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2015
年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题，共
12小题，每小题
5
分，共
60
分
1
．
（
5
分）
（
2015
陕西）设集合
M={x|x
2
=x}
，N={x|lgx≤0}，则
M∪N=（
）
A
．
[
0
，
1]
B
．
（
0
，
1]
C
．
[
0
，
1
）
D
．
（
﹣∞，
1]
2
．
（
5
分）
（< br>2015
陕西）某中学初中部共有
110
名教师，高中部共有
150< br>名教师，其性别
比例如图所示，则该校女教师的人数为（
）
A
．
9
3
B
．
1
23
C
．
1
37
D
．
1
67
3
．
（
5
分）
（
2015
陕西）
如图，
某港口一天
6
时到
18
时的水深变化曲线近似满足函数
y= 3sin
（x+φ）
+k
．据此函数可知，这段时间水深（单位：
m
）的最大值为（
）
A
．
5
B
．
6
C
．
8
D
．
1
0
n
4
．
（
5
分）
（
2015
陕西）
二项式（
x+1
）
（n∈N
+
）
的展开式中
x
2
的系数为
15
，
则
n=
（
）
A
．
7
B
．
6
C
．
5
D
．
4
5
．
（
5
分 ）
（
2015
陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
）
A
．
3
π
B
．
4
π
C
．
2
π+4
D
．
3
π+4
< br>6
．
（
5
分）
（
2015
陕西）“sinα =cosα”是“cos2α=0”的（
）
A
．
C
．
充分不必要条件
充分必要条件
B
．
D
．
必要不充分条件
既不充分也不必要条件
7
．
（
5
分）
（
2015
陕西）对任意向量、
，下列关系式中不恒 成立的是（
）
A
．
C
．
||≤||||
（）
2
=||
2
B
．
D
．
||≤|||﹣
|||
（）
（）
=
2
﹣
2
8
．
（
5
分）
（
2015
陕西）根据如图框图，当输入
x为
2006
时，输出的
y=
（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
1
0
D
．
2
8
9
．
（
5
分）
（
2015
陕西）设
f
（
x
）
=lnx
，
0
＜
a
＜
b
，若
p=f（）
，
q=f
（）
，
r=
（
f
（a
）
+f
（
b
）
）
，则下列关系式中正确的是 （
）
A
．
q
=r
＜
p
B
．
p
=r
＜
q
C
．
q
=r
＞
p
D
．
p
=r
＞
q
10
．
（
5
分）（
2015
陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用
A
、
B两种原料．已知生产
1
吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．
如果 生产一吨甲、
乙产品可获得利润
分别为
3
万元、
4
万元，则 该企业每天可获得最大利润为（
）
A
（吨）
B
（吨）
A
．
1
2
万元
甲
3
1
乙
2
2
B
．
1
6
万元
原料限额
12
8
C
．
1
7
万元
D
．
1
8
万元
11
．
（
5
分）
（
2015
陕西）设复数
z=
（
x
﹣
1
）
+yi
（
x
，y∈R）
，若| z|≤1，则
y≥x
的概率为
（
）
A
．
+
B
．
+
C
．
﹣
D
．
﹣
12
．
（
5
分）
（
2015
陕西）对二次 函数
f
（
x
）
=ax
2
+bx+c
（a
为非零整数）
，四位同学分别
给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的， 则错误的结论是（
）
A
．
﹣
1
是
f
（
x
）的
B
．
1< br>
是
f
（
x
）的极
零点
值点
C
．
3
是
f
（
x
）的极
D
．
点
（
2
，
8
）在曲
值
线
y=f
（
x
）上
二、填空题，共
4< br>小题，每小题
5
分，共
20
分
13
．（
5
分）
（
2015
陕西）中位数为
1010
的一组数构成等差数列，其末项为
2015
，则该数
列的首项为
．
14
．
（
5
分）
（
2015
陕西）若抛物线
y
2
=2px< br>（
p
＞
0
）的准线经过双曲线
x
2
﹣
y
2
=1
的一个
焦点，则
p=
．
15
．
（
5
分）
（
2015
陕西）设曲线
y=e
x
在点（
0
，< br>1
）处的切线与曲线
y=
（
x
＞
0
）上点< br>P
的切线垂直，则
P
的坐标为
．
16
．
（
5
分）
（
2015
陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面
边 界呈抛物线型（图中虚线所示）
，则原始的最大流量与当前最大流量的比值
为
．
三、解答题，共
5
小题，共
70
分
17
．
（
12
分）
（
2015
陕西）△ABC
的内角< br>A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
．向量
=
（
a
，
b
）与=
（
cosA
，
sinB
）平行．
（Ⅰ）求
A
；
（Ⅱ）若
a=
，
b=2
，求△ABC
的面积．
< br>18
．
（
12
分）
（
2015
陕西）如图， 在直角梯形
ABCD
中，AD∥BC，∠BAD=，
AB=BC=1
，
AD=2
，
E
是
AD
的中点，
O
是
AC
与
BE
的交点，
将
ABE
沿
BE
折起到< br>A
1
BE
的位置，
如图
2
．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面
A
1
OC
；
（Ⅱ）若平 面
A
1
BE⊥平面
BCDE
，求平面
A
1
BC
与平面
A
1
CD
夹角的余弦值．
19
．
（
12
分）
（
2015
陕西）某校新、老校区之间开车 单程所需时间为
T
，
T
只与道路通畅状
况有关，对其容量为
100
的样本进行统计，结果如下：
T
