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让每个人平等地提升自我！
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级
内容标题
编稿老师
一、
教学目标：
（
1
）利用计数原理及排列组合知识解决综合性的实际问题，
（
2
）体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、分类 讨论的数学思想及捆绑法、插
空法、隔板法等数学思想方法的应用
.
二、
知识要点
：
1
.
解决有限制条件的排列组合问题的常用的数学方法：
（
1
）直接法：从问题的正面入手，其基本方法有（
i
）元素分析法：即以元素为主，优
先考虑特殊的元素的要求，再考虑其它的元素
.
（
ii
）位置分析法：即以位置为主，优先考
虑特殊的位置，再考虑其它位置
.
（<
/p>
2
）间接法：就是剔除不符合条件的情况，也叫排除法
.
< p>
在直接法和间接法中常用以下一些方法解决排列与组合问题
.
枚举法：将所有排列的情形一一例举出来（适应排列数较少）
捆绑法：用于两个（或更多）元素排在一起（看成一个元素）
.
插空法：用于两个（或更多）元素不相邻排列
.
隔板法：用于相同的元素分成若干部分
.
每部分至少一个的排列
2
.
某些元素定序排列问题处理方法
对于某些元素定序排列
问题的处理方法有两种：
（
1
）整体法，即有
m+ n
个元素的排成
一列，其中
m
个元素的排 列顺序不变，将（
m+n
）个元素排成一列有
m
?
n
A
m
?
n
m
A
m
高
二
学科
数学
排列与组合解决实际问题（理科）
胡居化
种排法，然后任
种排法，其中只
取一个排列，固定其它
n
个元素位置不动，把< /p>
m
个元素交换顺序，
共有
m
?
n
A
m
?
n< /p>
m
A
m
有一个排
列是我们需要的，因此共有
种不同的排法
.
（
2< /p>
）逐步插空法
.
3
.
分组分配问题的处理方法
（
1
）分组问题的处理途径：
（
a
）非均匀不编号分组：即将
n
个不同的元素分成
m
组，每组元素个数均不同，
（
m
组中的元素个数分别是
a
1
,
a
2
,
?
,
a
m
，其中
则分法种数是
a
1
?
a
2
?
?
?
a< /p>
m
?
n
）
a
m
a
1
a
2
< br>C
n
?
C
n
?
?
?
C
< br>?
a
1
a
m
（
b
）均匀不编号分组（平均分组）
：将
n
个不同的元素平均分成
m
组（每组元素个数
a
a
a
C
n
C
n
?
a
?
?
?
C
a
m
A
m
相同都是
）
，则不同的分组方法有
，
（其中
n=ma
）
1
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让每个人平等地提升自我！
（
2
）分配问题：将
n
个不同的元素分给
m
个人称为分配问题，处理的方法：先分组后
分配
.
【典型例题】
知识点一：有限制条件的排列组合问题
例
1
.
某电脑用户计划 使用不超过
500
元的资金购买单价分别
60
元、
70
元的单片软件
和盒装磁盘，根据需要，软件至少买<
/p>
3
张，磁盘至少买
2
盒，则不同的选购方法有（
）
A
.
5
种
B
.
6
种
C
.
7
种
D
.
8
种
< /p>
题意分析
：
本题是限制条件的组合问题，根据所给选项数字 较小，不好使用计数原理，可用
枚举法解决
.
思路分析：
本题的限制条件有三个，分别是（
i
） 软件至少
3
张，
（
ii
）磁盘至少
2
盒，
（
iii
）
花钱总数不超过
500
元，故要对购买的软件数和磁盘数进行讨论
.
解题过程：
对购买的软件数、磁盘数进行讨论如下：
< /p>
（
1
）软件买
3
张，磁盘买
2
盒，花钱
320
元；
（
2
）软件买
3
张，磁盘买
3
盒，花钱
390
元；
（
3
）软件买
3
张，磁盘买
4
盒，花钱
460
元；
（
4
）软件买
4
张，磁盘买
2
盒，花钱
380
元；
（
5
）软件买
4
张，磁盘买
3
盒，花钱
450
元；
（
6
）软件买< /p>
5
张，磁盘买
2
盒，花钱
440
元；
（
7
）软件买
6
张，磁盘买
2
盒，花钱
500
< p>元.
