2014年山东省高考数学试卷(理科)附送答案

2014年山东省高考数学试卷（理科）



一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）已知a，b∈R ，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）
2
=（ ）

B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i

A．5﹣4i
2．（5分） 设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2
x
，x∈[0，2]}，则A∩B=（ ）

A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）

3．（5分）函数f（x）=
A．（0，）
∞）

4．（5分）用 反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x
3
+ax+b=0至少有一个实
根”时， 要做的假设是（ ）

A．方程x
3
+ax+b=0没有实根

B．方程x
3
+ax+b=0至多有一个实根

C．方程x
3
+ax+b=0至多有两个实根

D．方程x
3
+ax+b=0恰好有两个实根

y
0＜a＜ 1）5．（5分）已知实数x，y满足a
x
＜a（，则下列关系式恒成立的是（ ）

的定义域为（ ）

B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，]∪[2，+
A．＞ B．ln（x
2
+1）＞ln（y
2
+1）

D．x
3
＞y
3

C．sinx＞siny
6．（5分）直线y=4x与曲线y=x
3
在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）

A．2 B．4 C．2 D．4

7．（5分）为了研究某药品的疗效 ，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿
者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，1 3），[13，14），[14，15），
[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分 别编号为第一组，第二组，…，
第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二 组共有
20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）

A．6 B．8 C．12 D．18

8．（ 5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有
两个不相等 的实根，则实数k的取值范围是（ ）

A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，+∞）

，当目标函数z=ax+by（a＞0，
时，a
2
+b
2
的最小值为（ ）

9．（5分）已知x，y满足约束条件
b＞0）在该约束条件下取到最小值2
A．5 B．4 C． D．2

+10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C
1
的方程 为=1，双曲线C
2
的方程为﹣
=1，C
1
与C
2
的离心率之积为
A．x±


y=0 B．x±y=0
，则C
2
的渐近线方程为（ ）

C．x±2y=0 D．2x±y=0

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为 ．

12．（5分）若△ABC中，已知?=tanA，当A=时，△ABC的面积为 ．
13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE
的体积 为V
1
，P﹣ABC的体积为V
2
，则= ．

6
的展开式中x
3
项的系数为20，14．（5分）若（ax
2
+）则a2
+b
2
的最小值为 ．

15．（5分）已知函数y=f（ x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关
于f（x）的“对称函数”为函数y =h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两
个点（x，h（x）），（x，g（x） ）关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=
关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且 h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范
围是 ．



三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）已知向量=（m，cos2 x），=（sin2x，n），函数f（x）=?，且
y=f（x）的图象过点（
（Ⅰ）求m， n的值；

（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（ x）的
图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．

17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD是等腰梯形，∠
DA B=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．

（Ⅰ）求证：C
1
M∥平面A
1
ADD
1
；

（Ⅱ）若CD
1
垂直于平面ABCD且CD
1
=
角（锐角）的余弦值．

，求平面 C
1
D
1
M和平面ABCD所成的
，）和点（，﹣2）．

18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上 有两个不相交的区
域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，
其它情况记0分．对落 点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在
D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的 落点在C上的概率为，在
D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互< br>不影响，求：

（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．


19．（ 12分）已知等差数列{a
n
}的公差为2，前n项和为S
n
，且S
1
，S
2
，S
4
成等
比数列．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）令b
n
=（﹣1）
n
﹣
1
20．（13分）设函数f（x）=
的底数）．

（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

21．（ 14分）已知抛物线C：y
2
=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任
意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨
=丨FD丨．当点A的 横坐标为3时，△ADF为正三角形．

，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．

﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l
1
∥l，且l
1和C有且只有一个公共点E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说
明理由．

2014年山东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2 014?山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭
复数，则（a+bi）< br>2
=（ ）

A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i

【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）< br>2
的值．

【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，

∴（a+bi）
2
=（2+i）
2
=3+4i，

故选：D．



2．（5分）（2014?山东）设集合A={x ||x﹣1|＜2}，B={y|y=2
x
，x∈[0，2]}，则
A∩B=（ ）

A．[0，2] B．（1，3） C．[1，3） D．（1，4）

【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．

【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，

B={y丨y=2
x
，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，

则A∩B={x丨1≤y＜3}，

故选：C



3．（5分）（2014?山东）函数f（x）=
A．（0，）
∞）

【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，则，

的定义域为（ ）

B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，]∪[2，+

即log
2
x＞1或log
2
x＜﹣1，

解得x＞2或0＜x＜，

即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），

故选：C



4．（5分）（2014?山东）用反证法证明命题 “设a，b为实数，则方程x
3
+ax+b=0
至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

