毕业感言100字2012年江苏省高考数学试卷解析

2012年江苏省高考数学试卷解析

一、填空题：本大题共14小题，每小 题5分，共计70分．请把答案填
写在答题卡相应位置上．
．．．．．．．．
4，6 }
，则
2，4}
，
B?{2，
1．已知集合
A?{1，AUB?
▲ ．
【答案】
?
1,2,4,6
?
。
【主要错误】{2,4}，{1,6}。
2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3:3:4,现用
分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为
50的样本，则应从 高二年级抽取 ▲ 名学生．
【答案】15。
【主要错误】24,25,20等。 < br>11?7i
b?R
，
a?bi?
3．设
a，
1?2i
（i为虚数单位），
则
a?b
的值为 ▲ ．
【答案】8。
【主要错误】4，2，-4，5+3i，403，6，等。
?7i
【分析】由
a?bi?
11
得
1?2i
a ?bi?
11?7i
?
11?7i
??
1?2i
?
11?15i?14
===5?3i
1?2i
?
1?2i
??
1?2i
?
1?4
，所以
a=5，b=3
，
a?b=8< br>。

4．下图是一个算法流程图，则输出的k
的值是 ▲ ．

【答案】5。
【主要错误】4，10，1，3，等。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下
表：

循环前
第一圈
第二圈
第三圈
第四圈
第五圈
第六圈
是否继续循环

是
是
是
是
是
否
k
0
1
2
3
4
5
输出5
k
2
?5k?4

0
0
－2
－2
0
4

∴最终输出结果k=5。
5．函数
f(x)?1?2log
6
x
的定义域为 ▲ ．

【答案】
?
0，6
?
?
。
6【主要错误】（0，6），
??
0,
?
xx?0,x?6
?等。
?
?
，
?
xx?6
?
，
【解析 】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

?
x>0
?
x >0
?
x>0
??
?
?
?0。
1
?
1
?
?
1?2logx?0
logx?
6?
6
??
x?6
2
=6
2
?
?
6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，
-3
为
公比的等比数列，若从这1 0个数中随机抽取一个数，
则它小于8的概率是 ▲ ．
3
【答案】
5
。
2
3
417
【主要错误 】
5
，
4
，
5
，
2
，
10
。
【解析】∵以1为首项，
-3
为公比的等比数列的10个数为1，－3，
9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是
63
=
。
1057．如图，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB?AD?3cm
，
AA?2cm
，则四
3
A?BBDD
棱锥的体积为 ▲ cm．
1
11

【答案】6。
【主要错误】
62
，3，
27
，30。 < br>【解析】∵长方体底面
ABCD
是正方形，∴△
ABD
中
BD =3
上的高是
3
2
2
cm，
BD
边
。
2
cm（它也是
A?BB
1
D
1
D
中BB
1
D
1
D
上的高）
3
2?2?
3
2=6
。
2
∴四棱锥
A?BB
1
D
1
D
的体积为
1
?3

8．在平面直角坐标 系
xOy
中，若双曲线
x
2
y
2
?
2?1
的离心率为
mm?4
5
，则
m
的值为
▲ ．
【答案】2。
【主要错误】-2，5，3，1。
x
2
y
2
【解析】由
?
2
?1
得
a=m，b =m
2
?4，c=m?m
2
?4
。
mm?4
cm ?m
2
?4
=5
，即
m
2
?4m?4=0
，解得
m=2
。 ∴
e==
a
m

AB?2，BC?2，
9．如图，在矩形
ABCD
中，
点
E
为
BC
的中点，点
F
在边
CD
上，若
uuuru uur
uuuruuur
AB
g
AF?2
，则
AEgBF< br>的值是 ▲ ．

【答案】
2
。
【主要错误】
等20余种
。
uuuruuur
uuuruuur< br>【解析】由
AB
g
AF?2
，得
ABgAFgcos?FAB ?2
，由矩形的性质，得
2?2
，
22
，
3，-2, 23
，2，-1
，-
2
uuur
AF
g
cos ?FAB=DF
。
∵
AB?
uuur
2
，∴
2gDF?2
，∴
DF?1
。∴
CF?2?1
。
uuur
记
AE和BF
之间的夹角为
?
， ?AEB?
?
,?FBC?
?
，则
?
?
?
?
?
。
又∵
BC?2，
点E为BC的中点，∴
BE?1
。 ∴
uuur uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
AE
g
BF=AEg
BF
g
cos
?
=AE
g
BF
g< br>cos
?
?
?
?
?
=AE
g
BF< br>g
?
cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?

