2014年山东高考理科数学试题和答案

2014年山东高考理科数学试题和答案
2014年山东省高考理科数学
< br>一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选
项中，选择符合 题目要求的选项。
（a?bi）?
1.已知
a,b?R,i
是虚数单位， 若
a?i
与
2?bi
互为共轭复数，则
（A）
5?4i (B)
5?4i
(C)
3?4i
(D)
3?4i

2.设集合
A?{xx?1?2},B?{yy?2
x< br>,x?[0,2]},
则
A?B?

(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)
3.函数
f(x)?
2
1
(log
2
x)?1
2
的定义域为
??)
(C)
(0，)?(2,??)
(D)
(0，]?[2，??)
(A)
(0，)
(B)
(2，
4. 用反证法证明命题“设
a,b?R,
则方程
x?ax? b?0
至少有一个实根”时要做的假设
是
(A)方程
x?ax?b?0
没有实根 (B)方程
x?ax?b?0
至多有一个实根
(C)方程
x?ax?b?0
至多有两个实根 (D)方程
x?ax?b?0
恰好有两个实根
5.已知实数
x,y
满足
a?a(0?a?1)
，则下列关系式恒成立的是
xy
1
2< br>1
2
1
2
2
22
22
(A)
11< br>33
22
?
(B)
ln(x?1)?ln(y?1)
(C)
sinx?siny
(D)
x?y

22
x?1y?1
2
6.直线
y ?4x
与曲线
y?x
在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A）
22
（B）
42
（C）2（D）4
7.为了研究某 药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单
位：
kPa
）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其 按从左到右的顺序分别编
号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方 图，已知第
一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
1 12

2014年山东高考理科数学试题和答案
频率 组距
0.36
0.24
0.16
0.08
0
7
舒张压k Pa

（A）
6

（B）
8

（C）
12
（D）
18

8.已知函数
f< br>?
x
?
?x?2?1
g
?
x
?
?k x
.
若方程
fx
,
数k的取值范围是
??
?g
?
x
?
有两个不相等的实根，则实
（0，）（，1）
（A）（B）（C）（D）
（1，2）
（2，??）

1
2
1
2
9.已知
x,y
满足的约束条件
?
?
x-y- 1?0,
当目标函数
z?ax?by(a?0,b?0)
在该约束
?
2x-y-3?0,
条件下取得最小值
25
时，
a
2
?b< br>2
的最小值为
（A）
5
（B）
4
（C）
5
（D）
2

x
2
y
2
x
2
y
2
10.已知
a?0,b?0
,椭圆
C
1
的方 程为
2
?
2
?1
，双曲线
C
2
的方程为< br>2
?
2
?1
，
C
1
与
ababC
2
的离心率之积为
3
，则
C
2
的渐近线方程 为
2
（A）
x?2y?0
（B）
2x?y?0
（C）x?2y?0
（D）
2x?y?0

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。

11.执行下面的程序框图，若输入的
x
的值为1，
2 12

2014年山东高考理科数学试题和答案

则输出的
n
的值为

。
uuuruuur
?
12.在
VABC
中，已知
AB?AC?tanA
，当< br>A?
时，
VABC
的面积为

。
6
13.三棱锥
P?ABC
中，
D,E
分别为
PB,PC的中点，记三棱锥
D?ABE
的体积为
V
1
，
P?AB C
的体积为
V
2
，则
4
V
1
?

。
V
2
b
??
3
22
14.若
?
ax
6
?
?
的展开式中
x
项的系数为20，则< br>a?b
的最小值为

。
x
??
15 .已知函数
y?f(x)(x?R)
，对函数
y?g
?
x
? ?
x?I
?
，定义
g
?
x
?
关于
f
?
x
?
的“对称
函数”为函数
y?h
?
x
??
x?I
?
，
y?h
?
x
?
满足：对任意
x?I
，两个点
x,h
?
x
?
,x, g
?
x
?
关于点
x,f
?
x
?
对 称，若
h
?
x
?
是
g
?
x
??
????
??
4?x
2
关于
f
?
x
?
?3x?b
的“对称函数”，且
h
?
x
?
?g
?
x
?
恒成立，则实数
b
的取值范围是

