
3
|
A
1
A
2
)
< /p>
?
1
9
1
9
8
1
3
?
?
?< /p>
?
?
?
10
10
< p>910
9
8
10
如果
已知最后一个数字是奇数（记为事件
B
）问题变为在
B
< p>已发生的条件下，求H
再发生的概率。
< p>
P
(
H
|
B
)
?
PA
1
|
B
?
A
1
A
2
|
B
?
A
1
A
2
A
3
|
B
)
?
P
(
A
1
|
B
)
?
P
(
A
1
|
B
)
P
(
A
2
|
B
A
1
)
?
P
(
A
1
|
B
)
P
(
A
2
< br>|
B
A
1
)
P
(
A
3
|
B
A
1
A
2
)
?
1
4
1
4
3
1
3
?
?
?
?
?
?
5
5
4
5
4
3
5
24.[
十九
]
设有 甲、乙二袋，甲袋中装有
n
只白球
m
只红球，乙袋 中装有
N
只白球
M
只红球，今从甲袋中任 取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋
中取到）白球的概率是多少
？（此为第三版
19
题
(1)
）
记
A
1
，
A
2
分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”
再记
B
表“再从乙袋中取得白球”
。
∵
∴
B
=
A
1
B
+
A
2
B
且
A
1
，
A
2
互斥
P
(
B
)=
P
(
A
1
)
P
(
B
|< /p>
A
1
)+
P
(
A
2
)
P
(
B
|
A
2
)
=
n
N
?
1
m
N
< br>?
?
?
n
?
m
N
?
M
?
1
n
?
m
N
?
M
?
1
[
十九
](2)
第一只盒子装有
5
只红球，
4
只白球；< /p>
第二只盒子装有
4
只红球，
5
只白球 。
先从第一盒子中任取
2
只球放入第二盒中去，然后从第 二盒子中任取一只球，求取到白
球的概率。
记
C
1
为“从第一盒子中取得
2< /p>
只红球”
。
C
2
为“从第一盒子中取得
2
< p>只白球”。
C
3
为“从第一盒子中取得
1
只红 球，
1
只白球”
，
D<
/p>
为“从第二盒子中取得白球”
，显然
C
1<
/p>
，
C
2
，
C
3
两两互斥，
C
1<
/p>
∪
C
2
∪
C
3
=
S
，由全
概率公式，有
P
(
D
)=
P
(
C
1
)
P
(
D| C
1
)+
P
(
C
2
)
P
(
D|C
2
)+
P
(
C
3
)
P
(
D| C
3
)
1
1
2
C
5
2
5
C
< br>4
?
C
4
7
C
5
6
53
?
2
?
?
2
?
?
?
?
11
99
C
9
11
C
9
11
C
9
2
26.[
二十一
]
已知男人中有
5%
是色盲患者，女人中有
0.25%
是色盲患者。今从男女
人数相等的人群中随机
地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：
A
1
={
男人
}
，
A
2
={
女人
}
，
B={
色盲
}
，显 然
A
1
∪
A
2
=
S
，
A
1
A
2
=
φ
由已知条件知
P
(
A
1
)
?
P
(
A
< br>2
)
?
由贝叶斯公式，有
1
P
(
B
|
A
1
)
?
5
%,
P
(
B
|
A
< p>2
)
?
0
.
25
%
2
?
1
5
?
P
(
A
1
B
)
P
(
A
1
)
P
(
B
|
A
1
)
20
2
100
P
(
< p>A
1
|
B
)
?
?
?
?
1
25
P
(
B
)
P
(
A
1
)
P
(
B
|
A
1
)
?
P
(
A
2
)
P
(
B
|
A
2
)
1
5
21
?
?
?
2
100
2
10000
[
二十二
]
一学生接 连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为
P
，若第一次
< br>及格则第二次及格的概率也为
P
；
若第一次不及格则第二次 及格的概率为
P
（
1
）
若至少
2
有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资
格的概率。
（
2
）若已知他第二次已经及
格，求他第一次及格的概率。
解：
A
< br>i
={
他第
i
次及格
}
，
i=1,2
已知
P
(
A
1
)=
P
(
A
2
|
A
1
)=
，
P
(
A
2
|
A
1
)
P
2
（
1
）
B
={
至少有一次及格
}
所以
B
?
{
两次均不及格
}
?
A
1
A
2
∴
P
(
B
)
?
1
?
P
(
B
)
?
< p>1?
P
(
A
1
A
2
)
?
1< /p>
?
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
)
?
1
?
[
1
?
P
(
A
< br>1
)][
1
?
P
(
A
2
|
A
1
)]
?
1
?
(
1
?
P
)(
1
?
P
3
< p>1
)
?
P
?
P
2
2
2
2
（
*
）
定义
P
(
A
1
A
2
)
（
2
）< /p>
P
(
A
1
A
2
)
P
(
A
2
)
由乘法公式，有
P
(
A
1
A
2
)=
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
) =
P
2
由全概率公式，有
P
(
A
2
)
?
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
)
?
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
)
?
P
?
P
?
(
1
?
P
)
?
P
2
P
2
P
?
?
2
2
将以上两个结果代入（
*< /p>
）得
P
(
A
1
|
A
2
)
?
P
2
P
2
P
?
2
2
< br>?
2
P
P
?
1
28.[
二十五
]
某人下午
5:00
下班，他所积累的资料表明：
到家时间
乘地铁到
0.10
家的概率
乘汽车到
0.30
家的概率
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是
5:47
到家的，试求他是乘 地铁
回家的概率。
解：设
A=
“乘地铁”
，
B=
“乘汽车”
，< /p>
C=
“
5:45~5:49
到家”
， 由题意
,
AB=
φ
,
A
< p>∪B
=
S
已知：
P
(
A
)=0.5,
P
(
C|A
)=0.45,
P
(
C|B
)=0.2,
P
(
B
)=0.5
由贝叶斯公式有
0.35
0.20
0.10
0.05
0.25
0.45
0.15
0.05
5:35~5:39
5:40~5:44
5:45~5:49
5:50~5:54
迟于
5:54
P
(
< p>A|
C
)
?
P
(
C
|
A
)
P
< p>(A
)
?
P
(
C
)
0
.
5
< p>?0
.
45
0
.
45
9
?
?
?
0
.
6923
1
1
0
.
65
13
P
(
C
|
A
)
?
P
(
C
|
B
)
2
2
29.[
二十四
]
有两箱同种类型的零件。第一箱装
5
只，其中< /p>
10
只一等品；第二箱
30
只，其中
18
只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一
只，作不放回抽样。试求（
1
）第一次取到的零件是一等品的概率 。
（
2
）第一次取到的零
件是一等品的条
件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：设
B
i
表示“第
i
次取到一等品”
i=1
，
2
A
j
表示“第
j
箱产品”
j=1,2
，显然
A
1
∪
A
2
=
S
（
1
）
P
(
B
1
)
?
A
1
A
2
=
φ
1
10
1
18
2
。
?
?
?
?
?
0
.
4
（
B
1
=
A
1
B +A
2
B
由全概率公式解）
2
50
2
30
5
1
10
9
1
18
17
?
P
(
B
1
B
2
)
2
50
49
2
30
29
?
?
0
.
4857
（
2
< p>）
P
(
B
2
|
B
1
)
?
