关于保护环境的建议书2012年江苏省高考数学试卷(含解析版)

水秀中华
2012年江苏省高考数学试卷

一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答
题卡相应位置上．

1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B= ．

2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层
抽样的方法 从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二
年级抽取 名学生．

3．（5分）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为 ．

4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ．


5．（5分）函数f（x）=的定义域为 ．

6．（5分）现有10个数， 它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，
若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的 概率是 ．

7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=AD=3cm，AA
1
= 2cm，则四棱
锥A﹣BB
1
D
1
D的体积为 cm
3
．


8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
m的值为 ．

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的离心率为，则

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9．（5分）如图，在 矩形ABCD中，AB=
CD上，若=，则
，BC=2，点E为BC的中点，点F在边
的值是 ．


10．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数， 在区间[﹣1，1]上，f（x）
=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为 ．

11．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为 ．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x
2
+y
2
﹣8x+15=0，若直线
y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有 公共点，
则k的最大值是 ．

13．（5分）已知函数f（x）=x
2
+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x
的不等式f（x）＜c的解集 为（m，m+6），则实数c的值为 ．

14．（5分）已知正数a，b，c满足： 5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的
取值范围是 ．



二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答< br>时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）在△ABC中，已知
（1）求证：tanB=3tanA；

（2）若cosC=



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．

，求A的值．

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16．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，A
1
B
1< br>=A
1
C
1
，D，E分别是棱BC，
CC
1
上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B
1
C
1
的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；

（2）直线A
1
F∥平面ADE．






17．（14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直 于地平
面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
y=kx﹣（ 1+k
2
）x
2
（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射< br>程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在 第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它
的横坐标a不超过多少时，炮弹 可以击中它？请说明理由．






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18．（16分）若函数y=f（x）在x=x
0
处取得极大值或极小值，则称x
0
为函数y=f
（x）的极值点．已知a，b是实数， 1和﹣1是函数f（x）=x
3
+ax
2
+bx的两个
极值点．
（1）求a和b的值；

（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；

（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．






19．（16分）如图，在平面直角 坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、
）都在椭圆右焦点分别为F
1
（﹣c，0 ），F
2
（c，0）．已知（1，e）和（e，
上，其中e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF< br>1
与直线BF
2
平行，AF
2
与BF
1
交于 点P．

（i）若AF
1
﹣BF
2
=，求直线AF
1
的斜率；

（ii）求证：PF
1
+PF
2
是定值．



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20．（16分）已知各项均为正数 的两个数列{a
n
}和{b
n
}满足：a
n
+
1< br>=
∈N
*
，

（1）设b
n
+
1< br>=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；

，n
（2）设b
n
+
1
=








?，n∈N*，且{a
n
}是 等比数列，求a
1
和b
1
的值．
三、附加题(21选做题：任选2 小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40
分）

21．（20分）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]

如图，AB是圆O的直径，D ，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至
点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．
求证：∠E=∠C．









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B．[选修4﹣2：矩阵与变换]

已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．





C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]

在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆 心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与
极轴的交点，求圆C的极坐标方程．






D．[选修4﹣5：不等式选讲]

已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．





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22．（10 分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当
两条棱相交时，ξ=0；当两条棱 平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条
棱异面时，ξ=1．

（1）求概率P（ξ=0）；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．








23．（10 分）设集合P
n
={1，2，…，n}，n∈N
*
．记f（n）为同时满足下 列条件
的集合A的个数：

①A?P
n
；②若x∈A，则2x?A； ③若x∈
（1）求f（4）；

（2）求f（n）的解析式（用n表示）．



A，则2x?A．

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2012年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析



一、填空题：本大题共14小题，每小题 5分，共计70分．请把答案填写在答
题卡相应位置上．

1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则 A∪B= {1，2，4，6} ．


【考点】1D：并集及其运算．

【专题】5J：集合．

【分析】由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集 的运算规则直接得
到两个集合的并集即可

【解答】解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，

∴A∪B={1，2，4，6}

故答案为{1，2，4，6}

【 点评】本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的
运算定义



2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分 层
抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二
年级抽取 15 名学生．


【考点】B3：分层抽样方法．

【专题】5I：概率与统计．

【分析】根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例 ，用要抽取得样本容量乘
以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．

【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，

∴高二在总体中所占的比例是=，

∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，

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∴要从高二抽取
故答案为：15

，

【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所< br>占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．



