祖国在我心中的作文七杆机构运动学分析

七杆机构运动学分析
Guowu Wei, Jian S. Dai
英国伦敦WC2R 2 ls伦敦大学,伦敦国王学院, 机械工程系
摘要
这 篇文章探讨一个七连杆3固定旋转节点机构并且提出一种基于从链路参数
变化演变出不同类型的可旋转标 准进行系统的分类。将机构分成两个封闭环路分
别提供端部执行机构的位置和方向。封闭形式的运动学方 程被用作两个四杆解析
方程依次对机构进行几何分析。文章进一步推导出了该机制的雅可比矩阵，并且< br>提出来运动学分析。在此机制的扩展上，此文章探讨了四种典型的机制，检查他
们的工作区域以及 基于所述的雅可比矩阵的奇异性和实现条件数分析确定各向
同性分布。
关键词 三固定旋转节点 分类 运动学 工作空间 奇异性 各向同性

1.前言
采用闭环的连杆机构作为机械手在已经过去的二十年中很受欢迎，闭环机构
在消除出轮系上提供优势 并且使通常要求使用开环机构的驱动传输便利。采用闭
环平面连杆机构，特别是在机器人领域采用两自由 度闭环平面连杆机构开始于
20世纪80年代末。1985年，Asada和Ro[1]引入直接驱动的 两自由度五杆平面
机构以克服所面临额开环机构的问题。1986年Bajpai和Roth[2]分析 了相同的两
自由度五杆机械手作用链路长度对工作空间的影响并对其进行分类分类，1992
年 ，Ting[3]进一步提出了浮动节点的定位方向对工作空间的影响。
20世纪90年代以来，更多 的两自由度平面五杆机构被提出并对它们的几何
学和运动学进行了分析[4-8]。机器人这一领域开始 对七杆机构作为一种类型的双
自由度平面机构有了兴趣。1996年，Gosselin [9]通过在Watt II六杆机构中增加
一个曲柄以形成具有3杆平面并联机构并且有一个复合铰链 的七杆机构，并对其
进行运动学和静态特性分析。利用基本杆组Innocenti[10,11]提出 了三环7杆机构
关于其装配配置的位置分析[12,13]。Fang和Zou[14]剃除提出合成型 的有固定曲
柄的双自由度七杆机构并揭示了四种类型连杆的联系。继此， Balli和 Chand[ 15]
提出的三曲柄平面七杆的合成方法利用死点位置可变的拓扑结构分析，以降低解
空间的机 制。2003年，Du 和Guo[16]提出了六转动副和一个移动副的双自由度
七杆机构的一种新的 金属压力机。2005年，Luo 和 Dai[17]提出了一种有平行四
边环的七杆机构并进行几何 分析。2006年，Tong[18]利用正交路径的概念，研究
了从Stephenson III六杆机构发展而成的三环七杆机构。
在机构的分析过程中，分类有助于确定其共同特征。Wil lis[19]首次提出机制
分类的概念，当时，对于平面连杆机构，最有用的分类方法是用Grash of[20]标准。
Bajpai 和 Roth[2]提出了一种典型分类方式，在五杆机构根据其驱 动连接的可旋
转性[21,22]分为两种类型。每种类型被进一步分成两种类型。Dai和Pares h[23]
通过引入虚拟链路和运动链将可转动性研究扩展到运动学链然后根据其可旋转
性分类 。McCarthy[24]根据由一个四杆机构的二次方程式推导来确定格拉斯霍夫
机构和非格拉斯霍 夫机构的参数T1; T2; T3用8种类型对平面4R连杆机构分类。
其特征的组合被用于确定在分类的曲柄摇杆条件。
通过枚举过程已经提出只存在3种双自由度七杆运动链[25-27]。以上研究，