< p>2
P
(
B
1
)
5
（先用条件概率定义，再求
P
(
B
1
B
2
)
时，由全概率公式解）
32.[
二十六（
2
）
]
如图
1
，
2
，< /p>
3
，
4
，
5
1
L
3
2
R
表示继电器接点，假设每一继电
器接点闭合
的概率为
p
，且设各继电器闭合与否相互独< /p>
立，求
L
和
R
是通路的概率 。
记
A
i
表第
i
个接点接通
记
A
表从
L
到
R
是构成通路的。< /p>
∵
A=A
< p>1
A
2
+
A
1
A
3
A<
/p>
5
+
A
4
A
5
+
A
4<
/p>
A
3
A
2
四种情况不互斥
∴
P
(
A
)=
P
(
A
1
A
2
)+
P
(
A
1
A
3
A
5
) +
P
(
A
4
A
5
)+
P
(
A
4
A
3
< br>A
2
)
－
P
< p>(A
1
A
2
A
3
A
5
)
+
P
(
A
1
A
2
A
4
A
5
)+
P
(
A
1
A
2
A
3
A
4
)
+P
(
A
1
A
3
A
4
A
5
)
+
P
(
A
1
A
2
A
3<
/p>
A
4
A
5
)
P
(
A
2
A
3
A
4
A
5
)+
P
(
A
1
A<
/p>
2
A
3
A
4
A
5
)+
P
(
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
)
+
(
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
)
+
P
(
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
)<
/p>
－
P
(
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
)
又由于
A
1
，
A
2
，
A
3
，
A
4
，
A
5
< br>互相独立。
故
P
(
A
)=
p
2
+
p
3
+
p
2
+
p
3
－
[
p
4
+
p
4
+
p
4
+
p
4
+
p
5
+
p
4
]
4
5
+[
p
5
+
p
5
+
p
5
+
p
5
]
－
p
5
=2<
/p>
p
2
+
3
p
3
－
5
p
4
+2
p
5
[
二十六（
1
）
]
设有
4
个独立工 作的元件
1
，
2
，
3
，
4
。它们的可靠性分别为
P
1
，
P
2
，
P
3
，
P
4
，将它们按图（
1
）的方式联接，求系统的可靠性。
< p>
记
A
i
表示第<
/p>
i
个元件正常工作，
i=
1
，
2
，
3
，
4
，
< p>
2
1
4
3
A
表示系统正常。
∵
A=A
1
A
2
A
3
+
A
1
A
4
两种情况不互斥
(
加法公式
)
∴
P
(
A
)=
P
(
A
1
A
< br>2
A
3
)
+P< /p>
(
A
1
A
4
)
－
P
(
A
1
A
2
A
3
A
4
)
=
P
(
A
1
)
P
(
A
2
)
P
(
A
3
)+
P
(
A
1
)
P
(
A
4
)
－
P
(
A
1
)
P
(
A
2
)
P
(
A
3
)
P
(
A
4
)
=
P
1
P
2
P
3
+
P
1
P
4
－<
/p>
P
1
P
2
P
3
P
4
(
A
1
,
A
2
,
A
3
,
A
4
独立
)
34.[
三十一
]
袋 中装有
m
只正品硬币，
n
只次品硬币，
< p>（次品硬币的两面均印有国徽）
。
在袋中任取一只，
将它投掷
r
次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多
少？
解：设“出现
r
次国徽面”
=
B
r
< br>
“任取一只是正品”
=
A
由全概率公式，有
m
1
r
n
(
)
?< /p>
?
1
r
m
?
n
2
m
?
n
m<
/p>
1
r
(
)
P
(
A
)
P
< p>(B
r
|
A
)
m
m
?
n
2< /p>
?
P
(
A
|
B
r
)
?
?
?< /p>
m
1
r
n
P
(
B
r
)
m
?
n
?
2
r
(
)
?
m
?< /p>
n
2
m
?
n
P
(
B
r
)
?< /p>
P
(
A
)
P
(
B
r
|
A
)
< p>?P
(
A
)
P
(
B
r
|
A
)< /p>
?
（条件概率定义与乘法公式）
35
．甲 、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为
0.4
，
0.5
，
0.7
。
飞机被一人击中而被
击落的概率为
0.2
，被两人击中而被击落的概率为
0.6
，若三人都击
中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。
< /p>
解：高
H
i
表示飞机被<
/p>
i
人击中，
i=
1
，
2
，
3
。
B
1
，
B
2
，
B
2
分别表示甲、乙、丙击中飞
机
∵
H
1
?
B
1
< br>B
2
B
3
?
B
1
B
2
B
3
?
B
1
B
2
B
3
，三种情况互斥。
H
2
?
B
1
B
2
B
3
?
B
1
B
2
B<
/p>
3
?
B
1
B
2
B
3
三种情况互斥
H
3
?
B
2
B
2
B
3
又
B
1
，
B
2
，
B
< br>2
独立。
∴
P
(
H
1
)
?
P
(
B
< br>1
)
P
(
B
2
)
P
(
B
3
)
?
P
(
B
1
)
P
(
B
< br>2
)
P
(
B
3
)
?
P
(
B
1
)
P
(
B
2
)
P
(
B
3
)
?
0
.
4
?
0
.
5
?
0
.
3
?
0
.
6
?
0
.
5
?
0
.
3
?
0
.
6
?
0
.
5
?
0
.
7
?
0
.
36
P
(
H
2<
/p>
)
?
P
(
B
1
)
P
(
B
2
)
P
(
B
3
)
?
P
(
B
< p>1
)
P
(
B
2
)
P
(
B
3
)
?
P
(
B
1
)
P
(
B
2
)
P
(
B
3
)
?
0
.
4
?
0
.
5
?
0
.
3
+ 0.4×
0.5×
0.7 +0.6×
0.5×
0.7=0.41
P
(
H
3
)=
P
(
B
1
)
P < /p>
(
B
2
)
P
(
B
3
)=0.4×
0.5×
0.7=0.14
又因：
A=H
1
A+H
2
A+H
< br>3
A
三种情况互斥
故由全概率公式，有
P
(
A
)=
P
(
H
1
)
P
(
A
|
H
1
)+
P
(
H
2
)
P
(< /p>
A
|
H
2
)+
P
(
H
3
)
P
(
AH
3
)
=0.36×
0.2+0. 41×
0.6+0.14×
1=0.458
36.[<
/p>
三十三
]
设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏
2%
（这一事件记为
A
1
）
，
10%
（事件
A
< br>2
）
，
90%
（事件
A
3
）
的概率分别为
P
(
A
1
)=0.8,
P
(
A
2
)=0.15,
P < /p>
(
A
2
)=0.05
，
现从中随机地独立地取三件，
发现这三件都是好的
（ 这一事件记为
B
）
，
试分别求
P< /p>
(
A
1
|
B
)
P
(
A
2
|B),
P
(
A
3
|B)
（这里设物 品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以
取第一、第二、第三件是互相
独立地）
∵
B
表取得三件好物品。
B=A
1
B
+A
2
B+A
3
B
三种情况互斥
由全概率公式，有
∴
P
(
B
)=
P
(
A
1
)
P
(
B|A
1
)+
P
(
A
2
)
P
(
B|A
2
)+
P
(
A
3
)
P
(
B|A
3
)
=0.8×
(0.98)
3
+0.15×
(0.9)
3
+0.
05×
(0.1)
3
=0.8624
P
(
A
1
B
)
P
(
A
1
< br>)
P
(
B
|
A
1
)
0
.
8
?
(
0
.
98
)
< p>3
P
(
A
1
|
B
)
?
?
?< /p>
?
0
.
8731
P
(
B
)
P
(
B
)
0
.
8624
< /p>
P
(
A
2
B
)
P
(
A
2
)
P
(
B
|
A
2
)
0
.
15
?
(
0
.
9
)
3
P
(
A
2
|
B
)
?
?
?
?
0
.
1268
<
/p>
P
(
B
)
P
(
B
)
0
.
8624
P
(
A
3
B
)
P
(
A
3
)
P
(
B
|
A
< br>3
)
0
.
05
< p>?(
0
.
1
)
3
P
(
A
3
|
B
)
?
?
?
?
0
.
0001
P
(
B
)
P
(
B
)
0
.
8624
37.[
三 十四
]
将
A
，
B
，
C
三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为
< p>α，而输
出为其它一字母的概率都是
(1
< p>－α
)/2
。今将字母串
AAAA
< p>，BBBB
，
CCCC
之一输入信道，
输入
AAAA
，
BBBB
，
CCCC
的概率分别为
p
1
< br>,
p
2
,
p
3
(
p
1
+
2
+
p
3
=1)
，已知输出为
ABCA
，问
输入的是
AAAA
的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互 独立的。
）
解：设
D
表 示输出信号为
ABCA
，
B
1
、
B
2
、
B
3
分别表示输入信号为
AAAA
，
BBBB
，
CCCC
，则
B< /p>
1
、
B
2
、
B
3
为一完备事件组，且
i
)=P
i
,
i=
1, 2, 3
。
< p>
再设
A
发、
A
收分别表示发出、接收 字母
A
，其余类推，依题意有
P
(
A
收
|
A
发
)=
P
(
B
收
|
B
发
)=
P
(
C
收
|
C< /p>
发
)=
α
，
P
(
A
收
|
B
发
)=
P
(
A
收
|
C
发
)=
P
(
B
收
|
A
发
)=
P
(
B
收
|
C
发
)=
P
(
C
收
|
A
发
)=
P
(
C
收
|
B< /p>
发
)=
1
?
α
2
又
P
(
ABCA|AAAA
)=
P
(
D | B
1
)
=
P
(
A
收
|
A
发
)
P
(
B
收
|
A
发
)
P
(
C
收
|
A
发
)
P
(
A
收
|
A
发
)
=
α
2
(
1
?
α
2
)
，
2
1
?
