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庆元旦高一第1学期昂立机构数学教案讲义 19—暑假总结复习-教师版

作者:高考题库网
来源:https://bjmy2z.cn/zuowen
2021-01-06 17:55
tags:暑假总结

小学生国庆作文-很快

2021年1月6日发(作者:梅南)



专业 引领 共成长
高一数学暑假班(教师版)
教师
学生
课程编号
课题
课型
日期

复习

暑假总结复习
教学目标

1.帮助学生梳理高一暑假新课(集合、命题与条件、不等式与函数)中的主干知识和相关方法
2.总结相应章节的易错点

教学重点

1.集合的运算
2.命题与条件的判定
3.不等式的解法与基本不等式的应用
教学安排

1
2
3
4
例题解析
巩固训练
师生总结
课后练习
版块 时长
80
30
10
30





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暑假总结复习
热身练习
2
1.已知全集
U?
{3,6,
k?
3
k?
5},
A?
{3,
k?
8}< br> ,则
C
U
A?
.
【难度】★★
【答案】
?
6
?


2.
?
?< br>x
1
?3
?
x
1
?x
2
?6
的 条件.

?
x?3xx?9
?
2
?
12
【难度】★
【答案】充分不必要

3.已知关于
x
的不等式组
1?kx?2x?k?2
有唯一实数解,则实数
k
的取值 集合是 .
【难度】★★
【答案】
?

4.已知关于
x
的不等式
2x?
【难度】★★
【答案】

5.设
f(x)
是定义在实数集
R
上的 函数,满足
f(0)?1
,且对任意实数
a、b


f(a?b)?f(a)?b(2a?b?1)
,则
f(x)?

【难度】★★
【答案】
x?x?1

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2
2
?
1?5
?
,1?2
?

?
2
?
2
?7

x?
?
a,??
?
上恒成立,则实数
a
的最小值为 .
x?a
3

2
2 28



专业 引领 共成长



知识梳理




一、集合与命题
1.区分集合中元素的形式:
?
x|y?f(x)
?

函数的定义域
?
y|y?f(x)
?

函数的值域
?
(x,y)|y?f(x)
?

函数图象上的点集
L

L


2.研究集合必须注意集合元素的特征,即集合元素的三性:确定性、互异性、无序性.

3.集合的性质:① 任何一个集合
P
都是它本身的子集,记为
P?P

① 空集是任何集合
P
的子集,记为
??P

① 空集是任何非空集合
P
的真子集,记为
??P

注意:若条件为
A?B
,在讨论的时候不要遗忘了
A??
的情况.
集合的运算:①
?
A?B
?
?C?A?
?
B?C
?

?
A?B
?
?C?A?
?
B?C
?

C
U
?
A
?
B
?
?
?
C
U
A
?
?
?
C
U
B
?

C
U
?
A?B
?< br>?
?
C
U
A
?
?
?
C
U< br>B
?


A
?
B?A? A
?
B?B?A?B?C
U
B?C
U
A?A
?C
U
B??

①对于含有
n
个元素的有限集合
M
,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数
依次为:
2

2?1

2?1

2?2

4.命题是表达判断的语句.判断正确的叫做真命题;判断错误的叫做假命题.
① 命题的四种形式及其内在联系:
原命题:如果
?
,那么
?

原命题
互 逆
逆命题
互为 逆否
互 逆
互 否
逆否命题
n
nnn
逆命题:如果
?
,那么
?
否命题:如果
?
,那么
?

逆否命题:如果
?
,那么
?

互 否
否命题
① 等价命题:对于甲、乙两个命题,如果从命题甲可以推出命题乙,同时从命题乙也 可以推出命题
甲,既“甲
?
乙”,那么这样的两个命题叫做等价命题.
① 互为逆否命题一定是等价命题,但等价命题不一定是互为逆否命题.
① 当某个命题直接考虑有困难时,可通过它的逆否命题来考虑.

5.常见结论的否定形式:
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原结论
否定形式

原结论
否定形式

不是
都是
不都是
一定
不一定
p

q

p

q

大于
不大于
小于
不小于
p

q

p

q

至少一个
一个也
没有
至多一个
至少两个
至少
n

至多
n?1

至多
n

至少
n?1

对所有
都成立
存在某
不成立
x
对任何
x
不成立
x
存在某
x
成立

6.充要条件:
条件 结论 推导关系 判断结果
?
?
?

?

?

?

?
的充分条件
的必要条件
的充要条件
?
?
?

?
?
?

?
?
?

?

?
?

?
在判断“充要条件”的过程中,应注意步骤性:
首先必须区分谁是条件、谁是结论,然后由推导关系判断结果.

二、不等式
1.基本性质:(注意:不等式的运算强调加法运算与乘法运算)

a?b

b?c
?
a?c

① 推论:①.
a?b?a?c?b?c
; ①.
a?b

c?d
?
a?c?b?d

c?0
?
ac?bc
?

a?b?
?
ac?bc?0c?0

?
ac?bcc?0
?
① 推论:①.
a?b?0,c?d?0?ac?bd
; ①.
a?b

a

b
同号
?
①.
a?0?b
?
11
?

ab
11
?0?
; ①.
a?b?0,
?< br>?0?a
?
?b
?
,
?
a?
?
b< br>;
ab
bb?m

a?b?0

m?0
?

?

aa?m
?
?0
?
?b
??

a?b
?
?0
?
a
?
?b

?
?0
?
?b
??

2.解不等式:(解集必须写成集合或区间的形式)
① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤:
①.分解因式
?
找到零点; ①.画数轴
?
标根
?
画波浪线; ①.根据不等号,确定解集;
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注意点:①.分解因式所得到的每一个因式必须为
x
的一次式; ①.每个因式中
x
的系数必须为正.
①绝对值不等式
????
去绝对值:
①.
x?a?x?a或??a

(a?0)
; ①.
x?a??a?x?a
(a?0)

①.
a?b?a?b
; ①.
f
?
x
?
?g
?
x
?
(g
?
x
??0)?f
?
x
?
??g
?
x
?
或< br>f
?
x
?
?g
?
x
?

22
关键
①.
f
?
x
?
?g
?
x
?
??g
?
x
?
?f
?
x
??g
?
x
?