除了 [17]以外。都是基于只有两个链接在每个固定的固定旋转单联联系旋转接头。
大多数这些机制或者是 通过添加一个链到WattII形成的机制和StephensonIII6杆机
构[28,29]，或 通过在所有非同型联动方式的基本五连杆双自由度机构增加一个双
连杆杆组形成。
本文提出了 由两个环结合产生的一种三曲柄7杆机构，两个环其中之一是利
用链路收缩运作在一个双自由度机构中并 保留一定程度的自由性能。利用连杆的
收缩，它的两个固定支点位于同一个点形成的铰链出。因此，第二 回路呈现一个
减弱链路作为七杆机构的一部分的五连杆。该七杆机构的另一部分是由一个曲柄
和 一个耦合器与框架一起形成四杆机构并且用于改变该机制的端部执行器连接
的位置。七杆机构的两个输入 因此去耦一个提供位置一个提供方向。该机制提供
非圆形轨迹并且可能用在折纸折叠[30]并且还可以 被用于机器人手指[17]和机械
手。本文通过把其分成两个环路研究和分析了此机制，从而将其分成3 2种类型。
基于此分类，本文挑选出可能被用作机器人的四种典型类型，并探讨其工作空间，
奇 异性和各向同性分布。

2.机制的分类

此双自由度三曲柄7杆机构如图1所示
公共杆



图1

该机制的一个固定支点在A，其他两个固定支点在D， D是一个复合铰链。1
杆到7杆的长度命名为
l
1
,l
2
, l
3
,l
4
,l
5
,l
6
,l
7
杆DG命名为
l
3
'
，7杆的延长杆为
l
7
'
。此
七杆机构可分为两个封闭环路。第一个ABCDA(1-4)作为一个驱动环路，第二 个
DEFGD(3,5-7)作为定向环路用来控制耦合杆或执行杆7和其延长杆7’。第二个环
路是一个收缩了的五杆机构。要注意的是杆3 是两个环共有的，其姿态由第一
个环路决定。一旦它被 安装在第一个环路上，第二个环路就成了四杆机构。在此
装制中，机构的工作空间由耦合器末端执行杆7 决定。耦合器连杆7的位置由
第一环路的曲柄1和连杆2决定。这些环节构成了四连杆从而与第二环路的 主五
杆机构构成了具有3曲柄的七杆机构。
基于两个分开的环路，分类可以由两个环路的联合 来呈现。对于第一环路，
考虑分类的方便与简洁，此机制分为四种驱动模型1-4，与格拉斯霍夫连杆： 曲

柄摇杆、双曲柄、摇杆曲柄和双摇杆一致。


表1
七杆机构的分类
环2的分类
环1的分类
分类
（+,+,+）（-,-,+）
曲柄摇杆
（+,-,-）
其他组合
（+,+,+）
（-,-,+）
双曲柄
（+,-,-）
其他组合
（+,+,+）
（ -,-,+）
曲柄摇杆
（+,-,-）
其他组合
（+,+,+）
（- ,-,+）
摇杆曲柄
（+,-,-）
其他组合










摇杆曲柄
无曲柄 存在
D4d3
D4d4
摇杆曲柄
无曲柄存在
曲柄摇杆
双曲柄
D3d3
D3d4
D4d1
D4d2
摇杆曲柄
无曲柄存在< br>曲柄摇杆
双曲柄
D2d3
D2d4
D3d1
D3d2
摇杆曲柄
无曲柄存在
曲柄摇杆
双曲柄
D1d3
D1d4
D2 d1
D2d2
类型
曲柄摇杆
双曲柄
D1d1
D1d2机制的类型

对于第二个环路，下面是用三个参数表示的二次联动方程

参数组合（T1; T2; T3）可以通过确定曲柄的存在来确定类型I 和类型II的联系，此结论可应
用在八个基本杆组中。前面三种连杆组合遵循格拉斯霍夫标准归为类型I ，后面五种归为二
类型II。类型II包括一个格拉斯霍夫双摇杆机构和四种非格拉斯霍夫双摇杆机构。 也就是说，
在第二个环中类型II没有曲柄。
到目前为止，在第一个环中的每种类型，两大类 八种机构都已经提到。因此，此机制可
以分为32种类型并且命名为
m
i
t< br>j
(这里i=1,2,3,4对应于环路1的驱动类型，j=1,2…，7,8对
应于环 路2的8种类型）。因此，基于对环路1和环路2的分类，机制的分类在如表1所示。
此分类可以作如下解释。当环路1在表1中为曲柄摇杆驱动方式1时，根据上述参数排
列环路2 可分为两种大类里面包含8种类型。在第一大类，有三种类型分别为
m
1
t
1
,m
1
t
2
,m
1
t
3

