2020年上海市虹口区高考数学二模试卷(含答案解析)

2021年1月24日发(作者：幽骨战龙)
2020
年上海市虹口区高考数学二模试卷



一、选择题（本大题共
4
小题，共
20.0
分）

1.

已知抛物线
上的点
M
到它焦点的距离为
5< br>，则点
M
到
y
轴的距离为

A.
2

B.
4

C.
5

D.
6

2.

某几何体的三视图如图所示
单位：
，则 该几何体的表面积
单位：
是


A.
16

3.

已知函数
围为


B.
32

C.
44

在区间
D.
64

上有且仅有两个零点，
则实数
的取值范
A.
B.

C.

D.

，若存

4.

设等比数列
的前
n
项和为
，首项
， 且
，已知
m
，
在正整数
i
，
，使得
，mn
，
成等差数列，则
mn
的最小值为
A.
16

B.
12

C.
8

D.
6

二、填空题（本大题共
12
小题，共
54.0
分）

5.

函数
的最小值为
______
．

6.

函数
的定义域为
______
．

______
．

7.

设全集
，若
，则
8.

3
位同学各自在周六、周日 两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的
概率为
______
．

______
．
9.

已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则

10.

设复数
11.

若
为虚数单位
，若
，则
______
．

的展开式中的常数项为
，则实数
a
的值为
______
．

，
，
，则
12.

设
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
______
．

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1
页，共
15
页

13.

已 知点
，点
P
满足线性约束条件
，设
O
为坐标原点，则
的最
大值为
______
．

14.

已知，
是椭圆
的左、右焦点，过原点
O
且倾斜角为
的直线与
椭圆
C
的一个交点为
M
，若
15.

已知球
O
是三棱锥
BC
的中点，且
的外接球，
，则球
O
的体积为
______
．

，则椭圆
C
的长轴长为
______
．

，
，点
D
为
16.

已知函数
，
若方程
恰有
5
个不同的实数根，
则实数
a
的取
值范 围为
______
．

三、解答题（本大题共
5
小题，共
76.0
分）

17.

已知四棱锥
的底面
ABCD
为矩形，
底面
ABCD
，且
设
E
，
F
，
G
分别 为
PC
，
BC
，
CD
的中点，
H
为
EG
的中点，如图．

求证：
平面
PBD
；

求直线
FH
与平面
PBC
所成角的大小．

，








18.

已知函数
讨论函数
当

为实常数

的奇偶性，并说明理由；

，不等式
恒成立，求实数
u
的最大值．

为奇函数时，对任意的
第
2
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页







19.

某工厂制 作如图所示的一种标识，
在半径为
R
的圆内做一个关于圆心对称的“
H
”型图形，
“
H
”
型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形 全等且它们的长边是横向矩形长边的
倍，设
O
为圆心，
，记“
H”型图形的面积为
S
．

将
AB
，
AD
用
R
，
表示，并将
S
表示成
的函数；

为了突出“
H
”型图形，设计时应使
S
尽可能大，则当
大值．

为何值时，
S
最大？并求出
S
的最








20.

设双曲线
的左顶点为
D
，且以点
D
为圆心的圆
D
：
与
双曲线
C
分别相交于点
A
，
B
，如图所示．
求双曲线
C
的方程；

求
的最小值，并求出此时圆
D
的方程；

设点
P< br>为双曲线
C
上异于点
A
，
B
的任意一点，
且 直线
PA
，
PB
分别与
x
轴相交于点
M
，
N
，
求证：
为定值
其中
O
为坐标原点
．< br>

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3
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页









21.

已知项数为
的数列
，
若数列
满足
满足条件：
2
，
，
2
，
，
，则称
为数列
的“关联数列”．

数列
1
，
5
，
9
，
13
，
17
是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，
请说明理由；

2
，
若数列
存在“关联数列”
，证明：
，
；< br>
已知数列
存在“关联数列”
，且
，
，求数列
项数的 最小值
与最大值．









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4
页，共
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页

--------
答案与解析
--------

1.
答案：
B

解析：
解：由抛物线
由抛物线的 定义得，
可知，
，设其焦点为
F
，

，
，即点
M
到
y
轴的距离为
4
．

故选：
B
．

根据抛物线的定义即可得解．

本题考查抛物线的定义及其标准方程，考查学生的运算能力，属于基础题．

2.
答案：
B

解析：
【分析】

本题考查由三视图求面积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．

由三视图还原 原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，
底面
角三角形面积公式求解．

【解答】

解：由三视图还原原几何体如图，

然后由直

该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，
又
底面
ABC
，故
，

，
AC
，
面
PAC
，

面
PAC
，

又
面
PAC
，则
．

该几何体的表面积
故选：
B
．

3.
答案：
D

解析：
解：函数
即
在区 间
上，
，求得
在区间
，
底面
ABC
．

．

在区间
上有且仅有两个根．

，

，

上有且仅有两个零点，

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故选：
D
．

由题意利用正弦函数的图象特征，正函数的周期性，求得实数
的取值范围．

本题主要考查正弦函数的图象，正函数的周期性，属于中档题．

4.
答案：
C

解析：
解：
数列
是等比数列，且首项
，
，

则
化简得：
，
则
又
，

．

．

成等差数列，
，得
，

，
，
满足条件，使得
．

，

，

，

，
mn
，
上式两边同时除以
整理可得
又
故选：
C
．

由数列
是等比数列，且首项
到得
再由
，
mn
，
，再由
，
成等差数列，得到< br>，得
，
，结合等比数列的前
n
项和可得
得
，整理可< br>满足条件，使得
，则答案可求．

本题考查等比数列的前
n
项 和与等差数列的性质，考查数列函数特性的应用，训练了利用基本不等
式求最值，是中档题．

5.
答案：

解析：
解：

，
，故
的最小值为
．

．

故答案为：
．

易知，
，所以当
时，原函数取得最小值．

本题考查正余弦函数的值域，注意换元思想的应用．属于基础题．


6.
答案：

解析：
解：函数
令
得
解得
所以函数
，

，

，

的定义域为
中，

．

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页

故答案为：
．

根据二次根式被开方数大于或等于
0
，列不等式求出自变量的取值范围．

本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．


7.
答案：

解析：
解：
或
，
，

．

故答案为：
．

可以求出集合
A
，然后进行补集的运算即可．

本题考查了描述法的 定义，绝对值不等式的解法，全集和补集的定义，补集的运算，考查了计算能
力，属于基础题．

8.
答案：


解析：
解：
3
位同学各自 在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，

基本事件总数
，
周六没有同学参加活动包含的基本事件总数
则周六没有同学参加活动的概率为
故答案为：< br>．

基本事件总数
，周六没有同学参加活动包含的基本事件总数
，由此 能求出周六没
有同学参加活动的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

9.
答案：
2

解析：
解：
函数
的图象 与函数
的图象关于直线
对称，

对于函数
，令
得：
，

，

，

，即
，

故答案为：
2
．

利用反函数的定义
得
，所以
，即
．

本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．

10.
答案：
1

解析：
解：由题意，可知

，

．

，

，即
，

，

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