① 解含参数的不等式时,定义域是前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.
而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结:综上所述
L

① 对于不等式恒成立问题,常用“函数思想
....
”、“分离变量思想
......< br>”以及“图象思想
....
”.

3.基本不等式:
①< br>a,b?R
,则
a
2
?b
2
?2ab
,当且 仅当
a?b
时,等号成立.

a,b
?R
?
, 则
a?b?2ab
,当且仅当
a?b
时,等号成立.
综上,若a,b?R
,则
a
2
?b
2
?
(a?b)2
2
?2ab
,当且仅当
a?b
时,等号成立.
*① 若
a,b
?R
?
,则
a
2
?b
2
2
?
a?b
2
?ab?
2
11
,当且仅当
a?b
时,等号成立.
a
?
b
?
?2x?0,
当 且仅当
x?
1
*①
x?
1
?
?
x


x?1

,
等号成立
x
?
?
??2x?
1

?
?
0,
当且仅当
x?
x


x??1

,
等号成立

4.不等式的证明:
① 比较法:作差 → 因式分解或配方 → 与“
0
”比较大小 →
L

① 综合法:由因导果.
① 分析法:执果索因;基本步骤:要证
L
即证
L
即证
L

① 反证法:正难则反.
① 最值法:
a?f
?
x
?max
,则
a?f(x)
恒成立;
a?f
?
x
?
min
,则
a?f(x)
恒成立.


三、函数
1.函数的要素:定义域、值域、对应法则
① 定义域:
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①.给出函数解析式,求函数的定义域(即求使函数解析式有意义的
x
的范围) (1)
y?[f(x)]?f(x)?0
;(2)
y?
①.使实际问题有 意义的自变量的范围.
①.求复合函数的定义域:

f
?
x
?
的定义域为
?
a,b
?
,则
f
?< br>g
?
x
?
?
的定义域由不等式
a?g
?x
?
?b
解出;

f
?
g
?
x
?
?
的定义域为
?
a,b
?
,则f
?
x
?
的定义域相当于
x?
?
a,b
?

g
?
x
?
的值域.
① 值域:函数的值域(或最值)有哪几种常用解题方法?
①.二次函数型或可化为二次函数型;①.单调性;①.基本不等式;①.换元法;①.数形结合;

2.函数的基本性质:
① 奇偶性:
①.定义判断奇偶性的步骤: < br>(1)定义域
D
是否关于原点对称;(2)对于任意
x?D
,判断f(?x)

f(x)
的关系:

f(?x)?f(x),也即
f(?x)?f(x)?0?y?f(x),x?D
为偶函数;

f(?x)??f(x)
,也即
f(?x)?f(x)?0?y?f(x),x?D
为奇函数.
①.图象判断奇偶性:函数图象关于原点对称
?
奇函数; 函数图象关于
y
轴对称
?
偶函数;
①.判断函数的奇偶性时,注意到定义域关于原点对称了吗?
①.如果奇函数
y?f (x)

x?0
处有定义,则
f(0)?0

①.一个函 数既是奇函数又是偶函数,则该函数必为:
f(x)?0,x?D
(其中定义域
D关于原点对
称)
①.如果两个函数都是非零函数(定义域相交非空),则有:
奇+奇
?
奇;奇+偶
?
非奇非偶;偶+偶
?
偶;奇×奇?
偶;奇×偶
?
奇;偶×偶
?
偶.
① 单调性:设任 意
x
1
,
x
2
?D
,且
x
1?x
2
,则
f(x
1
)?f(x
2
)
?
无单调性
0
P(x)
?Q(x)?0
;(3)
y?2n
P(x)?P(x)?0

Q(x)
f(x
1
) ?f(x
2
)
?
减函数
?
f(x
1
)?f (x
2
)
f(x
1
)?f(x
2
)
?0< br>;
f(x
1
)?f(x
2
)
?
增函数
??0

x
1
?x
2
x
1
?x
2
在比较
f(x
1
)

f(x
2
)大小时,常用“作差法”,比较
f(x
1
)?f(x
2
)

0
的大小.
①.奇函数的图象在
y
轴两侧的单调性一致;偶函 数的图象在
y
轴两侧的单调性相反.
①.互为反函数的单调性一致.
①.增函数+增函数
?
增函数;减函数+减函数
?
减函数.
①.复合函数单调性由“同增异减”判定.
①.注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用(即如何体现函数的“奇偶性”、“单调性”)
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例题解析

一、集合
【例1】集合
B?{1,2}
的所有子集是 .
【难度】★
【答案】
?,{1},{2},{1,2}


2
【例2】已知集合
A?{x|ax?x?2?0}
只含有一个元素,则
a
的值是 .
【难度】★
【答案】
a?0,


【例3】设
A?
?
x|?3?x?5
?

B?
?
x|x?a
?
,且< br>A?B
,则实数
a
的取值范围是 .
【难度】★
【答案】
a??3


1
8
【例4】已知全集U?1,0,a
2
?2a?1

A?
?
1,|a?1|
?

?
U
A?
?
4
?
,则
a?

【难度】★
【答案】
?1


【例5】已知集合
M?
?
x|x?3k?1,k?Z
?< br>,
N?
?
y|y?3k?1,k?Z
?
,那么
MIN
等于( ).
A.
?
B.
N
C.
M
D.
Z

【难度】★
【答案】A


【 例6】设
U?
?
1,2,3,4,5
?

A、B
都 是
U
的子集,且
AIB?
?
5
?

?U
AIB?
?
4
?


B?
?
1,2
?
,则以下四个判断中正确的( )
A.
3?A

3?B
B.
3?A

3?B
C.
3?A

3?B
D.
3?A

3?B

??

U
AI
U
【难度】★★
【答案】D

【例7】用集合的交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来 .
【难度】★★
【答案】
(BI痧
U
C)U[(AIC)I

U
U
B]

【例8】已知全集
U?x|x?3n,n?N
?
,n?5

A?x|x
2
?px?27?0,p?N
????
B?
?
x|x
2
?15x?q?0,q? N
?

AU?
U
B?
?
3,9,12,15
?
,求集合
A、B

p、q
的值.
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【难度】★
【答案】
A?
?
3,9
?