uuuruuuruuuruuur
= AEcos
?
g
BF
g
cos
?
?AEsin?
g
BFsin
?
=BE
g
BC?AB
gCF?1?2?2
?
2?1?2
。
?
本题也可建立以
AB, AD
为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求
解。
10．设
f(x)是定义在
R
上且周期为2的函数，
?1
≤x?0
，
?< br>ax?1，
?
f(x)?
bx?2
?
[?1，1]
在 区间上，
，0
≤x≤1
，
其中
?
?
x?1
a，b?R
．若
?
1
??
3
?
f
???f
??
，则
?
2
??
2
?
a?3b
的值为
▲ ．
【答案】
-10
。
【主要错误】-2，-3，4，10，5等十余种。
【解析】∵
f(x)
是 定义在
R
上且周期为2的函数，∴
f
?
?1
?
?f
?
1
?
，
即
?a?1=
b?2
2
3
?
又∵
f
?
??
?
?
2
?
①

?
1
??
3
?
f
??
?f
??< br>，
?
2
??
2
?
1
?
1
?
f
?
?
?
=?a?1
，
2
?
2
?
∴
?
1
a?1=
b?4
23
②

联立①②，解得，
a=2. b=?4
。∴
a?3b=?10
。
11．设
?
?
?
4
?
cos
?
?
?
?
?
为锐角，若
6
?
5
，则
?
sin(2a?
?
12
的值为 ▲ ．
)

1 7
578
2
【答案】
50
，
50
。
31 2
，
50
24
172
【主要错误】
25
，
25
3
587
，
5
，
50
，
等30余种。
【解析】∵
?
为锐角，即
0<
?
<
?
，∴
?
<
?
?
?
<
?
?
?
=
2
?
。
266263
?
?
4?
?
3
?
?
??sin
?
?
∵
co s
?
，∴
????
?
。∴
?
6
?
5
?
6
?
5
?
?
?
?
?
?
3424
???
sin
?
2
?
?
??2sin
?
?
?
?
cos
?
?
?< br>?
=2
gg
=
。
3
?
6
?
6
?
5525
???
?
?
2
?
?
∴
cos
?
??
?
?
3
?
7
。
25
?
?
?
∴
sin(2a?
?
)=sin(2a?
?
?
?
)=sin
?
?
2a?
?
cos
1234
?
3
?
?
?< br>?
?
?cos
?
2a?
?
sin
43
?
4
?

=
2427217
g?g=2
。 25225250
12．在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
的方 程为
x
2
?y
2
?8x?15?0
，若直线
y?k x?2
上至少存在
一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆
C
有
公共点，则
K
的最大值是 ▲ ．
4
【答案】
3
。
3
1
【主要错误】1，2，
4
，
2
，
5< br>等。
【解析】∵圆C的方程可化为：
?
x?4
?
2
?y
2
?1
，∴圆C的圆心为
(4,0)
，

半径为1。
∵由题意，直线
y?kx?2
上至少存在一点
A(x
0
,kx
0
?2)
，以该点为圆
心，1为半径的圆与圆
C有公共点；
∴存在
x
0
?R
，使得
AC?1?1成立，即
AC
min
?2
。
∵
AC
min< br>即为点
C
到直线
y?kx?2
的距离
0?k?
4。
3
4
3
4k?2
k?1
2
，∴
4 k?2
k?1
2
?2
，解得
∴
k
的最大值是。 < br>2
f(x)?x?ax?b(a，b?R)
的值域13．已知函数
??)
，为
[0，
若关于x的不等式
f(x)?c
的解
m?6)
，集为
(m，
则实数c的值为 ▲ ．
【答案】9。
【主要错误】1，2，3，4，7，6，等。
a
2
【解析】由值域为
[0，
，
??)
，当< br>x?ax?b=0
时有
V?a?4b?0
，即
b?
4
2
2
∴
∴
a
2
?
a
?
22
f(x)?x?ax?b?x?ax??
?
x?
?
4
?2
?
2
2
。
a
?
aaa
?
f(x)?
?
x?
?
?c
解得
?c?x??c
，< br>?c??x?c?
。
2
?
222
?
∵不等式
f(x)?c
的解集为
(m，m?6)
，
∴
(
aac?)?(?c?)?2c?6
，解得
c?9
。
22
b，c< br>满足：14．已知正数
a，
5c?3a
≤b≤4c?a
，clnb≥a?clnc
，

