高数(下册)复习资料完整

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高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点
向量与空间几何
向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影
空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)
平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离
直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)
切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线
多元函数微分学
多元函数极限：趋近方式，等阶代换
偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；
多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)
重积分
二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法
三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性
重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力
曲线与曲面积分
曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式
面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式
无穷级数
级数收敛：通项极限
正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛
幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)
Fourier级数：傅 里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期
的傅里叶级数
矢量分析与场论(空间场基础)
方向导数与梯度
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方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦
梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)
格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向
全微分原函数：场的还原；折线积分
通量与散度
高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)
散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场))
环流量与旋度 斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环
通量)
旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))
第八章 向量与解析几何
定义
向量
模
向量代数
定义与运算的几何表达
有大小、有方向. 记作
a
或
AB

向量
a
的模记作
a

在直角坐标系下的表示
a< br>?a
x
i?a
y
j?a
z
k?(a
x
,a
y
,a
z
)

a
x
?prj
x
a,a
y
?prj
y
a,a
z
?prj
z
a

a
?a
x
2
?a
y
2< br>?a
z
2

c?a?b
?
?
a
x< br>?b
x
,a
y
?b
y
,a
z
?b< br>z
?

和差

c?a?b

c?a－b

单位向量

a?0
，则
e
a
?
a

a
ea
?
(a
x
,a
y
,a
z
)
a
x
?a
y
?a
z
a
x
a
222

方向余弦
设
a
与
x,y,z
轴的夹角分别为< br>?
，
?
，
?
，
则方向余弦分别为
cos?
，cos
?
，cos
?

cos
?
?，cos
?
?
a
y
a
，cos
?
?a
z
a

e
a
?(cos
?
，cos
?
，cos
?
)

cos
2
?
+ cos
2
?
?cos
2
?
?1

a?b? a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
zb
z

点乘（数量积）
a?b?abcos
?
，
?
为向量a与b的夹
角
c?absin
?

叉乘（向量积）
?
为向量a与b的夹角
c?a?b

向量
c
与
a
，
b
都垂直
定理与公式
垂直
平行
i
a?b?a
x
b
x
ja
y
b
y
k
a
z

b
z
a?b?a?b?0

ab?a?b?0

a ?b?a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
z
?0

a
x
a
y
a
z
ab???

b
x
b
y
b
z
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交角余弦
两向量夹角余弦
cos
?
?
a?b

ab
cos
?
?
a
x
b
x
?a
y
b< br>y
?a
z
b
z
a
x
2
?a
y
2
?a
z
2
?b
x
2
?b
y< br>2
?b
z
2

向量
a
在非零向量
b
上的投影
投影

a?b

prj
b
a?acos(ab)?
b
?< br>prj
b
a?
a
x
b
x
?a
yb
y
?a
z
b
z
b
x
?b
y
?b
z
222

平面
法向量
n?{A,B,C}
点
M
0
(x
0< br>,y
0
,z
0
)

方程名称
一般式
点法式
方程形式及特征
直线
方向向量
T?{m,n,p}
点
M
0
(x
0< br>,y
0
,z
0
)

方程名称
一般式
点向式
方程形式及特征
?
A
1
x?B
1
y?C
1
z?D
1
?0

?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
z?D
2
?0
Ax ?By?Cz?D?0

A(x?x
0
)?B(y?y
0
) ?C(z?z
0
)?0

x?x
0
y?y
0
z?z
0
??

mnp
x?x
1
三点式
y?y
1
y
2< br>?y
1
y
3
?y
1
z?z
1
z2
?z
1
?0

z
3
?z
1
两点式
线线垂直
线线平行
线面平行
参数式
x
2
?x
1
x
3?x
1
?
x?x
0
?mt
?
?
y?y
0
?nt

?
z?z?pt
0
?
x?x< br>0
y?y
0
z?z
0
??

x
1< br>?x
0
y
1
?y
0
z
1
?z
0
截距式
面面垂直
面面平行
线面垂直
xyz
???1

abc
A
1
A
2
?B
1
B
2
?C
1
C
2
?0

A
1
B
1
C
1
??

A
2
B
2
C
2
m
1
m
2
?n
1
n
2
?p
1
p
2
?0

m
1
n
1
p
??
1

m
2
n
2
p
2
Am?Bn?Cp?0

ABC
??

mnp
点面距离
M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)

Ax?By?Cz?D?0

面面距离
Ax?By?Cz?D
1
?0

Ax?By?Cz?D
2
?0

d?
Ax
0
?By
0
?Cz
0
?D
A?B?C
222

d?
D
1
?D
2
A?B?C
222

面面夹角
?
?
n
1
?{A
1
,B
1
,C
1
}
n
2
?{A
2
,B
2
,C
2
}

线线夹角
s
1
?{m1
,n
1
,p
1
}

s
2
? {m
2
,n
2
,p
2
}

m
1< br>m
2
?n
1
n
2
?p
1
p
2
m?n?p?m?n?p
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
线面夹角
s?{m,n,p}

n?{A,B,C}

sin
?< br>?
Am?Bn?Cp
A
2
?B
2
?C
2?m
2
?n
2
?p
2
cos
?
?|A
1
A
2
?B
1
B
2
?C
1
C
2
|
A
1
?B
1
?C
1?A
2
?B
2
?C
2
222222

cos
?
?



空
间
曲
线
?
x?
?
(t)，
?