3．（5分）设a，b∈R，a+bi=

（i为虚数单位），则a+b的值为 8 ．

【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．

【专题】5N：数系的扩充和复数．

【分析】由题意，可对复数代数式分子与分母都 乘以1+2i，再由进行计算即可得
到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的 值，从而得到所求的
答案

【解答】解：由题，a，b∈R，a+bi=
所以a=5，b=3，故a+b=8

故答案为8

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘 以分母
的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的
充分条件是将 复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转
化．



4．（5分）图是一个算法流程图，则输出的k的值是 5 ．



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【考点】E7：循环结构．

【专题】5K：算法和程序框图．

【分析】利用程序框图计算表达式的值，判断是否 循环，达到满足题目的条件，
结束循环，得到结果即可．

【解答】解：1﹣5+4= 0＞0，不满足判断框．则k=2，2
2
﹣10+4=﹣2＞0，不满足
判断框的条件 ，

则k=3，3
2
﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，4
2
﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，
5
2
﹣25+4=4＞0，成立 ，

所以结束循环，

输出k=5．

故答案为：5．

【点评】本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．



5．（5分）函数f（x）=

的定义域为 （0，] ．

【考点】4K：对数函数的定义域．

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，
根据对数的单调 性解出不等式的解集，得到结果．

【解答】解：函数f（x）=
∴
∴
∴
∴0，

]

，x＞0

，x＞0，

，x＞0，

要满足1﹣2≥0，且x＞0

故答案为：（0，
【点评】本题考查对数的定 义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，
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水秀中华 开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的
底数不等于0，这种 题目的运算量不大，是基础题．



6．（5分）现有10个数，它们能构 成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，
若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是

．

【考点】87：等比数列的性质；CB：古典概型及其概率计算公式．

【专题】54：等差数列与等比数列；5I：概率与统计．

【分析】先由题意写出成 等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，
代入古典概论的计算公式即可求解
【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）
2
，（﹣3）
3
…（﹣
3）
9

其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）
3
，（﹣3）
5
，（﹣3）
7
，（﹣3）
9
共6个 数

这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=
故答案为：
< br>【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属
于基础试题



7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=AD=3cm，AA
1
=2c m，则四棱
锥A﹣BB
1
D
1
D的体积为 6 cm
3
．




【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．

【分析】过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．

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【解答】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=
所以四棱锥A﹣BB
1
D
1
D的体积为V=
故答案为：6．

=6．

=，

【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．



8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线
m的值为 2 ．


的离心率为，则
【考点】KC：双曲线的性质．

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由双曲线方程得y
2
的分母m
2
+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因
此a
2< br>=m＞0，可得c
2
=m
2
+m+4，最后根据双曲线的离心率为建立关于m的方程：m
2
+m+4=5m，解之得m=2．

【解答】解：∵m
2
+4＞0

∴双曲线的焦点必在x轴上

，可得c
2
=5a
2
，
因此a
2
=m＞0 ，b
2
=m
2
+4

∴c
2
=m+m
2
+4=m
2
+m+4

∵双曲线
∴
的离心率为，

，可得c
2
=5a
2
，

所以m
2
+m+4=5m，解之得m=2

故答案为：2

【点评】本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的
值，着重考查了 双曲线的概念与性质，属于基础题．



9．（5分）如图，在矩形ABC D中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边
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CD上，若=，则的值是 ．



【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．

【专题】5A：平面向量及应用．

【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边 所在的向量来表示，做出要用
的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等
于0，得到结果．

【解答】解：∵
=
∴|
∴
2+
|=1，|
=（
+2=，


，

===||=，

|=﹣1，

）（）==﹣=﹣
故答案为 ：
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表
示成已知向量 的和的形式，本题是一个中档题目．



10．（5分）设f（x）是定义 在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）
=

其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为 ﹣10 ．

【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；3Q：函数的周期性．

【专题】51：函数的性质及应用．

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【分析】由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f
（）=f（ ﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关
于a，b的方程组可得到a ，b的值，从而得到答案．

【解答】解：∵（fx）是定义在R上且周期为2的函数，（fx）=，

∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=
∴1﹣a=①

；又=，

又f（﹣1）=f（1），

∴2a+b=0，②

由①②解得a=2，b=﹣4；

∴a+3b=﹣10．

故答案为：﹣10．

【点评】本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法 ，着重考查方程
组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．



11．（5分）设α为锐角，若cos（α+

）=，则sin（2α+）的值为 ．

【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用 ；GP：两角和与差的三角函数；GS：
二倍角的三角函数．

