中国梦作文800字2012江苏高考数学试卷答案与解析

2012江苏高考数学试卷答案与解析
一.填空题：
1．已知集合
A?{1，2，4}
，
B?{2，4，6}
，则
A?B?
▲ ．
【答案】
?
1,2,4,6
?

【解析】根据集合的 并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A和集合B的元素组成的集合，从所给
的两个集合的元素可 知，它们的元素是
1
，
2
，
4
，
6
，所 以答案为
?
1,2,4,6
?
.
【点评】本题重点考查集合的运算 .容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，
难度系数较小.
2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
3
:
3
:
4
，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中
抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．
【答案】
15

【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例 抽取，样本容量为
50
，那么根据题意得：从高三一共
可以抽取人数为：
50 ?
3
?15
人，答案
15
.
10
【点评】 本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例
抽样” ，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得
到的数 据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重
视．
3. 设
a，b?R
，
a?bi?
【答案】
8
< br>【解析】据题
a?bi?
11?7i
（i为虚数单位），则
a?b的值为 ▲ ．
1?2i
11?7i(11?7i)(1?2i)25?15i
所以
a?5,b?3,
从而
a?b?8
.
???5?3i
，
1?2i(1?2i)(1?2i)5
【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条 件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数
的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者 ，需要注意分母实数化的实质.
4. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．

【答案】
5

【解析】根据循环结构的 流程图，当
k?1
时，此时
k?5k?4?0
；不满足条件，继续执行循环体 ，当
k?2
时，
k?5k?4??6
；不满足条件，继续执行循环，当
k?3
时，
k?5k?4??2
不满足条件，然后依
次出现同样的结果，当
k?5
时，此时
k?5k?4?4
，此时满足条件跳出循环，输出
k
的值为
5
．
【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环 结构的流程图.注意循环条件的设置，以及
循环体的构成，特别是注意最后一次循环的
k
的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要
准确理解循环结构流程图的执行过程．
5. 函数
f(x)?1?2log
6
x
的定义域为 ▲ ．
【答案】
0,6
?
?

【解析】根据题意得到
1?2log
6
x?0
，同时，
x
＞
0
，解得
log
6
x?
所以函数的定义域为：
0,6
?
?
.
【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽 略
x
＞
0
这个条件，因
此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清 晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难
度适中.
6. 现有10个数，它 们能构成一个以1为首项，
?3
为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，
则它小于8的概率是 ▲ ．
【答案】
2
22
2
?
1
，解得
x?6
，又
x
＞
0
，
2
?
3

5
【解析】组成满足条件的数列为：
1,?3,9.?27, 81,?243,729,?2187,6561,?19683.
从中随机取出一个数共
有取 法
10
种，其中小于
8
的取法共有
6
种，因此取出的这个数 小于
8
的概率为
3
.
5
【点评】本题主要考查古典概型. 在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题

要注意审题，“ 一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.
7．如图，在长方体
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB?AD?3cm
，
AA
1
?2cm
，则四棱锥
A?BB
1
D
1
D
的体积为
cm
3
.





【答案】
6cm

3
D
1

A
1

D
A B
C
1

B
1

C
D1
A1
D
A
OB
C1
B1
C

【解析】如图所示，连结
AC
交
BD
于点
O
，因为 平面
ABCD?BB
1
D
1
D
，又因为
AC?BD
，所以，
AC?平面BB
1
D
1
D
，所以四棱锥< br>A?BB
1
D
1
D
的高为
AO
，根据题意< br>AB?AD?3cm
，所以
AO?
32
2
，又因为
B D?32cm
，
AA
1
?2cm
，故矩形
BB
1< br>D
1
D
的面积为
62cm
，从而四棱锥
2
1 32
?6cm
3
.
A?BB
1
D
1
D< br>的体积
V??62?
32
【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用. 本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平
面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥A?BB
1
D
1
D
的高为
AO
，这是解决该类 问题的关键.在复
习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中 档题，难度适中.
x
2
y
2
8. 在平面直角坐标系
xO y
中，若双曲线
??1
的离心率为
5
，则m的值为 ▲ ．
mm
2
?4
【答案】
2

【解析】根据题目条件双 曲线的焦点位置在
x
轴上（否则不成立），因此
m
＞
0
，由 离心率公式得到

m?m
2
?4
?5
，解得
m?2
.
m
【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质 .这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时
要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年 的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要
引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.
????????
9. 如图，在矩形ABCD中，
AB?2，BC?2，
点 E为BC的中点，点F在边CD上，若
AB
?
AF?2
，
????? ???
则
AE
?
BF
的值是 ▲ ．