?
y??
(t)，
?
z?
?
(t)，
?
(
?
?t?
?
)

切“线”方程：
切向量
x?x
0
y?y
0
z?z
0
??

?
?
(t
0
)
?
?
(t
0
)< br>?
?
(t
0
)
?
T?(
?
?
(t
0
),
?
?
(t
0
),
?
?
(t
0
))

法平“面”方程：
?
?
(t
0
)(x?x
0
)?
?
?
(t
0)(y?y
0
)?
?
?
(t
0
)(z?z0
)?0

切“线”方程：
?
：
?
y?
?
(x)

切向量
?
?
z?
?
(x)
x?x
0
y?y
0
z?z
0

??
1
?
?
(x
0
)
?
?
(x
0
)
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?
T?(1,
?
?< br>(x),
?
?
(x))

法平“面”方程：
(x? x
0
)?
?
?
(x
0
)(y?y
0
)?
?
?
(x
0
)(z?z
0
)?0

法向量
切平“面”方程：
F
x
(x
0
,y0
,z
0
)(x?x
0
)?F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)(y?y
0
)
F(x, y,z)?0

空
间
曲
面
n?(F
x
( x
0
,y
0
,z
0
),
F
y
(x
0
,y
0
,z
0
),

F
z(x
0
,y
0
,z
0
))
n?(?f
x
(x
0
,y
0
),
?f
y
(x
0
,y
0
),1)

?F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0
法“线“方程 ：

x?x
0
y?y
0
z?z
0
??
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
切平“面”方 程：
f
x
(x
0
,y
0
)(x?x
0< br>)?f
y
(x
0
,y
0
)(y?y
0
)?(z?z
0
)?0

?
：
z?f(x,y)

或
n?(f
x
(x
0
,y
0
),
f
y
(x
0
,y
0
),?1)

法“线“方程：

x?x
0
y?y
0
z?z
0

??
f
x
(x
0
,y
0
)f
y
(x
0
,y
0
)?1
第十章 重积分
积分类型






二重积分
重积分
计算方法
（1）
利用直角坐标系

X—型
Y—型
典型例题
??
f(x,y)dxdy?
?
dx
?
?
D
a
b
?
2
(x)
1
(x)
f (x,y)dy

P141—例1、例3
??
f(x,y)dxdy ?
?
D
d
c
dy
?
?
2
(y)< br>?
1
(y)
f(x,y)dx

I?
??f
?
x,y
?
d
?
D
（2）
利用极坐 标系
使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
22
?
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含
(x?y)
,
?
为实数 )




平面薄片的质
量


质量=面密度
?
面积
P147—例5
??
f(
?
cos
?
,
?
sin
?
)
?
d
?
d
?
D?
?
d
?
?
?
??
2
(
?< br>)
?
1
(
?
)

f(
?
c os
?
,
?
sin
?
)
?
d
?< br>0?
?
?2
?

0?
?
?
?

?
?
?
?2
?


P141—例2
应用该性质更方便
（3）
利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）
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?
?
0
?
?
?
I?
?
2
??
f(x ,y)dxdy
?
D
1
?
?
?
?
计算步骤 及注意事项

f(x,y)对于x是奇函数，
即f(?x,y)??f(x,y)f(x,y)对于x是偶函数，

即f(?x,y)?f(x,y)
D
1
是D的右半部分
1． 画出积分区域
2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙
4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域
5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性









三重积分
(1)
利用直角坐标
?
投影?
投影法
?
截面法
a

y
2
(x)< br>???
?
f(x,y,z)dV?
?
dx
?
b
y
1
(x)
dy
?
z
2
(x,y)
z< br>1
(x,y)
f(x,y,z)dz

P159—例1

P160—例2
?
x?rcos
?
?
（
2
） 利用柱面坐标

?
y?rsin
?

?
z?z
?
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标
适用范围:
1
积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○
2
被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如
f(x?y)f(x?z)
○
2222
I?
???
f(x,y,z)dv
?
P161— 例3




空间立体物的
质量


质量=密度
?
面积
???
?
f(x,y,z)dV??
dz
?
d
?
?
a
b
?
r< br>2
(
?
)
?
r
1
(
?
)< br>f(
?
cos
?
,
?
sin
?
,z )
?
d
?

?
x?
?
cos
?< br>?rsin
?
cos
?
?
（
3
）利用球面坐 标

?
y?
?
sin
?
?rsin
?
sin
?

?
z?rcos
?
?
dv ?r
2
sin
?
drd
?
d
?

适用范围:
1
积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. ○
2
被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，
f(x?y?z)
○
222
P165—10-(1)

I?
?
d
?
?
d
?
?
?
1
?
1
?
2
?
2
?
2
(
?
,
?
)
?
1
(
?
,
?
)
f(
?
sin?
cos
?
,
?
sin
?
sin
?< br>,
?
cos
?
)
?
2
sin
?d
?


（
4
）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性


第十一章曲线积分与曲面积分
曲线积分与曲面积分
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积分类型

计算方法 典型例题
参数法
（转化为定积分）
?
?
22
第一类曲线积分
（1）
L:y?
?
(x)

I?
?f(
?
(t),
?
(t))
?
'(t)?
?< br>'(t)dt

b
?
x?
?
(t)
2
（2）
L:
?
(
?
?t?
?
)

I?
?
a
f(x,y(x))1?y'(x)dx

?
y?
?
(t)
曲形构件的质量
质量=线密度
?
（3）
r?r(
?
)(
?
?
?
?
?
)
L:
?
x?r(
?
)cos
?