B?
?
6,9
?

p?12< br>,
q?54


【例9】已知集合
A?{x|x?3x?2 ?0},B?{x|x?ax?a?1?0},C?{x|x?mx?2?0}


A UB?A,AIC?C
,求
a,m

【难度】★★
【答案】依题 设,
A?{1,2}
,再由
x?ax?a?1?0
解得
x?a?1< br>或
x?1

因为
A?B?A
,所以
B?A
,所以
a?1?A
,所以
a?1?1

a?1?2
,所以< br>a?2

a?3

因为
A?C?C
,所以
C?A
,若
C??
,则
??m?8?0
,即
?22?m?2 2
,若
C??


1?C

2?C
,解得
m?3

综上所述,
a?2

a?3

m?3

?22?m?22


【例10】设
S
为集合
{1,2,3,L,50}
的一个子集,且
S
中任意两个元素之和不能 被7整除,则
S

元素最多有多少 个.
【难度】★★★
【答案】23
2
222
2


【巩固训练】
1.给定二元集合
{1,x}
,则实数
x
不 能取的值是___________.
【难度】★
【答案】1

2.设
A?
?
0,9,x
?

B?0,x
2< br>,且
AIB?B
,则
x
的值为 .
【难度】★
【答案】
?3,1,3


3.设集合
A?
?
x|?2?x?1
?
,B?
?
x|x?0
?
,则
AUB?

【难度】★
【答案】
R


4.设
U?
?
1,2,3 ,4,5
?

A?
?
2,4
?
,则
?U
A
的真子集的个数为 .
【难度】★
【答案】7

5.设全集
U?
?
x|1?x?17
?
,集合< br>A?
?
x|2?x?10
?
,则
?
U
AIB ?

B?
?
x|3?x?16
?

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??
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【难度】★
【答案】
?
x|10?x?16
?


的关系是( )
A.
M?N
B.
N?M
C.
M?N
D.
M、N
无包含关系
【难度】★★
【答案】A

7.设
A
是整数集的一个非空子集,对于
k ?A
,如果
k?1?A

k?1?A
,那么
k
是< br>A
的一个“孤
立元”,给定
S?{1,2,3,4,5,6,7,8}
,由
S
的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共
有 个.
【难度】★★
【答案】6个【3个元素必须连续】

6.已知集合
M?x|x?a
2
?2a?4,a?R

N?y|y?b
2
?4b?6,b?R
,则
M、N
之间
??
??
?
1
2
??
2
2
??
3
2
??
10 0
2
?
8.设
[x]
表示不超过
x
的最大整数,用
??

?
100
?

?
100
?
,…,
?
100
?
组成集合
A
的元素,
1 00
????????
求集合
A
中的元素的个数.
【难度】★★★
【答案】76

9.设
M?{aa?x
2
?y
2
,x,y?Z}
,求证:
(1)
2k?1?M,(k?Z)

(2)
4k?2?M,(k?Z)

(3)若
p?M,q?M
,则
pq?M

【难度】★★★
【答案】[证明](1)因为
k,k?1?Z
,且
2k?1?k?(k?1)
,所以
2k?1?M

(2)假设
4k?2?M(k?Z)
,则存在
x,y?Z
,使
4k?2?x?y
,由于
x?
2 2
22
22
y

x?y
有相同
的奇偶性,所以x?y?(x?y)(x?y)
是奇数或4的倍数,不可能等于
4k?2
,假设不 成立,所

4k?2?M

(3)设
p?x?y,q?a?b,x ,y,a,b?Z
,则
pq?(x?y)(a?b)

2222
2222
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?a
2
a
2
?y
2
b
2
?x2
b
2
?y
2
a
2
?(xa?yb)
2
?(xb?ya)
2
?M

(因为
xa?ya?Z,xb?ya?Z
).


二、命题与条件
【例11】命题“若
ab?0
,则
a?0

b?0
”的一个等价命题是 .
【难度】★
【答案】若
a?0

b?0
,则
ab?0


【例12】已知
p

q
都是
r
的必要条 件,
s

r
的充分条件,
q

s
的充分条 件,则
p

q

条件.
【难度】★
【答案】必要非充分

【例13】“
x??3
”是“
x< br>2
?x?6?0
”的 条件.
【难度】★
【答案】必要非充分

【例14】全集
U?R

A,B?U
,以下四组中
M

N
的充分不必要条件是 .
(1)
M

A?B

N


U
B?
U
A
; (2)
M

A?B

N

B??
U
(3)
M

A?B

N

A?B< br>; (4)
M

A?B

N

U
A?
【难度】★★
【答案】(2)

【例15】下面说法正确的是 .
①“
x

y
中至少有一个小于零”是“
x?y?0
”的必要非充分条件;
B

①“
a?b?0
”是“
a?0

b ?0
”的充要条件;
①“
ab?0
”是“
a?0

b?0
”的充分非必要条件.
【难度】★★
【答案】①③

【例16】命题“能被4整除的整数一定是偶数”及其逆命题、否命题、逆否命题共四个命题中,真
命题的个数是( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【难度】★
【答案】B
【例17】甲、乙、丙中选某些要参加会议,若甲参加则乙不参加;若丙不参加则乙必参加,已知甲
一定参加会议,则下列结论正确的是( ).
A.丙不参加会议 B.丙参加会议
C.乙参加会议 D.乙不参加会议且丙也不参加会议
【难度】★★
【答案】B

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22



专业 引领 共成长 2
【例18】方程
ax?2x?1?0,(a?0)
有一个正根和一个负根的充分 不必要条件是( ).
A.
a?0
B.
a?0
C.
a??1
D.
a?1

【难度】★★
【答案】C

22
【例19】设集合
A?{x|?2?x?4}
,集合
B?{x|x?3ax?2a?0 }

(1)求使
AIB?B
的实数
a
的取值范围; (2)是否存在实数
a
,使
AIB??
成立?若存在.求出实数
a
的取值范围;若不存在,请说明理
由.
【难度】★
??2?a?4
【答案】(1)
B?A

x?3ax?2a?0?x
1
?a,x
2
?2a

?
?a?(?1,2)

?2?2a?4
?
?
a??2

a?4
(2)AIB???
?
?a?(??,?2]U[4,??)