如果环路2是曲柄摇杆机构（+++），此机制命名为
构（--+），此机制命名为
m
1
t
1
。如果环路2时双曲柄机
m
1
t
2
。如果环路2是摇杆曲柄，则命名为
m
1
t
3
。考虑到
第 二大类的分类，有五种类型如下。当环路2满足格拉斯霍夫准则并且是双摇杆
机构（-+-），此机制命 名为
m
1
t
4
。另外，环路2是非格拉斯霍夫双摇杆机构（---） ，
（++-），（+-+），（-++）,则机制命名分别命名为
m
1
t5
,m
1
t
6
,m
1
t
7
, m
1
t
8
。
同样的，当环路1时双曲柄作为驱动方式2时，环路2 的分类与上述相同。
所有机制的类型为
m
2
t
j
（这里j= 1,2…，7,8）。
另外，当环路1成为双曲柄或双摇杆机构，也就是机制为驱动方式3和驱动方式4时。机制的分类为
m
3
t
j
和
m
4t
j
（这里j=1,2…，7,8）。
因此，七连杆机构可以演变成32种类型 ，在此基础上，人们可以方便的从
表1中选一种合适的类型作为特殊的应用。

3.机制的几何分析和雅克比矩阵

如图2建立坐标系，D为原点，x轴与杆4共线 。连杆1、连杆3、连杆5和
末端执行件连杆7的的角位移，分别为θ1、θ3、θ5和θ7。另外连杆 1作为
机制的主动件，连杆5被用来改变耦合器连杆7方向。

图２

在环路1中，杆1作为输入部件，杆3作为输出部件，Ｂ、Ｃ的坐标为

这里角位移θ1是环路１杆１的输入角度，角位移θ3是环路１杆３的输出角度
假定所有的链 接都是刚性的，接地Ｂ和Ｃ的距离在连杆的运动中保持不变。因此，
下面的同一性才存在。
⑵
⑴
将⑴式代入⑵式，可以推得

这里：
⑶

在式⑶中，正号对应图2 当前位置点C，负号对应CD延长端的的位置。一旦输入角位移θ1
确定，输出角位移θ3也就确定了。 一旦杆3的位置确定了，则环2中由五杆机构缩减而成
的四杆机构的运动学方程可以如下推导。
与环1的四杆机构相同，E点和F点的位置坐标如下。
⑷
这里杆5的角位移θ5是环2的输入角，而θ7是环2的输出角。考虑到E和F之间距离不
变性，下面的同一性存在。
⑸

将⑷式代入⑸式，整理参数cosθ 7 和 sin θ7，结合三角函数tan(θ2)与sinθ、cosθ之
间的积分关系。则角位移θ7就如下所示。
⑹
这里

这里的θ3由环1求得。
在此机制中，点H是末端执行点，杆7的定位角θ7可以通过上述方 程得到，点G的坐
标可以如下给出。
⑺
末端执行点H的坐标可以表示为

将⑻式求导，可得
⑻

这里
⑼
?
和
?
?
是杆3和杆7的角速度。 是末端执行点H的速度矢量，< br>?
37
相关而不是与执行件相要提出来的是，在⑼式中，末端执行点的速度与
关 。为表示末端执行点H相对执行件
如下方程。
的速度，采用式⑵和式⑸对时间的导数，可得
⑽





第八页：
因此，此种类型的七杆机构的工作空间如图4描述。
在图4中，阴影部分表示的是H点的工作 空间，两个虚线圆
C
min
和C
max
是其边界。可

以从图3中看出，点H的轨迹在两个同心圆之间。这就类似于环2的结果[2,3]也可以看出工
作空间由一系列圆心在G点的圆弧构成，这些圆弧都是构成环形的一部分。此外，由于环2
时封闭的曲 柄连杆机构并且杆7不能做整周运动，两个圆弧半径r和R可以由式⒀和式⒁所
得。
应该指出 来的是，末端执行点H的轨迹实际上与两个驱动杆的角速度相关，
?
和
?
?< br>是不变的则这里的u可以是任何实数，在此研究中，假设
?
15
.实际上，H点 的
轨迹是一个齿轮五杆机构的曲线，它的曲线程度和几何性质取决于齿轮比[31.32]。当u=0时 ，
假定杆5静止，那么H点的轨迹就是六杆机构曲线了。对于m1t1类型的七杆机构，一个有
趣的现象在本文中提出过。当u=1时，末端执行点的轨迹没有交叉点。u=2时，轨迹交叉一
次。u= n时，轨迹交叉n-1次。简图如图5所示。
在图5中，阴影部分是H点的工作空间，当u=n时，曲 线的路径是固定的。这个现象
表示可以用来一些特殊的情况比如要轨迹交叉的情况。