【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．

【分析】先设β= α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用
）的值．

两角和的正弦公式得到sin（2α+
【解答】解：设β=α+，

∴sin β=，sin2β=2sinβcosβ=
∴sin（2α+）=sin（2α+
，cos2β =2cos
2
β﹣1=
﹣
，

）=sin2βcos﹣）=sin（2β﹣
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cos2βsin
故答案为：
=
．

．

【点评】本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，
着重考查了两角和与差的正 弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考
查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．



12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x
2
+y
2
﹣8x+15=0，若直线
y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆C有公共点，
则k的最大值是

．

【考点】J9：直线与圆的位置关系；JA：圆与圆的位置关系及其判定．

【专题】5B：直线与圆．

【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）
2
+y
2
=1，由题意可知，只需（x﹣4）
2
+y
2
=1
与直线y=kx﹣2有公共点即可．

【解答】解：∵圆C的方程为x
2+y
2
﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）
2
+y
2
=1，即圆C
是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；

又直线y=kx﹣2上至少 存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公
共点，

∴只需圆C′：（x ﹣4）
2
+y
2
=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．

设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，

则d=≤2，即3k
2
﹣4k≤0，

∴0≤k≤．

∴k的最大值是．

故答案为：．

【点评】本题考查直线与圆的位 置关系，将条件转化为“（x﹣4）
2
+y
2
=4与直线
y=kx﹣ 2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．

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13．（5分）已知函数f（x）=x
2
+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x
的不等式f（x）＜c的解集 为（m，m+6），则实数c的值为 9 ．


【考点】3V：二次函数的性质与图象．

【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．

【分析】根据函数 的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）
=c的两个根为m，m+6，最后利用根 与系数的关系建立等式，解之即可．

【解答】解：∵函数f（x）=x
2
+ ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），

∴f（x）=x
2
+ax +b=0只有一个根，即△=a
2
﹣4b=0，则4b=a
2

不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），

即为x
2
+ax+b＜c解集为（m，m+6），

则x
2
+ax+b﹣c=0的两个根x
1
，x
2
分别为m，m+6

∴两根之差为|x
1
﹣x
2
|=|m+6﹣m|=6

根据韦达定理可知：

x
1
+x
2
=﹣=﹣a

x
1
x
2
==b﹣c

∵|x
1
﹣x
2
|=6

∴
∴
∴
解得c=9

故答案为：9

【点 评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考
查了分析求解的能力和计算能 力，属于中档题．



14．（5分）已知正数a，b，c满足：5c﹣3 a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的
取值范围是 [e，7] ．

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=6

=6

=6

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【考点】6E：利用导数研究函数的最值；7I：不等式的综合．

【专题】53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．

【分析】由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；
由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x
＞1），利用其导数可求得 f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．

【解答】解：∵4c﹣a≥b＞0

∴＞，

∵5c﹣3a≤4c﹣a，

∴≤2．

从而 ≤2×4﹣1=7， 特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：
b：c=1：7：2．

又clnb≥a+clnc，

∴0＜a≤cln，

从而≥，设函数f（x）=（x＞1），

∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（ x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e
时，f′（x）=0，

∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．

∴f（x）
min
=f（e）==e．

等号当且仅当=e，=e成 立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，
从而e可以取得，等号成立当且仅当a：b：c =1：e：1．

从而的取值范围是[e，7]双闭区间．

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【点评】本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最 小
值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难
题．



二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答< br>时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）在△ABC中，已知
（1）求证：tanB=3tanA；

（2）若cosC=

．

，求A的值．

【考点 】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应
用；HU：解三角形．

【专题】56：三角函数的求值；58：解三角形；5A：平面向量及应用．

【 分析】（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两
边同时除以c化简后，再 利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三
角函数间的基本关系弦化切即可得到tan B=3tanA；

（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本 关系求出
sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由
t anC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利
用两角和与差的正切 函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的
方程，求出方程的解得到tanA 的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的
三角函数值即可求出A的度数．

【解答】解：（1）∵?=3?，

∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，

由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，

又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，

水秀中华

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在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；

（2）∵cosC=
sinC=
∴tanC=2，

则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，

∴=﹣2，

=﹣2，

=
，0＜C＜π，

，

将tanB=3tanA代入得：
整理得：3tan
2
A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，

解得：tanA=1或tanA=﹣，

又cosA＞0，∴tanA=1，

又A为三角形的内角，

则A=．

【点评】此题属于解三角形的题 型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，
正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两 角和与差的正切函数
公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．