故选购方式有
7
种，选
C
.
解题后的思考：
本题解决的关键是：
购买的软件数
?
60
?
磁 盘数
?
70
?
500
（单
位是元）
.
体现了分类讨论的数学思想的应用，易错点是：分类出现：重
和漏的现象
.
例
2
.
某小组
6
个人排队照相留念：
< br>（
1
）若分成两排照相，前排
2
人，后排< /p>
4
人，有多少种不同的排法？
（
2
）若分成两排照相，前排
2
人，后排
4< /p>
人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，
有多少种不同的排法？
（
3
）若排成一排照相，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？
（
4
）若排成一排照相，
6
个人中 有
3
名男生和
3
名女生，且男生不能相邻，有多少 种
不同的排法？
（
5
）若甲、乙、丙三人的顺序不变有多少种排法？
题意分析：
本题是排队问题，这类问题都是排列问题
.
思路分析：
对于（
1
）是
6
个元素 的全排列，
（
2
）采用元素分析法，优先安排甲，乙两个特
殊元素，
（
3
）采用捆绑法，
（
4
）采用插空法，
（
5
）定序问题 采用倍缩法
.
解题步骤：
（
< p>1）分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第
3
～
6
个位子看成是第
二排而已，所以实际上是
6
个元素的全排列
A
6
=720
种；
（
2
）
先确定甲的排法，
有
A
2
种，
再确定乙的排法，
有
A<
/p>
4
种，
最后确定其他人的排法，
< br>1
1
6
2
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让每个人平等地提升自我！
有
A
4
种，共有
A
2
A<
/p>
4
A
4
=192
种；
（
3
）采 用
“
捆绑法
”
，先把甲、乙看成
1
人，与其他人排队有
A
5
种，然后甲、乙之间再
排队，有
A
2
种，共有
A
5
A
2
=240
种；
< p>
（
4
）采用
“
插空法
”
，先把
3
名女生的位子拉开，在两端和她们之间放进
< p>4把椅子，如：
×
女
×
女
×
女
×
，再将
3
名男生排在这
4
个位置上有
A
4
种，
3
名女生之间有< /p>
A
3
种排法，
3
共有
A
3
4<
/p>
A
3
=144
种排法
.
5
4
1
1
4
2
5
2
3
3
（
5
） 在不考虑任何限制的条件下
6
个人的排列有
A
6
种，其中甲乙丙三人的排列有
A
3
6
3
A
6<
/p>
种，由于甲乙丙顺序不变，故只有其中的一种排法符合要求，即有
6
?
120
种
.
A
3
3
解题后
的思考：
对于排列组合中必须在一起的元素处理时把它捆绑为一个整体，
然后考虑 其
内部的位置关系；
对于排列中不能相邻的元素，
采用插 空法处理，
即把整个位置看作是一个
抽屉，
把无条件限制 的元素作为隔板安置在抽屉中，
最后把要求不相邻的元素放置在由隔板
所
形成的空格中，
这里应注意，
如果无条件限制的元素有
n
个，
那么它们所形成的空格数目
为
n
＋
1
个
.
例
3
.
3
个大人和
2
个小孩要过河，现有
3
条船，分别能载
3
个、
2
个和
1
个人，但这
5
个人要一次过去，且小孩要有大人陪着，问有多少种过河的方法？
题意分析：
这是一道排列与组合综合性的试题，
是有限制性的排列组合问题，
其限制条件是
在每只船载人的人数限制下小
孩与大人同船，因此需把小孩分类
.
思路分析：
假设
1
号船载
3
人，
2< /p>
号船载
2
人，
3
号船载
1
人，小孩显然不能进第
3
号船，
也不
能两个同时进第
2
号船
.
（
1
个小孩进
3
号船或
2
个小孩进
2
号船没有大人陪伴）
，由此
对小孩“进船”的情
形进行分类
.
解题步骤：
从“小孩”入 手
.
可分为两类
第一类：
2
个小孩同时进第
1
号船，此时必须要有大人陪着
（
i
）
2
个大人同时 进第
2
号船只有
1
种情形，
先选< /p>
3
个大人中的一个进
1
号船有
此时共有
1
1
?