图5 m1t1型七杆机构末端点轨迹



图6 m1t2型工作空间

考虑到m1t2型七杆机构，环 2是双曲柄并且杆7可以整周旋转，构成封闭工作区域两
个圆的半径可以从式⒀和式⒁中推导出来
r?l
3'
?l
7'
和R?l
3'
?l
7'，这与θ7=0和θ7=π
一致。m1t2型的工作空间如图6所示。可以发现由于环2是双曲柄机 构，其末端执行点的

轨迹是一系列以G点为圆心的圆，并且所有的这些圆与两个边界圆< br>C
min
和
C
max
相切。
然而，由于环1是曲柄 摇杆机构，此类型的工作空间只占有环形面积的一部分。另外，
C
1
和C
2< br>交叉部分也不能达到因为杆3角位移θ3的极限.应该指出来的是，
C
1
和C< br>2
的圆心
分别为G’和G’’。G’和G’’是杆3到达两个极限位置
?
3min
和
?
3max
G点所对应的位置。

4.2 驱动模式2下的工作空间

作为驱动模式2，环1是双曲柄机构。在此情况下，4杆机构的最 短杆就是机架。因此，
杆1和杆3可以围绕Ａ和Ｄ作整周旋转。
对m2t2型，环2时曲柄摇 杆机构，杆7的定向范围是
?
?
7min
,
?
7max?
和
?
?
?
7min
,?
?
7max
?
。
因此边界圆的半径由式⒀和式⒁中推导得出。




图7 m2t1型工作空间






图8 m2t2型工作空间

< br>可以从图7中看出，m2t1型的工作空间是由一系列的圆弧构成的，H点的轨迹充满在
以
C
min
和C
max
为边界的环形面积中。
考虑到m2t2型， 其环2是双曲柄机构。因此，不仅杆1和杆3可以整周旋转，杆5和
杆7也可以整周旋转。在此情况下， 杆7
?
7min
和
?
7max
为0在式⒀和式⒁中。边界圆
C
min
和C
max
r?l
3'
?l
7'
和R?l
3'
?l
7'
如图8所示。可以看出，此情况下H点有最大 的工作
空间。

5.机制的奇异性

奇异性可以通过雅克比矩阵
J
?
和J
q
分为正向运动学和逆向运动学奇异和两者同时存在
的奇异[33]。

5.1逆向运动学奇异

逆向运动学从给定输出变 量的值计算输入变量的值。逆向运动学奇异通常发生在工作空
间的边界处。此种奇点是联动机构处于边界 位置。根据机构导出的雅克比矩阵式⑿，当满足
下列条件时逆向运动学奇异。

这导致

⒃
由于
3钟条件如下所示。
当 ⒄
和，从几何观点上看，存在
⒂
奇异性出现是当θ7=θ3或者θ7=θ3+π，也就是杆3和杆7共线。
当 ⒅
奇异性出现是当杆1和杆2共线
当 ⒆
奇异性出现是杆5和杆6共线。
逆向运动学奇异相当于在运动学上此机制达到了极限。这几乎 不可能避免因为几何约束
的原因。四杆机构的奇异性轨迹从七杆机构中选择m1t1来描述。奇异性出现 在边界位置a、
b、c和d处如图9a.对于m1t2型，其工作空间受θ3的限制，奇异性出现在外部 边界。进
一步地，奇异性发生在内部边界的特征是
r
1
?l
7'的圆弧e和f如图9b所示，其圆心在G’和

G’’。实际上，当G’和G’’直 接的距离不小于2倍
l
7'
时内边界可以被排除。对于m2t1和m2t2
型 ，环1是双曲柄机构，奇异性出现在边界如图9c和9d所示。
m1t1型
m1t2型



m2t1型
m2t2型

图9 七杆机构的逆向运动学奇异


5.2正向运动学奇异

此种类 型的奇异性在其工作空间范围内,，不同的直接通过运动学解满足不同的机构分
支。其出现在前置雅克比 矩阵行列式为零的时候，即
⒇
从式⑿中，我们有

奇异性存在当

这导致三角形中杆2和杆3是共线的。奇异性同样存在当




导致三角形中杆6和杆7是共线的。
对于本文选择的四种类 型的七杆机构，两个环中不是曲柄摇杆就是双曲柄机构，它们满
足格拉斯霍夫准则，所以在环1中杆1或 杆4是最短杆，在环2中杆5或杆3’是最短杆因此