A．方程x
3
+ax+b=0没有实根

B．方程x
3
+ax+b=0至多有一个实根

C．方程x
3
+ax+b=0至多有两个实根

D．方程x
3
+ax+b=0恰好有两个实根

【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．

【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，

∴用反证法证明命题“设 a，b为实数，则方程x
3
+ax+b=0至少有一个实根”时，要
做的假设是：方程 x
3
+ax+b=0没有实根．

故选：A．



5．（5分）（2014?山东）已知实数x，y满足a
x
＜a
y
（ 0＜a＜1），则下列关系式恒
成立的是（ ）

A．＞ B．ln（x
2
+1）＞ln（y
2
+1）

D．x
3
＞y
3

C．sinx＞siny
【分 析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题
的关键．

【解答】解：∵实数x，y满足a
x
＜a
y
（0＜a＜1），∴x＞y，
A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．

B．若x= 1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x
2
+1）=ln（y
2
+1）=l n2，故ln（x
2
+1）
＞ln（y
2
+1）不成立．

C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，si ny=sin0=0，有sinx＞siny，
但sinx＞siny不成立．

D． ∵函数y=x
3
为增函数，故当x＞y时，x
3
＞y
3
，恒 成立，

故选：D．



6．（5分）（2014?山东 ）直线y=4x与曲线y=x
3
在第一象限内围成的封闭图形的
面积为（ ）

A．2 B．4 C．2 D．4

【分析】先根据题意画出区域，然后 依据图形得到积分上限为2，积分下限为0
的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积 分的定义求出所求
即可．

【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，

曲线y=x
3
与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫
而∫（4x﹣x
3）dx=（2x
2
﹣x
4
）|=8﹣4=4，

（4x﹣x
3
）dx，

∴曲边梯形的面积是4，

故选：D．




7．（5分）（2014?山东）为了 研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试
验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组 区间为[12，13），[13，14），
[14，15），[15，16），[16，17]，将其按 从左到右的顺序分别编号为第一组，第
二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图． 已知第一组与

第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
（ ）


A．6 B．8 C．12 D．18

以及直方图可得分布在区间第一组 与第二组共有20【分析】由频率=
人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；
< br>【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间
第一组与第二组的 频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，
第三组的频率为0.36，所以第 三组的人数：18人，

第三组中没有疗效的有6人，

第三组中有疗效的有12人．

故选：C．



8．（5分）（2014?山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）
=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）

A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，+∞）

【分析】画出函数f（x）、g（x）的 图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）
和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求 得k的范围．

【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）

和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，

如图所示：K
OA
=，

数形结合可得
故选：B．

＜k＜1，

9．（5分）（2014?山东）已知x，y满足约束条件
（a＞0，b＞0）在该 约束条件下取到最小值2
A．5 B．4 C． D．2

，当目标函数z=ax+by
时，a
2
+b
2
的最小值为（ ）

【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，
代 入目标函数得到2a+b﹣2
2
=0．a
2
+b
2
的几何意 义为坐标原点到直线2a+b﹣
=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．

作可行域如图，

【解答】解：由约束条件

联立，解得：A（2，1）．

（b＞0）．

化目标函数为直线方程得：

由图可知，当直线
∴2a+b=2
即2a+b﹣2
．

=0．

过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．

则a
2
+b
2
的最小值为
故选：B．



．

10．（5分）（2014?山东）已知a＞b＞0，椭圆C
1
的方程为+=1，双曲线C
2
的方程为
A．x±
﹣
y=0
=1，C
1
与C
2
的离心率之积为
B．x±y=0
，则C
2
的渐近线方程为（ ）

C．x±2y=0 D．2x±y=0

【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线 的渐
近线方程．

【解答】解：a＞b＞0，椭圆C
1
的方程为+= 1，C
1
的离心率为：，

双曲线C
2
的方程为﹣=1，C
2
的离心率为：
，

，

，

∵C
1
与C
2
的离心率 之积为
∴
∴=，=，

C
2
的渐近线方程为：y=
故选：A．



，即x±y=0．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
< br>11．（5分）（2014?山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n
的值为 3 ．

【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值 大于0时，不满足判断框的条件，
退出循环，输出结果即可．

【解答】解：循环前输入的x的值为1，

第1次循环，x
2
﹣4x+3=0≤0，

满足判断框条件，x=2，n=1，x
2
﹣4x+3=﹣1≤0，

满足判断框条件，x=3，n=2，x
2
﹣4x+3=0≤0

满足 判断框条件，x=4，n=3，x
2
﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，

输出n：3．

故答案为：3．



12．（5分）（2014?山东）若△ABC中，已知
面积为 ．

?= tanA，当A=时，△ABC的
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB?AC=，再 根据△ABC
的面积为 AB?AC?sinA，计算求得结果．