C
< p>3
1
C
3
种，
种过河方法
.
2
1
（
ii
）<
/p>
2
个大人分别进
2
、
3
号船有
A
2
种，再从
3
个大人中选一个人进<
/p>
1
号船有
C
3<
/p>
种，
此时共有
C
3
A
2
，有
N
1
=
1
?
C
3
+
C
3
A
2
=9
（种）过河方法
第二类：
2
个小孩分别进第
1
、
2
号船，此时第
2
号船上的
小孩必须要有大人陪着，另
2
1
2
3
号船，
外
2
个大人
同时进第
1
号船或分别进第
1
、
有过河方法
N
2
?
A
2
C
3
(
1
?
A
2
)
=18
（
种）
< p>.
1
2
1
1
2
因此，过河的方法共有：
N=N
1
+N
2
=27
种
.
3
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解题后的思考：
本题解题的关键是对“元素”
（小孩）分类，即元素分析
.
只有合理的分类才
能解决复杂的问题，
然后先选 后排
.
体现了分类讨论的数学思想的应用，
易错点：
分类不清
.
小结：
本组试题主要是解 决有限制条件的排列组合问题，
解决问题的关键是看什么样的限制
条件？
根据限制条件的不同采用不同的方法，
如排列数较小的问题采用枚举法，
相邻问题 用
捆绑法，不相邻问题用插空法等都是我们解决排列组合问题的常用的方法
.
知识点二：分组分配问题
例
4
.
（
1
）
8
个相同的小球放入四个不同的盒子中，
每 个盒子至少放一个，
共有
_______
种方法？
A
.
3
C
7
B
.
3
A
7
C
.
C
8
4
D
.
A
8
4
题意分析：
本题是分组问题，
把小球分组放入盒子中，
如何分才能保证每一个盒子中至少一
个小球？
思路分析：
要把
8
个小球分成
4
组，可用三块“隔板”隔开，采用隔板法
.
解题
过程：
将
8
个球摆成一列，设法分成四部分，则每种分法对应一种 放法
.
要想分成四部
分，
只需用
3
个隔板将它们隔开
.
8
个球共有
7
个空隙，
选其中
3
个空隙插隔板，
共有
种分法，故共有
35
种放
法
.
解题后的思考：
本题是元素无条件 的分组问题，
把
8
个小球分成
4
组 ，
每组的个数是不定的，
只要在
8
个元素 之间的
7
个空位插入三块隔板
（实际是插入法）
体 现了等价转化思想的应用
.
易
错
点
：
不
能
对
小
球
< p>正确
分
组
.
该
题
的
数
学
模
型
为< /p>
：
方
程
x
1
?
x
2
?
…
…
-
1
?
x
n
?
m
(
m< /p>
,
n
?
N
*
,
m
?
n
)
有<
/p>
C
n
m
-
1
个正整数解
.
C
3
7
?
35
例
5
.
现有
4
套不同的练习题：
（
1
）平均分给
2
名同学有多少种不同的分法？
（
2
）平均分成
2
份，有多少种不同的分法？
题意分析：
本题 是分组分配组合问题，注意（
1
）
（
2
< p>）的区别.
思路分析：
（
1
）
4
套练习题平均分给
2
名同学，一名同学从
4
套练习题中选
2
套，余下< /p>
2
套
给另一名同学，
（
2< /p>
）把
4
套练习题分成
2
份有
2
种重复的情形
.
2
解题过程：
（
1
）甲学生得
2
套，有
C
4
种，乙学生得
2
套有
C
2
种分法，根据乘法原理共有
2
2
=6
种分法
.< /p>
C
4
C
2
（
2
）按（
1
）分法有
A
2
2
种重复，所以不同的分法有
2
C
2
4
C
2
=3
种
.
2
A
2
实验检验：把
A
、
< p>B、
C
、
D
四个字母分成
2
份：⑴
AB
，
CD
；
⑵
AC
，
BD
； ⑶
AD
，
BC
；
⑷
BC
，
AD
；⑸
BD< /p>
，
AC
；⑹
CD
，
A B
；从这个具体例子可以发现，
AB
，
AC
，
AD
，
BC
，
4
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