。
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知向量
a?
?
m,co s2x
?
,b?
?
sin2x,n
?
，函数
f?
x
?
?a?b
，且
y?f
?
x
?< br>的图像过
点
?
?
?
??
2
?
?< br>,3
?
和点
?
,?2
?
.
?
12
??
3
?
3 12

2014年山东高考理科数学试题和答案
（I）求
m,n
的值；
（II）将
y?f
?
x< br>?
的图像向左平移
?
?
0?
?
?
?
?
个单位后得到函数
y?g
?
x
?
的图像，若
y?g
?
x
?
图像上各最高点到点
?
0,3
?
的距离的最小值为1，求
y?g
?
x
?
的单调递增区间 .
17.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱
ABCD?A
1B
1
C
1
D
1
中，底面
ABCD
是等 腰梯形，
?DAB?60,
AB?2CD?2
，
M
是线段
A B
的中点.
D
1
A1
C
1
B
1
D
A
C
M
B（I）求证：
C
1
M平面A
1
ADD
1
；
（II）若
CD
1
垂直于平面
ABCD
且
CD1
=3
，求平面
C
1
D
1
M
和平面< br>ABCD
所成的角（锐
角）的余弦值.
18.（本小题满分12分）
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域
A,B
，乙被划分
为两个不相交的区域
C,D
.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向 乙回球.规定：回球
一次，落点在
C
上的概率为
13
，在
D
上的概率为.假设共有两次来球且落在
A,B
上各一次，
55
小明的 两次回球互不影响.求：
（I）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（II）两次回球结束后，小明得分之和
?
的分布列与数学期望.
D
C
19.(本小题满分12分）
A
B

已知等差数列
{a
n
}
的公差为2，前
n
项和为
S
n
，且
S
1
，
S
2
，
S
4
成等比数列。
4 12

2014年山东高考理科数学试题和答案
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（II）令
b
n
=
(?1)
n?1
4n
,
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n
。
a
n
a
n?1
20.( 本小题满分13分）
e
x
2
设函数
f
?
x
?
?2
?k(?lnx)
（
k
为常数，
e?2.71828
xx
（I）当
k?0
时，求函数
f
?
x
?
的单调区间；
是自然对数的底数）
（II）若函数
f
?
x
?
在
?
0,2
?
内存在两个极值点，求k的取值范围。
21.（本小题满分14分）
已知抛物线
C:y?2px(p＞0）
的焦 点为
F
，
A
为
C
上异于原点的任意一点，过点
A< br>的
直线
l
交于另一点
B
，交
x
轴的正半轴于 点
D
，且有|
FA?FD
，当点
A
的横坐标为3时，
2
ADF
为正三角形。
（I）求
C
的方程；
（II） 若直线
l
1
l
，且
l
1
和
C
有且 只有一个公共点
E
，
（i）证明直线
AE
过定点，并求出定点坐标；
（ii）
ABE
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理
由。












答案解析：
1、答案：D
解析：
a?i
与
2?bi
互为共轭复数，
?a?2,b? 1?
?
a?bi
?
?
?
2?i
?
?4?4 i?i
2
?3?4i
2、答案：C
22

5 12

2014年山东高考理科数学试题和答案
解析：
Qx?1?2?? 2?x?1?2??1?x?3
Qy?2
x
,x?
?
0,2
?
?y?
?
1,4
?
?A?B?
?
1,3
?
3、答案：C
解析：

?
log
2
x
?
2
?1?0

?log
2
x?1
或
?log
2
x??1

?x?2
或
?0?x?
5、答案：D
解析：
1
。 4、答案：A
2
Qa
x
?a
y
,0?a?1
?x?y
6、答案：D
解析：
，排除A,B，对于C ，
sinx
是周期函数，排除C。
Q4x?x3
，
Q4x?x
3
?x4?x
2
?x
?
2?x
??
2?x
?