【答案】
2

【解析】根据题意
AF?BC?DF,
所以
???
D
F
C
E
A
B
AB?AF?AB?(BC?DF)?AB?BC ?AB?DF?AB?DF?AB?DFcos0??2DF?2,
从而
?
????? ?
??????????????
得到
DF?1
，又因为
AE?AD ?DF,BF?BC?CF
，所以
2
AE?BF?(AD?DF)?(BC?CF) ?BC?0?0?DF?CFcos180
?
?2
.
?
????? ????
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到
DF?1
，
这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.
?1
≤x?0
，
?
ax?1，
?
10. 设
f(x)
是定义在
R
上且周期为2的函数，在区间
[?1，
其中< br>1]
上，
f(x)?
?
bx?2
，0
≤x≤1
，
?
?
x?1
?
1
??
3
?
a ，b?R
．若
f
??
?f
??
，则
a?3b
的值为 ▲ ．
?
2
??
2
?
【答案】
?10
. < /p>

?
1
??
3
?
【解析】因为
f
??
?f
??
，函数
f(x)
的周期为
2
，所以
?
2
??
2
?
131
?
得到
3a ?2b??2
，
f()?f(?2)?f(?)
，根据
f(x)?
?
bx?2
，0
≤x≤1
，
222
?
?
x ?1
又
f(1)?f(?1)
，得到
?a?1?
?1
≤x? 0
，
?
ax?1，
b?2
,即2a?b?0
，结合上面的式 子解得
a?2,b??4
，所以
2
a?3b??10
.
【 点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为
131
f()?f(?2)?f(?)
然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难度适 中.
222
?
?
?
4
?
11. 设
?< br>为锐角，若
cos
?
?
?
?
?
，则
sin(2
?
?)
的值为 ▲ ．
6
?
5
12
?
【答案】
172

50
??
167
?
?
4
?
【解析】根据
cos
?
?
?
?
?
，
cos(2
?
?)?2cos
2
(
?
?)?1?2?
，
?1?
6
?
5
362525
?
因为
c2o
?
? s)?(0
3
?
，所以
24
?
7
?
si n(2
?
?)?1?
??
?
325
?
25
?
?
2
，因为
sin(2
?
?
?
12)?sin[(2
?
?
?
3
)?
?
4
]?sin(2
?
?
?
3
)cos
?
4
? cos(2
?
?
?
3
)sin
?
4
?172
.
50
【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二 倍角公式的运用.在求解三角函数值时，
要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运 算量较大，难度稍高.
12. 在平面直角坐标系
xOy
中，圆C的方程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
，若直线
y?kx?2
上至少存在一点，使得以
该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ▲ ．
【答案】
4

3
2
2
【解析】根据题意
x
2
?y
2
?8x?15?0
将此化成标准形式为：
?
x?4
?
?y?1
，得到，该圆的圆心为
M
?
4,0?
半径为
1
，若直线
y?kx?2
上至少存在一点，使得以该 点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆
心
M
?
4,0
?
到直线
y?kx?2
的距离
d?1?1
，即可，所以有
d?
4k?2
k?1
2
?2
，化简得
k(3k?4)?0
解得
0?k?
44
，所以k的最大值是 .
33

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，
考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线
y?kx?2< br>上至少存
在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，这句话的理解，只需要圆心
M
?
4,0
?
到直线
y?kx?2
的距离
d?1?1
即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.
13. 已知函数f(x)?x
2
?ax?b(，ab?R)
的值域为
[0，??)
，若关于x的不等式
f(x)?c
的解集为
(m，m?6)
，则实数c的值 为 ▲ ．
【答案】
9

【解析】根据函数
f(x)?x?a x?b?0
，得到
a?4b?0
，又因为关于
x
的不等式
f (x)?c
，可化为：
2
它的解集为
?
m,m?6
?
，设函数
f(x)?x?ax?b?c
图象与
x
轴的交点的横坐标分
x
2
?ax?b?c?0
，
2
2
别为
x
1
,x
2
，则
x
2
?x
1
?m?6?m? 6
，从而，
(x
2
?x
1
)?36
，即
( x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?36
，又因为
2
2
x
1
x
2
?b?c,x
1
?x
2
??a
，代入得到
c?9
.
【点评】 本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图
象与二 次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.
14. 已知正数
a，
clnb
≥a?clnc
，
则
b，c
满足：
5c?3a≤b≤4c?a
，
【答案】
?
e,7
?

【解 析】根据条件
5c?3a
≤b≤4c?a
，clnb
≥a?clnc
，
a?c
?
lnb?lnc
?
?cln
b
的取值范 围是 ▲ ．
a
b
，得到
c
a
bab
3a ?ba?b
ln?,?e
c
?1
，得到
c?b
.又因为5c?3a?b
，所以
c?
，由已知
b?4c?a
，得到
c?
.
ccc
54
从而
a?b
b1
?b
，解得
?
.
4
a3
【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数 的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都
要等价.本题属于中高档题，难度较大.
二、解答题
15. （本小题满分14分）
????????????????< br>在
?ABC
中，已知
AB
?
AC?3BA
?
BC
．
（1）求证：
tanB?3tanA
；
（2）若
cosC?
【答案及解析】
5
，
求A的值．
5

