在世界的转角遇到爱-陶醉
绝密★启用前
2013
年普通高等学校招生全国统一考试
(
新课标Ⅱ卷
)
数学
(
理科
)
注意事项:
1.
本试 卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自
己的姓名
准考证 号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2.
回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅 笔把答题卡上对应题目的答案标号
标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷 上无效。
3.
答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.
考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题
共
50
分)
一、
< br>选择题:本大题共
10
小题。每小题
5
分,共
50
分 。在每个小题给出的
四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(
1
)已知集合
M=
{
x|(x+1)
2
< 4,x
∈
R
}
,
N=
{
-1
,
0
,
1
,
2
,
3
}
,则
M
∩
N=
(
)
(
A
)
{
0
,
1
,
2
}
(
B
)
{
-1,
0
,
1
,
2
}
(
C< br>)
{-1
,
0
,
2
,
3}
(
D
)
{0
,
1
,
2
,
3}
(
2
)设复数
z
满足(
1-i
)
z=2 i
,则
z=
(
)
(
A
)
-1+i
(
B
)
-1-i
(
C
)
1+i
(
D
)
1-i
(
3
)等比数列{
a
n
}的前
n
项和为< br>S
n
,已知
S
3
= a
2
+10a
1
,
a
5
= 9
,则
a
1
=
(
)
(
A
)
(
B
)
-
(
C
)
(
D
)
-
(
4
)已知
m
,n
为异面直线,
m
⊥
平面
α
,
n
⊥< br>平面
β
。直线
l
满足
l
⊥
m
,
l
⊥
n
,
l
(
A
)
α
β
,则(
)
(
B
)
α
∥
β
且
l
∥
α
⊥
β
且
l
⊥
β
(
C
)
α
与
β
相交,且交线垂直于
l
(
D
)
α
与
β
相交,且交线平行于
l
(
5
)已知(
1+
ɑ
x
)
(1 +x)
5
的展开式中
x
2
的系数为
5
,则ɑ
=
(
A
)
-4
(
B
)
-3
(
C
)
-2
(
D
)
-1 < br>(
6
)执行右面的程序框图,如果输入的
N=10
,那么输出的
s=
(
A
)
1+
+
+
…
+
(
B
)
1+
+
+
…
+
(
C
)
1+
+
+
…
+
(
D
)
1+
+
+
…
+
(
7
)一个四面体的顶点在空间直角坐 标系
O-xyz
中的坐标分别是(
1
,
0
,
1)
,
(
1
,
1
,
0
)
,(
1
,
1
,
1
)
,
(
0,
0
,
0
)
,画该四面体三视图中的正视图时,以
zO x
平面为搞影面,则得到正视图可以为
(A)
(B)
(C)
(D)
(
8
)设ɑ
=log< br>3
6,b=log
5
10,c=log
7
14,
则< br>
(
A
)
c
>
b
>
a
(
B
)
b
>
c
>
a
(
C
)
a
>
c
>
b (D)a
>
b
>
c
x
≥
1,
(
9
)已知
a
>
0
,
x
,
y< br>满足约束条件
,
x+y
≤
3, 若
z=2x+y
的最小值为
1
,
y
≥
则
a=
a(x-3).
{
(A)
(B)
(C)1
(D)2
(
10
)已 知函数
f(x)=x2+
α
x2+bx+
,下列结论中错误的是
(
A
)∑
x
α
∈
R
f(xα
)=0
(
B
)函数
y=f(x)
的图像是中心对称图形
(
C
)若
x
α
是
f(x)
的极小值点,则
f(x)
在区间(
-
∞
,x
α
)单调递减
(
D
)若
xn
是
f
(
x
)的极值点,则
f
1
(x
α
)=0
(
11
)设抛物线
y2=3px(p
≥
0)
的焦点为
F,点
M
在
C
上,
|MF|=5
若以
MF
为直径
的园过点(
0
,
3
)
,则
C
的方 程为
(
A
)
y2=4x
或
y2=8x
(
B
)
y2=2x
或
y2=8x
(
C
)
y2=4x
或
y2=16x
(
D
)
y2=2x
或
y2=16x
(
12
)已知点
A
(
-1
,
0
)
;
B
(
1
,
0
)
;
C
(
0
,
1
)
,直线
y=ax+b(a>0)
将△
ABC
分
割为面积相等的两部分,则
b
的取值范围是
(
A
)
(
0
,
1
)
(B)
(
1-< br>,
1/2
)
( C)
(
1-
,
1/3
)
(D)[ 1/3, 1/2
)
第Ⅱ卷
本卷包括必考 题和选考题,每个试题考生都必修作答。第
22
题
~
第
24
题为
选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共
4
小题,每小题
5
分。
(
13
)已知正方形
ABCD
的边长为
2
,
E
为
CD
的中点,则
=_______.