b
则
a
的取值范围是 ▲ ．
【答案】
7
??
e，
。
【主要错误】
（0,1），[1,+∞)，(1, 2)，
[0,7]，[1e，e],(1，e) ，1，2。
【解析】条件
5c?3a≤b≤4c?a
，clnb
≥a?clnc
可化
?
ab
?
3???5
?
cc
?
为：
?
a
?
b
?4
。
?
cc
a
?
b
?
? e
c
?
c
设
a
=x，y=
b
，则题目转化为：
cc
?
3x ?y?5
?
x?y?4
y
已知
x，y
满足
?
，求
?
x
x
?
y?e
?
x>0，y>0
?
的取值范围。
作出（
x，y
）所在平面区域（如图）。求出
y=e
x
的切线的斜率
e
，
设过切点
P
?
x
0
，y
0
?
的切线为
y=ex?m
?< br>m?0
?
，则
使它最小，须
m=0
。
∴y
的最小值在
P
?
x
0
，y
0
?处，为
e
。此时，点
P
?
x
0
，y
0
?
在
y=e
x
上
A,B
x
y
0< br>ex
0
?m
m
==e?
x
0
x
0< br>x
0
，要
之间。
当（
x，y
）对应点
C
时，
?
?
y=4?x?
5y=20?5x
y
?
?
?y=7x?=7
，
x
?
y=5?3x
?
4y=20?12x
∴
y
的最大值在
C
处，为7。
x

b
7
?
，即的取值范围是
?
e， 7
?
。 ∴
y
的取值范围为
?
e，
x
a
【注】最小值e的主要求法：
ab
b
?ln
法一，
clnb?a?clnc
?
a?clnb?clnc?cln
c
?
c

c
bb
b
cc
??

?
a
ab
ln
cc
。
b
bx
c
?
x
?x
令
c
，
b
lnx
，导数法
lnx
?e
。
ln
c
abab
x
?ln?xe?
ce
x
?b
， 法二，
c
，令，则，
ccc
bc
x
e
x

a
?
a
e?
x
e
x
，令
y?x
e
x
(x?1)
，则
y?
x
2
?0
，
'
驻点x=1，x>1
?
y
'
?0
; x<1
?
y
'
?0

e
x
故
y?
x
?e
。

二、解答题：本大题共6小题，共计9 0分．请在答题卡指定
．．．．．
区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步．．
骤．
uuuruuuruuuruuur
15．在
?ABC
中，已知
AB
g
AC?3BA
g
BC
．
（1）求证：
tanB?3tanA
；

5
cosC?，
（2）若
5
求A的值．
【 答案】解：（1）∵
AB
g
AC?3BA
g
BC
，∴
ABgACgcosA=3BAgBCgcosB
，即
ACgcosA=3BCgcosB< br>。 ……2
uuuruuuruuuruuur
分
分 由正弦定理，得
ACBC
，∴
sinBgcosA=3sinAgcosB
。……2
=
sinBsinA
sinBsinA
又∵
0?
，∴cosA>0，
=3
g
cosB>0
。∴
cosBcosA

即
tanB?3tanA
。 ……2分
?
5
?
25
=
（2）∵
cos C?
5
，0?
，∴
sinC?1?
??
?< br>5
?
5
5
??
2
。
∴
tanC?2
。 ……2分
∴
tan?
?
?
?
?
A ?B
?
?
?
?2
，即
tan
?
A?B?
??2
。 ……2分
tanA?tanB
??2
。
1?tanAgtanB
1
由 （1） ，得
4tanA
，解得。
tanA=1 tan，A=?
??2
3
1?3tan
2
A
∴
∵
cosA>0
，∴
tanA=1
。∴
A=
?
。 ……4分
4
【典型错误】（1）①由结论
tanB?3tanA
分析，而又 不按分析法书写
。
uuuruuuruuuruuur
②∵
AB
g
AC?3BA
g
BC
，∴
ABgACgcosA=3BAgBCgc osB
，即
ACgcosA=3BCgcosB
。
cosA=3sinAg cosB
，
∴
tanB?3tanA
。
∵AC=sinB，BC=sinA，∴
sinBg

③误用余弦定理。
( 2)典型解法近10种，除用正切公式的两种方法外，其余(如,
正余弦加法公式、余弦定理等)方法得 不偿失。
解法的优化是关键。

16．如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
A
1
B
1
?AC
D，E
11
，
分别是棱
BC，
，且
CC
1
上的点（点
D
不同于点
C
）
AD?DE，F
为
B
1
C
1
的中点．
求证：（ 1）平面
ADE?
平面
BCC
1
B
1
；
（2）直线
A
1
F
平面
ADE
．