16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，A
1
B
1
=A
1
C1
，D，E分别是棱BC，
CC
1
上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B
1
C
1
的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；

（2）直线A
1
F∥平面ADE．



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【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．

【专题】5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．

【分析】（1）根据三棱柱 ABC﹣A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，得到CC
1< br>⊥平面ABC，从而
AD⊥CC
1
，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1
是平面BCC
1
B
1
内的相交直线，得
到AD⊥平面 BCC
1
B
1
，从而平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；

（2）先证出等腰三角形△A
1
B
1
C1
中，A
1
F⊥B
1
C
1
，再用类似（1）的 方法，证出
A
1
F⊥平面BCC
1
B
1
，结合AD ⊥平面BCC
1
B
1
，得到A
1
F∥AD，最后根据线面平 行
的判定定理，得到直线A
1
F∥平面ADE．

【解答】解：（1 ）∵三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，

∴CC
1
⊥平面ABC，

∵AD?平面ABC，

∴AD⊥CC
1

又∵AD⊥DE，DE、CC
1
是平面B CC
1
B
1
内的相交直线

∴AD⊥平面BCC
1
B
1
，

∵AD?平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；

（2）∵△ A
1
B
1
C
1
中，A
1
B
1=A
1
C
1
，F为B
1
C
1
的中点< br>
∴A
1
F⊥B
1
C
1
，

∵CC
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，A1
F?平面A
1
B
1
C
1
，

∴A
1
F⊥CC
1

又∵B
1
C
1
、CC
1
是平面BCC
1
B
1
内的相交直线
∴A
1
F⊥平面BCC
1
B
1

又∵AD⊥平面BCC
1
B
1
，

∴A
1
F∥AD

∵A
1
F?平面ADE，AD?平面ADE，

∴直线A
1
F∥平面ADE．

【点评】本题以一个特殊的直三棱柱 为载体，考查了直线与平面平行的判定和平
面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．



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17．（14分）如图， 建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平
面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原 点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
y=kx﹣（1+k
2
）x
2
（k ＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射
程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高 度为3.2千米，试问它
的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．



【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．

【专题】51：函数的性质及应用．

【分析】（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣
标，求出后应用基本不等式求解．

（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．

【解答】解：（1）在 y=kx﹣（1+k
2
）x
2
（k＞0）中，令y=0，得 kx﹣（1+k
2
）
（1+k
2
）x
2
（k＞0）与x轴的横坐< br>x
2
=0．

由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．

∴，当且仅当k=1时取等号．

∴炮的最大射程是10千米．

（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0，使ka﹣
成立，

即关于k的方程a
2
k
2
﹣20ak+a
2
+64=0有正根．

由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，

故只需△=400a
2
﹣4a
2
（a
2
+64）≥0得a≤6．

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（1+k
2
）a
2
=3.2

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此时，k=＞0．

∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．

【点评】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决
问题的能力，属于中档题 ．



18．（16分）若函数y=f（x）在x=x
0
处取得极大值或极小值，则称x
0
为函数y=f
（x）的极值点．已知a，b是实数， 1和﹣1是函数f（x）=x
3
+ax
2
+bx的两个
极值点．
（1）求a和b的值；

（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；

（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．


【考点】51：函数的零点；6C：函数在某点取得极值的条件．

【专题】53：导数的综合应用．

【分析】（1）求出 导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求
解即可．

（2）由（1） 得f（x）=x
3
﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．
< br>（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）
的零点．

【解答】解：（1）由 f（x）=x
3
+ax
2
+bx，得 f′（x）=3x
2
+2ax+b．

∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，

∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′ （﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．

（2）由（1）得，f（x）=x
3
﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x
3
﹣3x+2=（x﹣1）2
（x+2）
=0，解得x
1
=x
2
=1，x
3
=﹣2．

∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，

∴﹣2是g（x）的极值点．

∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x） 的极值点．

∴g（x）的极值点是﹣2．

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（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．

先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]

当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和﹣2，注意到f
（x）是奇函数，

∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．可得d=2和d=﹣2均有5个零点；

当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2
﹣d＜0，

∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．

由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．

①当x∈（2，+∞）时，f ′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f
（2）=2．

此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．

②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．

又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，

∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．

同理，在（一2，一1）内有唯一实根．

③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．

又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，

∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．

因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x
1
，x
2
，满足|x
1|=1，|x
2
|=2；当
|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3
，x
4
，x
5
，满足|x
i
|＜2，i=3 ，4，5．