(
14
)从< br>n
个正整数
1
,
2
,…,
n
中任意取出两个 不同的数,若取出的两数之和等于
5
的概
率为
,则
n=______ __.
(
15
)设
θ
为第二象限角,若
tan
(
θ
+
)
=
,则
sin
θ
+con
θ
=_________.
(
16
)等差数列
{a
n
}
的前
n
项和 为
S
n
,已知
S
10
=0
,
S
15
=25
,则
nS
n
的最小值为
________.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(
17
)
(本小题满分
12
分)
△ABC
在内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,已知
a=bcosC+csinB
。
(Ⅰ)求
B
;
(Ⅱ)若
b=2
,求△
ABC
面积的最大值。
(
18
)如图,直棱柱
ABC-A
1
B
1
C
1
中,
D
,
E
分别是
AB
,
BB
1
的中点,
AA
1
=AC=CB=
/2AB< br>。
(Ⅰ)证明:
BC
1
//
平面
A
1
CD
1
(Ⅱ)求二面角
D-A
1
C-E
的正弦值
(
19
)(本小题满分
12
分)
经销 商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出
1t
该产品获利润
500
元, 未售出的产品,没
1t
亏损
300
元。根据历史资料,得到销售季度内市场需
求量的频率分布直方图,如有图所示。经销商为下一个销售季度购进了
130t
该农产品。以
x
(单位:
t
,
100
≤
x
≤
150
)表示下一个销售季度内经销该农产品的
利润。
(Ⅰ)将
T
表示为
x
的函数
(Ⅱ)根据直方图的 需求量分组中,以各组的区间中点值代表改组的各个值
求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值 的概率(例如:若
x
)则取
x=105
,且
x=105
的概 率等于需求量落入
[100
,
110]
的
T
的数学期望。< br>
(20)(
本小题满分
12
分
)
平面直角坐标系
xOy
中,
过椭圆
M:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
右焦点
y-
=0
交
m,f ,A,B
两点,
P
为< br>Ab
的中点,且
OP
的斜率为
1/2
(
Ι
)
求
M
的方程
(Ⅱ)
C, D
为
M
上的两点,若四边形
ACBD
的对角线
CD
⊥
AB
,求四边形的最大值
(
21
)
(本小题满分
12
分)
已知函数
f(x)=ex-ln(x+m)
(
Ι
)
设x=0
是
f(x)
的极值点,求
m,
并讨论
f(x)< br>的单调性;
(Ⅱ)当
m
≤
2
时,证明
f(x)>0
请考生在第
22
、
23
、
24
题中任选择一题作答,如果 多做,则按所做的第一部分,做答时请
写清题号。
(
22
)
(本小题满分
10
分)选修
4-1
几何证明选讲
如图,
CD
为△
ABC
外接圆的切线,
AB
的延长 线教直线
CD
于点
D
,
E
、
F
分别为弦
AB
与弦
AC
上的点,
且
BC-AE=DC- AF,B
、
E
、
F
、
C
四点共圆。
(
1
)
证明:
CA
是△
ABC
外接圆的直径;
(
2
)
若
DB=BE=EA,
求过
B< br>、
E
、
F
、
C
四点的圆
的面积与△
ABC
外接圆面积的比值。
(
23
)
(本小题满分
10
分)选修
4
——
4
;坐标系与参数方程
已知动点
p
,
Q
都在曲线
c
x=2 cos
β
(
β
为参数)上,对应参数分别为
β
=
α
y=2sin
β
与
α
=2
π
M
为(①<
α
<
2
π
)
M
为
PQ
的 中点。
(Ⅰ)求
M
的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将
M
到坐标原点的距离
d
表示为
a
的函数,并判断
M
的轨迹是否过坐标原点。
(
24
)
(本小题满分
10
分)选修
4
——
5
;不等式选讲
设
a
,
b
,
c
均为正数 ,且
a+b+c=
Ⅱ,证明:
(Ⅰ)
ab+bc+ac
小于等于
1/3
2
2
2
(Ⅱ)
a
/a-b
/b-c/c
≥
1
在世界的转角遇到爱-陶醉
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