?
2a??2

2a?4
22

2
【例20】已知集合
A?
{x|ax?3x?1?0,x?R}

①若
A
中只有一个元素,求实数
a
的值;
①若
A
中至多只有一个元素,求实数
a
的值;
①若
A
中至少有一个负实数,求实数
a
的值.
【难度】★★
【答案】(1)
a?0
时,
3x?1?0?x??< br>,符合题意;
?
1
3
?
a?0
?
a?09
?
?
?a?

4
?
??0
?9?4a?0
9
?a?0


4
(2)
A中没有元素时,
??9?4a?0?a?
99

A
只有一个元素 时,
a?0或

44
综上,
a?
9

a?0

4
(3)
A
中只有一个负根 当
a?0
,附合题意, < br>当
a?
9
?9?
?
2
?

A??
xx
2
?3x?1?0,x?R
?
?x9x
2
?12x?4?0?
?
?
?
符合题意.
4
?
3
?
?
4
?
??
9
?
9?4a?0
?
?
??0
??
a?
?
?
1
?
?
A
中有两根,一正一负,则
?
4
?a?0

xx ?0
?0
?
12
??
?
a?0
?
a
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?
?
9?4a?0
??0
?
9
?
?
9
??
1
?
a?
?
?
A
中有两根,二负,则
?< br>x
1
x
2
?0?
?
?0
4
?0?a ?

4
?
x?x?0
?
a
?
a?0?
?
12
?
3
??0
?
?
a
综上,
a?
9

4
3x?11313
2
9
?
??(?)??[(?)?]
?
9
x
2
x
2< br>xx24
?
另解:
?
?a?

13313
4
?
x?0????(?)
2
?0
?
x22x2
?< br>?a??


【巩固训练】
1.“
a?2

b?2
”是“
a?b?4

ab?4
”的 条件.
【难度】★
【答案】充分非必要

2
2.“
a c?0
”是“
y?ax?bx?c
的图象与
x
轴有两个不同交点”的 条件.
【难度】★★
【答案】充分非必要

3.若命题
A成立可推出命题
B
不成立,那么下列说法一定正确的是( ).
A.命题
A
成立可推出命题
B
成立 B.命题
A
不成立可推出命题
B
成立
C.命题
B
不成立可推出命题
A
成立 D.命题
B
成立可推出命题
A
不成立
【难度】★★
【答案】D

4.对原命题“若
x?y?0
,则
x?0< br>且
y?0
”的判断:
(1)原命题真,逆命题假;(2)逆命题真,原命题假 ;(3)否命题真,逆否命题假;(4)逆命题假,
逆否命题真.其中正确的是( ).
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
【难度】★★
【答案】B

5.
A

B
是两个有公共元素但不相等的集合,“
x?AUB
”是“
x?A IB
”的( ).
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
【难度】★★
【答案】B

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6.a??1
是关于
x
的方程
a
?
ax?1
??x?1
只有负根的什么条件?为什么?
【难度】★★
【答案】
(a?1)x?a?1


a?1
时,方程无解 ;当
a??1
时,
x?R
;当
a?1
时,
x?0< br>;当
a?1
时,
x?0

2
a??1
是关 于
x
的方程
a
?
ax?1
?
?x?1
只有 负根的充分不必要条件.

2
7.为使关于
x
的实系数一元二次方 程
ax?bx?c?0(a?0)
的两个根是不相等的正数,下列条件
中哪些是必要不 充分的,哪些是充分不必要的,哪些是充要的?
(1)
b
2
?4ac?0

b
?0

a
b
(3)
?0

a
(4)
b
2
?4ac?0

(2)
( 5)
b
2
?4ac?0

(6)
c
?0

a
bc
?0

?0

aa
bc
(7)
b
2
?4ac?0

?0

?0

aa
(8)
b
2
?4ac?0

a?0

b?0

c?0

(9)
b?a?c

ab?0

ac?0

【难度】★★★
【答案】必要不充分条件:1,2,5,6; 充分不必要条件:8; 充要条件:7

三、不等式
【例21】若不等式< br>x
2
?2x?3?0
的解集为
A
,不等式
x
2
?x?6?0
的解集为
B
,不等式
x
2
?ax? b?0
的解集为
AIB
,则
a?b?

【难度】★
【答案】
?3(a??1,b??2)


2
【例22】已知方程
(k?3)x?5kx?2k?10?0
的两根一正一负,求实数
k
的取值范围.
【难度】★
【答案】由
x
1
?x
2
?

?2k?10
?0
,解得
k
的取值范围是
(??,?3)U(5,??)

k?3
3x
2
?px?6
?6
恒成立,求实数
p
的取值范围. 【例23】如果对一切实数
x
,不等式
?9?
2< br>x?x?1
【难度】★★
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?
12x
2
?(p?9)x?3?0
【答案】 ①
x?x?1
恒大于0,①原不等式等价于
?
2
恒成立,
?
3x?(p?6)x?12?0
?
?
1
?(p?9)
2< br>?144?0
?
?3?p?21
?
?

?
, ①
p?(?3,6)

2
?
?
2
?(p?6)? 144?0
?
?18?p?6
2

ax?5
?0
的解集为
M

x
2
?a< br>(1)当
a?4
时,求集合
M
;(2)若
3?M
且< br>5?M
,求实数
a
的取值范围.
【例24】已知关于
x
的不等式
【难度】★★
4x?5
?0

x
2
?4
5
解之,得
M?(??,?2)U(,2)

4
?
3a?5
?0
?
?
3?M
5
?
9?a
?
?
?a?[1,)U(9,25)
. (2)
a?25
时,
?
3
?
5?M
?
5a?5
?0
?
?
25?a
25x?51

a?25
时,由
2
?0
,解得M?(??,?5)U(,5)
.则
3?M

5?M

x?255
【答案】(1)
a?4
时,不等式为

a?25
满足条件.
综上,得
a?[1,)U(9,25]


【例25】解关于
x
的不等式
【难度】★★
【答案】原不等式可化 为:
5
3
a(x?1)
?1(a?1)

x?2
(a?1)x?(2?a)
?0
,即
[(a?1)x?(2?a)](x?2)?0< br>.
x?2
a?2
)(x?2)?0
同解.
a?1
(1)当
a?1
时,原不等式与
(x?

a?2
?
2
,即
0?a?1
时,原不等式无解;
a?1
a?2a?2
?
2
,即
a?0

a?1< br>,于是
a?1
时,原不等式的解为
(??,)?(2,??)
a?1a?1
a?2a?2
,2)
;若
0?a?1
,解集为(2,)
;若
a?0
,解集
a?1a?1
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(2)当
a?1
时,若
a?0
,解集为< br>(
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?