α
3
)
2
同样可得
P
(
D | B
2
)
=
P
(
D | B
3
) =
α
?
(
于是由全概率公式，得
P<
/p>
(
D
)
?
?
P
(
B
)
P
(
< p>D|
B
)
i
i
i
?
1
3
<
/p>
?
p
1
a
2
(
1
?
α<
/p>
2
1
?
α
3
)
?
(
P
2
?
P
3
)
α
(
)
2<
/p>
2
由
Bayes
公式，得
P
(
AAAA|ABCA
)=
P
(
B
1
| D
) =
=
P
(
B
1
)
P
(
D
|
B
1
)
P
(
D
)
2
α
P
1
2
α
P
1
?
(
1
?
α
)(
P< /p>
2
?
P
3
)
[
二十九
]
设第一只盒子装有
3
只蓝球，
2
只绿球，
2
只白球；第二只盒子装有
2
只
蓝球，
3
只绿球，
4
只白球。独立地分别从两只盒 子各取一只球。
（
1
）求至少有一只蓝球
的概率，
（
2
）求有一只蓝球一只白球的概率，
（
3
）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球
一只白球的概率
。
解：记
A
1
、
A
2
、
A
< p>3
分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，
B
1
、
B
2
、
B
3
分别表示是从第二
只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。
（
1
< p>）记C
={
至少有一只蓝球
}
C
=
A
1
B
1
+
A
1
B
2
+
A
1
B
3
+
A
2
B
1
+ <
/p>
A
3
B
1
，
5
种情况互斥
由概率有限可加性，得
P
(
C
)
?
P
(
A
1
B
1
)
?
P
(
A
1
B
2
)
?
< p>P(
A
1
B
3
)
?
P
(
A< /p>
2
B
1
)
?
P
(
A
3
B
1
)
独立性
P
(
A
)
P
(
B
)
?
P
(
A
)< /p>
P
(
B
)
?
P
(
A
)
P
(
B
< p>)?
P
(
A
)
P
(
B
)
?
P
(< /p>
A
)
P
(
B
)
1
1
1
2
< p>13
2
1
3
1
?
3
2
3
3
3< /p>
4
2
2
2
2
5
?
?
?
?
?
?< /p>
?
?
?
?
7
9
7
9
7
9
7
9< /p>
7
9
9
（
2
）记
D=
{
有一只蓝球，一只白球
}
，而且知
D= A
1
B
3
+
A
3
B
1
两种情况互斥
P
D
)
?
P
(
A
1
B
3
?<
/p>
P
(
A
3
B
1
)
?
P
(
< p>A
1
)
P
(
B
3
)
?
P
(< /p>
A
3
)
P
(
B
1
)
?
3
4
2
2
16
?
?
?
?
7
9
7
9
63
P
(
CD
)
P
(
D
)
16<
/p>
?
?
P
(
C
)
P
(
C
)
35
（
3
）
P
(
D
|
C
)
?
(
注意到
CD
?
D
)
[
三十
]
A
，
B
，
C
三人在同一办 公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给
A
，
B
，
2
2
1
,
< br>C
的电话的概率分别为
,
。他们三人常因
工作外出，
A
，
B
，
C
< p>三人外出的概
5
5
5
1
1
1
率分别为
,
，设三人的行动相互独立，求
2
4
4
（
1
）无人接电话的概率；
（
2
）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了
3
个< /p>
电话，求（
3
）这
3
个电话 打给同一人的概率；
（
4
）这
3
个 电话打给不同人的概率；
（
5
）
这
3
个电话都打给
B
，而
B
却都不在的概率。
解：记
C
1
、
C
2
、
C
3
分别表示打给
A
，
B
，
C
的电话
D
1
、
D
2
、
D
3
分别表示
A
，
B
，
C
外出
注意到
C
1
、
C
2
、
C
3
独立，且
P
(
C
1
)
P
(
C
2
)
?
P
(
D
1
)
?
2
1
,
P
(
C
3
)
?
5
5
1
,
2
P
(
D
2
)
?
P
(
D
3
)
?
1
4
（
1
）
P
（无人接电话）
=
P
(
D
1
D
2
D
3
)=
P
(
D
1
)
P
(
D
2
)
P
(
D
3
)
=
1
1
1
1
?
?
?
2
4
4
32
< p>（
2
）记
G=
“被呼叫人在办公室”
，
G
?
C
1
D
1
?
C
< br>2
D
2
?
C
3
D
3
三种情况互
斥，由有
限可加性与乘法公式
P
(
G
)
?
P
(
C
1
D
1
)
?
P
(
C
< br>2
D
2
)
?
P
(
C
3
D
3
)
?
由于某人外出与
?
?
?
?
?
P
(
C
< br>1
)
P
(
D
1
|
C
1
)
?
P
(
C
2
)
P
(
D
2
|
C
2
)
?
P
(
C
3
)
P
(
D
3
|
C
3
)
?
否和来电话无关
?
?
故
P
(
D
|
C
)
?
P
(
D
)
?
?
2
1
2
3
1
3
13
k
k
k
?
?
?
?
?
?
< p>??
?
5
2
5
4
5
4
20
（
3
）
H
为“这
3
个电话打给同一个人 ”
P
(
H
)
< p>?
2
2
2
2
2
2
1
1
1
17
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5
5
5
5
5
5
5
5
5
125
（
4
）
R
为“这
3
个电话打给不同的人”
R
由六种互斥情况组成，每种情况为打给
A
，
B
，
C
的三个电话，每种情况的概率为
2
2
1
4
?
?
?
5
5
5
125
于是
P
(
R
)
?
6
?
4
?
125
1 25
（
5
）由于是知道每次打电话都给
B
，其概率是
1
，所以每一次打给
B
电话而
B
不在
的概率为
1
，且各次情况相互独立
4
1
1
于是
P
< p>（3
个电话都打给
B
，
B
都不在的概率）
=
(
)
3
?
4
64
第二章
随机变量及其分布
1.[
一
]
一袋中有
5
只乒乓球，编号为
1
、
2
、
3
、
4
、
5
< p>，在其中同时取三只，以X
表
示取出的三只球中的最
大号码，写出随机变量
X
的分布律
解：
X
可以取值
3
，
4
，
5
，分布律为
P
(
X
?
3
)
?
P
(
一球为
3
号
,
两球为
1
,
2
号
)
?
2
1
?
C< /p>
2
3
C
5
?
1
10
2
1
?
C
3
3
C
5
P
(
X
?
4
)
?
P
(
一球为
4
号
,
再在
1
,
2
,
3
中任取两球
)
?
< p>?
3
10
?
6
10
P
(
X
?
5
)
?
P
< p>(一球为
5
号
,
再在
1
,
2
,
3
,
4
中任取两球
)
?
也可列为下表
X
：
3
，
4
，
5 < /p>
P
：
2
1
?
C
4
3
C
5
1
3
6
,
,
10
10
10
3.[
三
]
设在
15
只同类型零件中有
2
只是次品，在其中取三次，每次任 取一只，作
不放回抽样，以
X
表示取出次品的只数，
（
1
）求
X
的分布律，
（
2
）画出分布律的图形。
解：任取三
只，其中新含次品个数
X
可能为
0
，
1
，
2
个。
P
(
X
?
0
)
?
< p>3
C
13
3
C
15
?
22
35
12
?
35
1
35
O
1
2
x
P
P
(
X
?
1
)
?
1
2
C
2
?
C
13
3
C
15
2
1
C
2
?
C
13
3
C
15
P
(
X
?
2
)
?
再列为下表
?
X
：
0
，
1
，
2
P
：
22
12
1
,
,
<
/p>
35
35
35
4.[
四
]
进行重复独立实验，设每次成功的概率为
p
，失败的概率为
q
=1
－
p
(0<
p
<1)
（
1< /p>
）将实验进行到出现一次成功为止，以
X
表示所需的试验次数，求< /p>
X
的分布律。
（此时称
X
服 从以
p
为参数的几何分布。
）
< br>（
2
）将实验进行到出现
r
次成功为止，以
Y
表示所需的试验次数，求
Y
的分布律。
（此时称
Y
服从以
r, p
为参数的巴斯卡分布。
）
（
3
）
一篮球运动员的投篮命中率为
45%
，
以
X
表示他首次投中时累计已投篮的次数，
写出
X
的分布律，并计算
X
取偶数的概率。
解：
（
1
）
P
(
X=k
)=
q
k<
/p>
1
p
－
k=
1,2,
……
（
2
）
Y=r+n=
< p>{最后一次实验前
r+n
－
1
次有
n
次失败，且最后一次成功
}
P
(
Y
?
r
?
n
)
?