证明 ：（1）∵
ABC?A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，∴
CC
1
?
平面
ABC
。
又∵
AD?
平面
ABC
，∴
CC
1
?AD
。 ……3分
又∵
AD?DE，CC
1
，DE?
平面
BC C
1
B
1
，CC
1
IDE?E
，
∴
AD?
平面
BCC
1
B
1
。 ……3分
又∵
AD?
平面
ADE
，∴平面
ADE?< br>平面
BCC
1
B
1
。 ……2分
（2 ）∵
A
1
B
1
?AC
11
，
F
为
B
1
C
1
的中点，∴
A
1
F?B
1
C
1
。 ……2分
又∵
CC
1
?
平面
A
1
B
1
C
1
，且
A1
F?
平面
A
1
B
1
C
1
， ∴
CC
1
?A
1
F
。
B
1
C
1
?
平面
BCC
1
B
1
，
CC
1
I
又∵
CC
1
，B
1
C
1
?C
1
，∴
A
1
F?
平面
A
1
B
1
C
1
。
由（1）知，
AD?
平面
BCC
1
B
1
，∴
A
1
F
∥
AD
。 ……2分
又∵
AD?
平面
ADE, A
1
F?
平面
ADE
，
∴直线
A
1
F
平面
ADE
。
……2分
【典型错误】A.概念含混不清
由直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
得到
?
ABC
是直角三角形。
B.思维定势致错
由
AD?BC
和
A
1
F?BC
直接得出
A
1
FAD
，忽视了该命题在立体
几何中并不一定 成立。
C．想当然使用条件

在第(1)小题证明线面垂直时，不少考生直接 根据图形的特点将
D
点当作是
BD
的中点，从而得到
AD?BC，再由条件得出
AD?
平面
（一般仅能得
BCC
1
B< br>1
。

7分）
17．如图，建立平面直角坐标系
xoy，
x
轴在地平面上，
y
轴垂直于地
平面，单位长度为1千米．某 炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹
1
22
y?kx?(1?k)x(k?0)< br>表示的曲线上，在方程其中
k
与发射
20
方向有关．炮的射程是指炮弹 落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） ，其飞行高度为3.2千
米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说
明理由．

1
22
y?kx?(1?k)x(k?0)
中， 解：（1）在
20
1
22
kx?(1?k)x=0
。 ……2令
y?0
，得
20
分

20k
x?
2
由实际意义和题设条件知
x>0，k>0
，
1?k
分
， ……2
20k2020
x==?=10
2
1
1?k
∴，当且仅当
k=1
时取等号。
?k
2
k
∴炮的最大射程是10千米。 ……2分
（2）∵
a >0
，∴炮弹可以击中目标等价于存在
k?0
，使
1
22
k a?(1?k)a=3.2
20

成立， ……2分
即关于
k
的方程
a
2
k
2
?2 0ak?a
2
?64=0
有正根。 ……2分
由
?=
?
?20a
?
2
?4a
2
?
a
2
?64
?
?0
得
a?6
。 ……2分
此时，
k=
20a?
?
?20a
?< br>2
?4a
2
?
a
2
?64
?
2a< br>2
。
>0
（不考虑另一根）
∴当
a
不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 ……2分
【考点】函数、方程和基本不等式的应用。
【典型错误】（1）①说对称轴是
x?
②由
x?
（2）
kx?
20k
，得0分。
2
1?k
20k
直接得
x?10
，扣2分。
2< br>1?k
1
(1?k
2
)x
2
?3.2
，(1?k
2
)x
2
?20kx?64?0
，
20

20k?144k?256
x?
2
所以
2(1?k)
（耗费大量时间，仅能得2分）

2
，…
18．若函数
y?f(x)
在
x?x
0
处取得极大值或极小 值，则称
x
0
为函数
y?f(x)
的极值点。已知
a，b< br>是实数，1和
-1
是函数
f(x)?x
3
?ax
2< br>?bx
的
两个极值点．
（1）求
a
和
b
的值；
（2）设函数
g(x)< br>的导函数
g
?
(x)?f(x)?2
，求
g(x)
的 极值点；
（3）设
h(x)?f(f(x))?c
，其中
c?[?2，
2]
，求函数
y?h(x)
的零点个数．
【答案】解：（1）由
f(x)?x
3
?ax
2
?bx
，得
f'(x)?3x2
?2ax?b
。
∵1和
-1
是函数
f (x)?x
3
?ax
2
?bx
的两个极值点，
∴
f'(1)?3?2a?b=0
，
f'(?1)?3?2a?b=0
，
解得
a=0，b=?3
。 ……2分
（2）∵ 由（1）得，
f(x)?x
3
?3x
，
3
∴
g
?
(x)?f(x)?2=x?3x?2=
?
x?1
? ?
x?2
?
，
2
解得
x
1
=x
2
=1，x
3
=?2
。 ……2分
∵当
x时，
g
?
(x)<0
；当
?2时，
g
?
(x)>0
，
∴
x=?2
是
g(x)
的极值点。 ……2分
∵当
?2或
x>1
时，
g
?
(x)>0
，∴
x=1
不是
g(x)
的极值点。
∴
g(x)
的极值点是－2。 ……2分
（3）令
f(x)=t
，则
h(x)?f(t)?c
。

先讨论关于
x
的方程
f(x)=d
根的情况：
d?
?
?2, 2
?

