周澄-环保日
益智（Easy）学习
2012高考数学·江苏卷 2012年6月8日 (共11页)
Easymathsedu@ 白林老师录入(答案稍后奉上)
2012年全国普通高等院校招生考试·江苏省
数学试题
(必答题1～20+理科附加题21～23)
【数学I
(必答题)：时间120分钟，满分160分】
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分。
1.
已知集合A={1,2,4}，B={2,4,6}，则A?B=________
2. 某学校高一
、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的
学生中抽取
容量为50的样本，则应从高二年级抽取_____名学生；
3.
设a，b?R，a+bi=
11－7i
(i为虚数单位)，则a+b的值为_______；
1－2i
4. 如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是________；
5. 函数f(x)=1－2log
6
x的定义域为_________；
6.
现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，
则它小于8的概率是________；
7. 如图，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=AD=3cm,AA
1<
br>=2cm，
则四棱锥A－BB
1
D
1
D的体积为____
_______cm
3
；
开始
k←1
D
F
C
k
2
－5k+4>0
Y
输出k
N
k←k+1
D
1
C
1
E
A
1
D
B
1
C
结束
4题图
A
7题图
B
A
9题图
B
x
2
y
2
8.
在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－
2
=1的离心率为5，则m的值为_______；
mm+4
→→→→
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为B
C的中点，点F在边CD上，若AB·AF=2，则AE·BF
的值是________；
10. 设f(x)是定义在R上且周期为2
?
ax+1，－1?x<0
的函
数，在区间[－1,1]上，f(x)=
?
bx+2
，其中
， 0?x?1<
br>x+1
?
a,b?R；若
13
f()=f()，则a+3b的值为__
______；
22
?
4
?
11.
设?为锐角，若cos(?+)=，则sin(2?+)的值为___________；
6512
12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x
2
+y
2
－8x+15=0，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以
该点为圆心，1为半径的
圆与圆C有公共点，则k的最大值是________；
13.
已知函数f(x)=x
2
+ax+b (a,b?R)的值域为[0,+?)，若关于x的不等
式f(x)
1
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b
14. 已知正数a，b，c满足：5c－3a?b?4c－a，clnb?a+clnc，
则的取值范围是_________；
a
二、解答题：本大题共6小题，满分90分
15. (本小题满分14分)
→→→→
在△ABC中，已知AB·AC=3BA·BC；
⑴求证：tanB=3tanA；
⑵若cosC=
16. (本小题满分14分)
如图，在直三棱柱
ABC－A
1
B
1
C
1
中，A
1
B
1
=A
1
C
1
，D，E分别是棱BC，CC
1
上
的点(点D不同于点C)，
且AD?DE，F为B
1
C
1
的中点；
求证：⑴平面ADE?平面BCC
1
B
1
；
⑵直线A
1
F平面ADE；
5
，求A的值；
5
A
1
F
B
1
C
1
E
A
D
B
16题图
C
17. (本小题满分14分)
如图，建立
平面直角坐标系xOy，x轴在地平面，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米；某炮位于坐
标原点；已
知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx－
炮弹射程是指炮弹落地点的横坐标。
⑴求炮的最大射程；
⑵设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的
横坐标a不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由。
1
(1+k
2
)x
2
(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关；
20
2
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18. (本小题满分16分)
若函数y=f(x)在x=x
0
处取
得极大值或极小值，则称x
0
为函数y=f(x)的极值点。已知a，b是实数，1和
－1是函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx的两个极值点。
⑴求a和b的值；
⑵设函数g(x)的导函数g?(x)=f(x)+2，求g(x)的极值点；
⑶设h(x)=f(f(x))－c，其中c?[－2,2]，求函数y=h(x)的零点个数；
19. (本小题满分16分)
x
2
y
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
2
+
2
=1 (a>b>0)的左、
右焦点分别为F
1
(－c,0)，F
2
(c,0)；已知点
ab(1,e)和(e,
3
)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率。
2
⑴求椭圆的方程；
⑵设A，B椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF
2
与直线BF
1
平行，AF
2
与BF
1
交于点P；
①若A
F
1
－BF
2
=
6
，求直线AF
1
的斜率
；
2
②求证：PF
1
+PF
2
是定值；
y
A
B
P
F
1
O
F
2
x
1
9题图
20. (本小题满分16分)
已知各项均为正数的两个
数列{a
n
}和{b
n
}满足：a
n+1
=
bn
⑴设b
n+1
=1+，n?N*，求证：数列
a
n
b
n
()
2
a
n
a
n
+b
n
2
，n?N*；
a
2
n
+
n
{}
是等差数列；
b
n
⑵设b
n+1
=2·，n?N*，且{a
n
}是等比数列，求a
1
和b
1
的值；
a
n
3
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【数学II(附加题)】
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中选作两题。
A．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB是圆O的直径，
D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD=DC，
连结AC，AE，DE。
求证：?E=?C；
C
D
A
O
B
E
21－A题图
B．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵A的逆矩阵A
C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
3
??