C
r
n
?
n
?
1
q
< br>n
p
r
?
1
p
?
C
r
< br>n
?
n
?
1
q
n
p
r
,
（
3
）
P
(
X=k
) = (0.55)
k
－
1
0.45
< p>
?
?
n
?
0
,
1
,
2
,
?
,
其中
q=
1
－
p
，
< /p>
r
?
1
r
k
?
r
,
k
?
r
< p>,r
?
1
,
?
或记
r+n=k
，则
P
{
Y=k
}=
C
k
?
1
p
(
1
?
p
)
k=
1,2…
2
k
?
1
P <
/p>
(
X
取偶数
)=
?
P
(
X
?
2
k
)
?
?
(
0
.
55
)
k
?
1< /p>
k
?
1
0
.
45
?
11
31
6.[
六
]
一大楼装有
5
个同类型的供水设备，调查表明在 任一时刻
t
每个设备使用的
概率为
0.1
，问在同一时刻
（
1
） 恰有
2
个设备被使用的概率是多少？
2
2
5
?
2
2
P
(
X
?
2
)
?
C
5
p
q
?
C
5
?
(
0
.
1
)
2
?
(
0
.
9
)
3
?
0
.
0729
（
2
）至少有
3
个设备被使用的 概率是多少？
3
4
5
< br>P
(
X
?
3
)
?
C
5
?
(
0
.
1
)
3
?
(
0
.
9
)
2
?
C
5
?
(
0
.
1
)
4
?
(
0
.
9
)
?
C
5
?
(
0
.
1
)
5
?
0
.
00856
< br>（
3
）至多有
3
个设备被使用的概率是多少 ？
0
1
P
(< /p>
X
?
3
)
?
C
5
(
0
.
9
< p>)
5
?
C
5
?
0
.
1
?
(< /p>
0
.
9
)
4
?
C
5
2
?<
/p>
(
0
.
1
)
2
?
(
0
.
9
< p>)
3
3
?
C
5
?
(
0< /p>
.
1
)
3
?
(
0
.
9
)
2<
/p>
?
0
.
99954
（
4
）至少有一个设备被使用的概率是多少？
< p>
P
(
X
?
1
)
?
1
?
P
(
< p>X?
0
)
?
1
?
0
.
59049
?
0
< p>.40951
[
五
]
一房间有
3
扇同样大小的窗子，
其中只有一扇是打开的。
有一只 鸟自开着的窗
子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞
出房间。假
定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。
< p>
（
1
）以
X
表示鸟为了飞出房间试飞 的次数，求
X
的分布律。
（
）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。
< p>以
Y
表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实 的，试求
Y
的分布
律。
（
3
）求试飞次数
X
小于
Y
的概率；求试飞次数
Y
小于
X
的 概率。
解：
（
1
）
X
的可能取值为
1
，
2
，
3
，…，
n
，…
P
{
X=n
}=
P < /p>
{
前
n
－
1
次飞向了另
2
扇窗子，第
n
次飞了出去< /p>
}
2
1
=
(
)
n
?
1
?
，
n=
1
，
2
，……
3
3
（
2
）
Y
的可能取值为
1
，
2
，
3
P
{
Y=
1}=
P
{
第
< p>1次飞了出去
}=
1
3
P
{
Y=
2}=
P
{
第
1
次飞向
另
2
扇窗子中的一扇，第
2
次飞了出去
}
=
2
1
1
?
?
3
2
3
P
{
Y=
3}=
P
{
第
1
，
2
次飞向了另
2
扇窗子，第
3
次飞了出去
}
=
2
!
1
?
3
!
3
(
3
)
P
{
X
?
Y
}
?
?
?
P
{
Y
?
k
}
P
{
X
?
Y
|
Y
?
k
}
k
?
1
3
3
?
P
{
Y
?
k
}
P
{
X
?
Y
|
Y
?
k
}
k
?
2
< br>3
?
?
?
全
概
率
公
式
并
注
意
?
到
?
?
P
{
X
?
Y
|
Y
?
1
}
?
0
?
?
?
?
P
{
Y
?
k
}
P
{
X
?
k
}
k
?
2
?
1
1
1
?
1
2
1
?
8
< br>?
?
?
?
?
?
?
27
3
3
3
?
3
3
3
?
?
注
意
到
X
,
Y
独
立
即
P
{
X
?
Y
|
Y
?
k
}
?
P
{
X
?
k
}
同
上，
P
{
X
?
Y
}
?
?
?
P
{
Y
?
k
}
P
{
X
?
Y
|
Y
?
k
}
k
?
1
3
k
?
1
3
1
1
2
1
4
19
?
?
?
< p>??
?
?
P
{
Y
?
k
}
< p>P{
X
?
k
}
?
1
3
3
3
9< /p>
3
27
81
故
P<
/p>
{
Y
?
X
}
?
1
?
P
{
X
?
< p>Y}
?
P
{
X
?
Y
)
?
38
81
8.[
八
]
甲、乙二人投篮，投中的概率各为
0.6, 0.7
，令各投三次。求
（
1
）二人投中次数相等的概率。
记
X
表甲三次投篮中投中的次数
Y
表乙三次投篮中投中的次数
由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。
P
(
X
=
Y
)=
P
(
X
=0,
Y=
0)+
P
(
X
=2,
Y=
2)+
P
(
X=
3,
Y=
3)
=
P
(
X
=0)
P
(
Y=
0)+
P
(
X
=1)
P
(
Y=
1)+
P
(
X
=2)
P
(
Y=
2)+
P
(
X
=3)
P
(
Y=
3)
1
1
?
0
.
6
?
(< /p>
0
.
4
)
2
]
?
[
C
3
?
0
.
7
?
(
0
.
3
)
2
]<
/p>
= (0.4)
3
×
(0.3)
3
+ [
C
3
2
2
?
(
< p>0.
6
)
2
?
0
.
4
]
?
[< /p>
C
3
?
(
0
.
7
)
2
?
3
]
?
(
0
.
6
)
3
?
[
C
3
?
(
0
.
7
)
3
?
0
.
321
（
2
）甲比乙投中次数多的概率。
P
(
X>Y
)=
P
(
X
=1,
Y=
0)+
P
(
X
=2,
Y=
0)+
P
(
X=
2,
Y=
1)+
P
(
X
=3)
P
(
Y=
0)+
P
(
X
=3)
P
(
Y=
1)+
P
(
X
=3)
P
(
Y=
2)
=
P
(
X
=1)
P
(
Y=
0) +
P
(
X
=2,
Y=
0)+
P
(
X=
2,
Y=
1)+
P
(
X
=3)
P
(
Y=
0)+
P
(
X
=3)
P
(
Y=
1)+
P
(
X
=3)
P
(
Y=
2)
1
2
?
0
.
6
?
(< /p>
0
.
4
)
2
]
?
(
0
.
3
< p>)
3
?
[
C
3
?
(
0
.
6< /p>
)
2
?
0
.
4
]
?
(
0
.
< p>3)
8
?
=
[
C
3
2<
/p>
2
1
2
3
[
C
3
?
(
< p>0.
6
)
?
0
.
4
]
?
[
C
3
?
0
.
7
?
(
0
.
3
)
]
< p>?(
0
.
6
)
1
?
(
0
< p>.3
)
3
?
(
0
.
6
)
3
?
[
C
3
?
0
.
7
?
(
0
< p>.3
)
2
]
?
(
0
.
6
)
3
2
2
?
[
C
3
?<
/p>
(
0
.
7
)
?
0
.
3
]
?
0
< p>.243
9.[
十
]
有甲、乙 两种味道和颜色极为相似的名酒各
4
杯。如果从中挑
4
< p>杯，能将甲
种酒全部挑出来，算是试验成功一次。
（
1
）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？
（
2
）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试 验
10
次，成功
3
次。试问他是
< br>猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。
）
解：
（
1
）
P
(
一次成功
)=
1
1
?
4
70
C
8
1
3
69
7
3
)
(
)
?
。此概率太小，按实
70
70
10000
3
(
< br>（
2
）
P
(
连续试验
10
次，成功
3
次
)=
C
10
际推断原理，就认为他确有区分能力。
[
九
]
有 一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取
10
件，经验收
无次品接受这批产品，次品数大于
2
拒收；否则作第二次检验， 其做法是从中再任取
5
件，仅当
5
件中无 次品时接受这批产品，若产品的次品率为
10%
，求
< p>
（
1
）这批产品经第一次检验就能接受的概率
（
2
）需作第二次检验的概率
（
3
）这批产品按第
2
次检验的标 准被接受的概率
（
4
）这批产品在第< /p>
1
次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率
（
5
）这批产品被接受的概率
解：
X
表示
10
件中次品的个数，
Y
表示
5
件中次品的个数，
由于产品总数很 大，故
X~
B
（
10
，
< p>0.1）
，
Y~
B
（
5
，
0.1
）
（近似服从）
（
1
）
P
{
< p>X=0}=0.9
10
≈
0 .349
2
1
0
.