?
I?
?
f(x,y)ds

L
P189-例1
P190－3
弧长
?
y?r(
?
)sin
?< br>I?
?
f(r(
?
)cos
?
,r(
?)sin
?
)r
2
(
?
)?r'
2
(
?
)d
?

?
?








平面第二类曲线
积分


（
1
） 参数法
（转化为定积分）
?
x?
?(t)
L:
?
(t单调地从
?
到
?
)

?
y?
?
(t)
P196-例1、例2、
例3、例4 ?
L
Pdx?Qdy?
?
{P[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)?Q[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)}dt

?
?
（
2
）利用格林公式
（转化为二重积分）
条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）
②P，Q具有一阶连续偏导数
结论：
?
Pdx?Qdy?
??
(< br>L
D
?Q
?P
?)dxdy

?x?y
?< br>满足条件直接应用
?
应用：
?
有瑕点，挖洞

?不是封闭曲线，添加辅助线
?
（
3
）利用路径无关定理
（特殊路 径法）
等价条件：①
?Q
?
?P
②
?x?y
③
P205－例4
P214-5(1)(4)
I?
?
Pdx?Qdy

L



变力沿曲线所做
的功
?
Pdx?Qdy?0

L
?
L
Pdx?Qdy
与路径无关，与起点、终点有关
P211-例5、例6、
例7
④
Pdx?Qdy
具有原函数
u(x,y)

（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）
（
4
）两类曲线积分的联系

I?
?
Pdx?Qd y?
?
(Pcos
?
?Qcos
?
)ds

LL


空间第二类曲线
积分
（
1
）参数法
（转化为定积分）
?
?
Pdx?Q dy?Rdz?
?
{P[
?
(t),
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t) ?Q[
?
(t),
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)

?
?
?R [
?
(t),
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t)}dt
（
2
）利用斯托克斯公式
（转化第二类曲面积分）

条件：①L封闭，分段光滑，有向
I?Pdx?Qdy?Rdz
②P，Q，R具有一阶连续偏导数
L
?


变力沿曲线所做
的功

结论：
?
Pdx?Qdy?Rdz
L
P240-例1



?Q?p
?R
?Q
?P?R
?
??< br>(?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy
?y?z?z?x?x?y
?
?
满足条件直接应用
应用：
?

助线
?
不是封闭曲线，添加辅
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第一类曲面积分
投影法

?
：
z?z(x,y)
投影到
xoy
面
I?
??
f(x,y,z)dv
?
曲面薄片的质量
质量=面密度
?
面积






第二类曲面积分



?
2
I???
f(x,y,z)dv?
??
f(x,y,z(x,y))1?z
x
2
?z
y
dxdy

?
D
xy
P217-例1、例2
类似的还有投影到
yoz
面和
zox
面的公式
（
1
）投影法

1
??
Pdydz??
? ?
p(x(y,z),y,z)dydz

○
?D
yz
?< br>：
z?z(x,y)
，
?
为
?
的法向量与
x
轴的夹角
前侧取“+”，
cos
?
?0
；后侧取“
?
”，
cos
?
?0

2
??
Qdzd x??
??
p(x,y(x,z),z)dzdx

○
?D
yz
P226-例2
?
：
y?y(x,z )
，
?
为
?
的法向量与
y
轴的夹角
右侧 取“+”，
cos
?
?0
；左侧取“
?
”，
cos
?
?0

3
??
Qdxdy??
??
Q( x,y,z(x,y))dxdy

○
?D
yz
I?
??
Pdydz?Qdzdx?R

流体流向曲面一
侧的流量
?
：
x?x(y,z)
，
?
为
?
的法向量与
x
轴的夹角
上侧取“+”，
cos
?
?0
；下侧取“
?
”，
cos
?
?0

（
2
）高斯公式
右手法则取定
?
的侧
条件：①
?
封闭，分片光滑，是所围空间闭区域
?
的外侧
②P，Q，R具有一阶连续偏导数

结论：
??
Pdy dz?Qdzdz?Rdxdy?
???
(
??
?P?Q?R
??)

?x?y?z
P231-例1、例2
应用：
?
?满足条件直接应用
助面
?
不是封闭曲面，添加辅

（
3
）两类曲面积分之间的联系

??
Pdydz?Qdz dx?Rdxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rc os
?
)dS

??
P228-例3
转换投影法：
dydz?(?

所有类型的积分：
?z
) dxdy
?x
dzdx?(?
?z
)dxdy

?y
1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；
○
2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；
○
3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
○







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第十二章 级数
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1
若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛? ○
2
两个收敛级数的和差仍收敛? ○
用收敛定义，
lims
n
存在

n??
注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
3
去掉、加上或改变级数有限项? 不改变其收敛性? ○
4
若级数收敛? 则对这级数的项任意加括号后所成○
一
般
项
级
数
常数项级数的基本性质

的级数仍收敛，且其和不变。
推论? 如果加括号后所成的级数发散? 则原来级数
也发散? 注：收敛级数去括号后未必收敛.
常数项级数的基本性质

莱布尼茨判别法

若
u
n
常
数
项
级
数
5
（必要条件） 如果级数收敛? 则
limu?0

○
n
n?0
交错
级数
?u
n?1
且< br>limu
n
?0
，则
?
(?1)
n?1
u< br>n
n??
n?1
?
收敛
比较判别法

?u
n
和
?v
n
都是正项级数，且
u
n
?v< br>n
.若
?v
n
收敛，则
?u
n
也收敛；若< br>?u
n
发散，则
?v
n
也发散.