当
d=2
时，由（ 2 ）可知，
f(x)=?2
的两个不同的根为1 和-2 ，
∵
f(x)是奇函数，∴
f(x)=2
的两个不同的根为-1和2。……2分
当
d <2
时，∵
f(?1)?d=f(2)?d=2?d>0
，
f(1)?d=f (?2)?d=?2?d<0
，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是
f(x)=d
的根。
由（1）知
f'(x)=3
?
x?1
??
x?1
?
。
??
?
时，① 当
x?
?
2，
f'(x)>0
，于是
f(x)
是单调增函数，从而
??
?
无实根。
f( x)>f(2)=2
。此时
f(x)=d
在
?
2，
，
?
时．
f'(x)>0
，于是
f(x)
是单调增函数。 ② 当
x?
?
1 2
又∵
f(1)?d<0
，
f(2 )?d>0
，
y=f(x)?d
的图象不间断，
∴
f(x)=d
在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理，
f(x)=d
在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
，1
?
时，
f'(x)<0
，于是
f(x)
是单调减两数。 ③ 当
x?
?
?1
又∵
f(?1)?d>0
，
f(1)?d<0
，
y=f(x)?d
的图象不间断，
∴
f(x)=d
在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当
d当
d
=2
时，
f(x)=d
有两个不同的根
x
1
，x
2
满足
x
1
=1， x
2
=2
；
i=3, 4, 5
。
<2
时
f(x)=d
有三个不同的根
x
3
，x< br>1
，x
5
，满足
x
i
<2，
……3分
现考虑函数
y?h(x)
的零点：
t
2
( i ）当c=2
时，
f(t)=c
有两个根
t
1
，t
2
，满足
t
1
=1，=2
。
而
f(x)=t
1
有三个不同的根，
f(x)=t
2
有两个不同的根，故
y?h( x)
有5
个零点。

( ⅱ）当
c<2
时，
f(t)=c
有三个不同的根
t
3
，t
4
，t
5
，满足
t
i
<2， i=3, 4, 5
。
而
f(x)=t
i

?
i=3, 4, 5
?
有三个不同的根，故
y?h(x)
有9 个零点。
综上所述，当
c=2
时，函数
y?h(x)
有5 个零点；当
c<2
时，函数
y?h(x)
有9 个零点。 ……3分
3
【典型错误】（2）∵
f(x)?x?3x
，
∴
g
?
(x)?f(x)?2=x
3
?3x?2=
?
x?1
??
x?2
?
，解得
x
1
=x
2
=1，x
3
=?2
。
所以，极值点为1，-2。 （丢分情况严重）

x
2
y
2
19．如图，在平面直角坐 标系
xoy
中，椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的 左、右焦
ab
2
点分别为
F
1
(?c，
0)
．已知
(1，e)
和
?
0)
，
F
2
(c ，
?
e，
?
?
3
?
都在椭圆上，其中
e< br>为
?
?
2
?
椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设
A,B
是椭圆上位于
x
轴上方的两点，且直线
AF
1
与直线
BF
2
平
行，
AF
2
与
BF
1
交于点P．
（i）若
AF
1
?BF
2
?
6
2
，求直线
AF
1
的斜率；
（ii）求证：
PF
1
?PF
2
是定值．
【答案】解：（1）由题设知，
a
2
=b
2
?c
2，e=
c
，由点
(1，e)
在椭圆上，得
a

< br>1
2
e
2
1c
2
?
2
?1?
2
?
22
=1?b
2
?c
2
=a
2b
2
?a
2
=a
2
b
2
?b
2
=1
，∴
c
2
=a
2
?1
。
2
abaab
由点
?
?
e，
?
?
3
?
?
在椭圆上，得
2
?
?
2
?
3??
3
?
????
e
2
?
2
?
c
2
?
2
?
a
2
?13
422
??1???1???1?a?4a?4=0?a=2
14
a
2
b
2
a
4
a
4

2
……2分
x
2
∴椭圆的方程为
?y
2
?1
。 ……2
2
分
（2）由（1）得
F
1
(?1，
0)
，又∵
AF
1
∥
BF
2
，
0)
，
F
2
(1，
∴设
AF
1
、
BF
2
的方程分别为
my=x?1，my=x?1
，
A
?
x1
，y
1
?
，B
?
x
2
，y
2
?
，y
1
>0，y
2
>0
。
?
x
1
2
m?2m
2
?2
?y
1
2
?1
?
22
?m?2y
1
?2my
1
?1=0? y
1
=
∴
?
2
。……2分
2
m?2?
my=x?1
?
11
??
22
2
2m?1? mm?1
??
m?2m?2
222
22
?
∴
AF< br>1
=
?
x
1
?1
?
?
?
y
1
?0
?
=
?
my
1
?
?y1
=m?1?
。
2
m?2m
2
?2
①
同理，
BF
2
=
（i）
2
?
m
2
?1
?
?mm
2
?1
m
2
?2
。②
……2分
2mm
2
?12mm
2
?16
=
由①②得，
AF
1
?BF
2
?
，解
m2
?2
m
2
?22