?
=
=AB?AC?cosA=tanA，

，解得AB?AC=，

【解答】解：△ABC中，∵
∴当A=时，有 AB?AC?
△ABC的面积为
故答案为：．

AB?AC?sinA=××=，

13．（5分）（2014?山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三
棱锥D ﹣ABE的体积为V
1
，P﹣ABC的体积为V
2
，则= ．

【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．

【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，

三棱锥 D﹣ABE的体积为V
1
，P﹣ABC的体积为V
2
，

∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，

∴==．

故答案为：．




14． （5分）（2014?山东）若（ax
2
+）
6
的展开式中x
3项的系数为20，则a
2
+b
2
的最小值为 2 ．

【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关
系式，然后利用基本不等 式求解表达式的最小值．

【解答】解：（ax
2
+）
6
的 展开式中x
3
项的系数为20，

所以T
r
+
1< br>=
令12﹣3r=3，∴r=3，
=
，

，

∴ab=1，

a
2
+b
2
≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．

a
2
+b
2
的最小值为：2．

故答案为：2．



15．（5分）（2014?山东）已知函数 y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），
定义g（x）关于f（x）的“对称函数” 为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对
任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x， g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）
是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函 数”，且h（x）＞g（x）恒成立，
，+∞） ．

则实数b的取值范围是 （2< br>【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即
可得到结论．
【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，
即h（x）=6x+2b﹣，

，

若h（x）＞g（x）恒成立，

则等价为6x+2b﹣
即3x+b＞
设y
1
=3x+b，y
2
=
＞，

恒成立，

，

作出两个函数对应的图象如图，

当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=
即|b|=2
∴b=2
，

或﹣2，（舍去），

，

即要使h（x）＞g（x）恒成立，

则b＞2，

，+∞），

即实数b的取值范围是（2

故答案为：（2，+∞）




三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）（2014?山东）已知向 量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）
=?，且y=f（x）的图象过点（< br>（Ⅰ）求m，n的值；

（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位 后得到函数y=g（x）的
图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1， 求y=g（x）
的单调递增区间．

【分析】（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=ms in2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过
点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的 值．

），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变
，）和点（，﹣2）．

（ Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+
换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+
y轴上，求得φ=
）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在
，可得g（x）=2cos2x ．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x
的范围，可得g（x）的增区间．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）=?=msin2x+ncos2x，

再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得 ．

解得 m=，n=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+co s2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．

将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，

得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+
最高点的纵坐标为2．

y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，

故函数g（x）的一个最高点在y轴上，

∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=
）=2cos2x．

≤x≤kπ，

，

]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函 数g（x）
故g（x）=2sin（2x+
令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得 kπ﹣
故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣


，kπ]，k∈Z．

17．（12分）（2014?山东）如图，在四棱柱ABCD ﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD是 等
腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．

（Ⅰ）求 证：C
1
M∥平面A
1
ADD
1
；

（Ⅱ ）若CD
1
垂直于平面ABCD且CD
1
=
角（锐角）的余弦值．< br>
，求平面C
1
D
1
M和平面ABCD所成的
【分析】（Ⅰ）连接AD
1
，易证AMC
1
D
1
为平行 四边形，利用线面平行的判定定理
即可证得C
1
M∥平面A
1
ADD
1
；

（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，C D
1
为z轴建立空
间坐标系，易求C
1
（﹣1，0，
（1， 1，0），=（，
），D
1
，（0，0，），M（，，0），=
，﹣），设平 面C
1
D
1
M的法向量=（x
1
，y
1
， z
1
），

可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向 量=（1，0，0），从而可求得平
面C
1
D
1
M和平面ABCD所 成的角（锐角）的余弦值．

【解答】解：（Ⅰ）连接AD
1
，∵ABCD﹣ A
1
B
1
C
1
D
1
为四棱柱，∴CDC< br>1
D
1
，

又M为AB的中点，∴AM=1．

∴CD∥AM，CD=AM，

∴AMC
1
D
1
，

∴AMC
1
D
1
为平行四边形，∴AD
1
∥MC
1
，又MC
1
?平面A
1
ADD
1
，AD
1
?平面A
1
ADD
1
，

∴C
1
M∥平面A
1
ADD
1
；

（Ⅱ）解法一：∵AB∥A
1
B
1
，A
1
B
1< br>∥C
1
D
1
，

∴面D
1
C
1
M与ABC
1
D
1
共面，

作CN⊥AB，连 接D
1
N，则∠D
1
NC即为所求二面角，

在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，

∴CN=，

，CN=，

在Rt△D
1
CN中，CD
1
=∴D
1
N=

∴cos∠D
1
CN===
< br>解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD
1
为z轴建立
空间坐标系