1
若
?u
n
和
?v
n
都是正项级数，且
lim
u
n
?l
，则○
n??
正
项
级数
比较判别法
的极限形式

v
n
2
若
l?0
,
?v
收
0?l???
,
?u
n
与
?v
n
同敛或同散;○
n
3
如果
l
敛,
?u
n
也收敛；○
???
，
?v
n
发散 ，
?u
n
也发散。
比值判别法
根值判别法
?u
n
是正项级数，
lim
u
n?1
?
?
,
l im
n
u
n
?
?
,
则
?
?1时
n??
n??
u
n
收敛；
?
?1
(
?
???
)时发散；
?
?1
时可能收敛也可能发
收
敛
性
?
a
n?0
?
n
1
,?
?0;R???,
?
?0;R?0,
?
???.
< br>x
n
,
lim
a
n?1
?
?
,R?
n??
a
n
?
缺项级数用比值审敛法求收敛半径
1
在收敛域
I
上连续;○
2
在收敛域
(?R,R)
内可导，且可逐项求导;○
3
和
s(x)
的性质
○
无
穷
级
数
幂
级
数
和
函
数
函数< br>s(x)
在收敛域
I
上可积分，且可逐项积分.(
R
不变,收 敛域可能变化).


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展
成
幂
级
数
直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式
?
?
1
1
?
?
xn
(?1?x?1)

e
x
?
?
x
n
(???x???)

1?x
n?1
n?1
n!

T?2
?

T?2l
f(x)?
傅
立
叶
级
数
?1
a
0
?
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx)

a
0
?
?
2
n?1?
?
?
?
f(x)dx

a
n
?1
?
?
?
?
?
f(x)cosnxdx
< br>b
n
?
1
?
?
?
?
?
f( x)sinnxdx
收敛定理
2
x
是连续点,收敛于
f(x)
;
x
是间断点,收敛于
1
[f(x
?
)?f(x< br>?
)]

周期
延拓
f(x)
为奇函数，正弦级数 ，奇延拓；
f(x)
为偶函数，余弦级数、偶延拓.

高等数学公式

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导数公式：
基本积分表：
(tgx)
?
?secx
(ctgx)
?
??csc
2
x(secx)
?
?secx?tgx
(cscx)
?
??csc x?ctgx
(a
x
)
?
?a
x
lna
( log
a
x)
?
?
1
xlna
2
(arc sinx)
?
?
1
1?x
2
1
(arccosx)
?
??
1?x
2
1
(arctgx)
?
?
1?x
2
1
(arcctgx)
?
??
1?x2
三角函数的有理式积分：
?
tgxdx??lncosx?C
?ctgxdx?lnsinx?C
?
secxdx?lnsecx?tgx?C
?
cscxdx?lncscx?ctgx?C
dx1x
?arctg?C
?< br>a
2
?x
2
aa
dx1x?a
?ln
?x
2
?a
2
2ax?a
?C
dx1a?x
?< br>?
a
2
?x
2
2a
ln
a?x
?C
dxx
?arcsin?C
?
a
2
?x
2
a
?
2
n
dx
2
?sec
?
cos
2
x
?
xdx?tgx?C
dx
2
?csc
?< br>sin
2
x
?
xdx??ctgx?C
?
secx? tgxdx?secx?C
?
cscx?ctgxdx??cscx?C
a
x
?
adx?
lna
?C
x
?
shxdx?chx? C
?
chxdx?shx?C
?
dx
x
2
?a2
?ln(x?x
2
?a
2
)?C
?
2
I
n
?
?
sinxdx?
?
cos
n
x dx?
00
22
n?1
I
n?2
n
x
2< br>a
2
222
x?adx?x?a?ln(x?x?a)?C
?
22
x
2
a
2
22222
?
x?adx?
2
x?a?
2
lnx?x?a?C
x
2
a
2
x
222
a?xdx?a?x?arcsin?C
?
22a
2u1 ?u
2
x2du
sinx?，　cosx?，　u?tg，　dx?

2
1?u
2
1?u
2
1?u
2




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一些初等函数： 两个重要极限：

e
x
?e
?x
双曲正弦:shx?2
e
x
?e
?x
双曲余弦:chx?
2
shx e
x
?e
?x
双曲正切:thx??
x
chx
e? e
?x
arshx?ln(x?x
2
?1）
archx??ln(x ?x
2
?1)
11?x
arthx?ln
21?x
三角函数 公式：
·诱导公式：
函数
角A
-α
90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
360°+α
sinx
lim?1
x?0
x
1
lim(1?)
x
?e?2.7045...< br>x??
x














sin
-sinα
cosα
cosα
sinα
-sinα
-cosα
-cosα
-sinα
sinα
cos
cosα
sinα
-sinα
-cosα
-cosα
-sinα
sinα
cosα
cosα
tg
-tgα
ctgα
-ctgα
-tgα
tgα
ctgα
-ctgα
-tgα
tgα
ctg
-ctgα
tgα
-tgα
-ctgα
ctgα
tgα
-tgα
-ctgα
ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?
sin
?< br>sin
?
tg
?
?tg
?
tg(
?
?
?
)?
1
?
tg
?
?tg
?
c tg
?
?ctg
?
?
1
ctg(
?
??
)?
ctg
?
?ctg
?