综上所述:当
a? 1
时,解集为
(??,
a?2a?2
)
?
(2,
? ?
)
;当
0?a?1
时,解集为
(2,)

a?1a?1
a?2
,2)

a?1

a?0
时,解集为
?
;当
a?0
时,解集为
(< br>
【例26】(1)①已知:
a,b?R
?

a?3b?1< br>,求
11
?
的取值范围;
ab
①已知:
a,b?R
?

x,y?R
?
,满足
a?b?13

值.
ab
??1
,若
x?y
的最小值是25,求
a,b

xy
(2)已知:
a,b?R
?

ab? a?b?3
,求
ab
的最小值.
【难度】★★
【答案】(1)①
11
?
11
?
a3b
??
?
?
?
?(a?3b)?1?3???4?23

ab
?
ab
?< br>ba

当且仅当
a3b
11
?
时等号成立,所以,< br>?
的取值范围是
[4?23,??)

ba
ab
①< br>x?y?
(
x?y
)
?
?
?
ab
?
aybx
aybx
时等号成立
?
?
?
?a?b? ??a?b?
2
ab
,当且仅当
xy
xa
?
xy< br>?
?
a?b?2ab?25
?
a?4
?
a?9
?
?

?
由已知:
?

b?9b?4
? ?
?
a?b?13
(2)【法一】
ab?2ab?3?ab?3或ab??1 (舍)?(ab)
min
?9
,当且仅当
a?b?3
时取
等 号
?
a?0
a?3
?
【法二】由题意,得
b?
, ①
a,b?R
?
,①
?
a?3
,①
a?1

a?1
?0
?
?
a?1
(t?1)(t?4)t
2
?5t?444
a?3
??t??5?2t??5?9
,令
t?a ?1,t?0

ab?
ab?a?
tttt
a?1
当且仅当
t?2
,即
a?b?3
时取等号
2
【法三】
a、 b
可看作关于
t
的一元二次方程的
t?(ab?3)t?ab?0
的 两个正根
?
??0
?

?
t
1
?t2
?ab?3?0
,解得
ab?9

?
tt?ab?0
?
12
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【巩固训练】
?
x2
?2x?15?0
1.不等式组
?
2
的解集为 .
?
3x?2x?5?0
【难度】★
【答案】
[?3,?1)U(,5]


2.已知实数
a, b
满足
0?a?1,?1?b?0
,且
|a|?|b|
,则在四个数
a
2
?b
2

a?b

2|ab|

5
3
2|ab|
中,最小的一个数是 .
【难度】★
【答案】
2|ab|


3.已知三个不等式 :①
ab?0
;①
cd
?
;①
bc?ad
.以其中 两个为条件,余下一个作结论,
ab
则可以构成真命题的个数是( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
【难度】★
【答案】D



22
4 .设
a
1
、b
1
、c
1
、a
2
、 b
2
、c
2
都是非零实数,方程
a
1
x?b
1
x?c
1
?0

a
2
x?b
2
x?c
2
?0
的解集
分别为集合
A

B
,那么“
a
1
b
1
c
1
??
”是“
A?B
”的( ).
a
2
b
2
c
2
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
【难度】★★
【答案】D

222
5.已知集合
A?{x|x?2x?24?0 ,x?R}

B?{x|x?4ax?3a?0,x?R}

(1)若AIB??
,求实数
a
的取值范围;(2)若
AUB?A
,求实 数
a
的取值范围.
【难度】★★
【答案】
A?{x|?4?x? 6}

B?{x|(x?a)(x?3a)?0}

(1)若
AIB??


a?0
时,
B?? ?AIB??
;①
a?0
时,
B?{x|a?x?3a}
,①
a?6


a?0
时,
B?{x|3a?x?a}
,①
a??4

综上,
a??4
,或
a?0
,或
a?6

(2)若
AUB?A
,即
B?A


a?0
时,
B??
,显然
B?A
;①
a?0
时,
3a?6?0?a?2


a?0
时,
3a??4??
4
?a?0

3
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专业 引领 共成长
综上,
?
4
?a?2

3

6.已知不等式ax
2
?bx?c?0
的解集是
(
?
,
?)(0?
?
?
?
)
,求不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集.
【难度】★★
b
?
?
?
?
???0
?
?
a
?a?0,b?0,c?0
. 【答案 】
?
?
?
?
?
?
c
?0
?
a
?
b
?
?
?
11
?
x?x?????
12
?
c
?
?
???
?
设方程
c x
2
?bx?a?0
的两根为
x
1

x
2
,则
?

a11
?
x?x???
12
?
c
??
?
1111
所以
x
1
?,x
2
?
.又
c?0
,所以不等式
cx
2
?bx?a ?0
的解集为
(??,)U(,??)

??
??

2
7.解不等式:
ax?(a?2)x?2?0

【难度】★★
【答案】原不等式可化为
(x?1)(ax?2)?0


a?0
时,解方程
(x?1)(ax?2)?0

x
1
?1,x< br>2
?
2

a
①当
a?2
时,不等式的解集为
(,1)
; ①当
a?2
时,不等式的解集为
?

①当
0?a?2时,不等式的解集为
(1,)
;①当
a?0
时,不等式的解集为
(1,??)

①当
a?0
时,不等式的解集为
(??,)U(1,??)


22
8.(1)解关于
x
的不等式:
(a?a?1)x? a(1?x)?a?2(a?R)

(2)如果
x?a
2
?4在上述不等式的解集中,求实数
a
的取值范围.
【难度】★★
【答案】(1)将原不等式整理得:
(a?1)x?a?a?2


a?1
时,解集为
{x|x?a?2}


a?1
时,解集为
?


a?1
时,解集为
{x|x?a?2}

2
2
a
2
a
2
a
?
a?1
?
a?1< br>(2)解法一:由题意,
?