< p>1
2
0
.
9
8
?
C
10
0
.
1
0
.
9
9
?
0
.
581
（
2
）
P
{
X
≤
2}=
P
{
X
=2}+
P
{
< p>X=1}=
C
10
（
3
）
P
{
Y
=0}=0.9
5
≈
0.590
（
4
）
P
{0<
X
≤
2
，
Y=
0}
({0<
X
≤
2}
与
{
Y=
2}
独立
)
=
P
{0<
X
≤
2}
P
{
Y=
0}
=0.581×
0.590
?
0.343
（
5
）
P
{
X
=0}+
P
{0<
X
≤
2
，
Y=
0}
≈
0.349+0.343=0.692
12.[
十三
]
电话 交换台每分钟的呼唤次数服从参数为
4
的泊松分布，求
（
1
）每分钟恰有
8
次呼唤的概率
法一：
法二：
4
< br>8
?
4
P
(
X
?
8
)
?
e
?
0
.
029770
（直接计算）
8
!
P
(
X
= 8 )=
P
(
X
≥
8)
－
P
(
X
≥
9)
（查
λ
= 4
泊松分布表）
。
= 0.051134
－
0.021363=0.029771
（
2
）每分钟的呼唤次数大于
10
的概率。
P
(
X>
10)=
P
(
X
≥
11)=0.002840
（查表计算）
[
十二
(2)]
每分钟 呼唤次数大于
3
的概率。
P
X
?
3
}
?
P
{
X
?
4
}
?< /p>
0
.
566530
[
十六
]
以
X
表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间
（以分计）< /p>
，
X
的分布函数是
?
1
?
e
?
0
.
4
x
,
x
?
0
F
X
(
x
)
?
?
x
?
0
?
0
求下述概率：
（
1
）< /p>
P
{
至多
3
分钟
}< /p>
；
（
2
）
P
{
至少
4
分钟
}
；
（
3
）
P
{3
分钟至
4< /p>
分钟之间
}
；
（
4
）
P
{
至多
3
< p>分钟或至少4
分钟
}
；
（
5
）
P
{
恰好
2.5< /p>
分钟
}
解：
（
1
）
P
{
至多
3
分钟
}=
P
{
X
≤
3} =
F
X
(
3
)
?
1
?
e
?
1
.
2
（
2
）
P
{
至少
4
分钟
}
P
(
X
≥
4) =
1
?
F
X
(
4
)
?
e
?
1
.
6
（
3
）
P
{3
分钟至
4
分钟之间
}=
P
{3<
X
≤
< p>4}=
F
X
(
4< /p>
)
?
F
X
(
3
)
?
e
?
1< /p>
.
2
?
e
?
1
.
6
4
）
P
{
至多
3
分钟或至少
4
分钟
}=
P< /p>
{
至多
3
分钟
}+
P
{
至少
4
分钟
}
=
1
?
e
?
1
.
2
?
e
?
1
.
6
（
5
）
P
{
恰好
2.5
分钟
}=
< p> P(
X
=2.5)=0
0
,
x
?
1
,
?
?
18.[
十七
]
设随机变量
X
的分布函数为
F
X
(
x
)
?
?
ln
x
,
1
?
x
?
e
,
，
?
?
1
,
x
?
e
.
求（<
/p>
1
）
P
(
X<
2),
P
{0<
X
≤
3},
P
(2<
X<
5
2
)
；
（
2
）求概率密度
f
X
(
x
).
解：
（
1
）
P
(
X
≤
2)=
F
X
(2)= ln2
，
P
(0<
X
≤
3)=
F
X
(3)
－
F
X
(0)=1
，
P
2
?
X
?
5
5
5
5
?
F
X
(
)
?
F
X
(
2
)
?
ln
?
ln
2
?
ln
2
2
2
4
1
?
?
,
1
?
x
?
e
,
（
2
）
f
(
x
)
?
F
'
(
x
)
?
?
x
?
?
0
,
其它
20.[
十八（
2
）
]
设随机 变量
X
的概率密度
f
(
x
)
为
?
2
?
1
?
x
2
（
1
）
f
(
x
)
?
?
?
?
0
?
?
1
?
x
?
1
其它
0
?
x< /p>
?
1
?
x
?
（
2
）
f
(< /p>
x
)
?
?
2
?
x
1
?
x
?
< p>2
?
其他
?
0
求
X
的分布函数
F
(
x
)
，并作出（
2< /p>
）中的
f
(
x
)
与
F
(
x
)
的图形。
解：当－
1
≤
x
≤
1
时：
X
2
2
F
(
x
)
?
0< /p>
dx
?
1
?
x
2
dx
?
?
?
?
1
π
π
?
?
1
?
x
?
1
x
1
?
x
< p>2
?
1
arcsin
?
2
?
2
1
1
1
x
1
?
x
2
?
arcsin
x
?
π
π
2
?
1
1
2
x
0
dx
?
1
?
x
2
dx
?
0
dx
?
1
当
1<
< p>x时：
F
(
x
)
?
?
?
?
1
< br>π
1
?
x
?
?
?
?
1
?
?
?
故分布
函数为：
?
0
x
?
?
1
?
1
1
1
F
(
x
)
?
?
x
1
?
x
2
?
arcsin
x
< p>??
1
?
x
?
1
π
π
2
?
1
1
?
x
?
解：
（
2
）
< br>F
(
x
)
?
P
(
X
?
x
)
?
< br>?
x
?
?
f
(
t
)
dt
当
x
?
0
时
,
< p>F(
x
)
?
?
x
?
?
0
dt
?
0
x
2
当
0
?
x
?
1
时
,
F
(
x
)
?
0
dt
?
t
dt
?
?
?
0
2
?
0
?
x
当
1
?
x
?
2
时
,
F
(
x
)
?
当
2
?
x
时
,
F
(
x
)
?
故分布
函数为
?
0
?
?
0
dt
?
?
1
0
t
dt
?< /p>
?
x
1
(
2
?
t
)
dt
?
2
x
?
x
?
1
2
2
?
0
?
?
0
dt
?
?
1
0
t
dt
?
?
2
1
(
2
?
t
)
dt
?
?
x
2
0
dt
?
1
?
0
?
x
2
?
?
< br>F
(
x
)
?
?
2
2
x
?
2
x
?
?
1
2
?
?
?
1
x
?
0
0
?
x
?
1
1
?
x
?
2
2
?
x
（
2
）中的
f
(
x
)
与
F
(
x
)
的图形如下
0
1
2
x
0
1
2
x
f
(
x
)
F
(
x
)
22.[
二十
]
某种 型号的电子的寿命
X
（以小时计）具有以下的概率密度：
?
1000
?
f
(
x
)
?
?
< br>x
2
?
?
0
x
?
1000
其它
现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立
）
。任取
5
只，问其中至少有
2
只 寿
命大于
1500
小时的概率是多少？
解：一个电子管寿命大于
1500
小时的概率为
P
(
X
?
150 0
)
?
1
?
P
(< /p>
X
?
1500
)
?
1
?
?
1
?
(
1
?
2
2
)
?
3
3
?
1500
1000
1000
?
1000
(
?
1
)
1500
?
dx
?
1
?
?
?
x
1000
?
?
x
2<
/p>
令
Y
表示“任取
5
只此种电子管中寿命大于
1500
小时的个数”
。则
Y
~
B
(
5
,
2
)
，
3
2
1
?
?
< br>1
1
P
(
Y
?
2
)
?
1
?
P
(
Y
?
2
)
?
1
?
?
P
(
Y
?
0
)
?
P
(
Y
?
1
)
?
?
1
?
?
(
)
5
?
C
5
?
(
)
?
(
)
4
?
3
3
?
?
3
1
?
5
?
2
11
232
?
1
?
?
1
?
?
5
243
243< /p>
3
23.[
二十一
]
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间
X
（以分 计）服从指数分布，
其概率密度为：
x
?
1
?
5
?
F
X
(
x
)
?
?
5
e
,
x
?
0
?
?
0
其它
某顾客在窗口等待服务，若超过
10
分钟他就离开。他一个月要到银行
5
次。以
Y
表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出
Y
的分布律。并求
P
（
Y
≥
1
）
。
解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为
?