·倍角公式：
sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?< br>22
?
?
??
?
?
sin
?
?si n
?
?2cossin
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2coscos
22
??
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2 sinsin
22
cos
?
?
?
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sin2< br>?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?
?cos
2?
?sin
2
?
ctg
2
?
?1
ct g2
?
?
2ctg
?
2tg
?
tg2
?< br>?
1?tg
2
?

·半角公式：
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
3tg
?
?tg< br>3
?
tg3
?
?
1?3tg
2
?
s in
tg
?
2
??
??
1?cos
??
1 ?cos
?
　　　　　　　　　　　　cos??
222
1?cos
?
1?cos
?
sin
??
1?cos
?
1?co s
?
sin
?
??　　ctg????
21?cos
?sin
?
1?cos
?
21?cos
?
sin
?
1?cos
?
abc
·正弦定理：
???2R
·余弦定理：
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

sinAsinBsinC

·反三角函数性质：
arcsinx?
?

?
2
? arccosx　　　arctgx?
?
2
?arcctgx


高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
(uv)
(n)k(n?k) (k)
?
?
C
n
uv
k?0
n
?u
(n)
v?nu
(n?1)
v
?
?
n(n?1)
(n?2)
n(n?1)
?
(n?k?1)
(n?k)(k)
uv< br>??
?
?
?uv?
?
?uv
(n)
2!k!

中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f
?< br>(
?
)(b?a)
f(b)?f(a)f
?
(
?)
柯西中值定理：?
F(b)?F(a)F
?
(
?
)< br>曲率：

当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公 式：ds?1?y
?
2
dx,其中y
?
?tg
?
平 均曲率：K?
?
?
.?
?
:从M点到M
?
点，切线 斜率的倾角变化量；?s：MM
?
弧长。
?s
y
??
??
d
?
M点的曲率：K?lim??.

23
?s?0
?sds
(1?y
?
)
直线：K?0;
1
半径为a 的圆：K?.
a
定积分的近似计算：
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b
矩形法：
?
f(x )?
a
b
b?a
(y
0
?y
1
?
?
?y
n?1
)
n
b?a1
[(y
0
?y
n
)?y
1
?
?
?y
n?1
]
n 2
b?a
[(y
0
?y
n
)?2(y
2
? y
4
?
?
?y
n?2
)?4(y
1
?y< br>3
?
?
?y
n?1
)]
3n

梯形 法：
?
f(x)?
a
b
抛物线法：
?
f(x)?< br>a
定积分应用相关公式：
功：W?F?s
水压力：F?p?A
mm< br>引力：F?k
1
2
2
,k为引力系数

r
b
1
函数的平均值：y?f(x)dx
?
b?a
a
1
均方根：f
2
(t)dt
?
b?a
a
空间解析几何和向量代 数：
b
空间2点的距离：d?M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)< br>2
?(z
2
?z
1
)
2
向量在轴上的投影： Prj
u
AB?AB?cos
?
,
?
是AB与u轴的夹角。
????
Prj
u
(a
1
?a
2
)?Pr ja
1
?Prja
2
?
?
?
?
a?b?a ?bcos
?
?a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
z
,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos
?
?
i
?
??
c?a?b?a
x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
z
a
x< br>?a
y
?a
z
?b
x
?b
y
?b< br>z
222222
k
??
?
???
a
z
,c?a?bsin
?
.例：线速度：v?w?r.
b
z
a
y
b
y
c
y
a
z
?
?
?
b
z
?a?b?ccos
?
,
?
为锐角时，
< br>c
z
a
x
??
????
向量的混合积：[abc]? (a?b)?c?b
x
c
x
代表平行六面体的体积。
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平面的方程 ：
?
1、点法式：A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?C( z?z
0
)?0，其中n?{A,B,C},M
0
(x
0
, y
0
,z
0
)
2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0
x yz
3、截距世方程：???1
abc
平面外任意一点到该平面的距离：d?
Ax
0
?By
0
?Cz
0
?D
A
2
?B
2
?C
2
?
x?x
0
?mt
x?x y?y
0
z?z
0
?
?
空间直线的方程：
0
???t,其中s?{m,n,p};参数方程：
?
y?y
0
?nt
mnp
?
z?z?pt
0
?
二次曲面：
x
2y
2
z
2
1、椭球面：
2
?
2
?2
?1
abc
x
2
y
2
2、抛物面：??z（ ,p,q同号）
2p2q
3、双曲面：
x
2
y
2
z
2
单叶双曲面：
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面：
2?
2
?
2
?（马鞍面）1
abc

多元函数微分法及应用

全微分：dz?
?z?z?u?u?u
d x?dy　　　du?dx?dy?dz
?x?y?x?y?z
全微分的近似计算：?z?dz ?f
x
(x,y)?x?f
y
(x,y)?y
多元复合函数的求导法 ：
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)]　　　????　
dt?u? t?v?t
?z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x,y)]　　　?　???< br>?x?u?x?v?x
当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，
?u?u?v?v< br>du?dx?dy　　　dv?dx?dy　
?x?y?x?y
隐函数的求导公式：F
x
FF
dydyd
2
y??
隐函数F(x,y)?0 ，　　??，　　
2
?(?
x
)＋(?
x
)?
dx F
y
?xF
y
?yF
y
dx
dx
F
y
F
x
?z?z
隐函数F(x,y,z)?0，　??，　　??
?xF
z
?yF
z