式（22）和式（23）中的条件不 能满足从而不能导致正向运动学奇异。这个可以通过环2
举例证实。假设杆5或杆3’是环2中的最短杆 ，假定杆6和杆7共线此时环2DEFGD成了三
角形DEF，这导致

5.3同时存在的奇异性

此奇异性出现的条件是
J
?
和 J
q
同时为0。通常来说此奇异性仅出现在特殊的机构中。
对于本文所研究的七杆机构 ，这种特殊情况相当于两个环至少一个成为可折叠的机构。这种
类型的奇异性可以通过选择合适的运动学 参数避免。

6.机制的各向同性

雅克比矩阵的条件数被定义成其最大 奇异值（
?
max
）与最小奇异值（
?
min
）
的 比
。这个否定了表1中T3>0这个条件
k(J)?
?
max

?
min
或者
（24）
其取值范围为

以上应用的准则是
（25）
这里假定矩阵J是m×m型，且m=2.
逆条件数在[0,1]的范围内有值，经 常被用来表示机械手的各向同性。其已经揭示越大的
逆条件数则机械手的可操作性越好。在奇异性构型中 ，雅克比矩阵逆条件数为0.
将式（11）代入式（24）中，雅克比矩阵的条件数可以如下求出
（26）
这里


并且W、V、U与式（10）中的相同
将（2 6）式应用在四种类型的七杆机构中，逆条件数相对于输入角度θ1和θ5的变化
可以从图10得到。越 小的逆条件数则越靠近奇异性机构，则有更差的各向同性。从图9中
可以看出，用相同的输入角θ1和θ 5，逆条件数的变化取决于杆的长度，杆长的不同这导
致不同的机构类型。同样要指出来的是，在先前的 分析中m2t1和m2t2的工作空间比m1t1h
和m1t2的大，但是各向同性的分布前者未必比后 者好。

图10



图11



图12

另外，为了更好的观察你条件数对于两个输入角度的变化，四种类型七杆机构 关于两个
输入角的变化在图11和图12所示。
图11表示，图中每条曲线都有一到两个尖点 与相应机构的奇异性点对应。例如：虚线
表示的是m1t1型机构机构逆条件数的变化，两个尖点出现在 θ=0.69和θ=4.03处，这刚好
是杆3出现两个极限位置的时刻，这导致了边界奇异性如5.1 节中的图9所示。
与图11一样，图12也描述了奇异性出现的时候。应该要指出来的是假如一些情况 其机
构的各向同性已经得到，则要得到最优化的各向同性分布[34-36]则需要合适的杆长。

7.该机制的一个应用

在本文中的机制可以备用来设计成一个封闭的机 械手，其位置和方向可以如上所述确定。
一个典型的配置如图13所示，其是可以用于折纸加工的机械手 [30]
应用这种类型的机械手控制纸盒的某个点，机械手可以帮助折叠纸箱[37-39].本文的 此
项研究可以优化折叠机的灵活性和工作空间如图14所示。





图13 七杆机构的机械手

机器人手指
机器人手指
纸板箱






图14 折纸机

8.结论

本文研究了七杆机构以及基于其旋转标准分成的它的各种形式。该机制被分成一个四杆
机构和一个缩减了机架杆的五杆机构。该机制演变综合为32种类型。基于这个并且逐一介
绍两个四杆 机构的分析方程，该机制的几何学与运动学分析被验证而且其雅克比矩阵被提出。
利用其雅克比矩阵确定 了其工作空间、奇异性和各向同性分布。得到的结论是;对于本文挑
选的四种类型机构，其工作空间依赖 于两个子机构的可旋转性，其工作空间内逆向运动学奇
异存在的本质是遵循了格拉斯霍夫准则。正向和逆 向同时存在的奇异性可以用适当的杆长来
避免。本文也揭示了各向同性不仅取决于机构的运动学参数，也 取决于输入变量。