第一象限
??
1
432
4x?x?2x?x?8?4?0

?
?
0
?
4
2
7、答案：C
解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
20?0.4?50

50?0.36?18
18?6?12
8、
答案：B

解 析：画出
f
?
x
?
的图象最低点是
?
2,1
?
，
g
?
x
?
?kx
过原点和
?
2,1
?
时斜率最小为
最大时
g
?
x
?
的斜率与
f
?
x
?
?x?1
的斜率一致。

9、
答案：B
1
，斜率
2
?
x?y?1?0解析：
?
求得交点为
?
2,1
?
，则
2a?b ?25
，即圆心
?
0,0
?
到直线
?
2x?y?3 ?0
6 12

2014年山东高考理科数学试题和答案
?
25
?
2
2a?b?25?0
的距离的平方
?
?2?4< br>。
?
?
5
?
??
10、
答案：A
解析：
2
c
2
a
2
?b
2
e?
2
?
aa
2
c
2
a
2
?b
2
2
e
2
?
2
?
aa
2
a
4
?b
4
3
2
?
?
e
1< br>e
2
?
???a
4
?4b
4
4
a4
b2
???
a2
2
1
11、
答案：3
解析：根据判断条件
x?4x?3?0
，得
1?x?3
，
输入
x?1

第一次判断后循环，
x?x?1?2,n?n?1?1

第二次判断后循环，
x?x?1?3,n?n?1?2

第三次判断后循环，
x?x?1?4,n?n?1?3

第四次判断不满足条件，退出循环，输出
n?3

12、答案：
2
1

6
解析：由条件可知
AB?AC?cbcosA?tanA
，
当
A?
13、答案：
?
6
，
bc?
2
11
,
S
?ABC
?bcsinA?

3
26
1

4
解析：分别过
E,C
向平面 做高
h
1
,h
2
，由
E
为
PC
的 中点得
由
D
为
PB
的中点得
S
?ABD
?
14、答案：2
h
1
1
?
，
h
22
1
111
S
?ABP
，所以
V
1
: V
2
?S
?ABD
?h
1
?S
?ABP
? h
2
?

2
334
r6?rr12?3r
26解析：将
(ax?)
展开，得到
T
r?1
?C
6
abx
，令
12?3r?3,得r?3
.
333
22
由
C
6
ab?20
，得
ab?1
，所以
a?b?2a b?2
.
b
x
7 12

2014年山东高考理科数学试题和答案
15、答案：
b?210

解析：根据图像分析得，当
f(x)?3 x?b
与
g(x)?4?x
2
在第二象限相切时，
b?210
，由
h(x)?g(x)
恒成立得
b?210
.
16、解：（Ⅰ）已知
f(x)?a?b?msin2x?ncos2x
，
?
2
?
?f(x)
过点
(,3),(,?2)

123
?f()?msin?ncos?3

1266
2
?
4
?
4
?

f()?msin?ncos??2

333
?
13
n?3
?
m?
?
m?3
?
22
?
?
解得
?

?
n?1
?
?
3
?
1
??2
?
?
22
（Ⅱ）
f(x)?3sin2x?cos2x?2 sin(2x?
???
?
6
)

f(x)
左移?
后得到
g(x)?2sin(2x?2
?
?)

6< br>2
设
g(x)
的对称轴为
x?x
0
，
?d? 1?x
0
?1
解得
x
0
?0

?
?g(0)?2
，解得
?
?
?
6

?g(x)?2sin(2x?
?
?)?2sin(2x?)?2cos2x

362
??
??
?
?2k
?
?2x?2k
?
,k?z


?
?
2
?k
?
? x?k
?
,k?z

?f(x)
的单调增区间为
[?
17、解：（Ⅰ）连接
AD
1

?
2
?k
?
,k
?
],k?z

?ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
为四棱柱 ，
?CDC
1
D
1

CD?C
1
D
1

又
?M
为
AB
的中点，
?AM?1

?CDAM
,
CD?AM

?AMC
1
D
1
,
AM?C
1
D
1

?AMC
1
D
1
为平行四边形
8 12

2014年山东高考理科数学试题和答案
?AD
1
MC
1

又
?C
1
M?平面A
1
ADD
1

AD
1
?平面A
1
ADD
1

?AD
1
平面A
1
ADD
1

（Ⅱ）方法一：
?ABA
1
B
1

A
1
B
1
C
1
D
1

? 面D
1
C
1
M与ABC
1
D
1
共面

作
CN?AB
,连接
D
1
N

则
?D
1
NC
即为所求二面角
?
在
ABCD
中，
DC?1,AB?2,?DAB?60

?CN?
3

2
在
Rt?D
1
CN
中，
CD
1
?3
,
CN?
315

?D
1
N?