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?F
?
F(x,y,u,v) ?0
?(F,G)
?u
隐函数方程组：　　　J??
?
?G
?(u,v)
?
G(x,y,u,v)?0
?u
?u1?(F,G)?v1? (F,G)
???　　　　???
?xJ?(x,v)?xJ?(u,x)
?u1?( F,G)?v1?(F,G)
???　　　　???
?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)< br>微分法在几何上的应用：
?F
?v
?
F
u
?GG
u
?v
F
v
G
v

?
x?
?
(t)
x?xy?y
0
z?z
0
?
空间 曲线
?
y?
?
(t)在点M(x
0
,y
0
,z
0
)处的切线方程：
0
??
??
?
(t)?
(t)
?
?
(t
0
)
00
?
z?
?
(t)
?
在点M处的法平面方程：
?
?
( t
0
)(x?x
0
)?
?
?
(t
0
)(y?y
0
)?
?
?
(t
0
)(z?z
0
)?0
?
?
F
y
F
z
F
z< br>F
x
F
x
?
F(x,y,z)?0
若空间曲线方程为 ：,则切向量T?{,,
?
G
y
G
z
G
z
G
x
G
x
?
?
G(x,y,z)?0
曲面F(x, y,z)?0上一点M(x
0
,y
0
,z
0
)，则：
?
1、过此点的法向量：n?{F
x
(x
0
,y
0
,z
0
),F
y
(x
0
,y
0
,z0
),F
z
(x
0
,y
0
,z
0)}
x?x
0
y?y
0
z?z
0
3、过此点的 法线方程：??
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
方向导 数与梯度：
F
y
G
y
}
2、过此点的切平面方程：Fx
(x
0
,y
0
,z
0
)(x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z
0
) (y?y
0
)?F
z
(x
0
,y
0
,z< br>0
)(z?z
0
)?0
?f?f?f
函数z?f(x,y)在 一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos
?
?sin
?
?l? x?y
其中
?
为x轴到方向l的转角。
?f
?
?f
?
i?j
?x?y

??
?f
??
它与方向导数的 关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos
?
?i?sin
?
? j，为l方向上的
?l
单位向量。
?f
?是gradf(x,y)在l上的投 影。
?l
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?
多元函数的极值及其求法：
设f
x
(x
0
,y
0
)?f
y
(x
0
,y
0
)?0，令：f
xx
(x
0
,y
0
)?A,　f
xy
(x
0
,y
0
)?B,　f
yy
(x
0
,y
0
) ?C
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极大值
2
AC?B?0时，
?
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极小值
?
?
2
则：值
?
AC?B? 0时，　　　　　　无极
?
AC?B
2
?0时,　　　　　　　不确定
?
?
?
重积分及其应用：

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??
f(x,y)dxdy?
??
f(rcos
?
,rsin
?
)rdrd
?
DD
?
曲面z?f(x,y)的面积A?
??
D
?
?z
?
?
?z
?
?
1?
? ?
?
?
dxdy
??
?
?x
?
?
?y
?
2
2
平面薄片的重心：x?
M
x
?
M
??
x
?
(x,y)d
?
D
??
?(x,y)d
?
D
D
,　　y?
M
y
M
?
??
y
?
(x,y)d
?
D
??
?< br>(x,y)d
?
D
D

平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix
?
??
y
2
?
(x,y)d
?
,　 　对于y轴I
y
?
??
x
2
?
(x,y)d
?
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{F
x
,F
y
,F
z
}，其中：
F
x
?f< br>??
D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
222< br>2
，　　F
y
?f
??
3
D
?
(x ,y)yd
?
(x?y?a)
222
2
，　　F
z
??fa
??
3
D
?
(x,y)xd
?
(x?y? a)
22
3
2
2
柱面坐标和球面坐标：
?
x?r cos
?
?
柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz?
???
F( r,
?
,z)rdrd
?
dz,
?
y?rsin
?
,　　　
???
??
?
z?z
?
其中：F(r,< br>?
,z)?f(rcos
?
,rsin
?
,z)
?< br>x?rsin
?
cos
?
?
2
球面坐标：
?
y?rsin
?
sin
?
，　　dv?rd
?
?r sin
?
?d
?
?dr?rsin
?
drd
?d
?
?
z?rcos
?
?
2
?
?
r(
?
,
?
)
2
F(r,
?
,
?
)rsin
?
dr
?
0
???
?< br>f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
,
?)rsin
?
drd
?
d
?
?
?
d< br>?
?
d
?
?00
2
重心：x?
1
M
???
x
?
dv,　　y?
?
?
1
M???
y
?
dv,　　z?
?
?
1
M
???
z
?
dv，　　其中M?x?
???
?
dv
??
?
转动惯量：I
x
?
???
(y
2
? z
2
)
?
dv，　　I
y
?
???
(x< br>2
?z
2
)
?
dv，　　I
z
?
? ??
(x
2
?y
2
)
?
dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
?
x?
?
(t)
设 f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(
?
?t?
?
),则：< br>?
y?
?
(t)
?
?
L
?
x?t< br>f(x,y)ds?
?
f[
?
(t),
?
(t)]< br>?
?
2
(t)?
?
?
2
(t)dt　　(< br>?
?
?
)　　特殊情况：
?
?
y?
?
(t)
?
?
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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
?
x?
?
(t)
设L的参数方程为，则：
?
y?
?
(t)
?
?
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
?
?
{P[
?
(t),
?
(t)]
?
?(t)?Q[
?
(t),
?
(t)]
?
?
(t )}dt
L
两类曲线积分之间的关系：
?
Pdx?Qdy?
?
(Pcos
?
?Qcos
?
)ds，其中
?
和
?
分别为
LL
L上积分起止点处切向量的方向角。
?Q?P?Q?P
格 林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy?
?
Pdx?Qdy?????
?x?y?x?y
DLDL
?Q?P1
当P??y,Q?x， 即：??2时，得到D的面积：A?
??
dxdy?
?
xdy?ydx
?x?y2
LD
·平面上曲线积分与路径无关的条件：
1、G是一个单连通区域；< br>2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且
减去对此奇点的积分，注意方向 相反！
·二元函数的全微分求积：
?Q?P
在＝时，Pdx?Qdy才是二元函数u( x,y)的全微分，其中：
?x?y
(x,y)
?Q?P
＝。注意奇点，如( 0,0)，应
?x?y