在极坐标系中，已知圆C经过点P(2,)，圆心为直线?sin(?－
)=－与极轴的交点，求圆C的极坐标
432
方程；
D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)
115
已知实数x，y满足：|x+y|<，|2x－y|<；求证：|y|<；
3618
【必做题】22，23为必答题，每题10分，满分20分。
22.
(本小题满分10分)
设?为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两棱相交时，
?=0；当两条棱平行时，
?的值为两条棱之间的距离；当两棱异面时，?=1；
⑴求概率P(?=0)；
⑵求?的分布列，并求其数学期望E(?)；
23. (本小题满分10分)
设集合P
n
={1,2,…,n}，n?
N*；记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A?P
n
；②若x?A，
则2x?A；③若x??
P
n
A，则2x??
P
n
A；
⑴求f(4)；
⑵求f(n)的解析式(用n表示)；
4
－
3
?
－
1
?
44
?
1
?
=
1
，求矩阵A的特征值；
?
－
1
?
?
22
?
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参考答案
一、填空题
题号 1 2 3 4 5
(0,6]
6 7 8
3
6 2
5
9 10 11
172
50
12 13
4
3
9
14
[e,7] 答案 {1,2,4,6} 15 8 5
2
－10
简析
1. 略
2. 略
11－7i(11－7i)(1+2i)
25+15i
3.
a+bi====5+3i?a+b=5+3=8
5
1－2i(1－2i)(1+2i)
4. 略
1
5. 由题
意，有1－2log
6
x?0，即log
6
x?，所以，0
6. 依题意，知这个10项的等比数列为：1，－3，9，－27，
81，－243，729，－2187，6561，
63
－19683，其中小于8的数的项有
6项，所以，所求概率==；
105
7. 连接AC交BD于O，易知，AO?平面BB<
br>1
D
1
D且线段AO为所求四棱锥的高；
32132
底BB
1
D
1
D面积=32×2=62，高AO=，所以V
A
－
BB1D1D
=·62·=6；
232
8. 依题意知，该双曲线的
a
2
=m>0，b
2
=m
2
+4，所以，c
2=a
2
+b
2
=m+m
2
+4=m
2
+m+4>0；
c
由离心率e==5，?c
2
=5a
2
，
所以，m
2
+m+4=5m,?m
2
－4m+4=0?m=2；
a
9. 建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，可推得结果为2；
11
10.
由周期性知有f()=f(－)，又f(－1)=f(－1+2)=f(1)，联立解得a=2，b=－4，
22
故a+3b=－10
724
???
11. 由题意知，cos
(2?+)=2cos
2
(?+)－1=>0，故sin(2?+)=1－cos
2<
br>2?=，
3625325
???
172
故sin(2?+)=sin
[(2?+)－]=
123450
12. 考虑圆心在直线上的圆与已知圆相切情况，转而求
已知圆圆心到直线距离为2时的k值，
4
从而得所求最大值为
3
4b－a
a
13.
由定义域和值域知，x=－时，f
min
(x)==0，即4b－a
2
=0，
24
a
2
aa
故f(x)=x+ax+=(x+)
2
，由f(x)
2
2<
br>a
所以，－a=m+m+6，所以，m=－－3，所以，c=f(m)=9；
2
?
?
14.
由题意，问题可转化为
?
?
?
ab
3+?5
3x
+y?5
cc
x+y?4
ab
+?4
，令x=
a
，
y=
b
，则问题可化为
y?e
x
，
cc
ccx>0
a
b
c
y>0
?e
c
?
??
?
?
5
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线性规划求=的最大最小，得所求为[e,7]；
ax
6
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