22
方法二：作
CP?AB
于
p
点
以
C
为原点，
CD
为
x
轴，
CP
为
y
轴，
CD
1
为
z
轴建立空间坐标系，
13
?C< br>1
(?1,0,3),D
1
(0,0,3),M(,,0)

22
13
?C
1
D
1
?(1,0,0),D
1M?(,,?3)

22
设平面
C
1
D
1M
的法向量为
n?(x
1
,y
1
,z
1
)

?
x
1
?0
?

?n
1
?(0,2,1)

?
?
13
y< br>1
?3z
1
?0
?
x
1
?
2
?
2
显然平面
ABCD
的法向量为
n
2
?(1, 0,0)

?cos?n
1
,n
2
??
n
1
?n
2
n
1
n
2
?
15

?
5
5
显然二面角为锐角，
所以平面
C
1
D
1
M
和平面
ABCD
所成角的余弦值为
9 12
5

5

2014年山东高考理科数学试题和答案
3
NC35
?cos?D
1
CN??
2
??

D
1
N5
1515
2
18、解：（I）设恰有一次的落点在乙上这 一事件为
A

51143
P(A)?????

656510
1，2，3，4，6
（II）
?
的可能取值为0，< br>11111131
P(
?
?0)???,P(
?
?1)??? ??
653035656
13111112
P(
?
?2)???,P (
?
?3)?????

355256515
131111111< br>P(
?
?4)?????,P(
?
?6)???
253530 2510
?
?
的分布列为


?

P

0
1

30
1
1
6
2
1

5
3
2

15
4
11

30
6
1

10


?其数学期望为E(
?
)?0?
111211191

?1 ??2??3??4??6??
3
19、解：（I）
d?2,S
1
? a
1
,S
2
?2a
1
?d,S
4
?4a< br>1
?6d,

2
?S
1
,S
2
,S
4
成等比?S
2
?S
1
S
4

解得
a
1
?1,?a
n
?2n?1

（I I）
b
n
?(?1)
n?1
4n11
?(?1)
n ?1
(?)

a
n
a
n?1
2n?12n?1111111111
当
n
为偶数时，
T
n
?(1?)? (?)?(?)?
??
?(?)?(?)
335572n?32n?12n?12n? 1
12n
?T
n
?1??

2n?12n?1
11 1111111
当
n
为奇数时，
T
n
?(1?)?(?)? (?)?
??
?(?)?(?)
335572n?32n?12n?12n?1
12n?2
?T
n
?1??

2n?12n?1
10 12

2014年山东高考理科数学试题和答案
?
2n
,n为偶数
?
?
2n?1

?T< br>n
?
?
?
2n?2
,n为奇数
?
?
2n?1
20、
e
x
?x
2
?2xe
x
21
解：（1）f(x)??k(??)
42
xxx
x
(x?2)( e?kx)
?(x?0)
3
x
当k?0时，kx?0,?e
x
?kx?0
'
令f
'
(x)?0,则x?2
?当x?(0,2)时 ，f(x)单调递减；
当x?(2,??)时，f(x)单调递增。
（2）令g
?x
?
?e
x
?kx
则g
'
(x)?e
x
?k
?e
x
?k,x?lnk
?
g
'
( 0)?1?k?0,g(0)?1?0
e
2
g(2)?e?k?0,g
?2
?
?e?2k?0?k?
2
g
?
lnk
?< br>?e
lnk
?klnk?0?lnk?1?k?e
e
2
综上: e的取值范围为（e,）。
2
'22




















11 12

2014年山东高考理科数学试题和答案
21、
解：（1）由抛物 线第二定义得：
23-
pp
?3?
22
?p?2或p?18(舍)< br>当p?18时，经检验直线l与C只有一个交点，不合题意。
?C的方程为：y
2
?4x
（2）(i)设A（x
0
,y
0
),F(1,0),D(x
0
?1,0)
直线l的斜率k??y,x
y
2
0
0 0
?
4
设直线l的方程为y??y
0
x?b
?
l与 C只有一个交点
?
?
?
y??y
0
x?b
?
y
2
?4x
??0
?b??
1
y
0
E(
12
y
2
0
y
2
,?
0
y
),A(,y
0
)
0
4
k
4y
0
AE< br>?
y
2
0
?2



12 12