u(x,y)?
(x
0
,y
0
)
?
P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常设x
0
?y< br>0
?0。
曲面积分：
22
对面积的曲面积分：
??
f(x,y,z)ds?
??
f[x,y,z(x,y)]1?z
x
(x,y )?z
y
(x,y)dxdy
?D
xy
对坐标的曲面积分：
??
P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：?
号；
??
R(x,y,z)dxdy??
??
R[x,y,z (x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正
?D
xy

??
P(x ,y,z)dydz??
??
P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；
?D
yz
??
Q(x,y,z)dzdx??
??
Q[x, y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
?D
zx
两类曲面积分之间的 关系：
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
??
高斯公式 ：
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???
(
?
?P?Q ?R
??)dv?
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
? x?y?z
??
高斯公式的物理意义——通量与散度：
?
?P?Q?R
?
散度：div
?
???,即：单位体积内所产生的流体质量，若div
?
?0,则为消失...
?x?y?z
?
?
通量：
??
A?nds?
??
A
n
ds?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds，
?
因此，高斯 公式又可写成：
???
divAdv?
??
A
n
ds
??
???
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
??
(
?
?R?Q?P?R?Q?P
?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?
?
Pdx?Qdy?Rdz
?y?z?z?x?x?y
?
cos
??
?y
Q
cos
?
?
?z
R

dydzdzdxdxdycos
?
????
上式左端又可写成：?
??? ?
?x?y?z?x
??
PQRP
?R?Q?P?R?Q?P
空间曲 线积分与路径无关的条件：?，　?，　?
?y?z?z?x?x?y
ijk
?
???
旋度：rotA?
?x?y?z
PQR
??
?
向量 场A沿有向闭曲线?的环流量：
?
Pdx?Qdy?Rdz?
?
A?tds< br>??
常数项级数：
1?q
n
等比数列：1?q?q?
??q?
1?q
(n?1)n

等差数列：1?2?3?
?
?n?
2
111
调和级数：1???
?
?是发散的
23n
2n?1
级数审敛法：
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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判 别法）：
?
?
?1时，级数收敛
?
设：
?
?lim
n
u
n
，则
?
?
?1时，级数发散
n??
?
?
?1时，不确定
?
2、比值审敛法：
?
??1时，级数收敛
U
?
设：
?
?lim
n?1
，则
?
?
?1时，级数发散
n??
U
n
?
?
?1时，不确定
?
3、定义法：
s
n
?u
1?u
2
?
?
?u
n
;lims
n
存在 ，则收敛；否则发散。
n??

交错级数u
1
?u
2
?u
3
?u
4
??(或?u
1
?u
2
? u
3
??,u
n
?0)的审敛法——莱布尼兹定理：
?
< br>?
u
n
?u
n?1
如果交错级数满足s?u
1
,其余项r
n
的绝对值r
n
?u
n?1
。
?limu?0
，那么级数收敛且其和
?
?
n??
n
绝对 收敛与条件收敛：
(1)u
1
?u
2
?
?
?u< br>n
?
?
，其中u
n
为任意实数；
(2)u
1
?u
2
?u
3
?
?
?u
n
??
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果(2)发散，而(1) 收敛，则称(1)为条件收敛级数。

1(?1)
n
调和级数：
?< br>n
发散，而
?
n
收敛；
1
　　级数：
?n
2
收敛；
ｐ?１时发散
1
　　p级数：　　
?
n
p
p?1时收敛
幂级数：
1
x?1时，收敛于
1?x
1?x?x
2
?x
3
?
?
?x
n
?
?
　　
x?1时，发散
对于级数(3)a
0
?a
1
x　?a
2
x
2
?
?
?a
n
x
n
?
?
，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x?R时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛半径。
x?R时不定
1

?
?0时，R?
求收敛半径的方法：设lim
a
n?1
?
?
，其中a
n
，a
n?1
是(3)的系数，则
?
?0时，R???
n??
a
n
?
???时，R?0
?
函数展开成幂级数：
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f
??
(x
0
)f
(n)
(x
0
)
2
函数展开成泰勒级数：f(x)? f(x
0
)(x?x
0
)?(x?x
0
)?
??(x?x
0
)
n
?
?
2!n!
f
( n?1)
(
?
)

余项：R
n
?(x?x
0
)
n?1
,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR
n
?0
n??
(n?1)!
f
??
(0)
2
f(n)
(0)
n
x
0
?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f( 0)?f
?
(0)x?x?
?
?x?
?
2!n!
一 些函数展开成幂级数：
m(m?1)
2
m(m?1)
?
(m?n? 1)
n
x?
?
?x?
?
　　　(?1?x?1)
2 !n!