现考虑函数y=h（x）的零点：

（ i ）当|c|=2时 ，f（t）=c有两个根t
1
，t
2
，满足|t
1
|=1， |t
2
|=2．而f（x）=t
1
有三个不同的根，f（x）=t
2
有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．

（ i i ）当|c|＜2时 ，f（t）=c有三个不同的根t
3
，t
4
，t
5
，满足| t
i
|＜2，i=3，
4，5．

而f（x）=t
i
有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．

另解：考虑用换元法x
3
﹣3x=t，f（f（x）=c=2时，f（t）=2时，

函数的根t=﹣1，或t=2，所以f（x）=﹣1，有3个零点，

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f（x）=2，有2个零点．共5个零点．

同理，f（t）=﹣2，t=﹣2或1，f（x）=﹣2，且f（x）=1，

解得5个零点．

下面易知取特殊值，x
3
﹣3x=±，x
3
﹣3x=0，共有9个零点．

综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5 个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）
有9 个零点．

【点评】本题考查导数 知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查
函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性 强，难度大．



19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭 圆（a＞b＞0）的左、
）都在椭圆右焦点分别为F
1
（﹣c，0），F
2< br>（c，0）．已知（1，e）和（e，
上，其中e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF< br>1
与直线BF
2
平行，AF
2
与BF
1
交于 点P．

（i）若AF
1
﹣BF
2
=，求直线AF
1
的斜率；

（ii）求证：PF
1
+PF
2
是定值．



【考点】I3：直线的斜率；K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．

【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求
水秀中华

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解．

（2）（i）设AF
1
与 BF
2
的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出
|AF1
|、|BF
2
|，根据已知条件AF
1
﹣BF
2=，用待定系数法求解；

（ii）利用直线AF
1
与直线BF
2
平行，点B在椭圆上知，可得
，
PF
1
+PF
2
是定值．

【解答】（1）解：由题设知a
2
=b
2
+c< br>2
，e=，由点（1，e）在椭圆上，得
∴b=1，c
2
=a
2
﹣1．

由点（e，）在椭圆上，得

，由此可求得
，
∴，∴a
2
=2

．
< br>∴椭圆的方程为
（2）解：由（1）得F
1
（﹣1，0），F
2
（1，0），

又∵直线AF
1
与直线BF
2
平行，∴设 AF
1
与BF
2
的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），y
1
＞0，y
2
＞0，

∴由，可得（m
2
+2）﹣2my
1
﹣1=0．

∴，（舍），

∴|AF
1
|=×|0﹣y
1
|=①

同理|BF
2
|=②

（i）由①②得|AF
1
| ﹣|BF
2
|=，∴，解得m
2
=2．

水秀中华

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∵注意到m＞0，∴m=
∴直线AF
1
的斜率为
．

．

（t为参数，α为倾斜角），

另解：设直线AF
1< br>的方程为
代入椭圆方程，可得（cos
2
α+2sin
2
α） t
2
﹣2tcosα﹣1=0，

可设AF
1
=t
1
，

∵t
1
= AF
1
在x轴上方，t
2
在x轴下方，设直线F
1
A交椭圆 于C，则F
1
C=F
2
B，由于
对称，B、C座标互为相反数，
∴t
2
=﹣BF
2
．

由题意可得t
1
+t
2
=
解得cosα=，sinα=
=
，即有tan α=
．

，即．

，

=．

∴ 直线AF
1
的斜率为
（ii）证明：∵直线AF
1
与直线BF
2
平行，∴
由点B在椭圆上知，，∴．

同理．

∴PF
1
+PF
2
==

由①②得，
∴PF
1
+PF
2
=．

，，

∴PF
1
+PF
2
是定值．

【点评】本题考查椭 圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计
算能力，属于中档题．



水秀中华

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20．（16分）已知各项均为正数 的两个数列{a
n
}和{b
n
}满足：a
n
+
1< br>=
∈N
*
，

（1）设b
n
+
1< br>=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；

，n
（2）设b
n
+
1
=

?，n∈N* ，且{a
n
}是等比数列，求a
1
和b
1
的值．

【考点】83：等差数列的性质；87：等比数列的性质；8H：数列递推式．

【专题】54：等差数列与等比数列．

【分析】（1）由题意可得，a
n< br>+
1
===，从而可得
，可证

（2）由基本不等式可得，， 由{a
n
}是等比
=1，进而可求a
1
，b
1
< br>数列利用反证法可证明q=
【解答】解：（1）由题意可知，a
n
+
1
===