?
,得
a?(?2,1)U(3 ,??)

22
?
a?2?a?4
?
a?2?a?4
2
解法二:将
x?a?4
代入原不等式,并整理得:
(a?2)(a?1)(a?3)? 0

解得
a?(?2,1)U(3,??)


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专业 引领 共成长
a
2
b
2
(a?b)
2
9.(1)已知
a

b
为正实数,
a?b
x?0

y?0
.试比较
的大小,并指
?

x yx?y
出两式相等的条件;
(2)求函数
f(x)?
【难度】★★★
291
?

x?(0,)
的最小值.
x1?2x2
a
2
b
2
(a?b)
2
(ay?bx)
2
????0
. 【答案】(1)作差比较:
xyx?yxy(x?y)
a
2
b
2
(a?b)
2
??
所以,.当
ay?bx时,两式相等.
xyx?y
2949(2?3)
2
????25
. (2)解法1:
?
x1?2x2x1?2x2x?1?2x
11
1
时,
?( 0,)
,函数取得最大值25.
52
5
292?5x9
?t?(2,)
, 解法2:
?,令,则
2?5x?t
x1?2x?2x
2
?x2

2 (1?2x)?3?2x
,即
x?

y?f(x)
,则
y?
t
25
,化简并变形得;
y?
18
(t?2)
2
t?2
?2t??13
2??
t
255
18
??2 2?18??12

t
918918
t?2
t?(3,)

?2t?
递减,当且仅当
t?3?(2,)
时等号成立,且
t?( 2,3)

?2t?
递增,
2t2t
1818
25
9
??13
,所以
0??2t??13?1

y?
或时,< br>?2t?
?25
,当
t?3

18
tt
2< br>?2t??13
t
1
2?5x?3,x?
时取得最大值25.
5
因为
?2t?


四、函数
【例27】已知< br>f(x)
是定义在
R
上的偶函数,定义在
R
上的奇函数
g(x)
过点
(?1,3)

g(x)?f(x?1)
,则
f(2009)?f(2010)?

【难度】★★
【答案】3


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18 28



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【例28】
Rt△ABC
如图所示,直角边
AB?3< br>,
AC?4

B
D
D
点是斜边BC上的动点,
DE?AB
交于点
E

DF?AC

交于点
F
.设
AE?x
,四边形
FDEA
的面积为
y


y
关于
x
的函数
f
?
x
??

【难度】★★
【答案】
f
?
x
?
??

E
A F

C
4
2
x?4x,x?
?
0,3
?

3【例29】已知二次函数
f(x)
满足条件:
f(?1)?f(2)?0,f(3 )?4

(1)求函数
f(x)
的解析式;
(2)若
f (x)?m
对任意
x?R
都成立,求实数
m
的取值范围.
【难度】★★
【答案】(1)由已知可知二次函数
f(x)
图像与
x
轴交点的坐标分别为
(?1,0)

(2,0)

可设
f(x)?a(x?1)(x?2)

a?0

因为
f(3)?4
,所以
a(3?1)(3?2)?4
,解得
a?1

于是
f(x)?(x?1)(x?2)
,即
f(x)?x?x?2

(2)由已知,
x
2
?x?2?m
对任意
x?R
都 成立,它等价于
x?x?(2?m)?0
对任意
x?R

成立,
所以
??(?1)?4
?
?(2?m)
?
?0

2
2
2

4m?9?0
,解得
m??
9< br>.
4
这就是所求的实数
m
的取值范围.

【例3 0】设定义域为
R
的函数
f(x)?
?
?x?1,x?0,

2
?
(x?1),x?0
(1)在平面直角坐标系内作出该函数的图像;
(2)试找出一组
b

c
的值,使得关于
x
的方程

f(x)?b?f(x)?c?0
有7个不同的实根.
2
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请说明你的理由.

【难度】★★
【答案】(1)见右图.


(2)(开放题)如
b??
2
31

,c?
等.< br>22

f
?
x
?
?t,t?bt?c?0
, 由图像可得以上有关于t的方程必须有一解为1,另一解在区间
?
0,1
?
中 ,
才会使得关于
x
的方程
f(x)?b?f(x)?c?0
有7个解 .
其中,
f
?
x
?
?1
有3个解,
f< br>?
x
?
?a?
?
0,1
?
有四个解.
所以可令
t
1
?1,t
2
?

【例31】求证:函数
f(x)?
【难度】★
【答案】证:任取
0?x
1
?x
2


f(x
1
)?f(x
2
)?
2
131
,即可得方程
x
2
?x??0

222
2
?x
在区间
(0,??)
上单调递减.

x
2222
?x
1
?(?x
2
)?(?)?
?
x
1
?x
2
?

x
1
x2
x
1
x
2
?
2
?
2(x
2
?x
1
)
?
?
x
1
?x
2
?
?
?
x
2
?x
1
?
?
??1
?

?
x
1
x
2< br>xx
?
12
?
因为
0?x
1
?x
2
,所以
x
2
?x
1
?0

所以,函数f(x)?
2
?1?0
,即
f(x
1
)?f(x
2
)?0

x
1
x
2
2
?x
在 区间
(0,??)
上单调递减.

x


【巩固训练】
1.函数
f(x)?
【难度】★
【答案】
(??,?1]


x
2
?x?2
的单调递减区间是 .
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2.已知 偶函数
f(x)
,当
x?0
时,解析式为
f
(
x< br>)
?x?x
;则当
x?0
时,
f(x)
的解析式
为 .
【难度】★★
【答案】
f(x)?x?x


3.若方程
2x?
【难度】★★
【答案】
?
?3,?1
?


4.函数
f (x)?x?bx?c
,方程
f(x)?2
有三个解,写出一组符合条件的数组
?
b,c
?