?
?
1
?
?
?
5
P
(< /p>
X
?
10
)
?
f
X
(
x
)
dx
?
e
dx
?
?
e
5
10
?
e
?
2
10
5
10
?
5
?
因此
Y
~
B
(
5
,
e
?
2
).
即
P
(
Y
?
k
)
?
?
?
e<
/p>
?
2
k
(
1
?
e
?
2
)
5
?
k
,
(
k
?
1
,
2
,
3< /p>
,
4
,
5
?
k
?
1
5
P
(
Y
?
1
)
?
1
?
P
(
< p>Y?
1
)
?
1
?
P
(
Y
?
0
)< /p>
?
1
?
(
1
?
e
?
2
)
5<
/p>
?
1
?
(
1
?
)
?
1
?
(
1< /p>
?
0
.
1353363
)
< p>5
7
.
389
?<
/p>
1
?
0
.
8677
< br>5
?
1
?
0
.
4833
?
0
.
5167
.
?
?
?
?
x
x
24.[
二十二
]
设
K
在（
0
，
5
< p>）上服从均匀分布，求方程
4
x
2
?
4
xK
?
K
?< /p>
2
?
0
有实
根的概
率
1
?
?
∵
K
的分布密度为：
f
(
K
)
?
?
5
?
0
?
?
0
0
?
K
?
5
其他
要方程有根，就是要
K
满足
(4
K
)
2
－
4×
< p>4×(K+2)
≥
0
。
< /p>
解不等式，得
K
≥
2
时，方 程有实根。
∴
?
?
2
P
(
K
?
2
)
?
?
1
f
(
x
)
dx
?
dx
?
2
5
?
5
?
?<
/p>
?
5
0
dx
?
3
5
25.[
二十三
]
设
X
～
N
（
3.2
2
）
（
1
）求
P
(2<
X
≤
5)
，
P
(
－
4)<
X
≤
10)
，
P
{|
X|>2
}
，
P
(
X>
3)
β
< br>?
μ
?
?
α
?
μ
?
∵
若
X
～
N
（
μ
，
σ
2
）
，则
P
(α<
X
≤
β)=
φ
?
?
?
?
φ
?<
/p>
?
?
σ
?
?
σ
?
5
?
< p>3
?
?
2
?
3
?
=
φ
(1)
－
φ
(
－
0.5)
P
(2<
X
≤
5) =
φ
< p>?
?
?
?
φ
?
?
?
2
?
?
2
?
=0.8413
－
0.3085=0.5328
∴
10
?< /p>
3
?
?
?
4
?
3
?
=
φ
< p>(3.5)－
φ
(
－
3.5)
P
(
－
4<
X
≤
10) =
φ
?
?
?
?
φ
?
?
?
2
?
?
2
?
=0.9998
－
0.0002=0.9996
P
(|
X
|>2)=1
－
P
(|
X
|<2)= 1
－
P
(
－
2<
P
<2 )
?
2
?
3
?
?
?
2
?
3
?
?
=
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
?
?
2
?
?
=1< /p>
－
φ
(
－
0.5) +
φ
(
－
2.5)
=1
－
0.3085+0.0062=0.6977
< p>?
3
?
3
?
P
(
X
>3)=1
－
P
< p>(X
≤
3)=1
－
φ
?
?
=1
－
0.5=0. 5
2
?
?
（
2
）决定
C
使得
P
(
X > C
)=
P
(
X
≤
C
)
∵
得
又
P
(
X > C
)=1
－
P
(
X
≤
C
)=
P
(
X
≤
C
)
P
(
X
≤
C
)=
1
=0.5
2<
/p>
C
?
3
?
C
?
3
P
(
X
≤
C
)=
φ
?
?
0
∴
C
=3
?
?
?
0
.
5
,< /p>
查表可得
2
?
2
?
2
26.[
二十四
< p>]
某地区
18
岁的女青年的血压
（收缩区，
以
mm-Hg
计）
服从
N
(
110
,
12
)
在该地区任选一
18
岁女青年，测量她的血压
X
。求
（
1
）
P
(
X
≤105)
，
P
(100<
X
≤120).
（
2
）确定最小的
X
使
P
(
X>x
) ≤ 0.05.
105
?
110
)
?
?< /p>
(
?
0
.
4167
)
?
1
?
?
(
0
.
4167
)
?
1
?< /p>
0
.
6616
?
0
.
3384
解
:
(
1
)
P
(
X
?< /p>
105
)
?
?
(
12
120
?
110
100
?
110
5
5
P
(
100
?
X
?
120
)
?
?
(
)
?
?
(
)
?
?
(
)
?
?
(
?
)
1
2
12
6
6
5
?
2
?
(
)
?
1
?
2
?
(
0
.
8333
)
?
1
?
2
?
0
.
7976
?
1
?
0
.
5952
< p>6
(
2
)
P
(
X
?
x
)
?
1< /p>
?
P
(
X
?
x
)
?
1
?
?
(
< p>x
?
110
x
?
11 0
)
?
0
.
05
?
?
(
)
?
0
.
95
.
12
12
x
?
110
查表得
?
1
.
645
.
?
x
?
110
?
19
.
74
< p>?129
.
74
.
故最小的< /p>
X
?
129
.
74
.
12
27.[
二十五
]
由 某机器生产的螺栓长度
（
cm
）
服从参数为
μ
=10.05
，
σ
=0.06
的正态
分布。规定长度在范围
10.05
±
0.12
内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？
设螺栓长度为
X
P
{
X
不属于
( 10.05
－
0.12, 10.05+0.12)
=1
－
P
(10.05
－
0.12<
X
<10.05+0.12)
?<
/p>
?
(
10
.
05< /p>
?
0
.
12
)
?
10
.
05
?
?
(
10
.
05
?
0
.
12
)
?
10
.
05
?
?
?
?
=1
－
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
0
.
06
0
.
06
?
?
?
?
?
?
=1
－
{< /p>
φ
(2)
－
φ
(
－< /p>
2)}
=1
－
{0.9772
－
0.0228}
=0.0456
28.[
二十六
]
一 工厂生产的电子管的寿命
X
（以小时计）服从参数为
μ
< p>=160，
σ
(
未
知
)
的正态分布，若要求
P
(120
＜
X
≤
200
＝
=0.80
，允许
σ
最大为多少？
<
/p>
200
?
160
?
?
120
?
160
?
?
?
?
40
?
?
?
?
?
40
?
?
0
.< /p>
80
∵
P
(120
＜
X
≤
200)=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
σ
σ
< br>?
?
?
?
?
σ
?
?
σ
?
< br>又对标准正态分布有
φ
(
－
x
)=1
－
φ
(
x
)
< p>40
?
?
?
40
?
?
?
0
.
80
∴
上式变为
?
?
?
?
?
?
1<
/p>
?
?
?
?
?
σ
?
?
?
σ
?
?
?
40
?
?
40
?
?
0
.
9
解出
?
?
?
?
便得
:
?
?
?
?
σ
?
?
σ
?
再查表，得
40
40
?
1
.
281
σ
?
?
31
.
25
σ
1
.
281
30.[
二十七
]
设随机变量
X
的分布律为：
X
：－
2
，
P
：
－
1
，
0
，
1
，
3
1
，
5
1
1
1
，
，
，
6
5
15
(
－
1)
2
(0)
2
11
30
(1)
2
(3)
2
求
Y=X
2
的分布律
∵
Y=X
2
：
(
－
2)
2
P
：
1
5
1
1
1
6
5
15
4
9
11
30
再把
X
2
的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数
Y
的分布律为 ：
∴
Y
：
0
1
P
：
< /p>
5
1
1
?
6
15
1
1
5
11
30
31.[
二十八
]
设随机变量
X
在（
0
< p>，1
）上服从均匀分布
（
1
）求
Y=e
X
的分布密
度
?
1
∵
X
的分布密度为：
f
(
x
)
?
?
?
0
Y=g
(
X
)
=e
X
是单调增函数
X=h
(
Y
)=
lnY
，反函数存在
< /p>
0
?
x
?
1
x
为其他
又
且
α
=
min
[
g
(0),
g
(1)]=
min
(1,
e
)=1
?
?
max
[
g
(0),
g
(1)]=
max
(1,
e
)=
e
?
f
[
h
(
y
)]< /p>
?
|
h
'
(
y
)
|
?
1
?
1<
/p>
?
∴
Y
的分布密度为：
ψ
(
y
)
?
?
y
?
0
?
（
2
）求
Y=
－
2
lnX
的概率密度。
∵
又
Y= g
(
X
)=
－
2
lnX
是单调减函数
?