得
m
2
=2。
∵
m>0
，∴
m=2，∴直线
AF
1
的斜率为
12
=
m2
。 ……2分
（ii） 证明：∵
AF
1
∥
BF
2
， ∴
即
PB
BF
2
?
PF
1
AF
1
，
BFPB?PF
1
BF
2
?AF
1
P B
?1?
2
?1??
PF
1
AF
1
PF< br>1
AF
1
。

∴
PF
1
=
AF
1
BF
1
。
AF
1
?BF2
2
，∴
PF
1
=
由点
B
在椭圆上知 ，
BF
1
?BF
2
?2
同理。
PF
2=
∴
PF
1
+PF
2
=
BF
2
22?AF
1
AF
1
?BF
2
AF
1
2 2?BF
2
AF
1
?BF
2
??
。
??
。
??

AF
1
BF
2
2 AF
g
BF
2
22?BF
2
?22?AF
1
?22?
AF
1
?BF
2
AF
1
?BF
2
AF
1
?BF
2
??
由①②得，
AF
1
?BF=
∴
PF
1
+PF
2
=22?
22 m
2
?1
m?2
2
??
，
AF
g
BF=
m?1
， ……4
m
2
?2
2
分
分
23
=2
。 ∴
PF
1
?PF
2
是定值。 ……2
22
【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。
【典型状况】（1 ）根据椭圆的性质和已知
(1，e)
和
?
?
e，
?
?
3
?
都在椭圆上
?
?
2
?
列式求解。计 算错误严重。
（2）（ⅰ）根据已知条件
AF
1
?BF
2
?
含参式子的运算能力低。
十几种方法中，利用直线的参数方程、椭圆的极坐标方程相对
简单些 ，但最简单的莫过于向量法：
?
x
1
?1?
?
(x
2
?1)
x
1
2
设
AF
1
?
?
BF
2
，则
?
，由
?y
1
2
?1
，得
2
?
y
1
?
?
y
2
(
?
x
2
?
?
?1)
2
2
?< br>?
y
2
?1
。
2
2
x
2
3
?
?1
?
?3
2
?1
，故
x
2
?
又
?y
2
，
x
1
?
，而
x
1
?x
2
?3
，
2
2
?
2
6
2
，用待定系数法求解。
得
?
?3?2
，于是
x
1
?
3?12(3?1)，
x
2
?
。
24

所以，
k< br>AF
?
1
y
1
2
。
?
x
1
?12
（ⅱ）平几知识欠缺，解答情况很差。
20 ．已知各项均为正数的两个数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
n?1
?
n?N*
，
a
n< br>?b
n
a
n
?b
n
22
，
（1）设
b
n?1
?
b
n
?
b
n
?
?1?
，
n?N*
，求证：数列
?
?
??
aa
n
?
?
?
n
?
2
?
??
是等差数列；
?
?
（2）设
b
n?1
?2 ?
b
n
，
n?N*
，且
{a
n
}
是等比数列，求
a
1
和
b
1
的值．
a
n
【答案】解：（1）∵
b
n?1
?1?
b
n
a?b
，∴
a
n?1
?
n
2
n
2
=a
n
a
n
?b
n
b
n?1
?
b
?
1?
?
n
?
?
a
n
?
2
。
?
b
?
b
∴
n?1
?1?
?
n
?
a
n?1
?
a
n
?
22
2
。
2
2
?
2
?
?
b
n?1
??
b
n
?
?
?
b
n
?
?
?
b
n
?
∴
??
?
??
?
?
1?
??
?
?
??
?1
?
n?N*
?
。
a
?
n?1
??
a
n
?
?
?
a
n
?
?
?
a
n
?
??
2
?
?
?
b
n
?
?
∴数列
?
??
?
?
是以
a
?
?
?
n
?
?
?
1 为公差的等差数列。
（2）∵
a
n
>0，b
n
>0
，∴
∴
1 n?1
?
a
n
?b
n
a
n
? b
n
22
?
a
n
?b
n
?
22
?a
n
2
?b
n
2
<
?
a
n
?b
n
?
2
。
（﹡）
?2
。
设等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，由
a
n
>0
知
q>0
，下面用反证法证明
q=1