2
2
2
1
?a?1

(0,??)
上有且只有2个解,则实数
a
的取值范围 是 .
2x
【难度】★★★
【答案】应满足条件
b?4
?
2?c
?
,b?0

2

5.若关于
x
的方程
(x?a)|x|?1
恰 有三个不同的实数解,则实数
a
的取值范围是 .
【难度】★★★
【答案】
(??,?2)

【解析】设
f(x)?(x?a)|x|

g(x)?1
,则“关于
x
的方程
(x?a)|x|?1
恰有三个不同的
实数解”等价于“函数
f(x)?(x?a)|x|
与函数
g(x)?1
的图像恰有三个公共点”.
?
a
2
a
2
(x?)?,x?0,
2
?
?
x?ax,x?0,
?< br>?
24

f(x)?
?

f(x)?
?
2
2
?
?
?x?ax,x?0.
?
?(x?
a
)
2
?
a
,x?0.
?
24
?
①当
a?0
时,函数
f(x)?(x?a)|x|
的大致图像如图( 1)所示,
若函数
f(x)?(x?a)|x|
与函数
g(x)?1
的图像恰有三个公共点,
a
2
?1
,即
a
2
?4
,解得
a?2

a??2
,所以
a??2
; 则
4
①当
a?0
时,函数
f(x)?(x?a)|x|
的大 致图像如图(2)所示,此时函数
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f(x)?(x?a)|x|
与函数
g(x)?1
的图像只有一个公共点,不 符合题意;
①当
a?0
时,函数
f(x)?(x?a)|x|
的大 致图像如图(3)所示,此时函数
f(x)?(x?a)|x|
与函数
g(x)?1
的图像只有一个公共点,不符合题意.




图(1)




图(2)






图(3)



综上,所求实数
a
的取值范围是
(??,?2)


6.已知函数
f(x)?
22

g(x)?

xx?3
(1)说明这两个函数图像间的关系;
(2)列表、描点,用虚线作出函数
y?f(x)
的大致
..
图像,然后利用(1)中的结论,在同一坐标系中, 用
实线作出函数
y?g(x)
的大致图像;
..
(3)由所作函数 的大致图像判断函数
g(x)?
2

x?3
奇偶性、写出它的单调区 间以及在区间
[4,??)
上的最
大值或最小值.
【难度】★★
【答案】(1)因为函数
y?f(x)
的图像上的任意点
P(a,)
与函数< br>y?g(x)
的图像上的点
2
a
2
P'(a?3,)
相对应,即将点
P
向右平移
3
个单位就与点
P'
重合,所 以将函数
y?f(x)
的图像向右
a
平移
3
个单位就是函数
y?g(x)
的图像.
(2)由于函数
f(x)?
x

f(x)

22
是奇函数,列出
x?0
时函数
f( x)?
的对应值表(如下表所示):
xx
1



2

4

1

2
1

… …
4

2

1

2
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函数
y?f(x)
的大致图像
(如虚线所示).由(1)知,将函数
y?f(x)
的大致图像向右平移
3
个单
位就得函数
y?g(x)
的大致图像
(如实线所示)
(3)由函数
y?g(x)
的大致图像
可知,函数
g(x)?
2
既不是奇函数
x?3
又不是偶函数,单调递减区间分别是
(??,3)

(3,??)
,在区间
[4,??)

的最大值是

7.据测算:某企业某一种产品的年销售量
m
万件与年 促销费用
x
万元(
x?0
)满足
m?6?
2
?2< br>,无最小值.
4?3
5
.已
x?1
知该产品的前期投入需要 4万元,每生产1万件该产品需要再投入10万元,企业将每件该产品的销
售价格定为每件产品年平均成 本的
3
倍(定价不考虑促销成本).
2
(1)如果该企业不搞促销活动,那么该产品的年销售量是多少万件?
(2)试将 该产品的年利润
y
(万元)表示为年促销费用
x
(万元)的函数;
(3)
x
为何值时,该产品的年利润最大,最大年利润是多少万元?
【难度】★★
5
?1

0?1
所以如果该企业不搞促销活动,该产品的年销售量是
1
万件.
34?10m
(2)由题意得 该企业该产品每件的销售价格是
?
(元),
2m
34?10m
所以该产品的年利润
y?m?[?]?(4?10m?x)

2m
【答案】(1)由题意知,当
x?0
时,
m?6?

y?2?5m?x
,即
y?2?5?
?
6?
?< br>?
5
?
25
?x
,即
y?32??x
, < br>?
x?1
?
x?1
所以该产品的年利润
y
(万元)表 示为年促销费用
x
(万元)的函数是
y?32?
25

?x

x?0

x?1
(3)因为
x?0
252525
?x??(x?1)?1?2?(x?1)?1?9

x?1x?1x?1
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25
?x?1
,即
(x?1)
2
?25
,即
x?4

x??6
(舍去)时,等号成立.
x?1
25
所以
y?32?(?x)?32?9?23

x?1
因此
x

4
万元时,该产品的年利润最大,最大年利润是23
万元.
当且仅当


【解析】


1.集合中对空集的讨论.
2.基本不等式.
22
(1)应用公式的条件 :
a?b?2ab
的条件是
a,b?R

反思总结
a?b
?ab
的条件是
a,b?R
?

2
22
(2)取等号的条件:
a?b?2ab

a?b
?ab
取等号的条件都是
a?b

2
(3)广义地理解公式中的字母
a 、b
.这里
a、b
也可以是满足条件的代数式.
a?ba
2
?b
2
?ab??,(a,b?R
?
)

(4)公式的 逆用、变形用:如
11
22
?
ab
2
333
(5) 推广:①
a,b,c
?R
,有
a?b?c?3abc
,当且仅当a?b?c
时等号成立.
?

a,b,c?R
,有
?
a?b?c
3
?abc
,当且仅当
a?b?c
时等号成立.
3




课后练习
?
2x?y?0
1.方程组
?
的解集为_____________ _.
x?y?3?0
?
【知识点】集合的表示法
【题型】填空题
【难度】★
【答案】
{(?1,2)}


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2.集合
M?x|x
2
?8x?p?0
,又
MUN?
?
2, 3,5
?
,则
p?

N?x|x
2
?qx?6?0

??
??
q?


【知识点】集合的运算
【题型】填空题
【难度】★
【答案】
15,5


3.定义:关于
x
的不等式
|x?A|?B
的解集叫
A

B
邻域.若
a?b? 2

a?b
邻域为区间
(?2,2)

22
a?b
的最小值是 .
【知识点】新定义、不等式、二次函数的最值
【题型】填空题
【难度】★★
【答案】2

4.已知
A?{x|1?x?3}

B?{x|m?1?x?2m?4,m?R}
,若
x?A

x?B
的充分非必要

件,则实数
m
的取值范围是 .
【知识点】充要条件的判定
【题型】填空题
【难度】★★
【答案】
?
?