Y<
/p>
2
1
?
y
?
e
y
为其他
X
?
h
(
Y
)
?< /p>
e
反函数存在。
且
α
=
min
[
g
(0),
g
(1)]=
min
(+
∞
, 0 )=0
β
=
max
[
g
(0),
g
(1)]=
max
(+
∞
, 0 )= +
∞
y
y
?
1
?
2
1
?
2
?
e
?
f
[
h
(
y
)]
?
|
h
'
(< /p>
y
)
|
?
1
?
?
e
∴
Y< /p>
的分布密度为：
ψ
(
y
)< /p>
?
?
2
2
?
0
?
0
?
< p>y?
??
y
为其他
< br>
32.[
二十九
]
设
X
～
N
（
0
，
1
）
（
1
）求
Y=e
X
的概率密
度
∵
X
< p>的概率密度是
f
(
x
)
?
?
1
e
2
π
x
2
2
,
?
?
?
x
?
??
Y= g
(
X
)=
e
< p>X
是单调增函数
又
且
X= h
(
Y
) =
lnY
反函数存在
α
=
min
[
g
(
－∞
),
g
(+
∞
)]=
min
(0, +
∞
)=0
β
=
max
[
g
(
－∞
),
g
(+
∞
)]=
max
(0, +
∞
)= +
∞
∴
Y
的分布密度为：
(ln
y
)
2
?
?
?
f
[
h
(
y
)]
?
|
h
'
(
y
)
|
?
1
e
2
?
1
ψ
(
y
)
?
?<
/p>
y
2
π
?
0
?
0
?
y< /p>
?
??
y
为其他
（
2
）求
Y=
2
X
2
+1
的概率密度。
在这里，
Y=
2
X
2
+1
在
(+
∞，－∞
)
不是单调函数，没有一般的结论可用。
设
的分布函数是
F
Y
（
y
）
，
则
F
Y
(
y
)=
P
(
Y
≤
y
)=
P
(2
X
2
+1
≤
y
)
?
=
P
?
?
?
?
当
y<
1
时：
F
Y
< br> (
y
)=0
y
?
< p>1
?
X
?
2
y
?
1
2
?
?
?
?
?
当
y
≥
1
时：
F
y
(
y
)
?
P
?
?
< br>?
?
故
Y
的分布密度
ψ
(
y
)
是：
y
?
1
?
X
?
2
y
?
1
?
?
?
2
< br>?
?
?
y
?
1
2
?
y
?
1
2
1
e
2
π
?
x
< br>2
2
dx
当
y
≤
1
时：
ψ
(
y
)=
[
F
Y
(
y
)]' = (0)' =0
?
当
y>
1
时，
ψ< /p>
(
y
)=
[
F
Y
(
y
)]' =
?
?
?
?
?
y
?
1
2
y
?
1
2
1
2
?
e
x
2
?
2
?
?
dx
?
?
?
?
1
=
e
2
π
(
y
?
1
)
y
?
1
4
（
3
）求
Y=| X |
的概率密度。
∵
Y
的分布函数为
F
Y
(
y
)=
P
(
Y
≤
y
)=
P
( |
X |
≤
y
)
当
y<
0
时，
F
Y
(
y
)=0
当
y
≥
0
时，
F
Y
(
y
)=
P
(
| X |
≤
y
)=
P
(
－
y
≤
X
≤
y
) =
∴
Y
的概率密度为：
当
y
≤
0
时：
ψ
(
y
)=
[
F
Y
(
y
)]' = (0)' =0
?
y
?
y
?
1
e
2
dx
2
π
x
2
?
y
2
x
< br>2
?
y
1
?
?
?
2
当
y>
0
时：
ψ
(
y
)=
[
F
Y
(
y
)]' =
?
e
2
dx
?
?
e
2
?
?<
/p>
y
2
π
?
π
?
?
33.[
三十< /p>
]
（
1
）设随机变量
X
< p>的概率密度为f
(
x
)
，求
Y
=
X
3
的概率密度。
?
∵
又
且
Y=g
(
X
)=
X
3
是
X
单调增函数，
X
=
h
(
Y
) =
Y
，反函数存在，
α
=
min
[
g
(
－∞
),
g
(+
∞
)]=
min
(0, +
∞
)=
－∞
1
3
β
=
max
[
g
(
－∞
),
g
(+
∞
)]=
max
(0, +
∞
)= +
∞
∴
Y
的分布密度为：
ψ
(
y
)=
f
[
h
(
h
)]
·
|
h'
(
y
)| =
f
1
(
y
3
2
1
?
)
?
y
3
,
?
?< /p>
?
y
?
??
,
但
y
?
0
3
?
(
0
)
?
0
（
2
）设随机变量
X
服从参数为
1
的指数分布，求
Y=X
2
的概率密度。
?<
/p>
e
?
x
法一：∵
X
的分布密度为：
f
(
x
)
?
?
?
0
Y
=
x
2
是非单调函
数
当
x<
0
时
y
=
x
?
反函数是
x
?
?
y
当
x<
0
时
y
=
x
2
?
x
?
2
x
?
0
x
?
0
y=x
2
y
y
O
∴
Y
～
f
Y
(
y
) =
f
(
?
y
)(
?
y
)
?
?
(
y
)(
y
)
?
－
y
y
x
?
0
?
1
e
< br>?
?
=
?
2
y
?
?
0
y
?
1
2
y
e
?
y
,
y
?
0
y
?
0
法二：
Y
~
F
Y
(
y
)
?
P
(
Y
?
y
)
?
P
(
?
y
?
X
?
y
)
?
P
(
X
?
y
)
?
P
(
X
?
?
y
)
?
y
?
x
e
dx
?
0
< p>?1
?
e
?
?
?
0
?
?
0
< br>?
y
,
,
y
?
0
y
?
0
?
1
e
?
?
∴
Y
～
f
Y
(
y
) =
?
2
y
?
?
0
y
,
,
y
?
0
.
y
?
0
.
34.[
三十一
]
设
X
的概率密度为
?<
/p>
2
x
0
?
x
?
π
?
<
/p>
f
(
x
)
?
?
π
2
?
x
为其他
?
0
求<
/p>
Y
=sin
X
的概率密度。
∵
F
Y
(
y
)=
P
(
Y
≤
y
)
=
P
(sin
X
≤
y
)
当
y<
0
时：
F
Y
(
y
)=0
当
0
≤
y
≤<
/p>
1
时：
F
Y
(
y
) =
P
(sin
X
≤
y
) =
P
< p>(0
≤
X
≤
arc sin
y
或
π
－
arc sin
y
≤
X
≤
π
)
=
当
1<
y
时：
F
Y
(
y
)=1
∴
Y
的概率密度
ψ
(
y
)
为：
y
≤<
/p>
0
时，
ψ
(
y
)=[
F
Y
(
y
)]' = (0 )' = 0
arcsin
y
?
0
2
x
dx
?
π
2
?
2
x
dx
π
?
arcsin
y
π
2
π
?
0<
y
<1
时，
ψ
(
y
)=[
F
Y
(
y
)]' =
?
?
=
?
arcsin
y
0
2
x
dx
?
2
< br>π
?
?
2
x
?
dx
?
π
?
arcsin
y
π
2
?
π
2
π
1
?
y
2
1
≤
y
时，
ψ
(
y
)=[
F
Y
(
y
)]' =
(
1
)
?
= 0
36.[
三十三
]
某物体的温度
T
(
o
F
)
是一 个随机变量，
且有
T
～
N
（
98.6
，
2
）
，
试求
θ(
℃
)
的概率密度。
[
已知
θ
?
5
(
T
?
32
)
]
9
法一：∵
T
的概率密度为
f
(
t
)
?
1
2
?
2
e
?
(
t
?
98
.
6
)
2
2
?
2
,
?
?
?
t
?
??
又
θ
?
g
(
T
)
?
T
?
h
(
θ
)
?
5
(
T
?
32
)
是单调增函数。
9
< br>9
θ
?
32
反函数存在。
5
且
α
=
min
[
g
(
－∞
),
g
(+
< p>∞)]=
min
(
－∞
, +
∞
)=
－∞
β
=
max
[
g
(
－∞
),
g
(+
∞
)]=
max
(
－∞
, +
∞
)= +
∞
∴
θ
的概率密度
ψ
(
θ
)
为
9
(
θ
?
32
?< /p>
98
.
6
)
2
?
5
4
e
< br>ψ
(
θ
)
?
f
[
h
(
θ
)]
?
|
h<
/p>
'
(
θ
)
|
?
1
2
π
2
?