若
q>1,
则
a
1
=
矛盾。
2
a
2
2
?2
，∴当
n>log
q
a< br>1
q
时，
a
n?1
?a
1
q
n>2
，与（﹡）

若
0则
a
1
=
a
2
>a
2
>1
，∴当
n>log
q
q
1
时，
a
n?1
?a
1
q< br>n
<1
，与（﹡）
a
1
矛盾。
∴综上 所述，
q=1
。∴
a
n
?a
1
?
n?N*
?
，∴
11
?
又∵
b
n?1
?
若
a
1
?
2?
2
。
b
n
2=?b
n
?
n?N*
?
，∴
{b
n
}
是公比是
2
a
n
a
1
a
1
2>1
，于是
b
1
2
3
。
a
1
的等比数列。
2
，则
又由
a< br>n?1
?
a
n
?b
n
a
n
?bn
22
即
a
1
?
a
1
?b
n
a
1
2
?b
n
2
，得
b
n
=
a
1
?a
1
2
2?a
1
2
a
1
2
?1
。
2
∴
b
1
，b
2
，b
3
中至少有两项相同，与
b
1
2
3
矛盾。∴
a
1
=
∴
b
n
=
2?
。
??
?
2
?< br>2
2
2?
2
??
2
2
?1
=2。 ∴
a
1
=b
2
=2
。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。
?
b
??
b
?
【典型状况】（1）①写出
?
n?1
?
??
n
?
?1
而不知道给出结论。
?
a
n?1
??
a
n
?
22
②写出了
a
n?1
?
a
n
b
n?1
a?b
2
n
2
n
，不能进行下一步的变换。
③根据前三项成等差，说明结论，不给分。
④罗列几个条件下结论，不给分。
（2）根据基本不等式得到
1n?1
?
a
n
?b
n
a
n
?b
n
22
?2
，用反证法证
明等比数列
{a
n
}
的公比
q=1
。凭感觉下结论 。
第（1）小题：32%得满分；5.4%得3分；62%得零分.在解决这
个问题的过程中 ，约有40%的学生没有做（时间不够），在做这一问
的学生中，主要错误有：①没有明确的证等差数列 的方法，只是将两

个条件轮流代换；②计算能力差，在代换过程中，出现了错误；③做< br>a
n
2
b
n
2
成了，导致错误.
第（2） 小题：没有学生全对，主要得分包括：猜对答案2分；
b
n?1
2
?
由
b
n
a
n
利用累乘得出
b
n
，2分；得 出
?
a
n
?
的范围，3分.





]数学Ⅱ(附加题)
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题 ，请选定其中两题，并在相
．．．．．．．．．．．
应的答题区域内作答．若多做，则按作答的 前两题评分．解答时应写
．．．．．．．．．．
出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲] 如图，
AB
是圆
O
的直径 ，
D,E
为圆
上位于
AB
异侧的两点，连结
BD
并 延长至点
C
，使
BD?DC
，连结
AC,AE,DE
．
求证：
?E??C
．

证明：连接
AD
。

∵
AB
是圆
O
的直径，∴
?AD B?90
0
（直径所对的圆周角是直角）。
∴
AD?BD
（垂直的定义）。
又∵
BD?DC
，∴
A D
是线段
BC
的中垂线（线段的中垂线定义）。
∴
AB?AC
（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。
∴
?B??C
（等腰三角形等边对等角的性质）。
又∵
D,E
为圆上位于
AB
异侧的两点，
∴
?B??E
（同弧所对圆周角相等）。
∴
?E??C
（等量代换）。
【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和
性质，等腰三角形的性质。
【解析】 要证
?E??C
，就得找一个中间量代换，一方面考虑到
?B和?E
是同弧所 对圆周角，相等；另一方面由
AB
是圆
O
的直径和
BD?DC
可
知
AD
是线段
BC
的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段 两端的
距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到
?B??C
。从而得证。
本题还可连接
OD
，利用三角形中位线来求证
?B??C
。
B．[选修
?
13
?
?
?
44
?
?1
4 - 2：矩阵与变换] 已知矩阵
A
的逆矩阵
A?
??，
11
?
?
?
?
2
?
?
2< br>?
求矩阵
A
的特征值．
解：∵
A
?1
A =E
，∴
A=
?
A
?1
?
。
?1
?
13
?
?
??
?
2 3
?
44
?1
?1
?1
∵
A?< br>??
，∴
A=
?
A
?
?
??
。
2 1
11
??
?
?
?
?
2
?
?
2
?
∴矩阵
A
的特征多项式为f
?
?
?
=
?
?
?
?2 ?3
?
2
?
=
?
?3
?
?4
。
?2
?
?1
??