5.已知
f(x)?
?
1
?
,0
?
?
2
?
x
2
?k?1
x?k
2
的最小 值为2,则实数
k
的取值范围是 .
【知识点】基本不等式
【题型】填空题
【难度】★★
【答案】
k?1

22
6.如果关于
x
的三个方程
x?4ax?4a?3?0
,< br>x?(a?1)x?a?0

x?2ax?2a?0
中,
22
有且只有一个方程有实数解,则实数
a
的取值范围是 .
【知识点】集合的运算、解不等式
【题型】填空题
【难度】★★
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【答案】
?
?2,?
?
U
?
?1,0
?
U
?
,
?

232
?
?
3
?
??
11
?
??

7.若正实数
x,y
满足:
【知识点】基本不等式
【题型】填空题
【难度】★★
【答案】
?
9,??
?


?k
8.已知集合
M
?
{x|1
?
x
?
10,n
?N
}
,对它的非空子集
A
,将
A
中每个 元素
k
都乘以
(?1)

147
111
??
,则
xy
的取值范围为 .
1?x1?y2
再求和,如
A?{1,4,7}
,可以求得和为
(?1)?1?(?1)?4?(?1)?7??4
,则对
M
的所有非空
子集,则这些和的总和为 .
【知识点】新定义
【题型】填空题
【难度】★★★
【答案】2560

9.设
M?x|x?15

a?3
,则下列关系正确的是( ).
A.
a?M
B.
a?M
C.
{a}?M
D.
{a}?M

【知识点】集合的概念
【题型】选择题
【难度】★★
【答案】D

??
ax?6
?0
的解集为
M

x? a
(1)当
a?2
时,求集合
M
;(2)若
2?M

6?M
,求实数
a
的取值范围.
10.已知关于
x
的不等式
【知识点】分式不等式的解法
【题型】解答题
【难度】★★
【答案】(1)当
a?2
时,不等 式
ax?62x?6
?0

?0
,其解集
M?(2,3)< br>.
x?ax?2
2a?6
?
?0
?
?
a? 2或a?3
?
2?a
(2)依题意可得
?
,分别解得
?
6a?6
1?a?6
?
?
?0或a?6
?
6 ?a
?
所以,实数
a
的取值范围是
[1,2)U(3,6]

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11.已知集合
A?{k|
方程
x?(2k?1)x?k?0
至少有一个不 大于
1
的实根
}
,求:
(1)用区间表示集合
A

(2)集合
B?{k|k?A,k?Z}
的所有子集.
【知识点】集合的运算、补集思想
【题型】解答题
【难度】★★
【答案 】(1)
U?{k|k?}

?
U
A?{k|k??2}

A?{k|?2?k?}

22
1
4
1
4
{?2}

{?2,0}

{?1,0}

{?2,?1 }
,(2)
B?{?2,?1,0}
,所有子集为
?

{? 2,?1,0}

{?1}

{0}


12. 已知:集合
M?{x|
2
?1},N?{x6x?8?x
2
}

x?1
(1)设全集
U?R
,定义集合运算
?
,使M?N?MI?
U
N
,求
M?N

(2)若有
H?xx?a?2
,按(2)的运算,求出
?
N?M
?
?H

【知识点】新定义、集合的运算、分类讨论思想
【题型】解答题
【难度】★★
【答案】(1)集合
M=
??
??
{
x1}

N?
?
x2?x?4
?


Q?
U
N?xx?2或x?4
,①
M?N?MI ?
U
N?x1?x?2

(2)又
QH?
?
a?2,a?2
?
,①
?U
H?
?
??,a?2
?
U
?
a?2,??< br>?

而:
N?M?NI?
U
M?
?
3,4
?

故:当
a<1

a>6
时,
?
N?M
?< br>?H?
?
3,4
?
;当
1?a?2
时,
?< br>N?M
?
?H?
?
a?2,4
?


5?a?6
时,
?
N?M
?
?H?
?
3, a?2
?
;当
2?a?5
时,
?
N?M
?
?H??


13.已知一元二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0 ,c?0)
的图像与
x
轴有两个不同的公共点,其中
一个公共点的坐标为(c,0)
,且当
0?x?c
时,恒有
f(x)?0

(1)当
a?1

c?
2
??
??
??
??
1
时,求出不等式
f(x)?0
的解;
2
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(2)求出不等式
f(x)?0
的解(用
a,c
表示);
(3)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8,求
a
的取值范围;
(4)若不等式
m
2
?2km?1?b?ac?0
对所有
k ?[?1,1]
恒成立,求实数
m
的取值范围.
【知识点】函数综合
【题型】解答题
【难度】★★★
1
1
时,
f(x)?x
2
?bx?

f(x)
的图像与
x
轴有两个不同交 点,
2
2
1
111
Qf()?0
,设另一个根为
x
2
,则
x
2
?

?x
2
?1,则
f(x)?0
的解集为
(,1)

2
222c1
(2)
f(x)
的图像与
x
轴有两个交点,
Qf( c)?0
,设另一个根为
x
2
,则
cx
2
??x< br>2
?

aa
11
又当
0?x?c
时, 恒有
f(x)?0
,则
?c
,①
f(x)?0
的解集为(c,)

aa
1
(3)由(2)的
f(x)
的图像 与坐标轴的交点分别为
(c,0),(,0),(0,c)

a
【答案】(1)当
a?1

c?
这三交点为顶点的三角形的面积为
S?
cc1
11
??

( ?c)c?8

?a?
2
16?c
2a
216c
8

a?
?
0,
?
?
1
?

?
8
?
(4)
Qf(c)?0
,①
ac
2
?bc?c?0
,又①
c?0
,①
ac?b?1?0

要使
m?2km?0
,对所有
k?[?1,1]
恒成立,则

m?0
时,
m?(2k)
max
?2


m?0
时,
m?(2k)
min
??2
2

m?0
时,
0?2k?0
,对所有
k?[?1,1 ]
恒成立.
2
从而实数
m
的取值范围为
m??2

m?0

m?2


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