∴

从而数列{}是以1为公差的等差数列

（2）∵a
n
＞0，b
n
＞0

∴

水秀中华

水秀中华
从而（*）

设等比数列{a
n
}的公比为q，由a
n
＞0可知q＞0

下证q=1

若q＞1，则
矛盾

0＜q＜1，则
盾

综上可得q=1，a
n
=a
1
，

所以，
∵

，故当时，与（*）
，故当时，与（*）矛

∴数列{b
n
}是公比的等比数列

若，则，于是b
1
＜b
2
＜b
3

又由< br>（可以得到b
n
=
可得
，即有b
1
=）


∴b
1
，b
2
，b
3
至少有两项相同， 矛盾

∴
∴
，从而

=

【点评】本题主 要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应
用，解题的关键是反证法的应用．



三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满 分40
水秀中华

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分）

21．（20分）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]

如图，AB是圆O的直径，D ，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至
点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．
求证：∠E=∠C．

B．[选修4﹣2：矩阵与变换]

已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．

C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]

在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆 心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与
极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

D．[选修4﹣5：不等式选讲]

已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．



【考点】OV：特征值与特征向量的计算；Q4：简单曲线的极坐标方程；R6：不
等式的证明；R8：综合法与分析法(选修）．

【专题】59：不等式的解法及应用；5B： 直线与圆；5R：矩阵和变换；5S：坐标
系和参数方程．

【分析】A．要证∠E= ∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是
同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中 垂线上的点到线段两端的距离
相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．

B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值．

水秀中华

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C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣
圆 经过点P（，
）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据
），求出圆的半径，从而得到圆的极坐 标方程．

D．根据绝对值不等式的性质求证．

【解答】A．证明：连接 AD．

∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．

∴AD⊥BD（垂直的定义）．

又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．

∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．

∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．

又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，

∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．

∴∠E=∠C（等量代换）．

B、解：∵矩阵A的逆矩阵
=λ
2
﹣3λ﹣4=0

，∴A=

∴f（λ）=
∴λ
1
=﹣1，λ
2
=4

C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣
∴在ρsin（θ﹣
）=﹣与极轴的交点，

）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．

，），∴圆C的半径为PC=1．

∵圆C 经过点P（
∴圆 的极坐标方程为ρ=2cosθ．

D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2 x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜，
|2x﹣y|＜，

∴3|y|＜
∴

，

水秀中华

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【点评】本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证 明选讲、矩阵与变换、
坐标系与参数方程、不等式证明，综合性强


22．（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当
两条棱相交时， ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条
棱异面时，ξ=1．

（1）求概率P（ξ=0）；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．


【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．

【专题】5I：概率与统计．

【分析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．

（2） 求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出
随机变量的分布列与数学期望．< br>
【解答】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意
1个 顶点恰有3条棱，

∴共有8对相交棱，

．

，其中距离为
）=
的共有6对，

．

∴P（ξ= 0）=
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或
∴P（ξ=）=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ =0）﹣P（ξ=
水秀中华

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∴随机变量ξ的分布列是：

ξ

P

0


1




∴其数学期望E（ξ）=1×+=．

【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是
关键．



23．（10分）设集合P
n
={1，2，…，n}，n∈N< br>*
．记f（n）为同时满足下列条件
的集合A的个数：

①A?Pn
；②若x∈A，则2x?A；③若x∈
（1）求f（4）；

（2）求f（n）的解析式（用n表示）．


A，则2x?A．

【考点】12：元素与集合关系的判断；18：集合的包含关系判断及应用；36：函
数解析式 的求解及常用方法．

【专题】5J：集合．

【分析】（1）由题意可得P
4
={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，
4}，{2，3}， {1，3，4}，故可求f（4）

（2）任取偶数x∈p
n
，将x除以2， 若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，
商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，? k为偶数；若m?
A，则x∈A?k为奇数，可求

【解答】解（1）当n=4时，P
4
={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，
4}，{2，3}， {1，3，4}

故f（4）=4

（2）任取偶数x∈p
n
，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，
商必为奇数，此时记商为m，

于是x=m?2
k
，其中m为奇数，k∈N
*

由条件可知，若m∈A，则x∈A，?k为偶数

水秀中华

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若m?A，则x∈A?k为奇数

于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q
n
是P
n
中所有的奇数 的集合

因此f（n）等于Q
n
的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P
n
中奇数的个数是
（或）

∴

【点评】本题主要 考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目
中的定义



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