【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和 与差的三角公式、三角恒等变形以及向
量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用 ，注意两角和与差的三角公式的运用，
考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎 年年都命制该类型的试题，因此平时练
习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.
16. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
A
1
B
1
?A
1
C
1
，
D，E
分别是棱
上的点（点D 不同于点C）， 且
AD?DE，F
为
B
1
C
1
的中点．
求证：（1）平面
ADE?
平面
BCC
1
B
1
；
（2）直线
A
1
F
平面ADE．
【答案及解析】
BC，CC
1

【点评】本题主要考查空间中点、 线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行
的判定.解题过程中注意中点这一 条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题
属于中档题，难度不大，考查基 础为主，注意问题的等价转化．

17. （本小题满分14分）
如图，建立 平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原
点． 已知炮弹发射后的轨迹在方程
y?kx?
射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3. 2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮
弹可以击中它？请说明理由．





【答案及解析】
O
（第17题）
x（千米）
y（千米）
1
(1?k
2
)x
2< br>(k?0)
表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的
20

【点评 】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，
要注 意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数
学模 型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中．
18．（本小题满分16分）
已 知a，b是实数，1和
?1
是函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx
的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数
g( x)
的导函数
g
?
(x)?f(x)?2
，求
g(x)的极值点；
（3）设
h(x)?f(f(x))?c
，其中
c?[?2 ，2]
，求函数
y?h(x)
的零点个数．

【答案及解析】



【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中 的运用.考查较全面系统，要注意变
形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查 数形结合思想和分类讨论思想，属于
中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问 题和解决问题的能力，运算量比较大．
19. （本小题满分16分）
x
2
y
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
2
?
2
?1 (a?b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
(?c，
已知
(1 ，
F
2
(c，0)
．
e)
0)
，
ab?
3
?
e，
和
??
??
都在椭圆上，其中e为 椭圆的离心率．
2
??
（1）求椭圆的离心率；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
AF
1

与直 线
BF
2
平行，
AF
2
与
BF
1
交于点P．
（i）若
AF
1
?BF
2
?
A
P
B
y
F
1

O
F
2

x
6
，求直线
AF
1
的斜率；
2
（第19题）

（ii）求证：
PF
1
?PF
2
是定值．
【答案及解析】



【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性 质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求
解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系 .在利用条件
AF
1
?BF
2
?
6
时，需要注意 直线
AF
1
和直线
2

BF
2
平行这 个条件.本题属于中档题．
20. （本小题满分16分）
已知各项均为正数的两 个数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
n?1
?
a
n
?b
n
a
n
2
?b
n
2
，n?N
?
．
2
??
??
b
b
n
??
?
n
（1）设
b
n?1
?1?，n?N
，求证：数列
?
??
?
是等差数列；
a
a
n
?
?
?
n
?
?
?
（2）设
b
n?1
?2?
【答案与解析】
b
n< br>，n?N
?
，且
{a
n
}
是等比数列，求
a
1
和
b
1
的值．
a
n

【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项< br>公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几
年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.
数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定 其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结
C
AC，AE，DE．
求证：
?E??C
．



【答案与解析】
A
O
E
（第21-A题）
D
B

【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所 对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属
于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的 主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从
这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本 性质的题目居多，在练习时，要有所侧重．
B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
?
13
?
?
?
4 4
?
，求矩阵A的特征值． 已知矩阵A的逆矩阵
A
?1
?
??
11
?
?
?
?
2
?
?
2?


【答案与解析】

【点评】本题主要考 查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求
解．在求解矩阵的逆矩 阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，
要正确的写出该矩阵 对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标中，已知圆C经过点
P
标方程．
【答案与解析】
?2，
?
3
?
，圆心为直线
?
sin
?
?
与极轴的交点，求圆C的极坐
??
3
2
4
?
??

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和 与差的三角
函数．本题要注意已知圆的圆心是直线
?
sin(
?
?< br>?
3
)??
3
与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，
2< br>对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．
D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数x，y满足：
|x?y|?
【答案与解析】

115
求证：
|y|?
．
，|2x?y|?，
36
18

【点评】本题主要考查不等式的基本 性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝
对值不等式的性质与其灵活运用.
22．（本小题满分10分）
设
?
为随机变量，从棱长为1的正方体的12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，
?
?0
；当两条棱平行时，
?
的
值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，
?
?1
．
（1）求概率
P(
?
?0)
；

（2）求
?
的分布列，并求其数学期望
E(
?
)
．
【答案与解析】

【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、 数学期望的求解、随机事件的基本运算．本
题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布 列和期望的求解，在列分布列时，要注意
?
的
取值情况，不要遗漏
?
的取值情况．
23．（本小题满分10分）
设集合
P
n
?{1， 2，n}
，
n?N
?
．记
f(n)
为同时满足下列条件的集 合A的个数：
…
，
①
A?P
n
；②若
x?A，则
2x?A
；③若
x??
P
n
A
，则
2x??
P
n
A
．
（1）求
f(4)
；
（2）求
f(n)
的解析式（用n表示）．
【答案与解析】

【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解
析式的求法.本题属于中档题，难度适中．