则C
1
（﹣1，0，
∴
） ，D
1
，（0，0，
=（，
），M（，
，﹣），

，0），

=（1，0，0），

设平面C
1
D
1
M的法向量=（x
1
，y
1
，z
1
），

则，∴=（0，2，1）．

显然平面ABCD的法向量
cos＜，＞|=
=（0，0，1），

==，

显然二面角为锐角，

∴平面C
1
D1
M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为


18．（12分） （2014?山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两
个不相交的区域A，B，乙被划 分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员
接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次， 落点在C上记3分，在D
上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的< br>概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的
概率为，在D上的概率 为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明
的两次回球互不影响，求：

（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

．


【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，
进而 根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概
率；

（Ⅱ ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，
求出随机变量ξ的分布 列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．

【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，

回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，

故小 明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）
×=+=．

（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6

其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；

P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；

P（ξ=2）=×=；
P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=
P（ξ=4）=×+×=
P（ξ=6）=×=< br>故ξ的分布列为：

ξ

P

0


；

；

；

1


2


3


4


6


故ξ的数学期望为E（ξ）=0×


+1×+2×+3×+4×+6×=．

19．（12分）（2014?山东）已知等 差数列{a
n
}的公差为2，前n项和为S
n
，且S
1
，< br>S
2
，S
4
成等比数列．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）令b
n
=（﹣1）
n
﹣
1
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．

【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b
n
=
即可得出．

【解答】解：（Ⅰ ）∵等差数列{a
n
}的公差为2，前n项和为S
n
，

∴S
n
==n
2
﹣n+na
1
，

．对n分类讨论“裂项求和”
∵S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，

∴
∴
，

，化为，解得a
1
=1．

∴a
n
=a
1
+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（
1
Ⅱ
=
）由（Ⅰ）可
=
得b
n
=（﹣1
．

．

）
n
﹣
∴T
n
=﹣++…+
﹣
=．

﹣
=1+=．

+
++…+当n为偶数时 ，T
n
=
=1﹣
当n
﹣
为奇数时，T
n
=
+
+…﹣
∴Tn=．



20．（13分）（2014?山东）设函数f（x）=
是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；

（Ⅱ）函 数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在
（0，2）内有两个不同的 零点．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=﹣k（﹣）

﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…
=（x＞0），

当k≤0时，kx≤0，

∴e
x
﹣kx＞0，

令f′（x）=0，则x=2，

∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，

故f（x）在（0，2）内不存在极值点；

当k＞0时，设函数g（x）=e
x
﹣kx，x∈（0，+∞）．

∵g′（x）=e
x
﹣k=e
x
﹣e
lnk
，

当0＜k≤1时，

当x∈（0，2）时，g′（x）=e
x
﹣k＞0，y=g（x）单调递增，

故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；

当k＞1时，

得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，

x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，

∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）

函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点

当且仅当

解得：e
综上所述，


函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，


）

21．（14分）（2014?山东）已知抛物线C：y
2
=2 px（p＞0）的焦点为F，A为C上
异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的 正半轴于点D，
且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l
1
∥l，且l
1
和C有且只有一个公共点E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小 值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说
明理由．

【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；

（ 2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l
1
∥l，且l
1
和C有
且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜
式，可 求出定点；

（ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于
面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．

【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，

A（3，
∴
），F（，0），
．

，

∵△ADF为正三角形，

∴
又∵
∴
∴p=2．

∴C的方程为y
2
=4x．

当D在焦点F的左侧时，
又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，

∵△ADF为正三角形，

∴3+=p﹣6，解得p=18，

∴C的方程为y
2
=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．

∴C的方程为y
2
=4x．

（2）（ⅰ）设A（x
1< br>，y
1
），|FD|=|AF|=x
1
+1，

．

，

．

，

∴D（x
1
+2，0），

∴k
AD
=﹣．

由直线l
1
∥l可设直线l
1
方程为，

联立方程，消去x得①

由l
1
和C有且只有一个公共点得△=64 +32y
1
m=0，∴y
1
m=﹣2，

这时方程①的解为 ，代入得x=m
2
，∴E（m
2
，2m）．

点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m
2
），

即，

∴，

∴，

∴，

∴直线AE过定点（1，0）；

（ⅱ）直线AB的方程为，即．

联立方程，消去x得，

∴，

∴=，

由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：

=，

∴△ABE的面
=，
当且仅当y
1
=±2时等号成立，

∴△ABE的面积最小值为16．





积