9
5
?
9
10
π
e
?
81
(
θ
?
3 7
)
2
100
,
?
?
?
θ
?
法二：根据定理：若
X
～
N
（
α
1
，
σ
1
）
，则
Y=aX+b
～
N
(
aα
1
+
b, a
2
σ
2
)
< p>由于
T
～
N
（
98.6, 2
）
?
5
5
160
160
故
θ
?
T
?
~
N
?
?
98
.
6
?
9
9
9
< p>?
?
9
故
θ
的概率密度为：
?
333<
/p>
?
?
?
?
?
9
?
?
?
2
2
2
?
?
333
?
5
?
2
?
5<
/p>
?
?
,
?
?
?
2
?
?
?
,
?
?
?
2
?
?
9
?
?
?
?
?
?
9
?<
/p>
9
?
?
?
(
?
)
?
1
e
5
2
?
2
9
?<
/p>
5
?
2
?
?
?
?
2
?
9
?
?
9
10
?
e
?
< br>81
(
?
?
37
)
2
100
,
?
?
?
?
?
??< /p>
第三章
多维随机变量及其分布
1.[
一
]
在一箱子 里装有
12
只开关，其中
2
只是次品，在其中随机 地取两次，每次
取一只。
考虑两种试验：
（
1
）
放回抽样，
（
2
）
不放回抽样。我们定义随机变量
X
，
Y
如下 ：
?
?
0
,
若第一次取出的是正品
,
X
?
?
?
?
1
,
若第一次取出的是次品
< p>?
?
?
0
,
若第二次取出的是正品
,
Y
?
?
?
?
1
,
若第二次取出的是次品
?
试分别就（
1
）
（
2
）两 种情况，写出
X
和
Y
的联合分布律。
解：
（
1
）放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。
P
(
X=i
,
Y=j
)=
P
(
X=i
)
P
(
Y=j
)
P
(
X=
0,
Y=
0 )=
P
(
X=
0,
Y=
1 )=
P
(
X=
1,
Y=
0 )=
P
(
X=
1,
Y=
1 )=
或写成
X
Y
0
1
（
2
）不放回抽样的情况
P
{
X=
0,
Y=
0 }=
P
{
X=
0,
Y=
1 }=
P
{
X=
1,
Y=
0 }=
P
{
X=
1,
Y=
1 }=
或写成
X
Y
0
1
0
1
10
10
25
?
?
< p>
12
12
36
1
0
2
5
?
?
<
/p>
12
12
36
2
1 0
5
?
?
12
12
36
2
2
1
?
?
12
36
25
36
5
36
10
9
45
?
?
12
11
66
10
2
10
?
?
12
11
66
2
10
10
?
?
12
11
66
2
1< /p>
1
?
?
12
11
66
5
36
1
36
0
1
45
66
10
66
10
66
1
66
3.[
二
]
盒子里装有
3
只黑球，
2
只红球，
2
只白球，在其中任取
4
只球， 以
X
表示
取到黑球的只数，以
Y
表示取到白球的只数，求
X
，
Y
的联合分布 律。
X
Y
0
1
2
3
0
0
0
3
2
35
35
1
0
6
12
2
35
35
35
2
1
6
3
35
35
35
0
解
：
（
X
，
Y
）的可能取值为
(
i
,
j
)
，
i
=0
，
1
，
2
< p>，3
，
为
P
{
C
2
X=
0,
Y=
2 }=
2
C
2
C
4
?
1
7
< br>35
P
{
C
1
C
1
2
X=
1,
Y=
1 }=
3<
/p>
2
C
2
C
4
?
6
7
35
P
{
X=
1,
Y=
2 }=
C
1
2
1
3
< br>C
2
C
2
6
C
4
?
7
35
P
{
X=
2,
Y=
0 }=
C
2
2
3
C
2
C
4
?
3
7
35
P
{
X=
2,
Y=< /p>
C
2
C
1
1
1 }=
3
2
C
2
C
4
?
12
7
35
P
{
X=
2,
Y=
2 }=
C
2
2
3
C
2
C
4
?
3
7
35
P
{
X=
3,
Y=
0 }=
C
3
1
3
C
2
C
4
?
2
7
35
j
=0
，
12
，
i
+
j
≥
2
，联合分布律
3
1
C
3
C
2
4
C
7
P
{
X=
3,
Y=
1 }=
?
2
35
P
{
X=
3,
Y=
2 }=0
< br>?
?
k
(
6
?
x
?
y
),
0
?
x
?
2
,
2
?< /p>
y
?
4
5.[
三
< p>]
设随机变量（
X
，
Y< /p>
）概率密度为
f
(
x
,
y
)
?
?
?
0
,
其它
?<
/p>
（
1
）确定常数
k
。
（
3
）求
P
(
X
<1.5}
（
2
）求
P
{
X
<1,
Y
<3}
（
4
）求
P
(
X+Y
≤
4}
分析：利用
P
{(
X
, Y)
∈
G}=
??
f
x
,
y
)
dx
dy
?
??
f
(
x
,
y
)
dx
dy
再化为累次积分，
其中
G
G
?
D
o
?
0
?
x
?
2
,
?
?
?
D
o
?
?
(
x
,
y
)
?
2
?
y
?
4
?
?
?
?
解：
（
1
< p>）∵
1
?
?
?
??
??
?
?
?
?
f
(
x
,
y
)
dx
dy
?
?
?
0
2
1
2
k
(
6
?
x
?
y
)
dydx
，∴
k
?
3
8
1
8
（
2
）
P
(
X
?
1
,
Y
?
3
)
?
?
?
0
1
dx
3
1<
/p>
2
8
(
6
?
x
?
y
)
dy
?
（
3
）
P
(
X
?
1
.
5
)
?
P
(
X
?
1
.
5
,
Y
?
?
)
?
（
4
）
P
(
X
?
Y
?
4
)
?
?
1
.
5
0
dx
?
1
27
(
6
?
x
?
y
)
dy
?< /p>
2
8
32
4
?
2
0
dx
?
4
?
x
0
1
2
(
6
?
x
?
y
)
dy
?
< br>
8
3
6
．
（
1
）求第
1
题中的随机变量（
X
、
Y
）的边缘分布律。
y
（
2< /p>
）求第
2
题中的随机变量（
X
、
Y
）的边缘分布律。
解：
（
1
）①
放回抽样（第
1
题）
X
Y
0
1
边缘分布律为
0
1
2
x+y=
4
1
25
36
5
36
X
P
i
·
0
5
36
1
36
1
o
x
Y
0
1
5
6
1
6
P
·
j
5
6
1
< br>6
②
不放回抽样（第
1
题）
X
Y
0
1
边缘分布为
0
1
45
66
10
66
X
0
1
10
66
1
66
Y
0
1
P
i
·
5
6
1
6
P
·
j
5
6
1
6
（
2
）
（
X
，
< p>Y）的联合分布律如下
X
Y
0
3
0
0
1
2
3
0
3
8
0
2
3
8
0
3
1
8
1
8
Y
的边缘分布律
Y
1
3
解：
X
的边缘分布律
X
0
1
P
i
·
1
8
3
8
3
8
1
8
P
·
j
6
8
2
8
7
．
．
设二维随机变量（
X
，
Y
）的概率密度为
?
?
4
.
8
y
(
2
?
x
)
f
(
x
,
y
)
?
?
?
?
0
解：
f
X
(
x
)
< p>?
0
?
x
?
1
,
0
?
y
?
x
< p>其它
求边缘概率密度
.
?
?
?
?
?
?
x
4
.
8
y
(
2
?
x
)
dy
?
2
.
4
x
2
(
2
?
x
< p>)
?
f
(
x
,
y
)
dy
?
?
0
?
?
0
?
0
?
x
?
1
其它
f
Y<
/p>
(
y
)
?
?
?
?
?
?
1<
/p>
?
?
?
4
.
8
y
(
2
?
< p>x)
dx
?
2
.
4
y
(
3
?
4
y
?
y
2
)
0
?
y
?
1
< br>f
(
x
,
y
)
dx
?
?
y
?
其它
?
0
8.[
六
]
设二维随机变量（
X
，
Y
）的概率密度为
?
y
?
e
?
,
0
?
x
?
y
< br>f
(
x
,
y
)
?
?
求边缘概率密度。
?
?
0
,
其它
.
y
x=y
解
:
f
X
(
x
)
?
?
?
?
< br>?
?
?
??
e<
/p>
?
y
dy
?
e
?
x
,
x
?
0
?
f
(
x
,
y
)
dy
?
?
x
?
x
0
?
0
,
?
o
x
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