352n?1
xxx
sinx?x???
?
?(? 1)
n?1
?
?
　　　(???x???)
3!5!(2n?1)!
(1?x)
m
?1?mx?
欧拉公式：
?
e
ix
?e
?ix
cosx?
?
?
2
e
ix?cosx?isinx　　　或
?

ix?ix
?
sinx?
e?e
?
2
?
三角级数：
a
0
?
f(t)?A
0
?
?
A
n
sin(n
?
t?
?
n
)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx)
2
n?1n?1
其中，a
0
?aA
0
，a
n
?A
n
sin
?
n
，b
n
?A
n
cos
?
n
，
?
t?x。
正交性：1,sin
x
,cos
x
,sin2
x
,cos 2
x?
sin
nx
,cos
nx?
任意两个不同项的乘积在 [?
?
,
?
]
上的积分＝0。
傅立叶级数：
?

a
0
?
f(x)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx)，周期?2
?
2
n?1< br>?
?
1
(n?0,1,2
?
)
?
a
n
?
?
f(x)cosnxdx　　　
?
?
?
?< br>其中
?
?
?
b?
1
f(x)sinnxdx　　　( n?1,2,3
?
)
?
n
?
?
?
?
?
11
?
2
1?
2
?
2
?
?< br>?
8
35
　
111
?
2
?
2
?
2
?
?
?
2
24
246
正弦级数：a
n
?0，b
n
?
余弦级数：b
n
?0，a
n
?
111
?
2
1?
2
?
2
?< br>2
?
?
?（相加）
6
234
111
?
2
1?
2
?
2
?
2
?
?
?（相 减）
12
234
f(x)sinnxdx　　n?1,2,3
?
　f (x)?
?
b
?
?
0

2
?
n< br>sinnx是奇函数
2
?
?
?
0
f(x)cosnx dx　　n?0,1,2
?
　f(x)?
a
0
?
?
a
n
cosnx是偶函数
2
周期为
2l
的周期函数的傅立叶 级数：
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a
0
?
n
?
x n
?
x
f(x)??
?
(a
n
cos?b
n
sin)，周期?2l
2
n?1
ll
l
?
1n< br>?
x
a?f(x)cosdx　　　(n?0,1,2
?
)
?
n
?
l
?l
l
?
其中
?
l
?
b?
1
f(x)sin
n
?
x
dx　　　(n ?1,2,3
?
)
?
n
l
?
l
?l
?

微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y
?
?f(x,y) 　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y )dy?f(x)dx的形式，解法：
?
g(y)dy?
?
f(x)dx　　 得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。
dyy
?f(x,y)?
?
(x ,y)，即写成的函数，解法：

dxx
ydydududxduy
设u?， 则?u?x，u??
?
(u)，??分离变量，积分后将代替u，
xdxdxdxx< br>?
(u)?ux
齐次方程：一阶微分方程可以写成
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
dy
1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)
dx?P(x)dx
当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce
?
当Q(x)?0时， 为非齐次方程，y?(
?
Q(x)e
?
dy
2、贝努力方程：?P( x)y?Q(x)y
n
，(n?0,1)
dx
全微分方程：
P(x)dx
dx?C)e
?
?P(x)dx

如果P(x ,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：
?u?u
du(x,y )?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)

?x?y
?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f(x)?0时为齐次
d
2
ydy
?P(x)?Q(x)y?f(x)，
2
dx
dx
f(x)?0时为非齐次














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二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*) y
??
?py
?
?qy?0，其中p,q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：(?)r
2
?pr?q?0，其中r
2
，r的系数及常 数项恰好是(*)式中y
??
,y
?
,y的系数；
2、求出(?)式 的两个根r
1
,r
2
3、根据r
1
,r
2
的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

(*)式的通解
r
1
，r
2
的形式

两个不相等实根
(p?4q?0)

两个相等实根
(p?4q?0)

一对共轭复根
(p?4q?0)

2
2
2
y?c< br>1
e
r
1
x
?c
2
e
r
2
x

y?(c
1
?c
2
x)e
r
1
x

y?e
?
x
(c
1
cos
?
x?c
2
sin
?
x)

r
1
?
?
? i
?
，r
2
?
?
?i
?
4q?p
2

p
?
??，
?
?
22
二阶常系数非齐 次线性微分方程
y
??
?py
?
?qy?f(x)，p,q为常数
f(x)?e
?
x
P
m
(x)型，
?
为常 数；
f(x)?e
?
x
[P
l
(x)cos
?x?P
n
(x)sin
?
x]型
山水是一部书，枝枝叶叶的文字 间，声声鸟鸣是抑扬顿挫的标点，在茂密纵深间，一条曲径，是整部书最芬芳的禅意。春风翻一页，桃花面，杏花 眼，柳腰春细；夏阳读一页，蔷花满架，木槿锦绣、合欢幽香、蜀葵闲澹，
一派峥嵘；秋风传一页，海棠 妆欢，野菊淡姿，高远深邃；冬雪润一页，水仙临水一舞，腊梅素心磬口，向爱唱晚。

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