令
f
?
?
?
=0
，解得矩阵
A
的特征值< br>?
1
=?1，
?
2
=4
。
【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。
【解析】由矩阵
A
的逆矩阵，根据定 义可求出矩阵
A
，从而求出矩阵
A
的特征值。
C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆
C
经过点
P
?
2，?
4
?
，圆心为直线
?
sin
?
?
?
?
?
?
?
3
??
3
?
2
?
与极轴的交点，求圆
C
的极坐
标方程．
【答案】解：∵圆
C
圆心为直线
?
sin
?
?
?
?
??
?
3
??
?
3
?
2
与极轴的交点，
∴在
?
sin
?
?
?
?
?
??
3
??
3
?
2
?
中令
?
= 0
，得
?
?1
。
∴圆
C
的圆心坐标为（1，0）。
∵圆
C
经过点
PC?
P
?
2，
?
4
?
，∴圆
C
的半径为
??
2
2
?1
2
?2?1?2cos
?< br>4
=1
。
∴圆
C
经过极点。∴圆
C的极坐标方程为
?
=2cos
?
。
【考点】直线和圆的极坐标方程。
【解析】根据圆
C
圆心为直线
?
sin
?
?
?
?
?
?
?
3
??
3
?
2
?
与极轴的交点求出的圆
心坐标；根据圆C
经过点
P
?
极坐标方程。
2，
?
4
?
求出圆
C
的半径。从而得到圆
C
的
11
D．[ 选修4 - 5：不等式选讲] 已知实数x，y满足：
|x?y|?，|2x?y|?，
36
求证：
|y|?
5
18
．
?2x?y
【答案】证 明：∵
3|y|=|3y|=|2
?
x?y
?
?
?
2x?y
?
|?2x?y
，

1
由题设
|x?y|?
1
，
∴
3|y|<
1
?
1
=
5
。∴
|y|?
|2x?y|?，
36366
5
18
。
【考点】绝对值不等式的基本知识。
【解析】根据绝对值不等式的性质求证。
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计 20分．请在答题卡指定
．．．．．
区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ．
．．．
22．设
?
为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两 条，当两
条棱相交时，
?
?0
；当两条棱平行时，
?
的值为 两条棱之间的距离；
当两条棱异面时，
?
?1
．
（1）求概率
P(
?
?0)
；
（2）求
?
的分布列，并求其数学期望
E(
?
)
．
【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一
个，过任意1个顶点恰有3条棱 ，
8C
3
2
8?34
?
。 ∴共有
8C
对相交棱。∴
P(
?
?0)=
2
?< br>C
12
6611
2
3
（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或
共有6对，
∴
P(
?
?2)=
2
，其中距离为
2
的
661
416，
??
P(
?
?1)=1?P(
?
?0)?P(?
?2)=1??=
。
2
C
12
6611
11 1111
∴随机变量
?
的分布列是：
?

P(
?
)

0
4

11
11
?2?
1
6

11
2

1

11
∴其数学期望
E(
?
)=1?
616?2
。
=
1111
【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

【解 析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得
概率
P(
?
?0)
。
（2）求出两条棱平行且距离为
2
的共有6对， 即可求出
P(
?
?2)
，从而求出
P(
?
?1)< br>（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），
因此得到随机变量
?
的分布列，求出 其数学期望。

23．设集合
P
n
?{1，2，n}
，< br>n?N*
．记
f(n)
为同时满足下列条件的集
…
，
合
A
的个数：
①
A?P
n
；②若
x?A
，则
2x?A
；③若
x?C
p
A
，则
2x?Cp
A
。
n
n
（1）求
f(4)
；
（2）求
f(n)
的解析式（用
n
表示）．
解：（1）当
n=4
时，符合条件的集合
A
为：
?
2
?
，

?
1,4
?
，
?
2,3
?
，
?
1,3,4
?
，
∴
f(4)
=4。
(2)任取偶数
x?P
n
，将
x
除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经
过
k
次以后．商必为奇数．此时记商为m
。于是
x=mg2
k
，其中
m
为奇数
k?N *
。
由条件知．若
m?A
则
x?A?k
为偶数；若
m?A
，则
x?A?k
为奇
数。
于是
x
是否属 于
A
，由
m
是否属于
A
确定。
设
Qn
是
P
n
中所有奇数的集合．因此
f(n)
等于
Q
n
的子集个数。
当
n
为偶数〔 或奇数）时，
P
n
中奇数的个数是
n
（
n?1
）。
2
2

∴
?
n
2
?
2
?
n为偶数
?
f(n)=
?
n?1
。
?
2
2
n为奇数
??
?
【考点】集合的概念和运算，计数原理。
【解析】（1）找出
n=4
时，符合条件的集合个数即可。
（2）由题设，根据计数原理进行求解。