-
五年级最大公因数和最小公倍数
公因数
问
题
1
：
用短除法求下列各组数的最大公因数。
①
12
和
18
②
34
和
102
③
15
和
50
④
12
、
24
和
3 6
想：
用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公 因数，一直除到所得的两
个商只有公因数
1
为止
,
再把所有的除数连乘起来，
所得积就是这两个数的最大公因数。
两个数的最
大公因数用（
）表示。
解
：
①
2
12
18
3
6
9
2
3
②
2
17
34
102
17
51
1
3
③
5
15
50
3
10
④
2
2
3
12
24
36
同时除以公因数
2
6
3
1
12
18< /p>
同时除以公因数
2
6
2
9
3
同时除以公因数
3
除到三个商只有公
因数
1
为止
（
15
、
50
）
= 5
< p>（
12
、
18
）
= 2
×
3
＝
6
（
34
、
102
）
= 2
×
17
＝
34
（
15
、
24
、
36
）< /p>
= 2
×
2
×
3=12
试一试：求下列各组数的最大公因数（用短除法）
①
20
和
30
②
28
和
84
③
54
和
90
④
30
、
45
和
60
问题
2
< p>：求
24
、
60
和
< p>132三个数，共有多少个公因数？其中最大的公因数是多少？
< p>
想：
这道题可用列举法来解答，但比较麻烦。我们可以用短除法求出这三个数的最大 公因数，
然后根据几个自然数最大公因数的因数个数等于这几个自然数公因数的个数的规
律，
找到这三个数
的公因数。
解：
2
2
3
24
60
132
12
30
66
6
2
15
33
5
11
（
24
、
60
、
132
）
=
2
×
2
×
3=12
，因为
24
、
60
和
132
的最大公因数是
12
，而
12=2
2
×
3
，得
（
2+1
）×（
1+1
）
=6
，所以，
24
、
60
和
132
共有
6
个公因数，最大公因数是< /p>
12
。
试一试：
先用短除 法求出每一组数的最大公因数，再求出每组数中公因数的总个数。
①
16
和
24
②
28
和
70
③
150
和
180
④
60
、
75
和
150
问题
3
：
有三根木棒，分别长
< p>12厘米，
44
厘米，
56
厘 米，把它们都截成同样长的小棒（整厘
米）
，不许有剩余，每根小棒最长 能有多少厘米？
想：
把每根木棒截成同样长的小棒后不 许有剩余，
每根小棒的长度必须是各自木棒长度的因数；
把三根小棒截成
同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒的长就是这三根小棒的公因数；每根小棒最
长多少
厘米，就是求这三根小棒的最大公因数。
解：
2
2
12
44
56
6
3
22
28< /p>
11
14
（
12
、
44
、
56
）
= 2
×
2=4
答：每根小棒的长度有
4
厘米。
试一试：
1
、
有三根钢筋，分别长
12
分米，
18
分米、
30
分米，把它们都截成同样长的小段（整分米）
，不许
有剩余，每小段最长是多少分米？
2
、
有
50
< p>个梨、75
个苹果和
100
个桔子，要把这些 水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的
三种水果的个数也相同，最多可以分给几个
小组？每组中每样水果各几个？
问题
4
< p>：一张长方形纸，长
7
分米
5
厘米，宽
6
分米，把它截成一块块相同的正方形。而且正
方形边长为整厘米数，有几种截法？如果要使截得的正方形面积最大，可以截多少块？
想：
7
分米
5
厘米
=75
厘米，
6
分米
=60
厘米。 因为截成的小正方形的边长既是
75
厘米的因数
又是
60
厘米的因数，也就是
75
厘米和
6 0
厘米的公因数，
75
和
60
的公 因数是
1
、
3
、
5
、
15
，所以
有
4
种截法 。
要使截成的正方形面积最大，
那么边长也应该最大，
应该取
75
和
60
的最大公因数
15
作为正方形的边长。
解：
< p>3
5
75
25
5
60
20
12
（
75
、
60
）
= 3
×
5=15
（
75
÷
15
）×（
60
÷
15
< p>）= 20
（块）
因为
的因数有
1
、
3
、
5
、
15
四个。
答：共有
4
种截法，共可以截成
20
块。
试一试
1
、一块长
45
厘米，宽
30
厘米的长方形木板，把它锯成若 干块相同的正方形而没有剩余，
所锯成的正方形的边长（整厘米数）最长是多少厘米？共
能锯成多少块？
2
、把一张长
1
米
5
厘米，宽
7
分米的长方形纸，截成同样的小正方形纸（边长为整厘米）
，而没有
剩余，至少能截成多少块？
问题<
/p>
5
：
一个数除
150
余
6
，除
250
余
10
，除
350
余
14
，这
个数最大是多少？
想：
一个数除
150
余
6
，可以转化为
144
（
150
—
6
）
，同时除< /p>
250
余
10
也可以转化成
240< /p>
（
250
—
10
）
，除
350
余
14
可以转化为
336
（
350
—
14
）
，转化后的三个数都有某数这个因数。求这个数最
大是多少，也就是求
144
、
240
和
336
的 最大公因数是多少。
解：
2
2
2
2
3
144
72
36
18
9
3
240
120
60
30
15
5
336
168
84
42
21
7
（
144
、
240
、
336
）
= 2
×
2
×
2
×
2
×
3=48
答：
这个数最大是
48
。
试一试：
1
、
一个数除
2 00
余
4
，除
300
余
< p>6，除
500
余
10
。这个数 最大是多少？
1
、
如果把
110
块糖平均分给五
（
2
）
班同学，
则多
5
块；
如果把
210
块糖平均分给这个班正好分完；
如果把
240
块糖平均分 给这个班同学，还少
5
块。五（
2
）班最多有多少 个同学？
综合练习：
1
用短除法求下列 各组数的最大公因数。
①
39
和
91
②
74
和
111
③
30
、
45
和
105
④
28
、< /p>
42
和
84
2
、
42
、
70
和
84
三个数的 公因数，共有多少个？其中最大的一个是多少？
2
、
有
A
、
B
、
C
三根金属条，长度分别是
4.8
分米，
6.4
分米，
8
分 米，把它们截成同样的小段，每
段为整厘米，不许剩余，每段最长是多少厘米？共可以截
成多少段？
3
、
将一块 长
60
米、
宽
40
米的长方形土地 划分成面积相等的小正方形
（边长为整米）
。
小正方形的
面积最大是多少？共可以划分成多少块这样的正方形？
4
、
把
160
枝铅笔，
128
本练习本，
96
册故事书， 最多可以分成多少份同样的奖品？在每份奖品中，
铅笔、练习本、故事书各是多少？
5
、
有一个 大于
1
的整数，除
300
、
262
、
205
，得到相同的余数，问这个整数是多少？
6
、
幼儿园老师把
10 0
块饼干平均分给大（
1
）班的小朋友，则多
10
块；如果把
120
块饼干平均分
给这个班
的小朋友正好分完；如果把
85
块饼干，平分给这个班的小朋友还少
5
块。大（
1
）班
小朋友最多有多少人
？
7
、
工人加 工了三批零件，每加工一批零件，除了张师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加
工
的都同样多。已知他们第一批共加工
2100
个，其中张师傅比每个工人多加工< /p>
7
个；
第二批加
工
1800
个，其中张师傅比每个工人多加工
6
个；第三批加工
1600
个，其中张师傅比每个工人
多加工
13
个。这批工人最多有多少个？
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