（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
2
0
30
40
10
（Ⅰ）求
T
的分布列与数学期望
ET
；
（Ⅱ）刘 教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个
50
分钟的讲座，结束后立即返回老校
区， 求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过
120
分钟的概率．
2 0
．
（
12
分）
（
2015
陕西）已知椭圆
E
：
+=1
（
a
＞
b
＞
0
）的 半焦距为
c
，原点
O
到经过两
点（
c
，
0
）
，
（
0
，
b
）的直线的距离为
c
．
（Ⅰ）求椭圆
E
的离心率；
（Ⅱ）如图，
AB
是圆
M
：
（
x+2
）
2
+
（
y
﹣
1
）
2
=
的一条直径，若椭圆
E经过
A
、
B
两点，
求椭圆
E
的方程．
21
．
（
12
分）
（
2015
陕西）设< br>f
n
（
x
）是等比数列
1
，
x
，< br>x
2
，…，
x
n
的各项和，其中
x
＞
0
，
n∈N，n≥2．
（Ⅰ）
证明：
函数
F< br>n
（
x
）
=f
n
（
x
）
﹣
2
在
（，
1
）
内有且仅有一个零点
（记为
x
n
）
，
且
x
n
=+x
；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为
g
n
（
x
）
，比较
f
n
（
x
）和g
n
（
x
）的大小，并加以证明．
四、选修题，请在
22
、
23
、
24
中任选一题作答，如果多做则按第一题计 分．选修
4-1
：
几何证明选讲
22
．
（
10
分）
（
2015
陕西）
如图，
AB
切⊙O< br>于点
B
，
直线
AO
交⊙O
于
D
，< br>E
两点，
BC⊥DE，
垂足为
C
．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若
AD=3DC
，
BC=
，求⊙O
的直径．
五、选修
4-4
：坐标系与参数方程
23
．
（< br>2015
陕西）在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为 （
t
为参数）
，以原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C
的极坐标方程为
ρ=2sinθ．
（Ⅰ）写出⊙C
的直角坐标方程；
（Ⅱ）
P
为直线
l
上一动点，当
P
到圆心
C
的距离最小时，求
P
的直角坐标．
六、选修
4-5
：不等式选讲
24
．
（
2015
陕西）已知关于
x
的不等式
|x+a|＜
b
的解集为
{x|2
＜
x
＜
4}
（Ⅰ）求实数
a
，
b
的值；
（Ⅱ）求
+
的最大值．
2015
年陕西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
< br>一、选择题，共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分< br>
1
．
（
5
分）
考点
：
并集及其运算．
专题
：
集合．
分析：
求解一元二次方程化简
M
，求解对数不等式化简
N
，然后利用并集运算得答案．
解答：
解：由
M={x| x
2
=x}={0
，
1}
，
N={x|lgx≤0}=（
0
，
1]
，
得M∪N={0，1}∪（
0
，
1]=[0
，
1]
．
故选：
A
．
点评：
本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．
2
．
（
5
分）
考点
：
收集数据的方法．
专题
：
计算题；概率与统计．
分析：
利用百分比，可得该校女教师的人数．
解答：
解：初中部女教师 的人数为
110×70%=77；高中部女教师的人数为
40×150%=60，
∴该校女教师的人数为
77+60=137
，
故选：
C
．
点评：
本题考查该校女教师的人数 ，
考查收集数据的方法，
考查学生的计算能力，
比较基础．
3
．
（
5
分）
考点
：
由
y=Asin
（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题
：
三
角函数的图像与性质．
分析：
由
题意和最小值易得
k
的值，进而可得最大值．
解答：
解
：由题意可得当
sin
（x+φ）取最小值﹣
1
时，
函数取最小值
y
min
=
﹣
3+k=2
，解得
k=5
，
∴y=3sin（x+φ）
+5
，
∴当当
sin
（x+φ）取最大值
1
时，
函数取最大值
y
max
=3+5=8
，
故选：
C
．
点评：
本
题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．
4
．
（
5
分）
考点
：
二
项式定理的应用．
专题
：
二
项式定理．
分析：
由
题意可得
==15
，解关于
n
的方程可得．
解答：
：∵二项式（
x+1
）
n
（n∈N
+
）的展开式中
x
2
的系数为
15
，
解
∴=15，即
=15
，解得
n=6
，
故选：
B
．
点评：
本
题考查二项式定理，属基础题．
5
．
（
5
分）
考点
：
由
三视图求面积、体积．
专题
：
计
算题；空间位置关系与距离．
分析：
根
据几何体的三视图，
得出该几何体是圆柱体的一部分，< br>利用图中数据求出它的表面积．
解答：
解
：根据几何体的三视图，得；
该几何体是圆柱体的一半，
∴该几何体的表面积为
S
几何体
=π1
2
+π×1×2+2×2
=3π+4．
故选：
D
．
点评：
本
题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．
6
．
（
5
分）
考点
：
必
要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题
：
简
易逻辑．
分析：
由
cos2α=cos2
α﹣
sin
2
α，即可判断出．
解答：
解
：由
cos2α=cos
2
α﹣
sin
2
α，
∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．
故选：
A
．
点评：
本
题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7
．
（
5
分）
考点
：
平
面向量数量积的运算．
专题
：
平
面向量及应用．
分析：
由
向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．
解答：
解
：选项
A
正确，∵||=|||||cos＜，＞
|
，
又
|cos
＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；
选项
B
错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣
|||
；
选项
C
正确，由向量数量积的运算可得（）
2
=||
2
；
选项
D
正确，由向量数量积的运算可得（）
（）
=
2
﹣
2
．
故选：
B
点评：
本
题考查平面向量的数量积，属基础题．
8
．
（
5
分）
考点
：
程
序框图．
专题
：
图
表型；算法和程序框图．
分析：
模
拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的
x
的 值，当
x=
﹣
2
时不满足条件
x≥0，计算
并输出
y
的值为
10
．
解答：
解
：模拟执行程序框图，可得
x=2006
，
x=2004
满足条件
x≥0，
x=2002
满足条件
x≥0，
x=2000
…
满足条件
x≥0，
x=0
满足条件
x≥0，
x=
﹣
2
不满足条件
x≥0，
y=10
输出
y
的值为
10
．
故选：
C
．
点评：
本
题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9
．
（
5
分）
考点
：
不等关系与不等式．
专题
：
不等式的解法及应用．
分析：
由题意可得
p=
（
lna+lnb
）
，
q=ln
（）≥ln（）
=p
，
r=
（
lna+lnb
）
，可得大小关系．
解答：
解：由题意可得若
p=f
（）
=ln
（）
=lnab=
（
lna+lnb
）
，
q=f
（）
=ln
（）≥ln（）
=p
，
r=
（
f
（
a
）
+f
（
b
）< br>）
=
（
lna+lnb
）
，
∴p=r＜
q
，
故选：
B
点评：
本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．
10
．
（
5
分）
考点
：
简单线性规划的应用．
专题
：
不等式的解法及应用．
分析：
设每天生产甲乙两种产品分别为< br>x
，
y
顿，利润为
z
元，然后根据题目条件建立约束条
件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出
z
的最大值．
解答：
解：设每天生产甲乙两种产品分别为
x
，
y
顿，利润为
z
元，
则，
目标函数为
z=3x+4y
．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由
z=3x+4y
得
y=
﹣
x+
，
平移直线
y=
﹣
x+
由图象可知当直线
y=
﹣
x+
经过点
B
时，直线
y=
﹣
x+
的截距最大，< br>
此时
z
最大，
解方程组，解得，
即
B
的坐标为
x=2
，
y=3
，
∴z
max
=3x+4y=6+12=18
．
即每天生产 甲乙两种产品分别为
2
，
3
顿，能够产生最大的利润，最大的利润是
18
万
元，
故选：
D
．
点评：
本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解 决本题
的关键．
11
．
（
5
分）
考点
：
几何概型．
专题
：
概率与统计．
分析：
由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．
解答：
解：∵复数
z=
（
x
﹣
1
）
+yi
（
x
，y∈R）且|z|≤1，
∴|z|=≤ 1，即（
x
﹣
1
）
2
+y
2
≤1，
∴点（
x
，
y
）在（
1
，
0
）为圆心
1
为半径的圆及其内部，
而
y≥x
表示直线y=x
左上方的部分，
（图中阴影弓形）
∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
∴所求概率
P==
故选：
D
．
点评：
本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．
12
．
（
5
分）
考点
：
二次函数的性质．
专题
：
创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：
可采取 排除法．分别考虑
A
，
B
，
C
，
D
中有一 个错误，通过解方程求得
a
，判断是否
为非零整数，即可得到结论．
解答：
解：可采取排除法．
若
A
错，则
B
，
C
，
D
正确．即有
f
（
x
）
=ax
2
+bx+c
的导数为
f′（
x
）
=2ax+b
，
即有
f′（
1
）
=0
，即
2a+b=0
，①又
f
（
1
）
=3
， 即
a+b+c=3②，
又
f
（
2
）
=8
，即
4a+2b+c=8
，③由①②③解得，
a=5
，
b=
﹣
10
，
c=8
．符合
a
为非
零整数．< br>
若
B
错，则
A
，
C
，
D
正确，则有
a
﹣
b+c=0
，且
4a+2b+c=8
，且< br>=3
，解得
a∈，
不成立；
若
C
错，则< br>A
，
B
，
D
正确，则有
a
﹣
b+c =0
，且
2a+b=0
，且
4a+2b+c=8
，解得
a=
﹣不为非零整数，不成立；
若
D
错，则
A
，B
，
C
正确，则有
a
﹣
b+c=0
，且
2a+b=0
，且
=3
，解得
a=
﹣不为非
零整数，不成 立．
故选：
A
．
点评：
本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，
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